湖北省宜昌市夷陵区东湖高级中学高三数学理月考试卷含解析

湖北省宜昌市夷陵区东湖高级中学高三数学理月考试卷含解
析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知双曲线的左、右焦点分别为.P为双曲线右支
上任意一点，的最小值为8，则双曲线的离心率的取值范围是（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
D
2. 函数y=f（2x﹣1）的定义域为[0，1]，则y=f（x）的定义域为( )
A．[﹣1，1] B．[，1] C．[0，1] D．[﹣1，0]
参考答案：
A
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据复合函数的定义域之间的关系即可求出函数的定义域．
【解答】解：∵函数y=f（2x﹣1）的定义域为[0，1]，
∴0≤x≤1，则0≤2x≤2，
即﹣1≤2x﹣1≤1，
即函数y=f（x）的定义域为[﹣1，1]．
故选：A．
【点评】本题主要考查函数定义域的求法，利用复合函数之间的关系即可求出函数的定义域．
3. 已知x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值是
A. B. C. D. 参考答案：
B
4. 已知实数满足则的最大值是．
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
5. 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。

现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）
A. 6
B. 7
C. 8
D.9
参考答案：
C
设从高二应抽取人，则有，解得，选C.
6. 已知，则函数与函数的图象可能是（）.
参考答案：
B
7. 为了调查你们学校高中学生身高分布情况，假设你的同桌抽取的样本容量与你抽取的样本容量相同且抽样方法合理，则下列结论正确的是
A．你与你的同桌的样本频率分布直方图一定相同
B．你与你的同桌的样本平均数一定相同
C．你与你的同桌的样本的标准差一定相同
D．你与你的同桌被抽到的可能性一定相同
参考答案：
D
8. 若集合A={x|x2﹣6x≤0，x∈N*}，则{x|∈N*，x∈A}中元素的个数（）
A．3个B．4个C．1个D．2个
参考答案：
A
【考点】集合的表示法．
【专题】集合思想；综合法；集合．
【分析】先求出集合A中的元素，从而求出集合{x|∈N*，x∈A}中的元素即可．
【解答】解：集合A={x|x2﹣6x≤0，x∈N*}={1，2，3，4，5，6}，
x=1时： =4，
x=2时： =2，
x=4时： =1，
则{x|∈N*，x∈A}中元素的个数是3个，
故选：A．
【点评】本题考察了集合的表示方法，是一道基础题．
9. 若双曲线的左、右焦点分别为，线段被抛物线的焦点分成5：3两段，则此双曲线的离心率为
A. B. C. D.
参考答案：
A
10. 设复数(i为虚数单位)，则Z的虚部是A．－1 B．1 C．－i D．i
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设，，…，是各项不为零的（）项等差数列，且公差．将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，
（1）若，则= ；（2）所有数对所组成的集合为
_____________．
参考答案：
（1）-4,1；（2）
12. 已知G为△ABC的重心，令，，过点G的直线分别交AB、AC于P、Q两点，且
，，则= ．
参考答案：
3
考点：平面向量的基本定理及其意义．
专题：平面向量及应用．
分析：显然，根据G点为重心，从而可以用表示，而和共线，从而
，而已知，从而会最后得到关于的式子：
，从而得到，两式联立消去x即可求出答案．
解答：解：如图，
=；
∴；
G 为△ABC 的重心；
∴
，
；
∴；
整理得，；
∴
；
消去x 得，
；
∴
．
故答案为：3．
点评： 考查向量加法、减法的几何意义，共线向量基本定理，重心的性质：重心到顶点距离是它到对边中点距离的2倍，以及向量加法的平行四边形法则，向量的加法、减法运算，平面向量基本定理．
13. 若f （x ）=x 2+ax+b （a ，b ∈R ），x ∈[﹣1，1]，且|f （x ）|的最大值为，则
4a+3b= ．
参考答案：
﹣
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据x 的范围以及函数的最大值得到关于a ，
b 的不等式组，求出a ，b 的值即可．
【解答】解：若|f （x ）|的最大值为， |f （0）|=|b|≤，﹣≤b≤①， 同理﹣≤1+a+b≤②， ﹣≤1﹣a+b≤③， ②+③得：﹣≤b≤﹣④，
由①、④得：b=﹣，
当b=﹣时，分别代入②、③得：
?a=0，
故4a+3b=﹣， 故答案为：﹣．
【点评】本题考查了二次函数的性质，考查不等式问题，是一道中档题． 14. 若函数f(x)＝x ＋asin x 在R 上递增，则实数a 的取值范围为______．
参考答案：
[-1,1]
15. 函数
的定义域是 .
参考答案：
16. 已知函数y =g （x ）的图象由f （x ）=sin 2x 的图像向右平移（0<<）个单位得到，这两个函数的部分图象如图所示，则= ▲ ．
参考答案：
17. 已知△ABC面积S和三边a，b，c满足：S=a2﹣（b﹣c）2，b+c=8，则△ABC面积S的最大值
为．
参考答案：
【考点】HR：余弦定理．
【分析】利用三角形面积公式变形出S，利用余弦定理列出关系式，代入已知等式计算即可求出S的最大值．
【解答】解：∵a2=b2+c2﹣2bccosA，即a2﹣b2﹣c2=﹣2bccosA，S△ABC=bcsinA，
∴分别代入已知等式得： bcsinA=2bc﹣2bccosA，即sinA=4﹣4cosA，
代入sin2A+cos2A=1得：cosA=，
∴sinA=，
∵b+c=8，
∴c=8﹣b，
∴S△ABC=bcsinA=bc=b（8﹣b）≤?（）2=，当且仅当b=8﹣b，即b=4时取等号，
则△ABC面积S的最大值为．
故答案为：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知矩阵A=，向量．求向量，使得A2=．
参考答案：
∵A=，∴A2==，
设=，则，
∴=，∴，
解得x=﹣1，y=2，∴．
略
19. 已知数列与，若且对任意正整数满足数列的前项和
．
（1）求数列的通项公式；（5分）
（2）求数列的前项和（7分）
参考答案：
(1) (2) 解析：解：（1）由题意知数列是公差为2的等差数列又因为所以 --2分
当时，；
当时，
对不成立
所以，数列的通项公式 -------------3分
（2）时，
时，
所以
仍然适合上式
综上，--------------------------7分
略
20. (本小题满分14分)图1是某斜拉式大桥图片，为了了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进行了简化，取其部分可抽象成图2所示的模型，其中桥塔、
与桥面垂直，通过测量得知，，当为中点时，.
（
1）求
的长；
（2）试问在线段的何处时，达到最大.
图1
参考答案：
(1)设，，，则，，
由题意得，，解得.………………………6分
（2）设，则，，
，………8分
，，即为锐角，
令
21. （本小题满分12分）已知集合A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x<-1或x>5}。

(1) 若A∩B＝Φ，求a的取值范围； (2) 若A∪B＝B，求a的取值范围。

参考答案：
解，（1）要使A∩B＝Φ，则需满足下列不等式组，
解此不等式组得，
即的取值范围是……………6分
（2）要使A∪B＝B，即A是B的子集，则需满足，
解得，即的取值范围是……………12分
略
22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，）. 以坐标原点为
极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（且两种坐标系取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为
．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A、B两点，若16，求角的取值范围．
参考答案：
（1）∵，∴，∴，……………（2分）
即. 故曲线C的直角坐标方程为. ………………………………（4分）
（2）将直线的参数方程代入曲线C中得，
∴，由题意，
……………（6分）
∴，……………（7分）
∴，∴且，
又，∴角的取值范围为或. ………………………………（10分）。