机械原理习题_第四章

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4-9 (1)解:系统的传递函数为: (1)解 系统的传递函数为:
100 100 G(s) = = (5s +1)(10s +1) 50s2 +15s +1
系统的频率特性为: 系统的频率特性为:
100 100(1 50ω2 ) 15ω G(jω) = = j 2 2 2 2 - 5ω +15jω +1 (1 50ω ) + 225ω (1 50ω2 )2 + 225ω2
11
25(0.1s +1) G(s) = 2 s (0.2s +1)
对数相频特性曲线 图中红色的曲线) (图中红色的曲线) 的画法: 的画法:实际上是 由两个积分环节 (绿色),一个惯 绿色),一个惯 ), 性环节(紫色), 性环节(紫色), 一个一阶微分环节 蓝色)叠加而成. (蓝色)叠加而成. 严格的说, 严格的说,应该使 用描点法画图. 用描点法画图.
|G 则: (jω) |=
100 (1 50ω2 )2 + 225ω2
15ω ∠G(jω) = arctan 1 50ω2
15ω Im ω) = ( (1 50ω2 )2 + 225ω2
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100(1 50ω2 ) Re(ω) = (1 50ω2 )2 + 225ω2
当ω = 0时: | G(jω) |= 100
稳态输出的幅值: Y 稳态输出的幅值: (ω) = X A(ω) = 30.3
稳态输出的相位: 稳态输出的相位: (ω) = ∠G( jω) 72.5 =-
o
2
4-6 求当系统作用有以下输入信号时,系统的稳态输出. 求当系统作用有以下输入信号时,系统的稳态输出. 1 ) x(t)=sin(t+30) 2 ) x(t)=2cos(2t-45) 3 ) x(t)=sin(t+30)-2cos(2t-45)
yo (t ) = Xi G( jω) sin(ωt + ∠G( jω)) = 0.93sin(2t 21.8o )
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5 3) GB (s) = ) s + 11
ω j arctan 5 5 j10.3o 11 GB ( jω) = e = = 0.45e 2 jω + 11 121 +ω ω=2 ω
10
25(0.1s +1) 2)系统传递函数化为时间常数形式: (s) = 2 )系统传递函数化为时间常数形式: G s (0.2s +1)
25(0.1 jω +1) 其频率特性为: G 其频率特性为: ( jω) = ( jω)2 (0.2 jω +1) 系统组成: 系统组成:
①一个比例环节(比例系数为k=25) 一个比例环节(比例系数为 ) ②两个积分环节 低频段过( , 斜率为- 【低频段过(1,20lg25=28)点,斜率为-40dB/dec】 ) 】 一个惯性环节( ) ③一个惯性环节(ω1=1/0.2=5 rad/s) 一个一阶微分环节( ④一个一阶微分环节( ω2=1/0.1=10 rad/s )
Im ω) = 0 (
T 2 = 50 振峰值 ζ = 1.06 > 0.707 即不存在谐振频率和谐 2ζT = 15 19
Im
[G ( jω )]
ωபைடு நூலகம்=0
Re
ω =∞ ω
ω = ωn 100 2 j 3
100 100 G(s) = = 2 (5s +1)(10s +1) 5s +15s +1
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π
(0.1) = 180o- arctan 0.024 arctan 0.05 ≈ 180o +
arctan 0.25 arctan 0.5 = 167.5o (1) = 180o- + (2) = 180o- arctan 0.57 arctan 1 = 164.7o + (5) = 180o- arctan ∞+ arctan 2.5 = 201.8o arctan( 0.8) arctan 5 (10) = 180o- +
Y(s) k = , X(s) Ts +1 ,时间常数T=0.5s,
y(t ) = Y(ω)sin[ωt +(ω)]
Y( ω ) A( ω ) = X
A(ω) =| G( jω) |
(ω) = ∠G( jω)
G( jω)
G(s)
1
根据定义与已知条件有: 解:根据定义与已知条件有:
10 G( jω) = = jTω +1 T=0.5 1+ j0.5ω
j arctan 5 5 6 GB ( jω) = e = jω + 6 36 +ω2
ω
= 0.79e
ω=2
j18.4o
yo (t ) = Xi G( jω) sin(ωt + ∠G( jω)) = 0.79sin(2t 18.4o )
5 2) GB (s) = ) s +5 ω j arctan 5 5 j 21.8o 5 GB ( jω) = e = = 0.93e 2 jω + 5 25 +ω ω=2
①一个比例环节(比例系数为k=100) 一个比例环节(比例系数为 ) ②两个积分环节 低频段过( , 斜率为- 【低频段过(1,20lg100=40)点,斜率为-40dB/dec】 ) 一个一阶微分环节( ③一个一阶微分环节( ω1=2s-1 ) 一个振荡环节( ④一个振荡环节( ω2=5s-1 ).
ω 1+ 0.25ω
2
∠G(jω) = arctan0.5ω 2
π
50 Re(ω) = 2 1+ 0.25ω
100 Im ω) = ( 2 ω(1+ 0.25ω )
21
当ω = 0时:| G(jω) |= ∞
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试绘制具有下列传递函数的各系统的奈奎斯特图. 4-9 试绘制具有下列传递函数的各系统的奈奎斯特图.
