黑龙江省双鸭山一中高二上期末数学试卷理科

2016-2017学年黑龙江省双鸭山一中高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（包括12个小题，每小题5分，共60分）
1．某校150名教职工中，有老年人20个，中年人50个，青年人80个，从中抽取30个作为样本．
①采用随机抽样法：抽签取出30个样本；
②采用系统抽样法：将教工编号为00，01，…，149，然后平均分组抽取30个样本；
③采用分层抽样法：从老年人，中年人，青年人中抽取30个样本．
下列说法中正确的是（）
A．无论采用哪种方法，这150个教工中每一个被抽到的概率都相等
B．①②两种抽样方法，这150个教工中每一个被抽到的概率都相等；③并非如此C．①③两种抽样方法，这150个教工中每一个被抽到的概率都相等；②并非如此D．采用不同的抽样方法，这150个教工中每一个被抽到的概率是各不相同的
2．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（）A．（﹣1，0） B．（1，0）C．（0，﹣1） D．（0，1）
3．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）
A．588 B．480 C．450 D．120
4．将号码分别为1，2，3，4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a﹣2b+4＜0成立的事件发生的概率为（）A．B．C．D．
5．平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量、、两两的夹角均为60°，且||=1，||=2，||=3，则||等于（）
A．5 B．6 C．4 D．8
6．如图给出的是计算…的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（）
A．i＞10 B．i＜10 C．i＞11 D．i＜11
7．已知直线y=k（x+1）（k＞0）与抛物线C：y2=4x相交于A、B两点，F为抛物线C 的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）
A．B．C．D．
8．正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为（）
A．B．C．D．
9．执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．直线3x﹣4y+4=0与抛物线x2=4y和圆x2+（y﹣1）2=1从左到右的交点依次为A、B、C、D，则的值为（）
A．16 B．4 C．D．
11．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）A．B．C．D．
12．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，M为抛物线C的准线与x轴的交点，若，则|AB|=（）
A．4 B．8 C．D．10
二、填空题（包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．用秦九韶算法求多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4的值时，V4的值为．
14．在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知O（0，0，0），A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2），点Q在直线OP上运动，当•取最小值时，点Q的坐标是．15．将一颗骰子投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax﹣by=0与圆（x﹣2）2+y2=2相交的概率为．
16．已知F是抛物线E：y2=4x的焦点，过点F的直线交抛物线E于P，Q两点，线段
PQ的中垂线仅交x轴于点M，则使|MF|=λ|PQ|恒成立的实数λ=．
三、解答题（包括6个小题，共70分）
17．从某企业生产的某种产品中随机抽取100件，测量这些产品的某项质量指标，由测量结果得到如下频数分布表：
质量指标值分组[75，85）[85，95）[95，105）[105，115）[115，125）频数62638228
（1）在图中作出这些数据的频率分布直方图；
（2）估计这种产品质量指标值的平均数、中位数（保留2位小数）；
（3）根据以上抽样调査数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
18．在一次“知识竞赛”活动中，有A1，A2，B，C四道题，其中A1，A2为难度相同的容易题，B为中档题，C为较难题．现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答．
（Ⅰ）求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率；
（Ⅱ）求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率．
19．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上．（Ⅰ）求异面直线D1E与A1D所成的角；
（Ⅱ）若二面角D1﹣EC﹣D的大小为45°，求点B到平面D1EC的距离．
20．某同学在生物研究性学习中想对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
日期4月1日4月7日4月15日4月21日4月30日温差x/°C101113128
发芽数y/颗2325302616（1）从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均不小于25的概率．
（2）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y关于x的线性回归方程；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？
（参考公式：，）
21．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D 为AC的中点．
（Ⅰ）求证：AB1∥面BDC1；
（Ⅱ）求二面角C1﹣BD﹣C的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP⊥面BDC1？并证明你的结论．
22．椭圆C：的左右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值．
