高考聚焦小题——小卷强化训练四十一及参考答案

高考聚焦小题——小卷强化训练四十一
班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________ 一、 填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．
(第2题)
1. 已知复数z ＝3i ＋1
1－i
，则z 的虚部是________．
2. 某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩(均为整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后得到频率分布直方图(如图所示)，则分数在[70，80)内的人数是________．
3. 设幂函数f (x )＝kx α的图象经过点(4，2)，则k ＋α＝________．
4. 将函数f (x )＝sin(ωx －π6)(ω>0)的图象向左平移π
3
个单位长度后，所得图象关于直线
x ＝π对称，则ω的最小值为________．
5. 已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切．若该球的体积为4π
3，则该
三棱柱的体积为________．
6. 设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a n ＞0.若S 6－2S 3＝5，则S 9－S 6的最小值为________．
7. 已知抛物线y 2＝2px (p >0)与双曲线x 2a 2－
y 2
b 2
＝1(a >0，b >0)有相同的焦点F ，A 是两
曲线的一个交点，若直线AF 的斜率为3，则双曲线的离心率为________．
8. 已知点A (3，1)，B (53，2)，且平行四边形ABCD 的四个顶点都在函数f (x )＝log 2
x ＋1
x －1的图象上，则四边形ABCD 的面积为________．
二、 解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
9. (本小题满分14分)
已知△ABC 为锐角三角形，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a 2＋c 2－b 2ac
＝2cos B
sin 2A
.
(1) 求角A 的大小；
(2) 设关于角B 的函数f (B )＝2cos B cos(π
3
－B )＋cos 2B ，求f (B )的值域．
如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是A1D1，B1C1，D1D，C1C的中点．求证：
(1) EF∥平面ABHG；
(2) 平面ABHG⊥平面CFED.
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的离心率为1
2，且过点
(1，3
2)．F 为椭圆的右焦点，A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，连结AF ，BF 分别交椭
圆于C ，D 两点．
(1) 求椭圆的标准方程； (2) 若AF ＝FC ，求
BF
FD
的值；
(3) 设直线AB ，CD 的斜率分别为k 1，k 2，是否存在实数m ，使得k 2＝mk 1？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
已知函数f(x)＝(x－k－1)e x(e为自然对数的底数，e≈2.718 28，k∈R)．
(1) 当x>0时，求f(x)的单调区间和极值；
(2) 若对于任意x∈[1，2]，都有f(x)<4x成立，求k的取值范围．
小卷强化训练四十一
1. 2 解析：复数z ＝3i ＋11－i ＝（3i ＋1）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－2＋4i
2＝－1＋2i ，则z 的虚部是2.
2. 30 解析：由频率分布直方图知小长方形面积为对应区间频率，所有小长方形面积和为1，因此分数在[70，80)内的概率为1－(0.025＋0.015×2＋0.010＋0.005)×10＝0.3，人数是0.3×100＝30.
3. 32 解析：由题意，得k ＝1，4α＝2⇒α＝12，∴ k ＋α＝32
. 4. 12 解析：将f(x)的图象向左平移π3个单位长度后得到函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3ω－π6的图象．因为图象关于直线x ＝π对称，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3ω－π6＝±1，所以4π3ω－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，
即ω＝34k ＋12，k ∈Z ，所以ω的最小值为1
2
.
5. 6 3 解析：设球的半径为R ，则43πR 3＝4π
3
，解得R ＝1，所以三棱柱的高为2，底
面边长为23，体积为V ＝3
4
×(23)2×2＝6 3.
6. 20 解析：S 9－S 6S 6－S 3
＝S 6－S 3S 3，(S 6－S 3)2＝S 3(S 9－S 6)，S 9－S 6＝（S 6－S 3）2S 3＝
（5＋S 3
）2
S 3＝S 3＋25
S 3
＋10≥10＋10＝20，当且仅当S 3＝5时取等号，则S 9－S 6的最小值为20.
7.
7＋2
3
解析：如图，过点A 作AB ⊥l ，垂足为B ，其中l 为抛物线的准线，则直线l 过双曲线的左焦点F 1.因为直线AF 的斜率为3，所以∠BAF ＝60°，且AF ＝AB ，所以△ABF 是等边三角形，所以∠F 1BF ＝30°，所以BF 1＝23c ，BF ＝4c.连结AF 1，则AF 1＝27c.由双曲线的定义可知2a ＝27c －4c ，
所以双曲线的离心率为7＋2
3
.
8. 26
3 解析：根据题意设C ⎝
⎛⎭
⎪⎫x 1，log 2x 1＋1x 1－1
， D ⎝
⎛⎭⎪⎫x 2，log 2x 2＋1x 2－1，则AB →
＝⎝⎛⎭⎫－43，1， DC →＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x 1－x 2，log 2（x 1＋1）（x 2－1）（x 1－1）（x 2＋1）.
∵ AB →＝DC →
，
∴ ⎩
⎪⎨⎪⎧x 1
－x 2＝－4
3 ①，log 2
（x 1
＋1）（x 2
－1）
（x 1
－1）（x 2
＋1）＝1 ②.
由②，得x 1x 2－（x 1－x 2）－1x 1x 2＋（x 1－x 2）－1＝x 1x 2＋43
－1x 1x 2－43
－1
＝x 1x 2＋
13
x 1x 2－
73
＝2，
整理，得x 1x 2＝5，∴ x 1＝5
x 2
.
