电磁场中的能量
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位长度带电量分别为 +、 -，其间充有 r 电介质。
求: ①两柱面间的场强 E；
②电势差 U；
③
单位长度电容 ；④单位
长度贮存能量。
R1 R2
r
解： ①极板间作高为 h 半径为 r 的高斯柱面， 由介质中高斯定理：
D d S q 0
r R1
R2
D2rh h
h
r
D
2r
场强 E D 0r 2 0rr
求相距为r的两个点电荷的互能
令q1不动，而q2从它所在 的位置移到无穷远处，q2
q1
所受的电场力所做的功
Ar r F12 dl
q2
F12
Ar r F12 dl
q1
q2
F12
r
q1q
4 0
2
r
2
r0
dl
q1q2
4 0
dr q1q2
r r 2 4 0r
它们的互能
W12
分布，体密度为e，把连续分布的带电体分割成许 多电荷元，其电量qi=eVi，则有
总静电能 不仅仅是 是相互作
用能
We
1 2
i
e ViU i
We
1 2
eUdV
Vi 0
带电体各部分电荷
(4) 在积分处的总电势
线电荷：We
1 2
eUdl；面 电 荷：We
1 2
eUdS
例1.一均匀带电球面，半径为R，总电量为Q， 求这一带电系统的静电能
2
2
磁能密度：单位体积内的磁能
m
Wm V
1 2
BH
Wm
mdV
1 2
B
HdV
普遍成立
磁能定域在磁场中
两个线圈的磁场能量公式
❖ 电容器 电容 C
储存电能
❖ 线圈
电感 L、M 储存磁能
❖ C、L 、M都只与电容器或线圈的几何尺寸、介质 有关，是交流电路中的元件
❖ 两个线圈的磁场能量公式
Wm
1 2
B
HdV
r31
r12
q3
A3 F3 dl
q2
r23
F13 dl F23 dl
A3
r31
q1q3
4 0r312
r301
dl
r32
q2q3
4 0r322
r302
dl
q3q1 q3q2
4 0r31 4 0r32
再令q1不动，将q2移到无穷远处，电场力所做的功
A2
q1q2
1 2
(B1
B2 ) (H1
H2 )dV
0 2
(H1 H2 ) (H1 H2 )dV
0 2
(H12
H
2 2
2H1
H2 )dV
自感
磁能
互感磁能
例题17：求无限长同轴线单位
长度内的自感系数
❖ 磁场只存在于 R1 r R2区域内
H I
2 r
B
0H
0I 2r
m
1 2
BH
1 2
I
2r
0I 2r
❖ 是否可以断定能量仅局限于空间有电荷的区域？
❖ 以平行板电容器为例说明
板间电压
极板上 的电量
We
1 2
Q0U
1 2
0
SEd
1 2
DESd
1 2
DEV
体积为 V 内的W
电能密度：单位体积内的电能
普遍 适用
We
edV
1 2
D
EdV
能量定域于场中
e
1 2
DE
1 2
D
E
D 0 E
e
1 2
0E 2
例5：同轴电缆由内径为 R1、外径为 R2的两无限 长金属圆柱面构成，单
电荷Q 的固有能等于建立电荷Q 过程外力所作的功。
如图1，导体球电荷由0 开始建立直至Q 的过程中，外力做功
dA Udq qdq
4π 0R
Q qdq
Q2
A
0
4π 0R
8π 0R
q
dq
R
f
即
W固
Q2
8π 0R
图1 建立电荷
2. 电荷系的静电能
设n个电荷组成一个电荷系，将各个电荷从 现有位置彼此分散到无限远处，它们之间的 静电力所做的功定义为电荷系在原来状态的 静电能。也称为相互作用能。
r13
q2
4 0r23
)]
q1
r31
1 2
(q1U1
q2U 2
q3U 3
)
r12
q2
r23
q3
N个点电荷组成的电荷系的相互作用能
W
1 2
n i 1
qiU i
Ui:除点电荷i外其它点电 荷单独存在时qi 所在处 的电势总和
电荷连续分布情 形的静电能
We
1 2
n i1
qiU i
(3)
❖ 将上式推广到电荷连续分布的情形，假定电荷是体
dV
单位长度壳层体积
dV 2π rdr 1
Wm1
R2
I 2
dr
I 2 ln R2
R1 4 π r
4π R1
r dr
R2
圆柱体内部
r R1 ,
H
Ir 2πR12
Wm2
V wm2dV
V
0H 2 dV
2
V
0 I
8π2
2r 2 R12
dV
R1 0
0I 2r 2
8 π2 R12
2rdr
0I 2
q1q2
4 0r
点电荷q1在q2所在的位置产生的电势
故 W12 q2U 2
点电荷q2在q1所在的位置产生的电势
故 W12 q1U1
U2
q1
4 0r
U1
q2
4 0r
合并上两式，W12又可以写成
W12
1 2 (q1U1
q2U 2 )
三个点电荷的互能
q1
令q1、q2不动，而将q3移到无 穷远处，电场力所做的功
近距作用观点与电场相同磁能同样应当定域在磁场中凡磁场不为零处便有相应的磁能能量是磁场的重要属性借助于长直螺线管的特例形式地导出普遍适用的磁场能量密度公式长直螺线管自感自感磁能为dvdv普遍成立磁能定域在磁场中nini电容器电容线圈电感m都只与电容器或线圈的几何尺寸介质有关是交流电路中的元件两个线圈的磁场能量公式dvdv自感磁能互感磁能17磁场只存在于区域内例题例题1717如图同轴电缆中间充以磁介质芯线与圆筒上的电流大小相等方向相反
长度同轴电缆的磁能.
