2020届江西省红色七校高三第一次联考数学(理)试题(解析版)

2020届江西省红色七校高三第一次联考数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合{
}
2
|230A x x x =-->，集合{|1}B x y x ==-，则()R C A B =
U （ ）
A ．{|13}x x -剟
B ．{}|3x x ≥
C ．{}|1x x ≤-
D ．{}1|x x ≥-
【答案】D
【解析】先解一元二次不等式求出集合A ，根据函数定义域的要求求出集合B ，再通过补集与并集的运算，可得到本题答案. 【详解】
由2230x x -->得1x <-或3x >，从而{}|13R C A x x =-≤≤，由10x -≥，得集合
{|1}B x x =≥，从而(){|1}≥-=U R x x C A B .
故选：D 【点睛】
本题考查了集合的补集与并集的运算，以及一元二次不等式的求解，属于基础题. 2．设复数，则
A ．i
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，代入函数解析式求解． 【详解】 解：
，
．
故选：A ． 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．
3．命题p ：曲线216y x =的焦点为()4,0；命题q ：曲线2241x y -=5
；则下列为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧
C ．()p q ∧⌝
D ．()()p q ⌝∧⌝
【答案】B
【解析】把抛物线方程化为标准方程，可直接写出其焦点坐标；把双曲线方程化为标准方程，可知道,,
a b c并求出其离心率，先判断命题p与命题q的真假，再根据真值表判断复合命题的真假，即可得到本题答案.
【详解】
命题p中，曲线方程可化为2
1 16 =
y x，其焦点坐标为
1
(,0)
64
，所以P为假命题，
p
⌝为真命题；命题q中，曲线方程可化为
2
21
1
4
y
x-=
，对应的
155
1,1,
422
==+===
c
a c e
a
，所以q为真命题，所以p q
⌝∧为真命题.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查复合命题真假性的判断，主要涉及到抛物线的焦点坐标与双曲线的离心率问题，属于基础题.
4．在ABC
∆中，AB AC AB AC
+=-
u u u v u u u v u u u v u u u v
，4
AB=，3
AC=，则BC
uuu v
在CA
u u u v
方向上的投影是（）
A．4 B．3 C．-4 D．-3
【答案】D
【解析】分析：根据平面向量的数量积可得AB AC
⊥
u u u r u u u r
，再结合图形求出BC
uuu r
与CA
u u u r
方向上的投影即可.
详解：如图所示：
Q AB AC AB AC
+=-
u u u v u u u v u u u v u u u v
，
AB AC
∴⋅=
u u u v u u u v
，
∴AB AC
⊥
u u u r u u u r
，
又4
AB=，3
AC=，
BC ∴u u u v 在CA u u
u r 方向上的投影是：
()cos ,cos cos 3BC BC CA BC ACB BC ACB u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
π=-∠=-∠=-，
故选：D.
点睛：本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题.
5．若a ，b ，c ，满足23a =，2log 5b =，32c =，则（ ） A ．c a b << B ．b c a << C ．a b c << D ．c b a <<
【答案】A
【解析】分析：先利用指数函数的单调性确定,a c 的取值范围，再通过对数函数的单调性确定b 的范围，进而比较三个数的大小． 详解：因为2
23(2,2)a
=∈，
所以12a <<， 因为32(1,3)c =∈， 所以01c <<，
又22log 5log 42b =>=， 所以c a b <<．
点睛：本题考查指数函数的单调性、对数函数的单调性等知识，意在考查学生的逻辑思维能力．
6．下表是鞋子的长度与对应码数的关系
如果人的身高()y cm 与脚板长()x cm 呈线性相关且回归直线方程为77.6y x =-.若某人的身高为173，据此模型，估计其穿的鞋子的码数为（ ） A ．40 B ．41
C ．42
D ．43
【答案】C
【解析】把人的身高代入方程77.6y x =-，可求出脚板长，再查表可得到本题的答案.
【详解】
令173=y 代入直线方程77.6y x =-，解得25.8=x ，所以脚板长为25.8()cm ，查表得穿的鞋子的码数应为42. 故选：C 【点睛】
本题主要考查线性回归方程的简单应用，属于基础题.
