陕西省汉中市第八中学2021-2022学年高三数学理模拟试题含解析

陕西省汉中市第八中学2021-2022学年高三数学理模拟试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数f（x）满足f（x+1）=f（x﹣1），且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点，则实数k的取值范围是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点可化为函数f（x）与y=kx+k在[﹣1，3]内的图象有四个不同的交点，从而作图求得．
【解答】解：∵f（x+1）=f（x﹣1），
∴函数f（x）的周期为2，
∴作函数f（x）与y=kx+k在[﹣1，3]内的图象如下，
，
直线y=kx+k过点（﹣1，0）；
当过点（3，1）时，直线的斜率k==，
故结合图象可知，
0＜k≤；
故选C．2. 已知的外接圆的圆心为,满足：,，且，
,则( )
A. 36
B. 24
C. 24
D.
参考答案：
A
3. 首项为，且公比为()的等比数列的第项
等于这个数列的前项之积，则的值为
A． B．C． D．
参考答案：
B
略
4. 已知定义域为的函数满足，当时，
单调递增，若且，则的值（）A．恒大于0 B．恒小于0 C．可能等于0 D．可正可负
参考答案：
B
略
5. 已知全集，集合,集合,则为
A、B、C、D、
参考答案：
B
说明：
6. 设全集，A={1，3，5}，B={4，5，6}，则（）A．{0，2} B．{5} C．{1，3} D．{4，6}
参考答案：
D
7. 已知双曲线（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
D
8. 已知,则的大小为 ( )
A. B. C. D.
参考答案：
A
9. 已知函数f（x）=ax+elnx与g（x）=的图象有三个不同的公共点，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为（）
A．a＜﹣e B．a＞1 C．a＞e D．a＜﹣3或a＞1
参考答案：B
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；54：根的存在性及根的个数判断．
【分析】由题意可知：令f（x）=g（x），化简求得t2+（a﹣1）t﹣a+1=0，根据h（x）的单调性求得方程根所在的区间，根据二次函数的性质，即可求得a的取值范围．
【解答】解：由ax+elnx=，整理得：a+=，
令h（x）=，且t=h（x），
则t2+（a﹣1）t﹣a+1=0，
求导h′（x）==0，解得：x=e，
∴h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）单调递减，
则当x→+∞时，h（x）→0，如图所示，
由题意可知方程有一个根t1在（0，1）内，另一个根t2=1或t2=0或t2∈（﹣∞，0），
当t2=1方程无意义，当t2=0时，a=1，t1=0不满足题意；
则t2∈（﹣∞，0），由二次函数的性质可知：，即，
解得：a＞1，
故选：B．
【点评】本题考查函数零点与函数方程的关系，考查利用导数判断函数的极值，考查二次函数的性质，考查数形结合思想，属于难题．
10. 右图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图, 其俯视图是面积为8的矩形, 则该几何体的表面积是（）
A．2 0+8 B．2 4+8
C ．8
D ．16
参考答案：
A 【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2
此几何体是一个三棱柱，且其高为，由于其底面是一个等腰直角三角形，
直角边长为2，所以其面积为×2×2=2，又此三棱柱的高为4，
故其侧面积为，（2+2+2
）×4=16+8
，表面积为：2×2+16+8
=20+8
．
【思路点拨】由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，底面是等腰直角三角形，且其高为
，故先求出底面积，求解其表面积即可．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知三棱锥 S - ABC 的底面是正三角形， A 点在侧面 SBC 上的射影 H 是△ SBC 的垂心，二面角 H - AB - C 的平面角等于30°, SA =2。

那么三棱锥 S - ABC 的体积为__________.
参考答案：
由题设，AH ⊥面S BC ．作B H ⊥S C 于E ．由三垂线定理可知S C ⊥AE ，
S C ⊥A B ．故S C ⊥面A B E ．设S 在面A BC 内射影为O ，则S O ⊥面A BC ．由三垂线定理之逆定理，可知C O ⊥A B 于F ．同理，B O ⊥A C ．故O 为△A B C 的垂心．
又因为△A B C 是等边三角形，故O 为△A B C 的中心，从而S A =S B =S C =
．
因为C F ⊥A B ，C F 是E F 在面A B C 上的射影，由三垂线定理，E F ⊥A B ． 所以，∠E FC 是二面角H -AB -C 的平面角．故∠E F C =30°，
OC=SCcos60°= ，
SO=tg60°=
×=3． 又 OC=
AB ，故AB=
OC=
×
=3． 所以，V S-ABC =
．
12. 函数
的定义域为_______________.
参考答案：
【知识点】函数的定义域及其求法．B1
【答案解析】 解析：由题意得，∴﹣4≤x≤1且x≠0．
∴定义域是：
，故答案为：。

