甘肃省民乐一中高二数学上学期期末考试试题 文 (2)

民乐一中2014——2015学年第一学期期终考试
高二文科数学试卷
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若方程221124
x y k k +=+-表示双曲线，则k 的取值范围是（ ）
A ． 2k >
B ． 10k -<<
C ．02k <<
D ． 12k -<<
2．点M 与点F (3,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小2，则点M 的轨迹方程为( )
A ．y 2
＝－12x B ．y 2
＝6x C ．y 2
＝12x D ．y 2
＝－6x 3．下列命题错误的是( )
A ．命题“若m >0，则方程x 2
＋x －m ＝0有实根”的逆否命题为“若方程x 2
＋x －m ＝0无实根，则m ≤0” B ．对于命题p ：“∃x ∈R ，使得x 2
＋x ＋1<0”，则¬p ：“∀x ∈R ，均有 x 2
＋x ＋1≥0” C ．若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题 D ．“x ＝1”是“x 2
－3x ＋2＝0”的充分不必要条件
4． 函数x e x f x
ln )(=在点))1(,1(f 处的切线方程是（ ）
A ． )1(2-=x e y
B .1-=ex y
C .)1(-=x e y
D .e x y -=
5． 两个量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数2
R 如下 ， 其中拟合效果最好的模型是 ( )
A ．模型1的相关指数2
R 为0.99 B ． 模型2的相关指数2
R 为0.88 C ．模型3的相关指数2
R 为0.50 D ．模型4的相关指数2
R 为0.20
6．已知双曲线
22
214x y b
-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )
A ．42
B ．5
C ． 3
D ． 5
7．已知椭圆
22
219x y b
+=(03)b <<，左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，若22||||AF BF +的最大值为8，则b 的值是（ ）．
A ．22
B 2368．已知P 是双曲线19
422=-y x 上的任意一点，21,F F 是它的左右焦点，且1PF =5，
则 =2PF ( ) A ． 1
B ．9
C ．1或9
D ．9或5
9．一同学在电脑中打出如下图若干个圆（○表示空心圆，●表示实心圆）
○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○……问：到2006个圆中有 _ 个实心圆。

（ ）
A ． 59
B ． 60
C ．61
D ． 62
10．已知双曲线122=-y kx 的一条渐近线与直线l ：012=++y x 垂直，则此双曲线的离心率是( )
A ．
2
5
B ．3
C ．2
D ．5
11．函数x a x x f -=)(在区间[]4,1上单调递减，则实数a 的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．5
12．已知直线)0)(2(>-=k x k y 与抛物线x y 82
=相交于点A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，若
FB FA 2=，则k 的值为（ ）
A ．4
B ．8
C ．22
D ．32
二、填空题（共4道题，每题5分，共20分）
13．已知函数f (x )的导函数f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2
＋2xf ′(2)，则f ′(5)＝____________.
14．已知抛物线x y 82
=的准线过双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的一个焦点，且双曲线的离心率为2，
则双曲线的方程为___________.
15．若命题”使“01)1(,2
<+-+∈∃x a x R x 是假命题，则实数a 的取值范围是_____________ .
16. 若三角形内切圆半径为r ，三边长为a,b,c 则三角形的面积1
2
S r a b c =++（）；
利用类比思想：若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为124S S S 3，，S ，； 则四面体的体积V=
三、解答题（共6道题，共70分） 17．（本小题满分10分）
某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，喜欢玩电脑游戏的同学认为作业多的有18人，不喜欢玩电脑游戏的同学认为作业多的有8人，认为作业不多的有15人。

（1）根据以上数据建立一个22⨯的列联表；（2）试判断喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约是多少？
参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++；n a b c d =+++
P (K 2>k )
0.50 0.40 0.25 0.15
0.10
0.05 0.025 0.010 0.005 0.00
1
k
0.455
0.708
1.323
2.072 2.706
3.84 5.024 6.635 7.879 10.8
3
18.（本小题满分12分）
设命题p ：实数x 满足22
430x ax a -+<，其中0a >； 命题q ：实数x 满足2
560x x -+≤；
（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；
（2）若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 19．（本小题满分12分）
已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为33
，直线:2l y x =+与圆222
x y b +=相切．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线l 与椭圆C 的交点为,A B ，求弦长||AB ． 20．（本小题满分12分）
已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3>-++-++-+c
c
b a b b
c a a a c b 。

21．(本题满分12分)
函数c bx ax x x f +++=23)(，过曲线)(x f y =上的点))1(,1(f P 的切线方程为13+=x y . （1）若)(x f y =在2-=x 时有极值，求f (x )的表达式； （2）在（1）的条件下，求)(x f y =在]1,3[-上最大值. 22．（本题满分12分）
已知平面直角坐标系xoy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(3,0)F -，右顶点为(2,0)D ，
设点1
(1,)2
A
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程；
（3）过原点O 的直线交椭圆于,B C 两点，求ABC ∆面积的最大值，并求此时直线BC 的方程。