代入①式解得x 2＝－5
3或3(舍去)，
∴ x 1＝－3，
∴ C(－3，－1)，D ⎝⎛⎭⎫－5
3，－2， ∴ AD →
＝⎝⎛⎭
⎫－143，－3， ∴ |AB →|＝53，|AD →
|＝2773，AB →·AD →＝299
，
∴ cos ∠BAD ＝AB →·AD →
|AB →||AD →
|＝29953×2773＝29
5277，
∴ sin ∠BAD ＝78
5277
，
∴ 四边形ABCD 的面积为S ＝|AB →||AD →
|sin ∠BAD ＝53×2773×785277＝263.
9. 解：(1) 由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 所以cos B ＝a 2＋c 2－b 2
2ac .(2分)
因为a 2＋c 2－b 2ac ＝2cos B sin 2A
，
所以cos B ＝cos B
sin 2A
.(4分)
因为△ABC 为锐角三角形，所以cos B ≠0， 从而sin 2A ＝1.又A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，π2，
故A ＝π
4
.(7分)
(2) f(B)＝2cos B cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3－B ＋cos 2B
＝2cos B ⎝⎛⎭⎫32sin B ＋1
2cos B ＋cos 2B
＝3sin B cos B ＋cos 2B ＋cos 2B
＝3
2sin 2B ＋1＋cos 2B 2
＋cos 2B ＝3⎝⎛⎭⎫12sin 2B ＋3
2cos 2B ＋12
＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2B ＋π3＋1
2.(10分)
由⎩⎪⎨⎪⎧0<B<π
2，0<3π4－B<π2，
得π4<B<π2
，(12分)
从而5π6<2B ＋π3<4π3
，
故－32<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3<1
2，所以－1<f(B)<3＋12，
所以f(B)的值域为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
－1，
3＋12.(14分) 10. 证明：(1) 因为E ，F 分别是A 1D 1，B 1C 1的中点， 所以EF ∥A 1B 1.
在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，A 1B 1∥AB ， 所以EF ∥AB.(3分)
又EF ⊄平面ABHG ，AB ⊂平面ABHG ， 所以EF ∥平面ABHG .(6分)
(2) 在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，CD
平面BB 1C 1C ，
又BH ⊂平面BB 1C 1C ，所以BH ⊥CD ①.(8分)
设BH ∩CF ＝P ，由题意知△BCH ≌△CC 1F ，所以∠HBC ＝∠FCC 1. 因为∠HBC ＋∠PHC ＝90°，所以∠FCC 1＋∠PHC ＝90°， 所以∠HPC ＝90°，即BH ⊥CF ②.(11分) 由①②，又DC ∩CF ＝C ，DC ，CF ⊂平面CFED ， 所以BH ⊥平面CFED. 又BH ⊂平面ABHG ，
所以平面ABHG ⊥平面CFED.(14分)
11. 解：(1) 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a>b>0)，由题意知
⎩
⎨⎧c a ＝12
，1a 2＋9
4b 2
＝1，(2分)
解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，
所以椭圆的标准方程为x 2
4＋y
2
3
＝1.(4分)
(2) 若AF ＝FC ，由椭圆对称性知A ⎝⎛⎭⎫1，32，所以B ⎝⎛⎭⎫－1，－3
2， 此时直线BF 的方程为3x －4y －3＝0. (6分)
由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y －3＝0，x 24＋y 23
＝1，得7x 2－6x －13＝0，解得x ＝13
7
(x ＝－1舍去)，(8分)
故BF FD ＝1－（－1）137
－1＝73
.(10分) (3) 设A(x 0，y 0)，则B(－x 0，－y 0)，
直线AF 的方程为y ＝y 0x 0－1
(x －1)，代入椭圆方程x 24＋y 2
3＝1，
得(15－6x 0)x 2－8y 2
0x －15x 20＋24x 0＝0.
因为x ＝x 0是该方程的一个解，所以点C 的横坐标x C ＝8－5x 05－2x 0. (12分)
又C(x C ，y C )在直线y ＝
y 0
x 0－1(x －1)上，所以y C ＝y 0
x 0－1(x C －1)＝－3y 05－2x 0. 同理，点D 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
8＋5x 05＋2x 0，3y 05＋2x 0. (14分) 所以k 2＝3y 0
5＋2x 0－
－3y 0
5－2x 08＋5x 05＋2x 0－
8－5x 05－2x 0
＝5y 03x 0＝53
k 1，即存在m ＝53，使得k 2＝5
3k 1. (16分)
12. 解：(1) f′(x)＝(x －k)e x ，x ＞0.(2分) ① 当k ≤0时，f ′(x)＞0恒成立，
所以f(x)的递增区间是(0，＋∞)，无递减区间，无极值．(4分) ② 当k ＞0时，由f′(x)＞0，得x ＞k ；由f′(x)＜0，得0＜x ＜k.
所以f(x)的递减区间是(0，k)，递增区间是(k ，＋∞)，f(x)的极小值为f(k)＝－e k ，无极大值．(6分)
(2) 由f(x)＜4x 可得(x －k －1)e x －4x ＜0.
因为e x ＞0，所以x －k －1＜4x
e
x ，
即k ＞x －1－4x
e
x 对任意x ∈[1，2]恒成立．(8分)
记g(x)＝x －1－4x
e x ，则g′(x)＝1－4（1－x ）e x ＝e x ＋4（x －1）e x .(10分)
因为x ∈[1，2]，所以g′(x)＞0，即g(x)在x ∈[1，2]上单调递增，(12分)
故g(x)max ＝g(2)＝1－8e 2＝e 2
－8
e
2.(14分)
所以实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫
e 2－8e 2，＋∞.(16分)。