7．函数3
()x x
x f x e e
-=+（其中e 为自然对数的底数）在[]6,6-的图像大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】利用函数的奇偶性、特殊值以及最大值进行判断排除选项，可得本题的答案. 【详解】
33
()()()+e
-----===-+Q x x
x x x x f x f x e e e ，∴()f x 为奇函数，故其函数图象关于原点对称，故选项D 不正确；显然，当0x >时，()0f x >，故选项C 不正确；当3x =时，
3
333(3)1-=>+f e e
，而选项B 的最大值小于1，故选项B 不正确；所以通过排除法，
可得本题的答案为A. 故选：A 【点睛】
本题主要考查函数图象的识别，充分利用函数的性质去判断是解决本题的关键.
8．在正项数列{}n a 中，12a =，且点()()
*
1ln ,ln n n P a a n N +∈位于直线ln 20
x y -+=上.若数列{}n a 的前n 项和n S 满足200n S >，则n 的最小值为（ ） A ．2 B ．5
C ．6
D ．7
【答案】D
【解析】点P 代入直线方程化简可得{}n a 为等比数列，写出数列的前n 项和公式，解
不等式可得本题的答案. 【详解】
由题意得，1ln ln ln 20+-+=n n a a ，化简得
1
2n n
a a +=，则2()*=∈n n a n N ，所以
2(12)
2(21)12
-==--n n n S ，200>Q n S ，2(21)200∴->n ，得2101>n ，则n 的
最小值为7. 故选：D 【点睛】
本题主要考查等比数列的前n 项和公式以及简单的不等式求解，属于基础题. 9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）
A ．4π
B ．6π
C ．8π
D ．12π
【答案】B
【解析】三棱锥的外接球即为长方体的外接球，求出长方体的外接球表面积，即可得到本题的答案. 【详解】
在长为1，宽为1，高为2的长方体画出该三棱锥的直观图，如图中三棱锥A-BCD.该三
棱锥的外接球即为长方体的外接球，故球的半径2221126
22
R ++==
，所以外接球的表面积22
6446πππ===S R . 故选：B
【点睛】
本题主要考查由三视图还原几何体，以及几何体外接球的表面积计算，难度适中. 10．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2
π
ϕ<图象的一个对称中心为(
3
π
，
0)，其相邻一条对称轴方程为712
x π
=
，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( )
A ．向右平移6
π
个单位长度 B ．向左平移12
π
个单位长度 C ．向左平移6
π
个单位长度 D ．向右平移
12
π
个单位长度
【答案】B
【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式，得出结论． 【详解】
根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+
(其中0A >，)2π
ϕ<
的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
， 可得1A =，
1274123
πππω⋅=-， 解得：2ω=．
再根据五点法作图可得23
π
ϕπ⋅+=，
可得：3
π
ϕ=
，
可得函数解析式为：()sin 2.3f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
故把()sin 23f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象向左平移
12
π
个单位长度， 可得sin 2cos23
6y x x π
π⎛⎫
=++
= ⎪⎝
⎭
的图象， 故选B ． 【点睛】
本题主要考查由函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．
11．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d
c
（,,,a b c d N +∈），则
b d
a c
++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道2.71828e =⋯，若令
2714105
e <<，则第一次用“调日法”后得41
15是e 的更为精确的过
剩近似值，即
2741
1015
e <<，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得e 的近似分数为（ ） A ．
10940
B ．
6825
C ．
197
D ．
8732
【答案】C
【解析】利用“调日法”进行计算到第三次，即可得到本题答案. 【详解】
第一次用“调日法”后得
4115是e
的更为精确的过剩近似值，即27411015
e <<；第二次用“调
日法”后得
6825
是e 的更为精确的过剩近似值，即2768
1025<<e ；第三次用“调日法”后得197是e 的更为精确的不足近似值，即1968725<<e ，所以答案为197
.
故选：C
【点睛】
本题考查“调日法”，主要考查学生的计算能力，属于基础题.