2016-2017学年黑龙江省双鸭山一中高二（上）期末数学试卷
（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（包括12个小题，每小题5分，共60分）
1．某校150名教职工中，有老年人20个，中年人50个，青年人80个，从中抽取30个作为样本．
①采用随机抽样法：抽签取出30个样本；
②采用系统抽样法：将教工编号为00，01，…，149，然后平均分组抽取30个样本；
③采用分层抽样法：从老年人，中年人，青年人中抽取30个样本．
下列说法中正确的是（）
A．无论采用哪种方法，这150个教工中每一个被抽到的概率都相等
B．①②两种抽样方法，这150个教工中每一个被抽到的概率都相等；③并非如此C．①③两种抽样方法，这150个教工中每一个被抽到的概率都相等；②并非如此D．采用不同的抽样方法，这150个教工中每一个被抽到的概率是各不相同的
【考点】系统抽样方法；简单随机抽样；分层抽样方法．
【分析】根据随机抽样、系统抽样、分层抽样，每个个体被抽到的概率都是解答．【解答】解：∵采用随机抽样、系统抽样、分层抽样，每个个体被抽到的概率都是，∴①②③种抽样方法中，每个教职工被抽到的概率相等．
故选：A．
2．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（）A．（﹣1，0） B．（1，0）C．（0，﹣1） D．（0，1）
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】利用抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），求得=1，即可求出抛物线焦点坐标．
【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），
∴=1，
∴该抛物线焦点坐标为（1，0）．
故选：B．
3．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）
A．588 B．480 C．450 D．120
【考点】频率分布直方图．
【分析】根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求．
【解答】解：根据频率分布直方图，成绩不低于60（分）的频率为
1﹣10×（0.005+0.015）=0.8，
可估计该该模块测试成绩不少于60分的学生人数为
600×0.8=480（人）．
故选：B．
4．将号码分别为1，2，3，4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a﹣2b+4＜0成立的事件发生的概率为（）A．B．C．D．
【考点】几何概型．
【分析】每次摸出的号码（a，b）共有4×4=16 个，满足a﹣2b+4＜0的共有4个，由
此使不等式a﹣2b+4＞0成立的事件发生的概率．
【解答】解：每次摸出的号码（a，b）共有4×4=16 个，分别为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）
其中满足a﹣2b+4＜0的共有（1，3）（1，4）（2，4）（3，4）共4个
故使不等式a﹣2b+4＜0成立的事件发生的概率为：P==，
故选：C．
5．平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量、、两两的夹角均为60°，且||=1，||=2，||=3，则||等于（）
A．5 B．6 C．4 D．8
【考点】向量在几何中的应用．
【分析】由题设知=，故=（）2，由此能求出||．【解答】解：如图，∵平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，
向量、、两两的夹角均为60°，
且||=1，||=2，||=3，
∴=，
∴=（）2
=+++2+2+2
=1+4+9+2×1×2×cos60°+2×1×3×cos60°+2×2×3×cos60°
=25，
∴||=5．
故选A．
6．如图给出的是计算…的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（）
A．i＞10 B．i＜10 C．i＞11 D．i＜11
【考点】循环结构．
【分析】要计算的值，由S=S，推出最后一次进行循环时的条件为i=10，当i＞10应退出循环输出S的值，由此不难得到判断框中的条件．
【解答】解：∵S=，并由流程图中S=S
循环的初值为1，
终值为10，步长为1，
所以经过10次循环就能算出S=的值，
故i≤10，应不满足条件，继续循环
所以i＞10，应满足条件，退出循环
判断框中为：“i＞10？”．
故选A．
7．已知直线y=k（x+1）（k＞0）与抛物线C：y2=4x相交于A、B两点，F为抛物线C 的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）
A．B．C．D．
【考点】直线与圆锥曲线的关系．
【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，进而可知|OB|=|AF|，由此求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．
【解答】解：抛物线C：y2=4x的准线为l：x=﹣1，直线y=k（x+1）（k＞0）恒过定点P（﹣1，0），
如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，
由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则|OB|=|AF|，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为，
故点B的坐标为（，）
∵P（﹣1，0），
∴k==
故选B．
8．正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为（）
A．B．C．D．
【考点】直线与平面所成的角．
【分析】先证出B1D⊥平面AC1，过A点作AG⊥CD，证AG⊥平面B1DC，可知∠ADG 即为直线AD与平面B1DC所成角，求其正弦即可．
【解答】解：如图，连接B1D
∵D是A1C1的中点，△A1B1C1是正三角形
∴B1D⊥A1C1，
∵平面AC1⊥平面A1B1C1，平面AC1∩平面A1B1C1=A1C1，
∴B1D⊥平面AC1，
过A点作AG⊥CD，则由B1D⊥平面AC1，得AG⊥B1D
由线面垂直的判定定理得AG⊥平面B1DC，
于是∠ADG即为直线AD与平面B1DC所成角，
由已知，不妨令棱长为2，则AD==CD，
由等面积法得AG==
所以直线AD与面DCB1的正弦值为
故选B．
