正、余弦定理强化练Word版含答案

正、余弦定理强化练
A 组
1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足sin B －sin A sin B －sin C ＝c
a ＋b
，
则A ＝( )
A.π
6 B.π3 C.2π3
D.π3或2π3
解析：选B 由sin B －sin A sin B －sin C ＝c a ＋b ，结合正弦定理，得b －a b －c ＝c
a ＋
b ，整理得b 2＋
c 2－
a 2
＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，由A 为三角形的内角，知A ＝π
3
.
2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＝1，B ＝π
4，tan A ＝22，
则a ＝( )
A.23
B.34
C.4
3
D. 2
解析：选C 由题意知，sin A ＝
223，由a sin A ＝b sin B ，得a 223＝12
2
，解得a ＝43. 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin A ＝2sin Bsin C ，且BC 边上的高为a 2
，则c b ＋b
c 的最大值为( )
A ．2 B. 2 C ．2 2
D ．4
解析：选C 由sin A ＝2sinBsin C ，根据正弦定理，得a 2＝2bc sin A ，代入cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc 中，得b 2＋c 2＝2bc (cos A ＋sin A )，所以c b ＋b
c ＝2(cos A ＋sin A )＝22sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4，
当A ＝π
4
时，c b ＋b c 取得最大值2 2.
4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＋b ＝2，△ABC 的面积为1
6
sin C ，sin A ＋sin B ＝2sin C ，则C 的值为________．
解析：由△ABC 的面积为12ab sin C ＝16sin C ，得ab ＝1
3.
又a ＋b ＝2且sin A ＋sin
B ＝2sin
C ，
所以a ＋b ＝2c ，c ＝1，
所以a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝2－2×13＝4
3，
则cos C ＝a 2
＋b 2
－c 2
2ab ＝43－1
23
＝12，故C ＝π
3
.
答案：π
3
5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 为锐角三角形，且满足b 2－a 2＝ac ，则1tan A －1
tan B
的取值范围是________．
解析：由余弦定理得b 2－a 2＝(a 2＋c 2－2ac cos B)－(b 2＋c 2－2bc cos A )＝a 2－b 2＋2c (b cos A －a cos B)，即b 2－a 2＝c (b cos A －a cos B)＝ac ⇒b cos A －a cos B ＝a ⇒sin(B －A )＝sin A ⇒B ＝2A .又△ABC 为锐角三角形，所以π3<B <π2.则1tan A －1tan B ＝sin (B －A )sin A sin B ＝1sin B
∈
⎝
⎛⎭⎫1，233.
答案：⎝
⎛⎭⎫1，
233 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b cos A ＝(2c －a )cos B. (1)求B ；
(2)若b ＝13，△ABC 的面积为3，求△ABC 的周长． 解：(1)由b cos A ＝(2c －a )cos B ， 得2c cos B ＝b cos A ＋a cos B.
由正弦定理可得2sin C cos B ＝sin Bcos A ＋sin A cos B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，
因为sin C ≠0，所以cos B ＝1
2.
因为0<B <π，所以B ＝π
3
.
(2)因为S △ABC ＝1
2ac sin B ＝3，所以ac ＝4.
又13＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ， 所以a 2＋c 2＝17， 所以a ＋c ＝5，
故△ABC 的周长为5＋13.
7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ＝2，(sin A ＋sin C ＋sin B)(sin A ＋sin C －sin B)＝3sin A sin C .
(1)求B ；
(2)若sin B ＝2sin 2A －sin(C －A )，求△ABC 的面积．
解：(1)∵(sin A ＋sin C ＋sin B)(sin A ＋sin C －sin B)＝3sin A sin C ， ∴由正弦定理得(a ＋c ＋b )(a ＋c －b )＝3ac ， ∴(a ＋c )2－b 2＝3ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝ac ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1
2，
∵0<B <π，∴B ＝π
3
.
(2)∵sin B ＝2sin 2A －sin(C －A )， ∴sin(C ＋A )＋sin(C －A )＝2sin 2A ，
∴sin C cos A ＋cos C sin A ＋sin C cos A －cos C sin A ＝4sin A cos A ， 即sin C cos A ＝2sin A cos A .
当cos A ＝0时，A ＝π2，∴C ＝π
6，∵b sin B ＝c sin C ，
∴c ＝
233，∴S △ABC ＝12bc ＝23
3
； 当cos A ≠0时，sin C ＝2sin A ，∴c ＝2a ， 由(1)知，a 2＋c 2－b 2＝ac ，∴a ＝233，c ＝43
3，
∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×233×433×32＝23
3.
