【全国百强校】山东省乐陵市第一中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)

高二数学（文科）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知命题，则为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】全称命题的否定是特称命题，所以命题“”，的否定为“”故选B.
2. 抛物线的焦点坐标是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据抛物线标准方程可得：，所以焦点坐标为
3. 过点且与直线平行的直线方程是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设过点且与直线平行的直线方程为，因为经过，
所求方程为，故选C.
4. 若变量满足约束条件，则的最大值为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】
画出约束条件表示的可行域（如图），，平移直线，由图可知，当直线经过点时，最大，且最大值为，故选C.
5. 函数在点处的切线斜率为（）
A. 0
B. -1
C. 1
D.
【答案】C
【解析】函数的导数为由导数的几何意义，可得
在点处的切线斜率为
故选C．
6. “”是“方程表示双曲线”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若方程表示双曲线，则，解得，则的范围小于，所以“”是方程表示双曲线的充分不必要条件，故选A.
7. 如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位：），可知此几何体的体积是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由三视图可知，该几何体是如下图所示的四棱锥，故体积为.
8. 圆与圆的位置关系为（）
A. 内切
B. 相交
C. 外切
D. 相离
【答案】A
【解析】两圆圆心为，圆心距为；两圆半径分别为，由于，故两圆内切.
9. 设是两条不同直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）
A. 且，则
B. 且，则
C. ，则
D. ，则
【答案】B
【解析】对于A.直线可能平行、相交、异面，不正确；
对于B.由面面垂直的性质可得，正确；
对于C.没有，不正确；
对于D.没有说明是两条相交直线，不对
故选B.
10. 过点引直线与曲线相交于两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当面积取最大值时，曲线相交于两点，为坐标原点，圆心，半径，是等腰直角三角形，，圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，不合题意；当直线的斜率存在时，直线的方程为，圆心
到直线的距离为，解得，，故选B.
11. 设分别是双曲线的左、右焦点.圆与双曲线的右支交于点，
且，则双曲线离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】是双曲线的左、右焦点，圆与双曲线的右支交于点，
所以，，，，，故选D.
【方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据双曲线的定义以及勾股定理关于焦半径和焦距的关系．从而找出之间的关系，求出离心率．
12. 已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点
，若，则三角形面积为（）
A. B. C. 4 D.
【答案】A
【解析】根据抛物线的定义有，依题意可知，，也即
，故.所以的高为，面积为.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分）
13. 若曲线在点处的切线经过坐标原点，则__________．
【答案】2
【解析】,则曲线在点（1,2）处的切线为:,即,把（1,2）代入切线方程得:,故填2.
点睛:函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，过
点P的切线方程为：.求函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程与求函数y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线方程意义不同，前者切线有且只有一条，且方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)，后者可能不只一条．
14. 某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高为6米（如图所示），路面设计是双向车道，车道总宽
为米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽至少应是__________ 米．
【答案】32
【解析】设椭圆方程为，当点在椭圆上时，，解得车辆高度不超过
米，，即拱宽至少，故答案为.
15. 若在上是减函数，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】恒成立，由于，故.
16. 已知圆和两点.若圆上至少存在一点，使得，则
的取值范围__________．
【答案】
【解析】要使，则需以为直径的圆与圆有交点，也即，即，解得.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知圆，直线.
（Ⅰ）当为何值时，直线与圆相切；
（Ⅱ）当直线与圆相交于两点，且时，求直线的方程.
【答案】(1) (2)或
【解析】试题分析：(1)将圆的方程化成标准方程为，
..................试题解析：将圆的方程化成标准方程为，
则此圆的圆心为，半径为．
（1）若直线与圆相切，则有，解得；
（2）过圆心作，则根据题意和圆的性质，
得，解得或，故所求直线方程为或．
18. 如图，已知所在的平面，是的直径，，是上一点，且
，，是中点，为中点.
（Ⅰ）求证：面；
（Ⅱ）求证：面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积.