9．执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】程序框图的三种基本逻辑结构的应用；简单线性规划．
【分析】算法的功能是求可行域内，目标函数S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，得出最大值．
【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的
最大值，
画出可行域如图：
当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2．
故选：C．
10．直线3x﹣4y+4=0与抛物线x2=4y和圆x2+（y﹣1）2=1从左到右的交点依次为A、
B、C、D，则的值为（）
A．16 B．4 C．D．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】由已知圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，抛物线x2=4y的焦点为（0，1），直线3x ﹣4y+4=0过（0，1）点，则|AB|+|CD|=|AD|﹣2，因为，有4y2﹣17y+4=0，由此能够推导出．
【解答】解：由已知圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，
抛物线x2=4y的焦点为（0，1），
直线3x﹣4y+4=0过（0，1）点，
则|AB|+|CD|=|AD|﹣2，
因为，
有4y2﹣17y+4=0，
设A（x1，y1），D（x2，y2），
则y1+y2=，
则有|AD|=（y1+y2）+2=，
故=，
故选C．
11．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）A．B．C．D．
【考点】几何概型．
【分析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，要满足条件须|x﹣y|≤2，作出其对应的平面区域，由几何概型可得答案．
【解答】解：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，
由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，
它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x﹣y|≤2，
由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，
由图可知所求的概率为：=
故选C
12．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，M为抛物线C的准线与x轴的交点，若，则|AB|=（）
A．4 B．8 C．D．10
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】设AB方程y=k（x﹣1），与抛物线方程y2=4x联立，利用tan∠AMB=2，建立k的方程，即可得出结论．
【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），点M（﹣1，0），设直线方程为：y=k（x﹣1），
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵，
∴=2，
化简整理得：2k（x1﹣x2）=2（x1+1）（x2+1）+2y1y2①，
，整理得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，
由韦达定理可知：x1x2=1，x1+x2=，
y1y2=﹣4，
∴①可转化成：2k（x1﹣x2）=2（），
∴x1﹣x2=，
∴=，
∴k=±1，
∴x1+x2=6，
丨AB丨=•=8．
故答案选：B．
二、填空题（包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．用秦九韶算法求多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4的值时，V4的值为220．
【考点】秦九韶算法．
【分析】首先把一个n次多项式f（x）写成（…（（a[n]x+a[n﹣1]）x+a[n﹣2]）x+…+a[1]）x+a[0]的形式，然后化简，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值，求出V4的值．
【解答】解：∵f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6
=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，
∴v0=a6=3，
v1=v0x+a5=3×（﹣4）+5=﹣7，
v2=v1x+a4=﹣7×（﹣4）+6=34，
v3=v2x+a3=34×（﹣4）+79=﹣57，
v4=v3x+a2=﹣57×（﹣4）+（﹣8）=220．
故答案为：220．
14．在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知O（0，0，0），A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2），点Q在直线OP上运动，当•取最小值时，点Q的坐标是（，，）．
【考点】空间向量运算的坐标表示．
【分析】根据题意，设出点Q的坐标，求出•的表达式，计算•取最小值时点Q 的坐标．
【解答】解：根据题意，点Q在直线OP上运动，=（1，1，2）；
设Q（t，t，2t），
∵•=（t﹣1，t﹣2，2t﹣3）•（t﹣2，t﹣1，2t﹣2）
=（t﹣1）（t﹣2）+（t﹣2）（t﹣1）+（2t﹣3）（2t﹣2）
=6t2﹣16t+10，
∴当t==时，•取得最小值．
此时点Q的坐标是（，，）．
故答案为：（，，）．
15．将一颗骰子投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax﹣by=0与圆（x﹣2）2+y2=2相交的概率为．
【考点】直线与圆的位置关系；古典概型及其概率计算公式．
【分析】利用古典概型概率计算公式，先计算总的基本事件数N，再计算事件直线ax ﹣by=0与圆（x﹣2）2+y2=2相交时包含的基本事件数n，最后事件发生的概率为P=【解答】解：∵直线ax﹣by=0与圆（x﹣2）2+y2=2相交，∴圆心到直线的距离
即a＜b
∵设一颗骰子投掷两次分别得到点数为（a，b），则这样的有序整数对共有6×6=36个其中a＜b的有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共5+4+3+2+1=15个，