综上所述，△ABC 的面积为
23
3
. 8．已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x
4，函数f (x )＝m·n . (1)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫
2π3－x 的值；
(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足a cos C ＋1
2c ＝b ，求f (B )
的取值范围．
解：由题意得f (x )＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋1
2＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12. (1)由f (x )＝1，可得sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12，
则cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π3－x 2－1＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6－1＝－1
2
. (2)已知a cos C ＋1
2c ＝b ，由余弦定理，可得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝b ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，
则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1
2
，
又A 为△ABC 的内角，所以A ＝π3，从而B ＋C ＝2π
3.
所以0<B <2π3，0<B 2<π3，则π6<B 2＋π6<π
2，
所以1<sin ⎝⎛⎭⎫B 2＋π6＋12<3
2， 故f (B )的取值范围为⎝⎛⎭
⎫1，3
2. B 组
1．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，则2b
a
的取值范围是( )
A ．(2，2)
B ．(2，6)
C ．(2，3)
D ．(6，4)
解析：选B ∵B ＝2A ，∴sinB ＝sin 2A ＝2sin A cos A ，∴b
a ＝2cos A ．又C ＝π－3A ，C
为锐角，∴0<π－3A <π2⇒π6<A <π3，又B ＝2A ，B 为锐角，∴0<2A <π2⇒0<A <π4，∴π6<A <π4，
2
2<cos A <
3
2
，∴2<b a <3，∴2<2b a < 6.
2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c cos B ＝2a ＋b ，若△ABC 的面积S ＝
3
12
c ，则ab 的最小值为( ) A.1
2 B.1
3 C.16
D ．3
解析：选B 由题意，得2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ⇒2sin C cos B ＝2sin Bcos C ＋2cos Bsin C ＋sin B ⇒cos C ＝－12⇒sin C ＝32，∴S ＝12ab sin C ＝34ab ＝3
12
c ⇒c ＝3ab ，∴由
余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ⇒－12＝a 2＋b 2－9a 2b 22ab ≥2ab －9a 2b 2
2ab ⇒ab (3ab －1)≥0⇒ab ≥1
3
，
当且仅当a ＝b ＝
33时等号成立，所以ab 的最小值为13
. 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b 2＋c 2－a 2＝bc ，AB ―→·BC ―→
＞0，a ＝
3
2
，则b ＋c 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫1，32 B.
⎝⎛⎭
⎫32，32
C.⎝⎛⎭⎫12，32
D.⎝⎛⎦⎤
12，32
解析：选B 由b 2
＋c 2
－a 2
＝bc 得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，则A ＝π3，由AB ―→·BC ―→
＞0
知，B 为钝角，又a
sin A ＝1，则b ＝sin B ，c ＝sin C ，b ＋c ＝sin B ＋sin C ＝sin
B
＋
sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝32sinB ＋3
2
cosB ＝3sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6， ∵π2＜B ＜2π3，∴2π3＜B ＋π6＜5π6， ∴12＜sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＜32，b ＋c ∈⎝⎛⎭
⎫32，3
2. 4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且B ＝2C,2b cos C －2c cos B ＝a, 则角A 的大小为________．
解析：由正弦定理得2sin Bcos C －2sin C cos B ＝sin A ＝sin(B ＋C )＝sin Bcos C ＋cos Bsin C ，即sin Bcos C ＝3sin C cos B ，∵B ＝2C ，∴sin 2C cos C ＝3sin C cos 2C,2cos 2C ＝3(cos 2C －sin 2C )，tan 2C ＝13，tan C ＝33，∵B ＝2C ，∴C 为锐角，∴C ＝π6，B ＝π3，A ＝π
2
.
答案：π
2
5．在△ABC 中，点D 是BC 的中点，若AB ⊥AD ，∠CAD ＝30°，BC ＝27，则△ABC 的面积为________．
解析：因为D 是BC 的中点，所以S △ABC ＝2S △ABD ， 即12AB ·AC sin 120°＝2·12AB ·AD ，所以AD ＝34AC . 在△ACD 中，CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD cos ∠CAD ， 即(7)2＝AC 2＋
316AC 2－2AC ·34AC ·3
2
， 解得AC ＝4，所以AD ＝3，
故S △ABC ＝2S △ADC ＝2×12×3×4×1
2＝2 3.