民乐一中2014——2015学年第一学期期终考试
高二数学（文科）试题答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
D
C
C
C
A
B
D
B
C
A
C
C
二、填空题：(本大题共4题，每小题5分，共20分．）
13. 6； 14. 132
2
=-y x ； 15. 3a 1≤≤ ；16. 23413
S S ++1R （S +S ）. 三、解答题：(本大题共6题，满分70．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17.（本小题满分10分） 解：列联表如下表所示：
认为作业多
认为作业不多
总数 喜欢玩电脑游戏 18 9 27 不喜欢玩电脑游戏
8 15 23 总数
26
24
50
K 2
=
059.523
272426)981518(50=⨯⨯⨯⨯-⨯， P （K 2>5.024）=0.025, 有97.5%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关系. 18．（本小题满分12分）
解 (1)由2
2
430x ax a -+<得(3)()0x a x a -⋅-<. 又0a >，所以3a x a <<，………2分
当1a =时，13x <<，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是13x << 由2
560x x -+≤得23x ≤≤.
所以q 为真时实数x 的取值范围是23x ≤≤.
若p q ∧为真，则23x ≤<，所以实数x 的取值范围是[)2,3． (2) 设{}|3A x a x a =<<，{}|23B x x =≤≤
q 是p 的充分不必要条件，则B A ⊂
所以021233a a a <<⎧⇒<<⎨>⎩
，所以实数a 的取值范围是()1,2．
19．（本小题满分12分）
解：（1）又由直线:2l y x =+与圆222
x y b +=相切得2
2
211
b =
=+
由3
e =
得232133a a =-⇒=
∴椭圆方程为22
132
x y += （2）22
22123(2)6032
2x y x x y x ⎧+
=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩
251260x x ⇒++= 21245624∆=-⋅⋅=，设交点,A B 坐标分别为()()1122,,,x y x y
则1212126,,55
x x x x +=-
⋅=
从而||5AB ==
所以弦长||AB =
20．（本小题满分12分） 证法1：（分析法）
要证
3>-++-++-+c
c
b a b b
c a a a c b 只需证明 1113b c c a a b
a a
b b
c c
+-++-++-> 即证
6b c c a a b
a a
b b
c c
+++++> 而事实上，由a ，b ，c 是全不相等的正实数 ∴ 2，2，2b a c a c b
a b a c b c +>+>+> ∴ 6b c c a a b
a a
b b
c c
+++++> ∴
3b c a a c b a b c
a b c
+-+-+-++>得证. 证法2：（综合法） ∵ a ，b ，c 全不相等 ∴ a b 与b a ，a c 与c a ，b c 与c
b
全不相等. ∴
2，2，2b a c a c b
a b a c b c
+>+>+> 三式相加得
6b c c a a b
a a
b b
c c
+++++> ∴ (1)(1)(1)3b c c a a b
a a
b b
c c
+-++-++->
即
3b c a a c b a b c
a b c
+-+-+-++>． 21．(本题满分12分)
解：（1）
（2）)2)(23(44323)(2
2
+-=-+=++='x x x x b ax x x f
x
)2,3[--
－2 )32,2(-
32 ]1,32( )(x f ' + 0 － 0 +
)(x f
极大
极小
135)2(4)2(2)2()2()(=+---+-=-=f x f 极大
4514121)1(3=+⨯-⨯+=f
]1,3[)(-∴在x f 上最大值为13
23．（本题满分12分）
解：（1）设椭圆的方程为22
221x y a b
+=
由题意可知：3,2c a ==，
故22431b a c =-=-= 所以椭圆的方程为：2
214
x y += （2）设00(,),(,)P x y M x y ，则有：
00001212112222
x x x x y y y y +⎧
=⎪=-⎧⎪⎪⇒⎨⎨
+=-⎪⎪⎩=⎪⎩ ① 又因为：2
2
0014
x y += ② 将②代入①得到点M 的轨迹方程：
22(21)1
(2)142
x y -+-= （3）当直线BC 的斜率不存在时，
322()()32()(1,(1)):
(1)(1)(1)(1)(32)(1)()(1,(1)):3132320(1)213(2)()2,f x x ax bx c f x x ax b y f x P f y f f x y a b c a b x y f x P f y x a b a b a c a c y f x x '=+++=++='-=--+++=++-==+++=+=⎧⎧⎨⎨-+-=-=-⎩⎩'==-L L L L Q 由求导数得过上点的切线方程为即而过上的切线方程为故即在时有极值故32(2)0412(3)
(1)(2)(3)2,4,5()245
(4)
f a b a b c f x x x x -=∴-+=-==-==+-+L L L L 由相联立解得分y
C O
x
A
D B F
11
||21122
ABC A S BC x ∆=
=⨯⨯=g 当BC 斜率存在时，设其方程为：设y kx =
由2
21
4x y x y kx
⎧+=⎪⇒=⎨⎪=⎩
不妨设1122(,),(,)B x y C x y ，则
21|||BC x x ==-=设点A 到直线BC 的距离为d
，则：1||k d -=
=
11||22ABC
S BC d ∆==⨯=g
= 当0k ≥
时，1ABC S ∆≤= 当0k <
时，ABC S ∆=≤= 上式当且仅当
11
4(),2
k k k =-=--即时，等号成立 综上可知，ABC V
BC 的方程为：1
2
y x =-。