∴直线ax﹣by=0与圆（x﹣2）2+y2=2相交的概率为P=
故答案为．
16．已知F是抛物线E：y2=4x的焦点，过点F的直线交抛物线E于P，Q两点，线段PQ的中垂线仅交x轴于点M，则使|MF|=λ|PQ|恒成立的实数λ=．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由根据抛物线的定义得：|PQ|=x1+x2+2，由y12=4x1，y22=4x2，相减得，y12﹣y22=4（x1﹣x2），求得直线斜率k，求得直线PQ的方程，代入求得M点坐标，求得|MF|，则=，即可求得λ．
【解答】解：抛物线E：y2=4x的焦点F为（1，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），则根据抛物线的定义得：|PQ|=x1+x2+2，
由y12=4x1，y22=4x2，相减得，y12﹣y22=4（x1﹣x2），
∴k==，
则线段PQ的中垂线的方程为：y﹣=﹣（x﹣），
令y=0，得M的横坐标为2+，又F（1，0），
∴|MF|=，
则=．
|MF|=|PQ|，
故答案为：．
三、解答题（包括6个小题，共70分）
17．从某企业生产的某种产品中随机抽取100件，测量这些产品的某项质量指标，由测量结果得到如下频数分布表：
质量指标值分组[75，85）[85，95）[95，105）[105，115）[115，125）
频数62638228
（1）在图中作出这些数据的频率分布直方图；
（2）估计这种产品质量指标值的平均数、中位数（保留2位小数）；
（3）根据以上抽样调査数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
【考点】极差、方差与标准差；频率分布直方图．
【分析】（1）由已知作出频率分布表，由此能作出作出这些数据的频率分布直方图．（2）由频率分布直方图能求出质量指标值的样本平均数、中位数位．
（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值．由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品80%的规定．
【解答】解：（1）由已知作出频率分布表为：
质量指标
值分组
[75，85）[85，95）[95，105）[105，115）[115，125）频数62638228
频率0.060.260.380.220.08
由频率分布表作出这些数据的频率分布直方图为：
（2）质量指标值的样本平均数为：
=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100，
∵[75，95）内频率为：0.06+0.26=0.32，
∴中位数位于[95，105）内，
设中位数为x，则x=95+×10≈99.74，
∴中位数为99.74．
（3）质量指标值不低于95 的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68．
由于该估计值小于0.8，
故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品80%的规定．
18．在一次“知识竞赛”活动中，有A1，A2，B，C四道题，其中A1，A2为难度相同的容易题，B为中档题，C为较难题．现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答．
（Ⅰ）求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率；
（Ⅱ）求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】（Ⅰ）先列举出所有可能的结果有16个，找出其中事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”包含的基本事件有6个，从而求得甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率．
（Ⅱ）在所有的基本事件中找出事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”包含的基本事件的个数，可得甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率．
【解答】解：由题意可知，甲、乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题，所有可能的结果有16个，
它们是：（A1，A1），（A1，A2），（A1，B），（A1，C），（A2，A1），（A2，A2），（A2，B），
（A2，C），（B，A1），（B，A2），（B，B），（B，C），（C，A1），（C，A2），（C，B），（C，C）．
（Ⅰ）用M表示事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”，
则M包含的基本事件有：（A1，A1），（A1，A2），（A2，A1），（A2，A2），（B，B），（C，C），共有6个．
所以．
（Ⅱ）用N表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”，
则N包含的基本事件有：（B，A1），（B，A2），（C，A1），（C，A2，），（C，B），共有5个．
所以．
19．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上．（Ⅰ）求异面直线D1E与A1D所成的角；
（Ⅱ）若二面角D1﹣EC﹣D的大小为45°，求点B到平面D1EC的距离．
【考点】用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法．
【分析】解法一：（Ⅰ）连结AD1．判断AD1是D1E在平面AA1D1D内的射影．得到异面直线D1E与A1D所成的角．
（Ⅱ）作DF⊥CE，垂足为F，连结D1F，说明∠DFD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角，∠DFD1=45°．利用等体积法，求点B到平面D1EC的距离．
解法二：分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
（Ⅰ）通过向量的数量积为0，即可求异面直线D1E与A1D所成的角；
（Ⅱ）=（0，0，1）为面DEC的法向量，设=（x，y，z）为面CED1的法向量，通过二面角D1﹣EC﹣D的大小为45°，求出x、y、z的关系，结合，求出平面的法向量，利用求点B到平面D1EC的距离．
【解答】解：解法一：（Ⅰ）连结AD1．由AA1D1D是正方形知AD1⊥A1D．
∵AB⊥平面AA1D1D，
∴AD1是D1E在平面AA1D1D内的射影．
