江苏省宿迁市沭阳县高二数学下学期期中试题-人教版高二全册数学试题

2015～2016学年度第二学期期中调研测试
高二数学试题
本试卷包含填空题（第1题—第14题）和解答题（第15题—第20题）两部分，共4页。

本卷满分160分，考试时间为120分钟。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上．．
. 1．设集合{}54321，，，，=A ，{}8,7542，，，=B ，则=B A ．
2．复数23z i =-的实部是 ． 3．函数)2ln(1)(x x x f -+-=
的定义域为 ． 4．设幂函数()为实数αα
x x f =)(的图像经过点()8,4，则=)(x f ． 5．已知函数⎩⎨⎧<≥+=-4 ,24,32)(1x x x x f x ，则[]=)3(f f ．
6．计算()=+-32272
lg 4lg 32lg ． 7．用反证法证明命题“设,a b 是实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做
的反设是 （填序号．．．
） （1）方程30x ax b ++=恰好有两个实根 （2）方程3
0x ax b ++=至多有一个实根
（3）方程30x ax b ++=至多有两个实根 （4）方程30x ax b ++=没有实根
8．已知函数52lg )(-+=x x x f 的零点()()Z k k k x ∈+∈1,0，则=k ．
9．已知函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，72)(2-=x x f ， 则=-)2(f ．
10．已知2
12+=
a ，函数x x f a log )(=，若正实数n m ,满足)()(n f m f >，
则n m ,的大小关系是 ．
11．若复数z 满足i z z 423+=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为 ．
12．已知函数)
(1)()1(x f x f x f +=+，且1)1(=f ，则=)10(f ． 13．将全体正整数排成一个三角形数阵：
51 41 31 21 110
1 9 8 76
5 43
21
按照以上的排列规律，第20行第2个数是 ． 14．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+-=1,212
11,22)(x x x x f x ，若存在实数21x x <，使得()()21x f x f =，则)(12x f x 的取值范围是 ．
二、解答题: 本大题共6小题，15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分。

请在答题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．．
，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题满分14分）
设集合{}|13A x x =-<<，{}m x x B >=|．
（1）若1-=m ，求集合A 在B 中的补集；
（2）若B B A = ，求实数m 的取值范围．
16．（本小题满分14分）
已知复数i z +-=21，i z z 5521+-=（其中i 为虚数单位）．
（1）求复数2z ；
（2）若复数])1()32)[(3(223i m m m z z -+---=所对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围．
17．（本小题满分14分）
如图，有一块半径为2的半圆形纸片，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是圆O 的直径，上底CD 的端点在圆周上，设2CD x =，梯形ABCD 的周长为y .
（1）求出y 关于x 的函数()f x 的解析式；
（2）求y 的最大值，并指出相应的x 值．
18．（本小题满分16分） 已知函数1()log 1
a
x f x x -=+（其中0a >且1a ≠）. （1）求证：函数()f x 是奇函数；
（2）已知关于x 的方程log ()(1)(7)a m f x x x =+-在区间[]2,6上有实数解，求实数m 的取值范围.
B
A D C O
19．（本小题满分16分）
已知递增的等比数列{}n a 满足：42=a ，14321=++a a a ．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）证明：数列{}n a 中任意三项不能构成等差数列．
20．（本小题满分16分）
已知二次函数1)(2
+-=mx x x f ．
（1）若函数)(x f y =是偶函数，求实数m 的取值范围；
（2）若函数9)12()()(--+=x m x f x g ，且[]3,1-∈∀m ，都有0)(≤x g 恒成立，
求实数x 的取值范围；
（3）若函数x x m x f x h 2)1()()(2+--=，求函数)(x h y =在[]1,1-∈x 的 最小值)(m H ．
2015～2016学年度第二学期期中调研测试
高二数学参考答案
本试卷包含填空题（第1题—第14题）和解答题（第15题—第20题）两部分，共4页．本卷满分160分，考试时间为120分钟．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上．．
. 1.设集合{}54321，，，，=A ，{}8,7542，，，=B ，则=B A {}5,4,2
2.复数i 32-的实部是 2
3.函数)2ln(1)(x x x f -+-=
的定义域为 [)2,1 4.设幂函数()为实数ααx x f =)(的图像经过点()8,4，
则幂函数的解析式为)(x f 23
x
5. 已知函数⎩⎨⎧<≥+=-4 ,24
,32)(1x x x x f x ，则[]=)3(f f 11
6. 计算()=+-32272
lg 4lg 32lg 12 7. 用反证法证明命题“设,a b 是实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做
的反设是 （4） （填序号）
（1）．方程30x ax b ++=恰好有两个实根 （2）．方程3
0x ax b ++=至多有一个实根
（3）．方程30x ax b ++=至多有两个实根 （4）．方程30x ax b ++=没有实根
8.已知函数52lg )(-+=x x x f 的零点在区间()1,+k k ()z k ∈，则=k 2
9.已知函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，72)(2-=x x f ， 则=-)2(f 1-
10.已知2
12+=
a ，函数x x f a log )(=，若正实数n m ,满足)()(n f m f >，
则n m ,的大小关系是 n m >
11.若复数z 满足i z z 423+=-，其中i 为虚数单位，则复数z
12. 已知函数)
(1)()1(x f x f x f +=+，且1)1(=f ，则=)10(f 101 13.将全体正整数排成一个三角形数阵：
51 41 31 21 110
1 9 8 76
5 43 21
按照以上的排列规律，第20行第2个数是 192
14.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+-=1,212
11,22)(x x x x f x ，若存在实数21x x <，使得()()21x f x f =， 则)(12x f x 的取值范围是 ()10,0
二、解答题: 本大题共6小题，15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．．
，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15设集合{}|13A x x =-<<，{}m x x B >=|．
（3）若1-=m ，求集合A 在B 中的补集；
（4）若B B A = ，求实数m 的取值范围．
（1）{}31|<<-=x x A ………………2分
1-=m
∴{}1|->=x x B ………………4分
∴集合A 在B 中的补集为{}3|≥x x ………………7分
（2） B B A =
∴B A ⊆………………10分
又 {}31|<<-=x x A ，{}m x x B >=|
∴实数m 的取值范围是1-≤m ………………14分
16.已知复数i z +-=21，i z z 5521+-=（其中i 为虚数单位）
（1）求复数2z ；
（2）若复数])1()32)[(3(223i m m m z z -+---=所对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围。