解 磁能一部分储存在圆柱 体和圆桶之间,另一部分储 藏在圆柱体内部
由安培环路定律可求 H
R1 r R2 ,
H I 2π r
则
wm1
1 2
H
2
1 2
( I
2π
r
)2
R2
R1 r R2
w m 1
1 2
( I
2π
r
)2
I
8π 2
2
r
2
Wm1
V wm1dV
V
I
8π2
2
r
2
电磁场的能 量
一.点电荷之间的相互作用能
❖ 定义静电能为零的状态 p.55
设想带电体中的电荷可以无限分割为许多小单 元，最初认为它们分散在彼此相距很远的位置 上，规定这种状态下系统的静电能为零。
——We=0
❖ 静电能We(自能)：
把体系各部分电荷从无限分散的状态聚集成现 有带电体时外力抵抗电场力所做的全部功
rr0 (r
R)
球内距球心为r，厚度为dr 的球壳处的电势
U
R r E1 dl
R E2
dl
6 0
(3R 2
r2)
W 1 Udq 1 R (3R2 r 2 ) 4r 2 dr
2
2 0 60
4 2R5 15 0
带电电容器中贮存能量
电容器带电可看成从一个极板移动电荷到 另一个极板，外力作功使电容器带电。
与电场相同，磁能同样应当定域在磁场中， 凡磁场不为零处便有相应的磁能，能量是磁 场的重要属性
❖ 借助于长直螺线管的特例形式地导出普遍 适用的磁场能量密度公式
磁场能量密度公式
❖ 长直螺线管自感 L 0n2V
自感磁能为
Wm
1 2
LI
2
1 2
0 n 2 I
2V
1 2
(0 nI )(nI )V
1 BHV 1 B HV
移动 dq 作的元功
q
dA udq
极板带电量从 0 到Q
作功
A Q dA Q udq
0
0
q E
dq u
uq
q
C
A
Q 0
udq 0Q
q dq C
1Q2 2C
q E
dq u
外力作功等于电容器能量增量，
W We We0 We 为电容器能量， 单位：焦耳，J。
初态能量
We0 0
We
②极间电压
U 12
E R2
R1
dl
R2
R1
Edr
R2
R1
2 0
r
dr r
ln R2 2 0r R1
③单位长度电容
r
h
R1 R2
r
h 长电容 C h 20rh
U12 ln( R2 / R1 )
单位长度电容
c C 20r
h ln( R2 / R1 ) ④单位长度贮存能量h 长贮存能量0I 2 8 2r 2
例题17
Wm
mdV
1 2
R2 I 0I 2rldr R1 2r 2r
0I 2l R2 dr 1 0l ln R2 I 2 1 LI 2
4 r R1 2 2 R1
2
例 如图同轴电缆,中间充以磁介质,芯线与圆筒上的
电流大小相等、方向相反. 已知 R1, R2 , I , , 求单位
We
1 2
qU
12
1 h ln R2 2 2 0r R1
r
h
R1 R2
r
We
2h 4 0r
ln
R2 R1
单位长度贮存能量
we
We h
2 ln R2 4 0r R1
r
h
R1 R2
r
磁场的能量和能量密度
❖ 线圈建立电流过程中，电源克服感应电动 势所做的功转变成磁能储存在线圈内 ——充磁
❖ 磁能储存在何处？ ❖ 近距作用观点
4 0r21
电场力做的总功等于电荷系初状态时的互能
W
A2
A3
q3q1
4 0r31
q3q2
4 0r32
q1q2
4 0r21
W
A2
A3
q3q1
4 0r31
q3q2
4 0r32
q1q2
4 0r21
1 2
[q1
(
q3 4πε0
r31
q2 )
4 0r21
