安徽省黄山市2019-2020学年高二下学期期末考试数学(文)试题

安徽省黄山市2019-2020学年高二下学期期末考试数学（文）
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．在复平面内,复数
1(1i i +是虚数单位)对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．下列说法正确的是( )
A ．“f (0)0=”是“函数 f （x ）是奇函数”的充要条件
B ．若 p ：0x R ∃∈，20010x x -->，则
p ￢：x R ∀∈，210x x --< C ．“若6π
α=，则1sin 2
α=”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2α≠” D ．若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题
30=，则0x y ==，假设为( ) A ．,x y 都不为0
B ．,x y 不都为0
C ．,x y 都不为0，且x y ≠
D ．,x y 至少有一个为0
4．若双曲线C ：2
21x y m
-=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（ ） A ．49 B ．94 C ．23 D ．32
5．下列说法正确的是（ ）
①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域越窄，说明回归方程的预报精度越高；
②在独立性检验时，两个变量的22⨯列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明“这两个变量没有关系”成立的可能性就越大；
③在回归直线方程0.212y x =+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y 就增加0.2个单位；
④2R 越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好.
A ．①②③
B ．②③
C ．①④
D ．①③④ 6．函数()'()sin cos f x f
x x π=+，则()f π=（ ） A ．0 B ．1 C ．-1
D ．1
7．若直线240x y m ++=经过抛物线22y x =的焦点，则m =（ ）
A ．12
B ．12-
C ．2
D ．2-
8．孙子定理在世界古代数学史上具有相当高的地位，它给出了寻找共同余数的整数问题的一般解法.右图是某同学为寻找共同余数为2的整数n 而设计的程序框图，若执行该程序框图，则输出的结果为（ ）
A ．29
B ．30
C ．31
D ．32 9．已知函数1()f x x =
的导函数为()'f x ，若12()()''<f x f x ，则12,x x 的大小关系不可能为（ ）
A ．120x x <<
B ．210x x <<
C ．120x x <<
D ．210x x <<
10．平面几何中，有边长为a ，类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（ ）
A B a C D 11．已知()'f x 是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()'()x e x f f x >+，
(0)5f =，则不等式()5x
f x e <的解集为（ ） A ．(,1)-∞
B ．(,0)-∞
C ．(1,)+∞
D ．(0,)+∞ 12．点A 、B 为椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>长轴的端点，C 、D 为椭圆E 短轴的
端点，动点M 满足2MA MB =，若MAB ∆面积的最大值为8，MCD ∆面积的最小值为1，则椭圆的离心率为
A ．3
B
C ．2
D 13．向量(,1)a x =与向量(2,3)b x =-平行的充要条件是实数x =__________． 14．已知变量,X Y ，由它们的样本数据计算得到2K 的观测值 4.328≈k ，2K 的部分临界值表如下：
则最大有________的把握说变量,X Y 有关系.（填百分数）
15．已知P 为双曲线C ：2
2
14y x -=右支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，且线段12A A ，12B B 分别为C 的实轴与虚轴.若12A A ，12B B ，1PF 成等比数列，则2PF =
______.
16．已知整数对按如图规律排成一个“数对三角形”，照此规律，则第68个数对是______.
17．已知命题p ：方程2212x y m
+=表示焦点在x 轴上的椭圆，命题q ：x R ∀∈,不等式22230x mx m +++>恒成立.
（1）若“q ⌝”是真命题，求实数m 的取值范围；
（2）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围.
18．已知函数32()3f x ax bx x =+-在1x =±处取得极值.
（1）求a 和b 的值以及函数()f x 的极大值和极小值;
（2）过点(0,16)A 作曲线()y f x =的切线，求此切线的方程.
19．已知点(2,8)A ，11(,)B x y ，22(,)C x y 在抛物线22y px =上，ABC 的重心与此抛物线的焦点F 重合（如图）
（1）求线段BC 中点M 的坐标；
（2）求BC 所在直线的方程.