（1） i z z 5521+-= ∴i i i
z i
z -=+-+-=+-
=3255551
2………………6分
()()()()()()()2
32222 z 3z m 2m 3m 1i i m 2m 3m 1i m 1m 2m 3i 10()⎡⎤=---+-⎣⎦
⎡⎤=--+-⎣⎦=--+--分
3z 所对应的点在第四象限
∴⎩⎨⎧<-->--0320)1(2m m m (12)
分
∴实数m 的取值范围是11<<-m ………………14分
17．如图，有一块半径为2的半圆形纸片，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是圆O 的直径，上底CD 的端点在圆周上，设2CD x =，梯形ABCD 的周长为y .
(1) 求出y 关于x 的函数()f x 的解析式；
(2) 求y 的最大值，并指出相应的x 值．
解：(1) 作OH 、DN 分别垂直DC AB 、交于H N 、，连结OD . 由圆的性质，H 是中点，设OH h =，2224h OD DH x =-=-………………3分 又在直角AND ∆中，()2222248422AD AN DN x x x x =
+=-+-=-=- 所以()24242y f x AB AD DC x x
==++=++-其定义域是()0,2． ………………7分
(2) 令2t x =-，则()0,2t ∈，且22x t =-，………………9分
所以()()2242242110y t
t t =+-+=--+，………………12分 当1t =，即1x =时，y 的最大值是10. ………………14分
18. 已知函数1()log 1
a x f x x -=+（其中0a >且1a ≠）. （1）讨论函数()f x 的奇偶性；
（2）已知关于x 的方程log ()(1)(7)a
m f x x x =+-在区间[]2,6上有实数解，求实数m 的取值范围.
解．（1）1
1log )(+-=x x x f a 的定义域为),1()1,(+∞--∞ ， 定义域关于原点对称，………………………2分
又1
1log 11log )(-+=+---=-x x x x x f a a ， )()(x f x f -=-，所以函数)(x f 为奇函数。

………………6分
（2）⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧+-=-+>+->-+11)7)(1(,01
1,
0)7)(1(x x x x m x x x x m ……………………9分 即)7)(1(x x m --=，[]2,6x ∈……11分
设2()(1)(7)(4)9g x x x x =--=--+……………………13分
该函数在]4,2[上递增、在]6,4[上递减，(2)(6)5,(4)9g g g ===
所以函数()g x 的最小值为5，最大值为9………………15分
所以m 的取值范围为]9,5[.………………………16分
19.已知递增的等比数列{}n a 满足：42=a ，14321=++a a a
（3）求数列{}n a 的通项公式；
（2）证明：数列{}n a 中任意三项不能构成等差数列
证明：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，
由14321=++a a a ，得14444=++q q
∴22
1==q q 或………………………………4分 又42=a 且{}n a 是递增的等比数列
∴2=q
∴数列{}n a 的通项公式为2n n a =；………………………7分
（4）证明：假设数列{}n a 中三项m a ，n a ，p a 且p n m <<
∴p m n a a a +=2………………9分
∴11222--+=p m n
∴m p m n -+-+=2121 ……()* ………………11分
p n m <<
∴1,2≥-≥-m n m p
∴()*式左边是偶数，右边是奇数，矛盾 ………………14分
∴数列{}n a 中任意三项不能构成等差数列 ………………16分
20.已知二次函数1)(2+-=mx x x f ，
（4）若函数)(x f y =是偶函数，求实数m 的取值范围；
（5）若函数9)12()()(--+=x m x f x g ，且[]3,1-∈∀m ，都有0)(≤x g 恒成立，求实数x 的取值范围；
（6）若函数x x m x f x h 2)1()()(2+--=，求函数)(x h y =在[]1,1-∈x 的最小值
)(m H 。

解（1） 函数)(x f y =是偶函数
∴)()(x f x f =-
∴1122+-=++mx x mx x
∴02=mx
∴0=m ………………4分
（2）8)1()(2
--+=x m x x g []3,1-∈∀m ，都有0)(≤x g 恒成立
∴⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤--0
8208222x x x x ………………7分 ∴实数x 的取值范围[]2,2- ………………10分
（3）1)2()(2+-+=x m mx x h
..
DOC 版. ①当3
20≤<m 时，函数)(x h y =的对称轴112122-<-=-=m m m x ， ∴函数)(x h y =在[]1,1-∈x 的最小值12)1()(-=-=m h m H ②当32>
m 时，函数)(x h y =的对称轴[]1,112122-∈-=-=m
m m x ， ∴函数)(x h y =在[]1,1-∈x 的最小值m
m m m h m H 142)22()(--=-= ……………13分 ③当0<m 时，函数)(x h y =的对称轴012122>-=-=m m m x ， ∴函数)(x h y =在[]1,1-∈x 的最小值12)1()(-=-=m h m H ④当0=m 时，函数12)(+==x x h y
∴函数)(x h y =在[]1,1-∈x 的最小值1)1()(-=-=h m H 综上：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>--≤-=32,14232,12)(m m m m m m H ………………16分()分没下结论扣1。