根据三垂线定理得AD1⊥D1E，
则异面直线D1E与A1D所成的角为90°．…
（Ⅱ）作DF⊥CE，垂足为F，连结D1F，则CE⊥D1F．
所以∠DFD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角，∠DFD1=45°．于是，易得Rt△BCE≌Rt△CDF，所以CE=CD=2，又BC=1，所以．
设点B到平面D1EC的距离为h，则由于，即f'（x），
因此有CE•D1F•h=BE•BC•DD1，即，∴．…..…
解法二：如图，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．（Ⅰ）由A1（1，0，1），得，
设E（1，a，0），又D1（0，0，1），则．
∵∴，则异面直线D1E与A1D所成的角为90°．…（Ⅱ）=（0，0，1）为面DEC的法向量，设=（x，y，z）为面CED1的法向量，则，
∴z2=x2+y2．①
由C（0，2，0），得，则，即，∴2y﹣z=0②
由①、②，可取，又，
所以点B到平面D1EC的距离．…
20．某同学在生物研究性学习中想对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
日期4月1日4月7日4月15日4月21日4月30日
温差x/°C101113128
发芽数y/颗2325302616
（1）从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均不小于25的概率．
（2）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y关于x的线性回归方程；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？
（参考公式：，）
【考点】回归分析的初步应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（1）用数组（m，n）表示选出2天的发芽情况，用列举法可得m，n的所有取值情况，分析可得m，n均不小于25的情况数目，由古典概型公式，计算可得答案；（2）根据所给的数据，先做出x，y的平均数，即做出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．
（3）根据估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，就认为得到的线性回归方程是可靠的，根据求得的结果和所给的数据进行比较，得到所求的方程是可靠的．【解答】解：（1）用数组（m，n）表示选出2天的发芽情况，
m，n的所有取值情况有（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，
30），
（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（30，26），共有10个
设“m，n均不小于25”为事件A，
则包含的基本事件有（25，30），（25，26），（30，26）
所以，
故事件A的概率为
（2）由数据得，，
，，
由公式，得，
所以y关于x的线性回归方程为
（3）当x=10时，，|22﹣23|＜2，
当x=8时，，|17﹣16|＜2
所以得到的线性回归方程是可靠的．
21．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D 为AC的中点．
（Ⅰ）求证：AB1∥面BDC1；
（Ⅱ）求二面角C1﹣BD﹣C的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP⊥面BDC1？并证明你的结论．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（I）连接B1C，与BC1相交于O，连接OD，我们由三角形的中位线定理，易
得OD∥AB1，进而由线面平行的判定定理得到AB1∥面BDC1；
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面C1BD和平面BDC的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角C1﹣BD﹣C的余弦值；
（Ⅲ）假设侧棱AA1上存在点P，使得CP⊥面BDC1，我们可以设出P点坐标，进而构造方程组，若方程组有解说明存在，若方程组无解，说明满足条件的P点不存在．【解答】证明：（I）连接B1C，与BC1相交于O，连接OD
∵BCC1B1是矩形，
∴O是B1C的中点．
又D是AC的中点，
∴OD∥AB1．
∵AB1⊄面BDC1，OD⊂面BDC1，
∴AB1∥面BDC1．
解：（II）如图，建立空间直角坐标系，则
C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），
D（1，3，0）
设=（x，y，z）是面BDC1的一个法向量，则
即，令x=1
则=（1，，）．
易知=（0，3，0）是面ABC的一个法向量．
∴cos＜，＞=．
∴二面角C1﹣BD﹣C的余弦值为．
（III）假设侧棱AA1上存在一点P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1．则，即
∴方程组无解．∴假设不成立．
∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1．
22．椭圆C：的左右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】（1）把﹣c代入椭圆方程得，解得，由已知过F1且垂直于x 轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，可得．再利用，及a2=b2+c2即可得出；
（2）设|PF1|=t，|PF2|=n，由角平分线的性质可得，利用椭圆的定义可得t+n=2a=4，消去t得到，化为，再根据a﹣c＜n＜a+c，即可得到m的取值范围；
（3）设P（x0，y0），不妨设y0＞0，由椭圆方程，取，利用导数即可得到切线的斜率，再利用斜率计算公式即可得到k1，k2，代入即可证明结论．
【解答】解：（1）把﹣c代入椭圆方程得，解得，
∵过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，∴．
又，联立得解得，
∴椭圆C的方程为．
（2）如图所示，设|PF1|=t，|PF2|=n，
由角平分线的性质可得，
又t+n=2a=4，消去t得到，化为，
∵a﹣c＜n＜a+c，即，也即，解得．
∴m的取值范围；．
（3）证明：设P（x0，y0），
不妨设y0＞0，由椭圆方程，
取，则=，
∴k==．
∵，，
∴=，
∴==﹣8为定值．
2017年2月23日。