高考物理万有引力定律的应用专项训练及答案

高考物理万有引力定律的应用专项训练及答案
一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用
1．“嫦娥一号 ”的成功发射，为实现中华民族几千年的奔月梦想迈出了重要的一步．已知 “嫦娥一号 ”绕月飞翔轨道近似为圆形，距月球表面高度为 H ，飞翔周期为 T ，月球的半径为
R ，引力常量为 G ．求：
(1) 嫦“娥一号 ”绕月飞翔时的线速度大小； (2)月球的质量；
(3)若发射一颗绕月球表面做匀速圆周运动的飞船，则其绕月运转的线速度应为多大．
【答案】 （1）
2 R
H （2）42
R H
3
2 R H
R H （ 3） T
GT 2
T
R
【分析】
（ 1） “嫦娥一号 ”绕月飞翔时的线速度大小
2π(R H )
v 1
．
T
（ 2 ）设月球质量为 M ． “嫦娥一号 ”的质量为 m ．
Mm
2
H )
依据牛二定律得 G
m 4π (R
T 2
(R H)2
2
3
解得 M
4π (R H ) ．
GT 2
（
）设绕月飞船运转的线速度为
Mm 0 V
2
3V ，飞船质量为 m 0 ，则 G
2
m 0
又
R
R
2
3
M 4π (R 2 H ) ．
GT
联立得 V
2π R H
R H
T
R
2． 某航天飞机在地球赤道上空飞翔 ，轨道半径为 r ，飞翔方向与地球的自转方向同样
，设
地球的自转角速度为
ω0，地球半径为 R ，地球表面重力加快度为 g ，在某时辰航天飞机通
过赤道上某建筑物的上方，求它下次经过该建筑物上方所需的时间．
2
t
2
t
gR 2
【答案】
gR 2 或许
r
3
r 2
【分析】
【剖析】
【详解】
试题剖析：依据人造卫星的万有引力等于向心力，列式求出角速度的表达式，卫星再次经过某建筑物的上空，比地球多转动一圈．
解：用ω表示航天飞机的角速度，用m、 M 分别表示航天飞机及地球的质量，则有G Mm mr 2
r 2
航天飞机在地面上，有 G mM
mg R2
联立解得
gR2
r 2
若ω >ω0，即飞机高度低于同步卫星高度，用t 表示所需时间，则ωt－ω0t＝2π2
t
因此gR2
r 2
若ω <ω0，即飞机高度高于同步卫星高度，用t 表示所需时间，则ω0t－ωt＝ 2π2
因此
t gR2．
r2
点晴：此题重点：（1）依据万有引力供给向心力争解出角速度；（2）依据地球表面重力等于万有引力获得重力加快度表达式；（ 3）依据多转动一圈后再次抵达某建筑物上空列式．
3．对某行星的一颗卫星进行观察，运转的轨迹是半径为r 的圆周，周期为T，已知万有引力常量为G．求：
（1）该行星的质量．
（2）测得行星的半径为卫星轨道半径的十分之一，则此行星的表面重力加快度有多大？
【答案】（ 1）M 4 2 r 3（2）g400 2 r
GT 2T2
【分析】
（1）卫星环绕地球做匀速圆周运动，由地球对卫星的万有引力供给卫星所需的向心力．则
有：G Mm
m
4242r 3 r
2
T
2r ，可得 M2
GT
（2）由G Mm mg GM400 2 r
(
12，则得：g100
T 2 r )r2
10
4．某宇航员驾驶宇宙飞船抵达某未知星球表面，他将一个物体以v010m/s 的速度从
h 10m 的高度水平抛出，测得落到星球表面 A 时速度与水平川面的夹角为60 。

已知该星球半径是地球半径的 2 倍，地球表面重力加快度g＝10m/s2。

则：
（1）该星球表面的重力加快度g ' 是多少？
（2）该星球的质量是地球的几倍？
【答案】（ 1）g15m/s2（2）星球质量是地球质量的6倍
【分析】
【详解】
（1）星球表面平拋物体，水平方向匀速运动：
v x v0 10m/s
竖直方向自由落体
v y2g' h (v y2 2 g' h)
（或 v y g t ， h 1
g ' t 2）2
由于
v y
tan3
v x
解得g15m/s2
（2）对地球表面的物体m ，其重力等于万有引力：
M 地 m
mg G
对星球表面的物体m ，其重力等于万有引力：
R地2
M 星 m
mg G
R星2
M 星
M 地
因此星球质量是地球质量的 6 倍
6
5．人类对未知事物的好奇和科学家们的不懈努力，令人类对宇宙的认识愈来愈丰富。