12．若函数()ln f x x a x =在区间()1,+∞上存在零点，则实数a 的取值范围为( )
A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．()0,∞+
D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】利用导数研究函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，当1
2
a ≤时，()f x 在(1,)+∞上为增函数，
且()(1)0f x f >=，即可判断其没有零点，不符合条件；当1
2
a >
时，()f x 在(1,)+∞上先减后增，有最小值且小于零，再结合幂函数和对数函数的增长速度大小关系，即可判断当x 趋于+∞时，()f x 趋于+∞，由零点存在性定理即可判断其必有零点，符合题意，从而确定a 的范围. 【详解】
因为函数()ln f x x a x =，
所以()1
a f x x '==
令()22g x x a =-
，因为()2
g x '==
当(1,)x ∈+∞ 时，10,0>>，所以()0g x '> 所以()g x 在(1,)+∞上为增函数，则()(1)12g x g a >=-，
当120a -≥时，()0g x >，所以()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数， 则()(1)0f x f >=，所以()f x 在(1,)+∞上没有零点. 当120a -<时，即1
2
a >
，因为()g x 在(1,)+∞上为增函数，则存在唯一的0(1,)x ∈+∞，使得0()0g x =，且当0(1,)x x ∈时，()0g x <，当0(,)x x ∈+∞时，
()0g x >；
所以当0(1,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数，当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数，当0x x =时，min 0()()f x f x =，
因为0()(1)0f x f <=，当x 趋于+∞时，()f x 趋于+∞， 所以在0(,)x x ∈+∞内，()f x 一定存在一个零点. 所以
1(,)2
a ∈+∞， 故答案选D. 【点睛】
本题主要考查了导数在函数零点存在性问题中的应用，属于难题.对于零点存在性问题，有两种思考方向：（1）直接利用导数研究函数单调性，结合零点存在性定理，讨论函数零点的情况；（2）先将函数零点问题等价转化为两个函数图像的交点问题，再利用导数，并结合函数图像讨论两函数交点情况，从而确定函数零点的情况.
二、填空题
13．若x ，y 满足0,10,10,y x y x y ≥⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≤⎩
则2z x y =-的最大值为______
【答案】1
【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【详解】
解：由x ，y 满足01010y x y x y ≥⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≤⎩
，作出可行域如图，
联立0
10y x y =⎧⎨
+-=⎩
，解得A （1，0）
函数z ＝x ﹣2y 为y 22
x z
=
-，由图可知，
当直线y 22
x z
=
-过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 的最大值为：1． 故答案为1． 【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 14．6(21)(2)x y x y -++展开式中43x y 的系数为__________． 【答案】-320
【解析】先求6(2)+x y 展开式的通项公式1r T +，再求6
(21)(2)x y x y -++的展开式中含43x y 的项，最后求展开式中43x y 的系数. 【详解】
易知6
(2)+x y 展开式的通项公式为616(2)-+=r r r r T C x y ，所以6(21)(2)x y x y -++的展开式中含43
x y 的项为3336(2)⋅x C x y 与2426(2)(2)-⋅y C x y ，所以
6(21)(2)x y x y -++展开式中43x y 的系数为
332466222160480320⨯-⨯⨯=-=-C C .
故答案为：-320 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，考查学生的运算求解能力.
15．如图所示的程序框图，满足||||2x y +≤的输出有序实数对(),x y 的概率为__________．
【答案】
1
2
【解析】程序框图表示的含义是：正方形内的点出现在阴影部分的概率，求出阴影部分的面积与正方形的面积之比，即可得到本题答案.
【详解】
程序框图表示的含义是：正方形内的点出现在阴影部分的概率，而对应的概率等于阴影部分面积与正方形面积之比，因为3
y x =是奇函数，所以其图象关于原点对称，并且正方形是中心对称图形，故阴影部分面积与正方形面积之比为：1
2
. 故答案为：
12
【点睛】
本题主要考查程序框图和几何概型，画出其对应的图形是解决本题的关键.
16．双曲线2
2
:13
y C x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在C 上且
12tan 43F PF ∠=O 为坐标原点，则||OP =_______．
5【解析】先根据双曲线的焦点三角形公式
122tan
2
θ∆=
F PF b S ，
求出三角形面积，然后求p y ，把p y 代入2
2
13
y
x -=，求得P x ，最后根据勾股定理，可得到本题的答案.