q2
(
q3
4 0r32
q1
4 0r12
)
q3
(
q1
4 0
1 2
r0S
d
(Ed )2
1 2
r
0
E
2
Sd
1 2
r 0 E 2V
由 D r0E 有
We
1 2
DEV
1 D2
V
2 r0
We
1 2
r 0 E 2V
1 2
EDV
体
1 D2 V
2 r0
电场的能量和能量密度
体 电 荷：We
1 2
eUdV；面 电 荷：We
1 2
eUdS
❖ 从公式看，静电能仅对其中包含电荷的体积或面 积进行，在其他地方，积分等于零
16 π
总磁能 Wm Wm1 Wm2
❖作业：p296 4-60、63、68
下次 习题课
解：以无穷远处为电势零点，带电球面的电
势为
U Q
4 0R
此电荷系的静电能
W
1 2
Udq
1 2
Q
4 0 R
dq
Q
dq Q2
8 0R Q
8 0R
例2.一均匀带电球体，半径为R，所带电量体密度
为 ，求此带电球体的静电能
解：带电球体的电场强度分布为
E1
r 3 0
r0 (r
R)
r E2
R3 3 0 r 2
A’=-A （电场力做功）
❖ 带电体系的总能
设想带电体系由多个带电体组成，则总能包括 每个带电体的自能（W自）和各个带电体之间 的相互作用能（ W互）组成。
❖ 相互作用能W互：
把每个带电体看作一个不可分割的整体，将各 个带电体从无限远移到现在位置所做的功。
A’=-A （电场力做功）
1. 电荷的固有能（自能）
W
1 Q2 2C
最后极板上电压为U
由 Q CU 电容器能量
We
1 CU 2
2
We
1 QU 2
静电场的能量
电容器充电后具有能量，有电荷就伴
生电场，电荷与电场是不可分的，电容器 的能量可以说是电场的能量。
We
1 CU 2
2
以充满介质的平行板电容器为例
C r0S , U Ed
d
We
1 CU 2
2
求: ①两柱面间的场强 E；
②电势差 U；
③
单位长度电容 ；④单位
长度贮存能量。
R1 R2
r
解： ①极板间作高为 h 半径为 r 的高斯柱面， 由介质中高斯定理：
D d S q 0
r R1
R2
D2rh h
h
r
D
2r
场强 E D 0r 2 0rr
求相距为r的两个点电荷的互能
令q1不动，而q2从它所在 的位置移到无穷远处，q2
q1
所受的电场力所做的功
Ar r F12 dl
q2
F12
Ar r F12 dl
q1
q2
F12
r
q1q
4 0
2
r
2
r0
dl
q1q2
4 0
dr q1q2
r r 2 4 0r
它们的互能
W12
分布，体密度为e，把连续分布的带电体分割成许 多电荷元，其电量qi=eVi，则有
总静电能 不仅仅是 是相互作
用能
We
1 2
i
e ViU i
We
1 2
eUdV
Vi 0
带电体各部分电荷
(4) 在积分处的总电势
线电荷：We
1 2
eUdl；面 电 荷：We
1 2
eUdS
例1.一均匀带电球面，半径为R，总电量为Q， 求这一带电系统的静电能
2
2
磁能密度：单位体积内的磁能
m
Wm V
1 2
BH
Wm
mdV
1 2
B
HdV
普遍成立
磁能定域在磁场中
两个线圈的磁场能量公式
❖ 电容器 电容 C
储存电能
❖ 线圈
电感 L、M 储存磁能
❖ C、L 、M都只与电容器或线圈的几何尺寸、介质 有关，是交流电路中的元件
❖ 两个线圈的磁场能量公式
Wm
1 2
B
HdV
r31
r12
q3
A3 F3 dl
q2
r23
F13 dl F23 dl