(1)开普勒深信哥白尼的“日心说”，在研究了导师第谷在20 余年中坚持对天体进行系统观察获得的大批精准资料后，提出了开普勒三定律，为人们解决行星运动问题供给了依
照，也为牛顿发现万有引力定律供给了基础。

开普勒以为：全部行星环绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在全部椭圆的一个焦点上。

行星轨道半长轴的三次方与其公转周期的二次方的比值是一个常量。

实质上行星的轨道与
圆十分靠近，在中学阶段的研究中我们按圆轨道办理。

请你以地球绕太阳公转为例，依据
万有引力定律和牛顿运动定律推导出此常量的表达式。

(2)天文观察发现，在银河系中，由两颗相距较近、仅在相互间引力作用下运转的恒星构成的双星系统很广泛。

已知某双星系统中两颗恒星环绕它们连线上的某一点做匀速圆周运动，周期为 T ，两颗恒星之间的距离为 d ，引力常量为 G 。

求此双星系统的总质量。

(3)北京时间 2019 年 4 月 10 日 21 时，由全世界 200 多位科学家合作获得的人类首张黑洞照
片面世，惹起众多天文喜好者的兴趣。

同学们在查阅有关资料后知道：①黑洞拥有特别强的引力，即便以 8
3×10m/s 的速度流传的
光也不可以从它的表面逃逸出去。

②地球的逃逸速度是第一宇宙速度的
2 倍，这个关系对
于其余天体也是正确的。

③地球质量
24
2
2
m e =6.0 × 10kg ，引力常量 G= 6.67 × 101N?- m / kg 。

请你依据以上信息，利用高中学过的知识，经过计算求出：若是地球变成黑洞，在质量不
变的状况下，地球半径的最大值（结果保存一位有效数字）。

（注意：解题过程中需要用
到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必需的说明）
【答案】 (1) r 3
Gm s
4 2 d 3
-3
T
2
4
2
(2)
GT 2
(3)9
×m10
【分析】
【详解】
⑴设太阳质量为 m s ，地球质量为 m e ，地球绕太阳公转的半径为 r 太阳对地球的引力是地球做匀速圆周运动的向心力
依据万有引力定律和牛顿运动定律
G
m s m e
4 2 r 2
m e
2 r
T
解得常量
r 3
Gm s T 2
4 2
⑵设双星的质量分别为 m 1、 m 2 ，轨道半径分别为 r 1、 r 2 依
据万有引力定律及牛顿运动定律
m m
4 2 r 1
G 1 2 2 m 1 2 d T
G
m 1
m
2
m 4 2 r
d 2
2 T 2 2
且有
r 1 +r 2
d
双星总质量
m 总 =m 1
4 2d 3
m 2
2
GT
⑶设地球质量为 m e ，地球半径为 R 。

质量为 m 的物体在地球表面邻近环绕地球飞翔时，环 绕速度为 v 1
由万有引力定律和牛顿第二定律
G
m m
v 2
e
m 1
R 2
R
解得
v
1
Gm
e
R
逃逸速度
2Gm e
v 2
R
若是地球变成黑洞
v 2≥c
代入数据解得地球半径的最大值
-3
R=9× 10m
6． 如下图，
A 是地球的同步卫星，另一卫星
B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度
为 h.已知地球半径为
心．
R ，地球自转角速度为
ω0，地球表面的重力加快度为
g ，O 为地球中
(1)求卫星
B 的运转周期．
(2)如卫星
B 绕行方向与地球自转方向同样，某时辰
A 、
B 两卫星相距近来
(O 、B 、 A 在同一
直线上
)，则起码经过多长时间，它们再一次相距近来？
2
(R + h)3
t
gR
2
【答案】 (1) T B = 2p
(2)
gR 2
( R h)3
【分析】
【详解】
Mm m
4
2
（1）由万有引力定律和向心力公式得
G
2
2
R h ① ， G
Mm
mg ②
R h
T B
R 2
3
联立①②解得 ： T B
R h
③
2
R 2 g
gR2
（2）由题意得B0t 2④ ，由③得B 3 ⑤
R h
2
t
代入④得R2 g
30
R h
7．经过逾 6 个月的飞翔，质量为 40kg 的洞察号火星探测器终于在北京时间2018 年 11 月27 日 03： 56 在火星安全着陆。

着陆器抵达距火星表面高度800m 时速度为60m/s ，在着陆器底部的火箭助推器作用下开始做匀减速直线运动；当高度降落到距火星表面100m 时速度减为 10m/s 。

该过程探测器沿竖直方向运动，不计探测器质量的变化及火星表面的大气
阻力，已知火星的质量和半径分别为地球的十分之一和二分之一，地球表面的重力加快度
为 g = 10m/s2。