答案：2 3
6.如图，已知D 是△ABC 边BC 上一点．
(1)若sin ∠ADC ＝
7210，B ＝π4
，且AB ＝DC ＝7，求△ADC 的面积； (2)当∠BAC ＝π
2时，若BD ∶DC ∶AC ＝2∶1∶3，且AD ＝22，求DC 的长．
解：(1)因为sin ∠ADB ＝sin(π－∠ADC )＝sin ∠ADC ＝72
10
，所以在△ABD 中，由正弦
定理，得AD ＝AB ·sin B
sin ∠ADB ＝7×
2272
10
＝5，
所以S △ADC ＝12AD ·DC ·sin ∠ADC ＝12×5×7×7210＝492
4
.
(2)由BD ∶DC ∶AC ＝2∶1∶3，设DC ＝x ，则BD ＝2x ，BC ＝3x ，AC ＝3x . 于是sin B ＝AC BC ＝33，cos B ＝6
3
，AB ＝6x .
在△ABD 中，由余弦定理，得AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ，
即(22)2＝6x 2＋4x 2－2×6x ×2x ×
6
3
＝2x 2，解得x ＝2，即DC ＝2. 7.如图，在△ABC 中，B ＝π
3，BC ＝2，点D 在边AB 上，AD ＝DC ，
DE ⊥AC ，E 为垂足．
(1)若△BCD 的面积为3
3
，求AB 的长； (2)若DE ＝
6
2
，求角A 的大小． 解：(1)∵△BCD 的面积为
33，B ＝π
3
，BC ＝2， ∴12×2×BD ×sin π3＝33，∴BD ＝2
3. 在△BCD 中，
由余弦定理可得CD ＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos B ＝4＋49－2×2×23×12＝27
3
. ∴AB ＝AD ＋BD ＝CD ＋BD ＝273＋23＝27＋2
3
. (2)∵DE ＝
62，∴CD ＝AD ＝DE sin A ＝6
2sin A
. 在△BCD 中，由正弦定理可得BC sin ∠BDC ＝CD
sin B
.
∵∠BDC ＝2∠A ，∴
2sin 2A ＝62sin A sin
π3
，∴cos A ＝2
2
. ∴A ＝π4
.
8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c,1＋tan A tan B ＝2c
3b
. (1)求角A 的大小；
(2)若△ABC 为锐角三角形，求函数y ＝2sin 2B －2sin
Bcos C 的取值范围；
(3)现在给出下列三个条件：①a ＝1；②2c －(3＋1)b ＝0；③B ＝π
4，试从中选择两个条
件以确定△ABC ，求出所确定的△ABC 的面积．
解：(1)因为1＋
tan A tan B ＝2c 3b ，所以由正弦定理，得1＋sin A cos B cos A sin B ＝sin (A ＋B )cos A sin B ＝2sin C
3sin B
. 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin C ， 所以sin C cos A sin B ＝2sin C
3sin B ，
所以cos A ＝
32，故A ＝π
6
. (2)因为A ＋B ＋C ＝π，A ＝π6，所以B ＋C ＝5π
6.
所以y ＝2sin 2B －2sin Bcos C ＝1－cos 2B －2sin Bcos ⎝⎛⎭⎫5π6－B ＝1－cos 2B ＋3sin Bcos B －sin 2B ＝1－cos 2B ＋
32sin 2B －12＋1
2
cos 2B ＝12＋32sin 2B －1
2cos 2B ＝sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6＋1
2. 又△ABC 为锐角三角形， 所以π3<B <π2⇒π2<2B －π6<5π6，
所以1
2
<sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6<1， 所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6＋12∈⎝⎛⎭⎫1，32. (3)法一：选择①②，可确定△ABC . 因为A ＝π
6，a ＝1,2c －(3＋1)b ＝0，
由余弦定理，得12＝b 2＋⎝
⎛⎭
⎪⎫3＋12b 2－2b ·3＋12b ·32，
整理得b 2＝2，b ＝2，c ＝
6＋22
， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝1
2×2×6＋22×12＝3＋14.
法二：选择①③，可确定△ABC .
因为B ＝π4，所以C ＝7π
12
.
又sin 7π12＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋cos π4sin π
3＝6＋24， 故由正弦定理得c ＝a sin C
sin A ＝1×sin
7π
12sin π6＝6＋22
，
所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×6＋22×2
2＝3＋14.。