A3
r31
q1q3
4 0r312
r301
dl
r32
q2q3
4 0r322
r302
dl
q3q1 q3q2
4 0r31 4 0r32
再令q1不动，将q2移到无穷远处，电场力所做的功
A2
q1q2
1 2
(B1
B2 ) (H1
H2 )dV
0 2
(H1 H2 ) (H1 H2 )dV
0 2
(H12
H
2 2
2H1
H2 )dV
自感
磁能
互感磁能
例题17：求无限长同轴线单位
长度内的自感系数
❖ 磁场只存在于 R1 r R2区域内
H I
2 r
B
0H
0I 2r
m
1 2
BH
1 2
I
2r
0I 2r
❖ 是否可以断定能量仅局限于空间有电荷的区域？
❖ 以平行板电容器为例说明
板间电压
极板上 的电量
We
1 2
Q0U
1 2
0
SEd
1 2
DESd
1 2
DEV
体积为 V 内的W
电能密度：单位体积内的电能
普遍 适用
We
edV
1 2
D
EdV
能量定域于场中
e
1 2
DE
1 2
D
E
D 0 E
e
1 2
0E 2
例5：同轴电缆由内径为 R1、外径为 R2的两无限 长金属圆柱面构成，单
电荷Q 的固有能等于建立电荷Q 过程外力所作的功。
如图1，导体球电荷由0 开始建立直至Q 的过程中，外力做功
dA Udq qdq
4π 0R
Q qdq
Q2
A
0
4π 0R
8π 0R
q
dq
R
f
即
W固
Q2
8π 0R
图1 建立电荷
2. 电荷系的静电能
设n个电荷组成一个电荷系，将各个电荷从 现有位置彼此分散到无限远处，它们之间的 静电力所做的功定义为电荷系在原来状态的 静电能。也称为相互作用能。
r13
q2
4 0r23
)]
q1
r31
1 2
(q1U1
q2U 2
q3U 3
)
r12
q2
r23
q3
N个点电荷组成的电荷系的相互作用能
W
1 2
n i 1
qiU i
Ui:除点电荷i外其它点电 荷单独存在时qi 所在处 的电势总和
电荷连续分布情 形的静电能
We
1 2
n i1
qiU i
(3)
❖ 将上式推广到电荷连续分布的情形，假定电荷是体
dV
单位长度壳层体积
dV 2π rdr 1
Wm1
R2
I 2
dr
I 2 ln R2
R1 4 π r
4π R1
r dr
R2
圆柱体内部
r R1 ,
H
Ir 2πR12
Wm2
V wm2dV
V
0H 2 dV
2
V
0 I
8π2
2r 2 R12
dV
R1 0
0I 2r 2
8 π2 R12
2rdr
0I 2
q1q2
4 0r
点电荷q1在q2所在的位置产生的电势
故 W12 q2U 2
点电荷q2在q1所在的位置产生的电势
故 W12 q1U1
U2
q1
4 0r
U1
q2
4 0r
合并上两式，W12又可以写成
W12
1 2 (q1U1
q2U 2 )
三个点电荷的互能
q1
令q1、q2不动，而将q3移到无 穷远处，电场力所做的功
近距作用观点与电场相同磁能同样应当定域在磁场中凡磁场不为零处便有相应的磁能能量是磁场的重要属性借助于长直螺线管的特例形式地导出普遍适用的磁场能量密度公式长直螺线管自感自感磁能为dvdv普遍成立磁能定域在磁场中nini电容器电容线圈电感m都只与电容器或线圈的几何尺寸介质有关是交流电路中的元件两个线圈的磁场能量公式dvdv自感磁能互感磁能17磁场只存在于区域内例题例题1717如图同轴电缆中间充以磁介质芯线与圆筒上的电流大小相等方向相反
长度同轴电缆的磁能.