【详解】
设点(,)P p P x y ，12F PF θ∠=，则tan 43θ=22tan
2tan tan 2432
1tan 2
θ
θ
θθ=⋅
=
=-Q ，3tan 2θ∴=
1,3,2===Q a b c ， 1223
3
tan
2
θ
∆∴=
=
=F PF b S P 作x 轴垂线，垂足为M ，则有
12121
||||4||2322
1∆=⨯==F PF F F M PM S P ，所以||3=PM ，即||3=P y ，2
3∴=P
y ，代入22
13
y x -=得，22=P x ，
22
||||||325∴=+=+=OP PM OM . 故答案为：5
【点睛】
本题主要考查双曲线的焦点三角形问题，主要考查学生的计算能力，难度适中.
三、解答题
17．在ABC ∆中，,,A B C 对应的边为,,a b c ，已知1
cos 2
a C c
b +=. （1）求角A 的值；
（2）若4b =，6c =，求cos B 的值. 【答案】（1）3
A π
=
；（2）27
cos B =
【解析】（1）通过正弦定理边角转化以及()sin sin B A C =+可求得角A ； （2）用余弦定理求边a ，再用余弦定理求角B. 【详解】
（1）由条件1cos 2
a C c
b +
=，得1
sin cos sin sin 2A C C B +=，
又由()sin sin B A C =+，得1
sin cos sin sin cos cos sin 2
A C C A C A C +=+.
因为sin 0C ≠，得1cos 2A =
，故3
A π=； （2）在ABC ∆中，Q 4b =，6c =，3
A π
=
，由余弦定理得，
222222cos =4+6-246cos
283
π
=+-⨯⨯=a b c bc A ，故27a =， 所以
22227
cos =
22276
+-==⨯⨯a c b B ac 【点睛】
本题主要考查利用正余弦定理求边角，属于基础题.
18．如图1，梯形ABCD 中，AB CD ∥，过,A B 分别作AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E 、F .2AB AE ==，5CD =，已知1DE =，将梯形ABCD 沿AE ，BF 同侧折起，得空间几何体ADE BCF -，如图2.
（1）若AF BD ⊥，证明：DE ⊥平面ABFE ；
（2）在（1）的条件下，若DE CF ∥，求二面角D AF C --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（23
【解析】（1）先证AF ⊥平面BDE ，得到AF DE ⊥，结合AE DE ⊥，可证得DE ⊥平面ABFE ；
（2）以EA u u u r ，EF u u u r ，EF u u u r
分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，求出面ADF 与面ACF 的法向量，利用夹角公式，求出两法向量夹角的余弦值，由图可知二面角D AF C --为锐角，则它的余弦值为正值，即可得到本题答案. 【详解】
（1）由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2，
在图2中，AF BE ⊥，由已知得AF BD ⊥，BE BD B ⋂=，∴AF ⊥平面BDE ， 又DE ⊂平面BDE ，∴AF DE ⊥，又AE DE ⊥，AE AF A ⋂=，∴DE ⊥平面ABFE . （2）在图2中，由（1）知ED ，EA ，EF 两两垂直，
以E 为坐标原点，以EA u u u r ，EF u u u r ，EF u u u r
分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角
则()2,0,0A ，()0,2,0F ，()0,2,2C ，()0,0,1D ，
()2,2,0AF =-u u u r ，()2,0,1AD =-u u u r ，()0,0,2FC =u u u r
.设平面ADF 的一个法向量为()111,,n x y z =r
，
由00n AF n AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 得1111
22020x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，不妨取1x =，得()1,1,2n =r ，
设平面ACF 的一个法向量为()222,,m x y z =u r
，
由00m AF m FC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 得22222020x y z -+=⎧⎨=⎩，取1x =，得()1,1,0m =u r ，
3
cos ,3||||26
⋅〈〉===
⨯u r r
u r r u r r m n m n m n 由图可得，二面角D AF C --3
【点睛】
本题主要考查线面垂直的证明以及利用向量法求二面角.
