高中数学：3.1.2函数的极值(二)教案(北师大选修2-2)

函数的极值
教课过程：
一、创建情形，导入新课
1、经过上节课的学习，导数和函数单一性的关系是什么？（发问学生回答）
2、察看图 1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h 随时间 t 变化的函数h(t) =-4.9t2+6.5t+10的图象，回答以下问题：
（ 1
）在
点
t=a
附
近
的
图
象有什么特色？
（2）函数在 t=a 处的函数值和邻近函数值之间有什么关系？
（3）在点 t=a 邻近的导数符号有什么变化规律？
（4）函数在 t=a 处的导数是多少？
共同概括 : 函数 h(t) 在 a 点处 h/ (a)=0,在 t=a 的邻近 , 当 t ＜a 时 , 函数h t单一递加 , h't＞0; 当 t ＞ a 时, 函数h t单一递减 , h't ＜0,即当t在a的邻近从小到大经过 a 时 ,
' t '/
h先正后负 , 且h t连续变化 , 于是 h (a)=0.
3、察看以下函数的图像，回答以下问题。

单一递减
单一递加
a
o
b f , (x)0
f , (x)0
f , (a)0
问题同上（略）学生议论回答。

4、关于这一案例是这样，对其余的连续函数是否是也有这类性质呢？
二、函数极值观点的形成
1、极大值：一般地，设函数 f(x)在点 a 邻近有定义，假如对 a 邻近的全部的点，都有 f(x)＜f(a)，
f , (a)0 且在点x=a邻近的左边 f , ( x)0 ，右边 f , ( x)0 就说f(a)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值 =f(a)， a 是极大值点
2、极小值：模仿极大值的定义让学生自己写出来。

3、极大值与极小值统称为极值
在定义中，获得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值
注：观点解说完，在剖析观点的时候分别从 f(a)和他邻近函数值的大小，以及 x=a 处的导数值和邻近导数符号的正负加以剖析。

三、加强观点、例题分析
（一）、给出图象，找出图中的极值点。

（以幻灯片的形式给出图像）经过察看图像得出结论结论：（1）函数的极值不是独一的；
（ 2）极大值未必大于极小值；
（ 3）区间的端点不可以成为极值点 例 1．（课本例 4）求 f
x
1 x 3 4x 4
3
的极值
解：
由于 f
x
1 x 3 4x 4 ，所以
3
f ' x
x 2 4 ( x 2)( x 2) 。

令 f '
x
0 ，得 x
2, x
2
下边分两种状况议论：
（ 1）当 f '
x >0,即 x
2 ，或 x
2 时；（ 2）当 f ' x <0,即 2
x 2时 .
当 x 变化时，
f ' x ， f
x 的变化状况以下表：
x ,2
— 2 y
+ 0
y
↗
极大值
所以， f 极大值 ( x) = f ( 2)
28 ；
3
f 极小值 (x) = f (2)
4 。

3
(-2,2) 2
2,
－
+
28
4 ↘ 极小值
↗
3
3
y
1
f(x)= 3 x 3
-4x+4
函数 f x
1 x 3 4x 4 的图像以下图。

3
2
（二）、稳固练习：
-2
O
x
1．求以下函数的极值
(1) f ( x) = 6 x 2 3-
x - 2;
(2) f (x) = x 3 - 27x; （3）函数 y x 的极值点为 x=0
解 : ((1)略 )
（ 2）： y ′=(x 3－ 27x)′ =3x 2－ 27=3(x+3)(x －3)
令 y′ =0，解得 x1=－3 ，x2=3.
当 x 变化时， y′， y 的变化状况以下表 .
x, 3-3(-3,3)33,
y+0－0+
y↗极大值 54↘极小值 -54↗
∴当 x=－ 3 时， y 有极大值，且y 极大值 =54.
当 x=3 时， y 有极小值，且 y 极小值 =－ 54
例 2 设f ( x)ax3bx2cx ，在x1 和 x 1 处有极值，且 f ( 1) =－ 1,求a， b ，c的值，并求出函数的极值。

解： f '( x) 3ax22bx c ，∵x 1 是函数的极值点，则－1,1是方程 f '(x)0 的根，即有
1
2b
1
b 01
3a?，又 f (1) 1 ，则有 a b c 1 ，由上述三个方程可知a0 ，c
，b
1
c3a2 3a
c 3
，此时，函数的表达式为 f ( x) 1 x3
3
x ，∴ f '( x) 3 x2
3
，令 f '( x)0 ，得 x 1 ，22222
当 x 变化时， f '(x)，f (x)的变化状况表：
x,1-1(-1,1)11,
y+0－0+
y↗极大值↘极小值↗
1－ 1
由上表可知，f
极大值
(
13
1 ， f 极大值(1)
13
1)
22
1
22
（ 3）错误（经过图象法或求极值的步骤去说明）结论：导数值为0 的点是该点为极值点的必要不充足条件
2总结求函数极值的方法（让学生回答，而后教师总结，以幻灯片的形式给出）
3（增补习题）
y f (x) 的图象,试找出函数y=f(x)的极值点
以下图是导函数，并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点 .
y f (x)
y
O
x3
X24
x6
a x1X4 x5b
四、概括总结：
1．极值
（ⅰ）极值是一个局部观点由定义，极值不过某个点的函数值与它邻近点的函数值比较是大或小；其实不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

（ⅱ）函数的极值不是独一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值能够不只一个
（ⅲ）极大值与极小值之间无确立的大小关系。

即一个函数的极大值未必大于极小值。

2.鉴别 f(x0)是极大、极小值的方法 :
3.求可导函数 f(x)的极值的步骤 :
(1)确立函数的定义区间，求导数f′ (x)
(2)求方程 f′ (x)=0 点（一阶导数为 0 的 x 的值）
(3)列表，并经过表格求出函数的极值。

五、课后作业：书籍 P 32 4. 5。