高三第五次月考数学理答案

银川一中高三数学(理)第五次月考
参考答案及评分标准
一、选择题 C ＢＤA Ｂ， ＣＢB ＡＡ，D Ｃ
二.填空题：13. －2; 14. ５ｘ＋ｙ－２＝０; 15.13
22
（-，）, 16．（2，0） 三、解答题：
17．解：（Ⅰ）|m +n |2=22)cos (sin )sin 2(cos A A A A ++-+
)sin (cos 224A A -+=
)4
cos(44π
+
+=A …………3分
∴4)4
cos(44=+
+π
A ∴.0)4
cos(=+
π
A
∵),,0(π∈A ∴4π
=
A ………………5分
（Ⅱ）由余弦定理知：,cos 22
22A bc c b a -+=
即 4
cos 2242)2()24(2
2
2
π
a a a ⨯⨯-+=
解得 24=a ………………8分 ∴c=8 ∴.162
282421=⨯⨯⨯=
∆ABC S …………10分
18.如图，以点D 为原点O ，
有向直线OA 、OC 、OP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，
（1） （1）证明：因为ABCD 是正方形，
所以BC//AD.
因为AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ， 所以BC//平面PAD.……………4分
（2）证明：因为)1,1,0(),0,0,1(),2
1,21,0(-==-=CP CB EF
且,,0,0C CP CB ==⋅=⋅
所以EF ⊥平面PBC ……………8分
（也可以证明平行于平面PBC 的一个法向量）
（3）解：容易求出平面PAB 的一个法向量为).2
1,0,21(=PAB r 及平面PAC 的一个法向量为).1,1,1(=PAB r
因为3||,2
2||,12121===+=⋅PAC PAC PAC PAB r r r r ， 所以,36
6
2,cos =><PAC PAB r r
即所求二面角的余弦值是
3
6
.……………12分
１９．解：(b,c)的所有可能的取值有: (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), 4,6) ,(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), 共36种。

（1） 要使方程x 2+bx+c=0有实根，必须满足△=b 2－4ac ≥0，符合条件的有：
(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)，共19种。

∴ 方程x 2+bx+c=0有实根的概率为19
36
P =。

……………4分 （2） 要使方程x 2+bx+c=0有实根，必须满足△=b 2－4ac=b 2－4c=0，符合条件的有：
(2,1), (4,4), 共2种。

∴ 方程x 2+bx+c=0有实根的概率为21
3618
P =
=。

………8分 （3） 后两次出现的点数中有5的可能结果有：(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,1), (5,2), (5,3),
(5,4), (5,5), (5,6), (6,5), 共11种。

其中使方程x 2+bx+c=0有实根的结果有：(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,5), 共7种。

∴在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程x 2+bx+c=0有实根的概率为7
11
P =。

…………………………12分
20．（本小题满分12分）
解：（1）函数定义域为),1(+∞-
∵1
)
2(2]11)1[(2)(++=
+-
+='x x x x x x f 由010)( 00)(<<-<'>>'x x f x x f 得由得
∴增区间：（0，+∞），减区间：（－1，0） …………6分 （2）由00)(=='x x f 得
↑
↓'+-'-- )( )()1,0()0,11
(x f x f e e x
∵2122)1(,21)11(22
22+>--=-+=-e e e e f e e f ，且
∴2)1()(]1,11[2
max -=-=--∈e e f x f e e x 时，
∴22
->e m 时，m x f <)(恒成立。

…………12分
21．解：（1）2,1,3,22,3
3
22=-===∴==
c a b c a c e 则， 12
32
2=+∴y x 椭圆的方程为， ……………2分
联立),,(),,(,0365:,1,12
3221122
2y x B y x A x x y x y y x 设得消去=--⎪⎩
⎪⎨⎧+-==+
则5
3
,562121-==+x x x x ………4分
5
3
8512)56(24)(])1(1[||2212212=+=-+⋅-+=∴x x x x AB ，（6分）
（2）设),(),,(2211y x B y x A ，
,0)1(2)(1,1,
0,0,2
2222222
222121=-+-+⎪⎩
⎪⎨⎧+-==+=+=⋅∴⊥b a x a x b a y x y b y a x y y x x OB OA OB OA 得消去由即 由1,0)1)((4)2(2
2
2
2
2
2
2
2>+>-+--=∆b a b b a a a 整理得， （8分）
,
01)(2:,0,1)()1)(1(,)
1(,221212121212121212
2222122221=++-=+++-=+-+-=∴+-=+=+x x x x y y x x x x x x x x y y b
a b a x x b a a x x 得由又 012)1(22
222222=++-+-∴b
a a
b a b a ， （9分） ,311137,21134,43121,2141,2221),111(21,1112,,02:2222
2
2222222222222≤-+≤∴≤-≤∴≤-≤∴≤≤∴≤≤-+=∴-+
=-=-==-+e e e e e e
a e a e a a c a
b b a b a 代入上式得
整理得 1,2
3
67222>+≤≤∴b a a 适合条件，
（11分） 由此得,623
42,26642≤≤∴≤≤a a 故长轴长的最大值为.6 （12分）
22．解：（1）111
4n n n n n n n S a S a a S S ---=+-⎧⎨=-⎩⇒13n n a a -=⇒*11
(2,)3n n a n n N a -=≥∈。

∴{a n }是以
1
3
为公比的等比数列。

…………………………3分 （2）由（1）得11()3n n a -=， 则1
1()3
n n b n -=
∴21231 (333)
n n n
T -=++++ ， ……①
∴23112311 (33333)
n n n n n
T --=+++++， ......② ①－②得，2111()211131 (133333313)
n
n n n n
n n T --=++++-=-- ∴211
23911...[1()]3334323n n n n n n
T --=++++=--⋅。

……………………7分
（3）11[(lg3lg )lg ][lg3lg lg()]lg 3
n n n n
n n c t n t a t n n t nt t +=++=++=。

由题意 1n n c c +-＞0 （n=1，2，3，…）恒成立，
即11(1)lg lg (lg )[(1)]n n n
n n c c n t t nt t t n t n t ++-=+-=+-＞0.对任意自然数n 都成立。

∵t ＞0， ∴t n ＞0。

①当t ＞1时，则lgt ＞0，⇒（n+1）t －n ＞0⇒1
t
n t -〉
-对任意n 恒成立， ∴1
1,12
t t t -〉⇒〉- ∴t ＞1。

……………………………………12分.。