【答案】(1)见解析(2)见解析（3）
【解析】试题分析：（1）根据直线与平面平行的判定定理可知，只需证与面内一直线平行即可，根据中位线定理可知，又面面，满足定理所需条件；（2）由面面，
则，而是的直径，则，又，则面，由于所以面；（3）根据面，则即为三棱锥的高，将三棱锥的体积转化成三棱锥的体积，
根据锥体的体积公式进行求解即可.
试题解析：（1）证明：在三角形中，是中点，为中点，
∴，平面平面，∴面；
（2）证明：∵面，平面，∴，
又∵是的直径，∴，
又，∴面，
∵，∴面；
（3）∵，∴，
在中，∵，∴，
∴．
【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.
19. 已知函数，且在和处取得极值.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）设函数，是否存在实数，使得曲线与轴有两个交点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) (2)存在，且或时，曲线与轴有两个交点
【解析】【试题分析】（1）利用两个极值点处导数为零列方程组求解出的值.（2）化简得出的表达式，利用导数求函数的单调区间，要使函数与轴有两个交点，则需函数的极大值或极小值为零.由此求得的取值范围.
【试题解析】
（Ⅰ）
因为在和处取得极值，
所以和是的两个根，
则，解得
经检验符合已知条件，故.
（Ⅱ）由题意知
另得，或，
随着变化情况如下表所示：
由上表可知，
又取足够大的正数时，，
取足够小的负数时，，
因此，为使曲线与轴有两个交点，结合的单调性，
得：或
∴或
即存在，且或时，曲线与轴有两个交点.
20. 已知命题直线和直线垂直；命题三条直线
，，将平面划分为六部分.若为真命题，求实数的取值集合.【答案】
【解析】试题分析：真：，，∴或；真：如果这三条直线将平面划分为六部分包括两种情况能够成立，一是过另外两条直线的交点，做出交点坐标代入直线方程，得到的值，二是这条直线与另外两条直线中的一条平行，求出或或，真，可得至少有一个为真，从而可得的取值集合为.
试题解析：真：，，∴或，
真：∵与不平行，
则与平行或与平行或三条直线交于一点，
若与平行，由得，
若与平行，由得，
若三条直线交于一点，由，得，
代入得，
∴真，或或，
∵真，∴至少有一个为真，
∴的取值集合为．
21. 已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）证明：当时，；
（Ⅲ）确定实数的值，使得存在，当时，恒有.
【答案】(1) (2)见解析（3）
【解析】【试题分析】（I）先求函数的定义域，然后求导令导数大于零即可求得函数的递增区间.（II）构造函数，利用导数求得函数在时函数值小于零，由此证得不等式成立.（III）由（II）可知
时不存在.当时，有，则，故也不存在.当时，构造函数
，利用导致证得不等式成立，故.
【试题解析】
（Ⅰ），.
由得解得.
故的单调递增区间是.
（Ⅱ）令，.
则有.
当时，，
所以在上单调递减，
故当时，，即当时，.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，不存在满足题意.
当时，对于，有，则，从而不存在满足题意.
当时，令，，
则有.
由得，.
解得，.
当时，，故在内单调递增.
从而当时，，即，
综上，的取值范围是.
【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，利用导数求参数的取值范围.用导数求单调区间首先要求出函数的定义域，然后对函数求导，通分，令导数等于零，求出极值点后写出单调区间.求极值点大多数可以因式分解求出，无法时可用求根公式求出.
22. 椭圆的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于两点，当直线与轴平
行时，直线被椭圆截得的线段长为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在轴上是否存在异于点的定点，使得直线变化时，总有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) (2)存在定点满足题意
【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率是，直线被椭圆截得的线段长为列方程组求出，从而可得椭圆的标准方程；（2）设直线方程为，由得，
，根据韦达定理及斜率公式可得，令，可
得符合题意.
试题解析：（1）∵，∴，
椭圆方程化为：，由题意知，椭圆过点，
∴，解得，
所以椭圆的方程为：；
（2）当直线斜率存在时，设直线方程：，
由得，，
设，
假设存在定点符合题意，∵，∴，
∴
，
∵上式对任意实数恒等于零，∴，即，∴，
当直线斜率不存在时，两点分别为椭圆的上下顶点，
显然此时，综上，存在定点满足题意．。