19．已知数列{}n a 有0n a ≠，n S 是它的前n 项和，13a =且222
13,2n n n S n a S n -=+≥．
（1）求证：数列{}1n n a a ++为等差数列. （2）求{}n a 的前n 项和n S . 【答案】（1）见解析；（2）()2
3S n n 2
n =
+ 【解析】（1）先化简已知得21()3n n S S n -+=，2
1()3(1)n n S S n ++=+，再求出
1=6n 3n n a a +++，再证明数列{}1n n a a ++为等差数列；（2）对n 分奇数和偶数两种情
况讨论得解.
（1）当2n ≥时，222
21113()()3,0n n n n n n n n n S n a S S S S S n a a ---=+-+=≠， 所以21()3n n S S n -+=，2
1()3(1)n n S S n ++=+，
两式对应相减得13(21)n n a a n ++=+，
所以
11)63(63)6n n n n a a a a n n +-=+-++-=）-(（ 又n=2时，2
222(3+)129,6a a a =+∴= 所以39a =，
所以
2231)69(6+3)6a a a a ++=+-=（）-(， 所以数列{}1n n a a ++为等差数列. （2）当n 为偶数时，
12341()()()3(37(21))n n n S a a a a a a n -=++++++=+++-L L
2(321)3
23()
22
n
n n n +-=⋅=+ 当n 为奇数时，
1231()()
n n n S a a a a a L -=+++++21
(521)
3233(59(21))33(2)3
22
n n n n n -+-=++++-=+=+-+L ()2
3n n 2
=
+ 综上：()2
3S n n 2
n =+ 【点睛】
本题主要考查等差数列性质的证明，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20．随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二
考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计，得到下表：
若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.
（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；
（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为X 元，求X 的分布列与数学期望. 【答案】（1）
9
10
；（2）见解析. 【解析】事件i A 表示男学员在第i 次考科目二通过，事件i B 表示女学员在第i 次考科目二通过（其中1,2,3,4,5i =）（1）这对夫妻是否通过科目二考试相互独立，利用独立事件乘法公式即可求得；（2）补考费用之和为X 元可能取值为400，600，800，1000，1200，根据题意可求相应的概率，进而可求X 的数学期望． 【详解】
事件i A 表示男学员在第i 次考科目二通过，
事件i B 表示女学员在第i 次考科目二通过（其中1,2,3,4,5i =）. （1）事件M 表示这对夫妻考科目二都不需要交补考费.
()()
111121211212P M P A B A B B A A B A A B B =+++ ()()()()
111121211212P A B P A B B P A A B P A A B B =+++ 434131431413954544554554410
=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=. （2）X 的可能取值为400，600，800，1000，1200.
()()33433
400545
P X P A B ===⨯=，
()()
334343600P X P A B B A A B ==+ 41314327
544554100
=⨯⨯+⨯⨯=，
()()
3434334343800P X P A A B B A B B A A B ==++ 1413411
5544544
=⨯⨯⨯+⨯⨯
11311554100
+⨯⨯=， ()()
343434341000P X P A A B B A A B B ==+ 141111137
55445544400
=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，
()()
343411111
12005544400
P X P A A B B ===⨯⨯⨯=
. 则X 的分布列为：
故327114006008005100100EX =⨯+⨯+⨯ 71
10001200510.5400400
+⨯+⨯=(元).
【点睛】
本题以实际问题为素材，考查离散型随机变量的概率及期望，解题时要注意独立事件概率公式的灵活运用，属于基础题. 21．（本小题满分14分）
已知椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，离心率2
2
=
e ，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为.2
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知直线l 与椭圆相交于A B 、两点，且坐标原点O 到直线l 的距离为
AOB ∠的大小是否为定值？若是求出该定值，不是说明理由.