解 磁能一部分储存在圆柱 体和圆桶之间,另一部分储 藏在圆柱体内部
由安培环路定律可求 H
R1 r R2 ,
H I 2π r
则
wm1
1 2
H
2
1 2
( I
2π
r
)2
R2
R1 r R2
w m 1
1 2
( I
2π
r
)2
I
8π 2
2
r
2
Wm1
V wm1dV
V
I
8π2
2
r
2
电磁场的能 量
一.点电荷之间的相互作用能
❖ 定义静电能为零的状态 p.55
设想带电体中的电荷可以无限分割为许多小单 元，最初认为它们分散在彼此相距很远的位置 上，规定这种状态下系统的静电能为零。
——We=0
❖ 静电能We(自能)：
把体系各部分电荷从无限分散的状态聚集成现 有带电体时外力抵抗电场力所做的全部功
rr0 (r
R)
球内距球心为r，厚度为dr 的球壳处的电势
U
R r E1 dl
R E2
dl
6 0
(3R 2
r2)
W 1 Udq 1 R (3R2 r 2 ) 4r 2 dr
2
2 0 60
4 2R5 15 0
带电电容器中贮存能量
电容器带电可看成从一个极板移动电荷到 另一个极板，外力作功使电容器带电。
与电场相同，磁能同样应当定域在磁场中， 凡磁场不为零处便有相应的磁能，能量是磁 场的重要属性
❖ 借助于长直螺线管的特例形式地导出普遍 适用的磁场能量密度公式
磁场能量密度公式
❖ 长直螺线管自感 L 0n2V
自感磁能为
Wm
1 2
LI
2
1 2
0 n 2 I
2V
1 2
(0 nI )(nI )V
1 BHV 1 B HV
移动 dq 作的元功
q
dA udq
极板带电量从 0 到Q
作功
A Q dA Q udq
0
0
q E
dq u
uq
q
C
A
Q 0
udq 0Q
q dq C
1Q2 2C
q E
dq u
外力作功等于电容器能量增量，
W We We0 We 为电容器能量， 单位：焦耳，J。
初态能量
We0 0
We
②极间电压
U 12
E R2
R1
dl
R2
R1
Edr
R2
R1
2 0
r
dr r
ln R2 2 0r R1
③单位长度电容
r
h
R1 R2
r
h 长电容 C h 20rh
U12 ln( R2 / R1 )
单位长度电容
c C 20r
h ln( R2 / R1 ) ④单位长度贮存能量h 长贮存能量0I 2 8 2r 2
例题17
Wm
mdV
1 2
R2 I 0I 2rldr R1 2r 2r
0I 2l R2 dr 1 0l ln R2 I 2 1 LI 2
4 r R1 2 2 R1
2
例 如图同轴电缆,中间充以磁介质,芯线与圆筒上的
电流大小相等、方向相反. 已知 R1, R2 , I , , 求单位
We
1 2
qU
12
1 h ln R2 2 2 0r R1
r
h
R1 R2
r
We
2h 4 0r
ln
R2 R1
单位长度贮存能量
we
We h
2 ln R2 4 0r R1
r
h
R1 R2
r
磁场的能量和能量密度
❖ 线圈建立电流过程中，电源克服感应电动 势所做的功转变成磁能储存在线圈内 ——充磁
❖ 磁能储存在何处？ ❖ 近距作用观点
4 0r21
电场力做的总功等于电荷系初状态时的互能
W
A2
A3
q3q1
4 0r31
q3q2
4 0r32
q1q2
4 0r21
W
A2
A3
q3q1
4 0r31
q3q2
4 0r32
q1q2
4 0r21
1 2
[q1
(
q3 4πε0
r31
q2 )
4 0r21
q2
(
q3
4 0r32
q1
4 0r12
)
q3
(
q1
4 0
1 2
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d
(Ed )2
1 2
r
0
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2
Sd
1 2
r 0 E 2V
由 D r0E 有
We
1 2
DEV
1 D2
V
2 r0
We
1 2
r 0 E 2V
1 2
EDV
体
1 D2 V
2 r0
电场的能量和能量密度
体 电 荷：We
1 2
eUdV；面 电 荷：We
1 2
eUdS
❖ 从公式看，静电能仅对其中包含电荷的体积或面 积进行，在其他地方，积分等于零
16 π
总磁能 Wm Wm1 Wm2
❖作业：p296 4-60、63、68
下次 习题课
解：以无穷远处为电势零点，带电球面的电
势为
U Q
4 0R
此电荷系的静电能
W
1 2
Udq
1 2
Q
4 0 R
dq
Q
dq Q2
8 0R Q
8 0R
例2.一均匀带电球体，半径为R，所带电量体密度
为 ，求此带电球体的静电能
解：带电球体的电场强度分布为
E1
r 3 0
r0 (r
R)
r E2
R3 3 0 r 2
A’=-A （电场力做功）
❖ 带电体系的总能
设想带电体系由多个带电体组成，则总能包括 每个带电体的自能（W自）和各个带电体之间 的相互作用能（ W互）组成。
❖ 相互作用能W互：
把每个带电体看作一个不可分割的整体，将各 个带电体从无限远移到现在位置所做的功。
A’=-A （电场力做功）
1. 电荷的固有能（自能）
W
1 Q2 2C
最后极板上电压为U
由 Q CU 电容器能量
We
1 CU 2
2
We
1 QU 2
静电场的能量
电容器充电后具有能量，有电荷就伴
生电场，电荷与电场是不可分的，电容器 的能量可以说是电场的能量。
We
1 CU 2
2
以充满介质的平行板电容器为例
C r0S , U Ed
d
We
1 CU 2
2