【思路点拨】根据负数不能开偶次方根和分母不能为零求解．
13. 椭圆
的长轴长是 ，离心率是
．
参考答案：
4,
14. 已知x 与y 之间的一组数据如表所示，当m 变化时，y 与x 的回归直线方程必过定
点 ．
【考点】线性回归方程．
【分析】直接求出回归直线方程的经过的样本中心即可．
【解答】解：由题意可得： =， =4．
可得样本中心（）．
y与x的回归直线方程必过定点：（）．
15. 给定两个长度为1且互相垂直的平面向量和，点C在以O为圆心的圆弧AB上运
动，若，其中x、y R，则的最大值为▲参考答案：
2
16. 已知函数f （x）
=x 2ln x ，若关于x的不等式f （x）﹣kx+1≥0恒成立，则实数k 的取值范围
是．
参考答案：
（﹣∞，1]
【考点】函数恒成立问题．
【分析】把恒成立问题转化为求函数最值问题，根据导函数求出函数g（x）=xlnx+的最小值，得出答案．
【解答】解：∵x2ln x﹣kx+1≥0恒成立，
∴k≤xlnx+恒成立，
令g（x）=xlnx+，
g'（x）=lnx+1﹣，
当x在（1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）递增；
当x在（0，1）时，g'（x）＜0，g（x）递减；
故g（x）的最小值为g（1）=1，
∴k≤1，
故答案为：（﹣∞，1]．
17. 给定方程：，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在(–∞，0)内有且只有一个实数解；
④若是该方程的实数解，则–1.则正确命题是．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 巳知椭圆E.. (a>b>0)以抛物线y2=8x的焦点为顶点，且离心率为
(I)求椭圆E的方程
(II)若F为椭圆E的左焦点，O为坐标原点，直线l:y=kx+m与椭圆E相交于A、B 两点，与直线x= -4相交于Q点，P是椭圆E上一点且满足，证明为定值并求出该值.
参考答案：
略
19. 设，，试求曲线在矩阵变换下的曲线方程．参考答案：
，…………………………………………………4分
设是曲线上的任意一点，在矩阵变换下对应的点为．
则，所以即……………………………………8分代入，得，即．
即曲线在矩阵变换下的曲线方程为．……………………10分20. 已知是公比大于1的等经数列，是函数的两个零点
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求n的最小值。

参考答案：
略
21. （本小题满分12分）
在△ABC中，角所对的边分别为且满足
（I）求角的大小；
（II）求的最大值，并求取得最大值时角的大小.
参考答案：
22. 已知焦点在y轴上的抛物线C1过点(2,1)，椭圆C2的两个焦点分别为F1，F2，其中F2与C1的焦点重合，过F1与长轴垂直的直线交椭圆C2于A，B两点且,曲线C3是以原点为圆心以为半径的圆
.
（1）求C1与C2及C3的方程；
（2）若动直线l与圆C3相切,且与C2交与M，N两点,三角形OMN的面积为S，求S的取值范围.
参考答案：
解:(1)由已知设抛物线方程为则,解得,
即的方程为;焦点坐标为,………………………………1分
所以椭圆中,其焦点也在轴上设方程为
由得, 又解得
椭圆方程为………………………………3分
又所以所求圆的方程为………………………………4分
(2) 因为直线与圆相切,所以圆心O到直线的距离为1,
所以………………………………5分
当直线的斜率不存在时方程为,两种情况所得到的三角形面积相等,
由得,不妨设,
此时………………………………6分
当直线的斜率存在时设为,直线方程为
所以圆心O到直线的距离为即………………………………7分
由得
所以
恒大于0………………………………8分
设则
所以
………………………………9分
令则,
所以
是关于的二次函数开口向下,在时单调递减, 所以………………………………11分
综上: ………………………………12分。