100 100 1) G(s) = 3) G(s) = 2 (5s +1)(10s +1) 0.01s + 0.1s + 1
100 2) G(s) = s(0.5s +1)
50(0.6s +1) 4) G(s) = 2 s (4s +1)
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系统传递函数化为时间常数形式: 3)系统传递函数化为时间常数形式:
100(0.5s +1) G(s) = 2 s ((0.2s)2 + 0.24s +1)
jω 100 +1 2 G 其频率特性为: 其频率特性为: ( jω) = jω 2 ω 2 ( jω) + j1.2 +1 5 5 系统组成: 系统组成:
(3)
应用叠加原理: 应用叠加原理: y3 (t ) = y1(t ) y2 (t )
5
已知系统如图所示,输入信号为x(t)=sin2t .试求 4-7 已知系统如图所示,输入信号为 系统的稳态输出,并讨论开环放大系数对系统稳态输出 系统的稳态输出, 的影响. 的影响.
X(s) + H(s) G(s) Y(s)
4-5 系统的传递函数为 放大系数K=10.求在 =1Hz ,幅值 幅值X=10的正弦输 放大系数 .求在f 的正弦输 入信号作用下,系统的稳态输出y(t)的幅值和相位 的幅值和相位. 入信号作用下,系统的稳态输出 的幅值和相位. 分析: 系统的稳态输出y(t)的幅值和相位? 分析: 系统的稳态输出 的幅值和相位? 的幅值和相位
5 1) G(s) = , H(s) = 1 s +1 5 2) G(s) = , H(s) = 1 s 5 3) G(s) = , H(s) = 2 s +1
6
4-7 解:因为 i(t)=sin2t,则输入幅值为 i=1,输入的 因为x 则输入幅值为X , . 角频率ω=2. 5 1) GB (s) = ) s +6
Re(ω) = 100
∠G(jω) = 0 Im ω) = 0 (
1 当ω = ωn = = 0.141 : 时 50 100 2 | G(jω) |=
3 Re(ω) = 0
∠G(jω) = 90o 100 2 Im ω) = ( 3
当ω = ∞时:
| G( jω) |= 0 Re(ω) = 0
∠G(jω) = 180o
L(ω)/dB
1) G(s) = )
该系统只包含一个一阶惯性环节,其转角频率为: 该系统只包含一个一阶惯性环节,其转角频率为:
1 = 5rad / s ω= 0.2
20 5 0 -20 φ(ω)/() 0 -45 -90 0.5 5 50 ω/(rad/s) 0.5 50 ω/(rad/s) -20dB/dec
8
试绘出具有下列传递函数的系统的波德图. 4-8 试绘出具有下列传递函数的系统的波德图.
1 1) G(s) = 0.2s + 1
2.5(s +10) 2) G(s) = 2 s (0.2s +1)
1250(s + 2) 3) G(s) = 2 2 s (s + 6s + 25)
9
4-8
解:
1 1 其频率特性为: G 其频率特性为: ( jω) = j0.2ω +1 0.2s + 1
(
)
4
(2)
x(t ) = 2cos(2t-45o ) → x(t ) = 2sin[90o (2t 45o )] =- sin(2t 135o ) 2 10 e →ω = 2 →G( jω) = 125
2 j arctan 11
10 y2 (t ) = 2× sin(2t 145.3o ) 125
yo (t ) = Xi G( jω) sin(ωt + ∠G( jω)) 5 o o sin(2t 10.3 ) = 0.45sin(2t 10.3 ) = 5
),3 比较得:开环G(s)H(s)放大系数增大,系 放大系数增大, 由1),3)比较得:开环 放大系数增大 统稳态输出的幅值及相位差减小 .
=
10 112 + ω2
e
j arctan 11
ω
ω1 = 1 x(t ) = sin(t + 30 ) → X =1
o
y1(t ) = A(ω1 ) X sin ω1t+ o+∠G( jω1 ) 30 10
(
)
1 o 30 arctan = ×1×sin1× t+ - 11 112 + 12 10 sin t + 24.8o = 122
设单位负反馈系统的开环传递函数为 G(s) =
10 s + 1,
3
系统闭环传递函数为: 4-6 解:系统闭环传递函数为: (s) = 10 G s + 11 10 10×11 10ω G( jω) = = 2 - 2 j 2 2 jω + 11 ω + 11 ω + 11
= A(ω) e
(1)
j∠G( jω )
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100(0.5s +1) G(s) = 2 s ((0.2s)2 + 0.24s +1)
对数相频特性: 对数相频特性:
2ζ kTkω m (ω) = N ∑arc tan + ∑arctanτ iω 2 2 1 Tk ω 2 k=1 i =1
q
π
0.24ω arctan arctan 0.5ω = 2× - + 2 2 2 1 0.2 ω - 6ω o arctan arctan 0.5ω = 180- + 2 25 ω -
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(2)解:系统的传递函数为: 系统的传递函数为:
100 100 G(s) = = s(0.5s +1) 0.5s2 + s
系统的频率特性为: 系统的频率特性为:
100 100 50 G(jω) = = j 2 2 0.5 - ω + jω 1+ 0.25ω ω(1 + 0.25ω2 )
| G(jω) |= 100
= 180o + 180o + arctan 0.8 + arctan 5 = 242.65o arctan( 0) arctan ∞ (∞) = 180o- + = 180o 180o + 90o = 270o
(
)
在计算 在计算(10) 时,-arctan(-0.8)=-180°+arctan0.8是因为: arctan(-0.8)=-180°+arctan0.8是因为 是因为: -arctan(-0.8)是二阶振荡环节,其取值范围是(-180 °,0) arctan(-0.8)是二阶振荡环节 其取值范围是( 是二阶振荡环节, ,0)
K =10
K
ω = 2πf = 6.3rad / s
10 所以: G 3 所以: ( jω) = → G( jω)= .03 1+ j0.5×6.3 →∠G( jω) = arctan 3.15 = 72.5o
yo (t ) = 10× 3.03sin(6.3t 72.5o ) = 30.3sin(6.3t 72.5o )