求：
(1)火星表面重力加快度的大小；
(2)火箭助推器对洞察号作使劲的大小.
【答案】 (1)g火 =4m/s 2
(2)
F
=260N
【分析】
【剖析】
火星表面或地球表面的万有引力等于重力，列式可求解火星表面的重力加快度；依据运动公式求解着落的加快度，而后依据牛顿第二定律求解火箭助推器对洞察号作使劲.【详解】
（1）设火星表面的重力加快度为g 火，则G M 火m
=mg火r火2
G M 地 m
=mg r地2
解得 g 火=0.4g=4m/s 2
（2）着陆降落的高度： h=h 12
，设该过程的加快度为a，则 v 2
2
12
-h =700m-v=2ah
由牛顿第二定律：mg 火 -F=ma
解得 F=260N
8．某行星表面的重力加快度为g ，行星的质量为M，此刻该行星表面上有一宇航员站在地面上，以初速度v0竖直向上扔小石子，已知万有引力常量为
的要素，求：
G ．不考虑阻力和行星自转
（1）行星的半径R；
（2）小石子能上涨的最大高度．
GM v02
【答案】 (1) R =（ 2）h
g2g
【分析】
（1）对行星表面的某物体，有：mg GMm
-R2
GM
得： R=
g
（2）小石子内行星表面作竖直上抛运动，规定竖直向下的方向为正方向，有：
0v022gh
得：h v02
2g
9．依据我国航天规划，将来某个时候将会在月球上成立基地，若从该基地发射一颗绕月卫
星，该卫星绕月球做匀速圆周运动时距月球表面的高度为h，绕月球做圆周运动的周期为T，月球半径为R，引力常量为G．求：
（1）月球的密度ρ；
（2）在月球上发射绕月卫星所需的最小速度v．
【答案】（ 1）3
(R h)3（2）
2
R h R h GT 2R3T R
【分析】
【详解】
(1)万有引力供给向心力，由牛顿第二定律得：
Mm42
G
( R h) 2m
T 2（ R+h），
解得月球的质量为：M 4 2(R h)3 GT 2
；
则月球的密度为：
M3(R h)3
V GT 2R3
；
（2）万有引力供给向心力，由牛顿第二定律得：
G Mm m v2，
R2R
2 R h
R h ；
解得： v
T R
10．“神舟”十号飞船于 2013 年 6 月 11 日 17 时 38 分在酒泉卫星发射中心成功发射，我国首位 80 后女航大员王亚平将初次在太空为我国中小学生做课，既展现了我国在航天领域的实力，又包括着祖国对我们的殷切希望．火箭点火竖直升空时，处于加快过程，这类状态
下宇航员所受支持力 F 与在地球表面时重力
mg 的比值后 k
F
称为载荷值．已知地球
mg
6
g ＝ 9.8m/s 2
）
的半径为 R ＝ 6.4 ×10m （地球表面的重力加快度为
(1)假定宇航员在火箭刚腾飞加快过程的载荷值为 k ＝ 6，求该过程的加快度；（结论用
g 表
示）
(2)求地球的笫一宇宙速度；
(3) 神“舟 ”十号飞船发射成功后，进入距地面 300km 的圆形轨道稳固运转，估量出
“神十 ”绕
地球飞 行一圈需要的时间．（ 2
π≈g ）
【答案】 (1) a ＝ 5g (2) v 7.92 103 m/s (3) T=5420s
【分析】 【剖析】
(1)由 k 值可得加快过程宇航员所受的支持力，从而还有牛顿第二定律可得加快过程的加快度．
(2)笫一宇宙速度等于环绕地球做匀速圆周运动的速度，此时万有引力近似等于地球表面的重力，而后联合牛顿第二定律即可求出；
(3)由万有引力供给向心力的周期表达式，可表示周期，再由地面万有引力等于重力可得黄金代换，带入可得周期数值．
【详解】
(1)由 k ＝ 6 可知， F ＝ 6mg ，由牛顿第二定律可得： F- mg ＝ma 即： 6mg - mg ＝ ma
解得： a ＝ 5g
(2)笫一宇宙速度等于环绕地球做匀速圆周运动的速度，
2
由万有引力供给向心力得：
mg m
v
R
因此： vgR
9.8 6.4 106 m/s
7.92 103 m/s
(3)由万有引力供给向心力周期表达式可得：
G Mm
m( 2 )2
r 2
T
在地面上万有引力等于重力
： G
Mm
mg
R 2
4
2r
3
4 (6.7 106 )3
s 5420s
解得： T
2
(6.4 6 2 gR
10 )
【点睛】
此题第一要掌握万有引力供给向心力的表达式，这在天体运转中特别重要，其次要知道地
面万有引力等于重力．。