【答案】（Ⅰ）2
212
x y +=（Ⅱ）AOB ∠的大小为定值，且=90AOB ∠o 【
解
析
】
试
题
分
析
：（
I
）
设
椭
圆
方
程
为
).0(12
2
22>>=+b a b y a x ……1分
因为,22
c e a =
=所以
,(,,2c 据题意点在椭圆上则,121
2
22
=+b a c
于
是
.1,12
1
212==+b b
解得 ……4分 因
为
.2,1,1,2222====-=a c b c a c a 则 (5)
分 故
椭
圆
的
方
程
为
.12
22
=+y x ……6分 （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，由坐标原点O 到直线l
((A B A B 或, ∴0OA OB ⋅=u u u r u u u r ,∴=90AOB ∠o
, …
…8分 当直线
l
的斜率存在时，设直线
l
的方程为y kx m =+,
1122(,),(,)A x y B x y , ……9分
∵原点O 到直线l
的距离为
3
=
22
32(1)m k =+（）, ……10分
2
22221,(21)4220.2x y k x kmx m y kx m ⎧+=⎪+++-=⎨⎪=+⎩
由得 ……11分
22222(4)4(21)(22)8(21)km k m k m ∆=-+-=-+,
将（）式代入得22328
=
0=16803
k m +∆>∆+>，或, ……12分
2121222422
,.2121
km m x x x x k k -+=-=++
22121212122222
2
222
()()()2242.212121
y y kx m kx m k x x km x x m m km m k k km m k k k =++=+++---=⋅+⋅+=+++
2222212122222223220212121
m m k m k x x y y k k k ----+=+==+++, ……
13分
∴=90AOB ∠o
综上分析，AOB ∠的大小为定值，且=90AOB ∠o
. ……14分
【考点】本小题主要椭圆标准方程的求解和直线与椭圆位置关系的判断和应用. 点评：解决直线与圆锥曲线的位置关系题目时，如果需要设直线方程，则不要漏掉直线斜率不存在的情况；联立直线方程与圆锥曲线方程后，不要忘记验证判别式大于零. 22．已知函数2
1()43ln 2
f x x x x =
-+. （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若()()()123f x f x f x ==，()123x x x <<，试证：314x x -<. 【答案】（1）单调增区间为()0,1与()3,+∞，减区间为()1,3；（2）见解析
【解析】（1）求导，令()0f x '>，可得增区间，令()0f x '<，可得减区间，要注意函数定义域为()0,∞+；
（2）构造函数()()(2)F x f x f x =--，()0,1x ∈，求导后得，()0F x '>在()0,1上恒成立，即()()(2)F x f x f x =--在()0,1上单调递增，利用函数的单调性可得
()(2)f x f x <-在()0,1上恒成立，因为()()()2112f x f x f x =<-，所以
212x x >-，即122x x +>①；同理，构造函数()()(6)G x f x f x =--，()1,3x ∈，
可证236x x +<②，结合①②，结论可证. 【详解】
（1）由题设知函数()f x 的定义域为()0,∞+且3(1)(3)
()4x x f x x x x
'
--=-+
=
故当(0,1)(3,)x ∈⋃+∞时，()0f x '>；当()1,3x ∈时，()0f x '<； 所以()f x 的单调增区间为()0,1与()3,+∞，减区间为()1,3； （2）由（1）知：123013x x x <<<<<，先证122x x +>. 构造函数()()(2)F x f x f x =--，()0,1x ∈
则2
(1)(3)(1)(1)6(1)()()(2)2(2)
x x x x x F x f x f x x x x x '
'
'
---+-=+-=
+=-- 故()0F x '>在()0,1上恒成立，即()()(2)F x f x f x =--在()0,1上单调递增 所以()(1)0()(2)F x F f x f x <=⇒<-在()0,1上恒成立，
又()10,1x ∈，得()()()2112f x f x f x =<-，又21,2(1,3)x x -∈且函数()f x 在()1,3上单调递减
故212x x >-，即122x x +> ①
再证236x x +<.构造函数()()(6)G x f x f x =--，()1,3x ∈
2
(1)(3)(5)(3)2(3)()()(6)6(6)
x x x x x G x f x f x x x x x '
'
'
-----=+-=+=--
故()0G x '
>在()1,3上恒成立，即()()(6)G x f x f x =--在()1,3上单调递增
所以()(3)0()(6)G x G f x f x <=⇒<-在()1,3上恒成立， 又()21,3x ∈，得()()()3226f x f x f x =<-， 又32,6(3,)x x -∈+∞且函数()f x 在()3,+∞上单调递增 故326x x <-，即236x x +< ② 结合①②得：314x x -< 【点睛】
本题主要考查利用导数求单调区间以及通过构造函数证明不等式，难度较大.
第 21 页共 21 页。