20．经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数(010)x x <≤与销售价格y (单位：万元/辆)进行整理，得到如下的对应数据：
（1）试求y 关于x 的回归直线方程； （2）已知每辆该型号汽车的收购价格为20.05 1.7517.2=-+w x x 万元，根据（1）中所求的回归方程，预测x 为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z 最大. 附：回归方程ˆy bx a =+中，1
221ˆˆˆˆ,n i
i i n i
i x y nx y b a y bx x
nx -=-==--∑∑
21．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点F 坐标为(1,0)-，,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过左焦点F 的直线l 交椭圆C 于,D E 两点（其中D 在x 轴上方），当直线l 垂直于x 轴时，3DE =．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若AEF 与BDF 的面积之比为1：7，求直线l 的方程．
22．已知函数21()(1)ln 2
f x x a x a x =-++. （1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）任取[3,5]a ∈，函数()f x 对任意1212,[1,3]()x x x x ∈≠，恒有
1212|()()|||f x f x x x λ-<-成立，求实数λ的取值范围.
参考答案
1．D
【解析】
【分析】 直接由复数代数形式的除法运算化简复数
11i +，求出复数11i
+在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．
【详解】 解：111111(1)(1)222i i i i i i --===-++-， ∴复数11i +在复平面内对应的点的坐标为：11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 位于第四象限．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 2．C
【解析】
【分析】
根据四种命题之间的关系，对选项中的命题分析、判断即可．
【详解】
对于A ，f （0）＝0时，函数 f （x ）不一定是奇函数，如f （x ）＝x 2，x ∈R ；
函数 f （x ） 是奇函数时，f （0）不一定等于零，如f （x ）1x
=
，x ≠0； 是即不充分也不必要条件，A 错误；
对于B ，命题p ：0x R ∃∈，20010x x --> 则￢p ：∀x ∈R ，x 2﹣x ﹣1≤0，∴B 错误；
对于C ，若α6π=
，则sin α12=的否命题是 “若α6π
≠，则sin α12
≠”，∴Ｃ正确． 对于D ，若p ∧q 为假命题，则p ，q 至少有一假命题，∴Ｄ错误；
故选C ．
【点睛】
本题考查了命题真假的判断问题，涉及到奇函数的性质，特称命题的否定，原命题的否命题，复合命题与简单命题的关系等知识，是基础题．
3．B
【解析】
【分析】
根据反证法，假设要否定结论，根据且的否定为或，判断结果.
【详解】
0x y ==的否定为00x y ≠≠或，即x ，y 不都为0，选B.
【点睛】
本题考查反证法以及命题的否定，考查基本应用能力.属基本题.
4．A
【解析】
【分析】
根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得m 的值.
【详解】 由题意知双曲线的渐近线方程为()0y x m
=>，320x y +=可化为32y x =-，则3
2=，解得49
m =. 故选：A
【点睛】
本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.
5．D
【解析】
【分析】
根据残差图与回归直线的关系可判断命题①的正误；利用独立性检验的基本思想可判断命题②的正误；利用回归系数的概念可判断命题③的正误；利用相关指数与回归模型拟合效果的
关系可判断命题④的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于命题①，在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，
说明选用的模型比较合适，带状区域越窄，说明回归方程的预报精度越高，
命题①正确；
对于命题②，在独立性检验时，两个变量的22⨯列联表中，
对角线上数据的乘积相差越大，说明“这两个变量有关系”成立的可能性就越大， 命题②错误；
对于命题③，在回归直线方程0.212y x =+中，
当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y 就增加0.2个单位，
命题③正确；
对于命题④，2R 越大，意味着残差平方和越小，
即模型的拟合效果越好，命题④正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查回归分析中相关命题真假的判断，考查了残差图、独立性检验、回归直线以及相关指数，属于基础题.
6．C
【解析】
【分析】
先求得()'f x ，由此求得()'f π，进而求得()f π.
【详解】 依题意()()''cos sin f
x f x x π=-，所以()()()'''cos sin f f f πππππ=-=-， 所以()'0f π=，
所以()cos f x x =，
所以()cos 1f ππ==-.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查导数的计算，属于基础题.
7．B
【解析】
【分析】 计算抛物线的交点为10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭
，代入计算得到答案. 【详解】
22y x =可化为212x y =，焦点坐标为10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭，故12m =-. 故选：B .
【点睛】 本题考查了抛物线的焦点，属于简单题.
8．D
【解析】
【分析】
根据循环体的结构特征从初始值25n =运行，直至满足
22,35
n n --均为整数，输出n . 【详解】 22,35
n n --为整数，则n 除以3,5的余数均为2， 25n >，32n =.
故选:D.
【点睛】
本题考查循环结构输出的结果，关键要理解程序框图，属于基础题. 9．B
【解析】
【分析】 根据函数1()f x x =求导的21()f x x
'=-，得到()'f x 的单调性，然后再根据12()()''<f x f x ，利用函数的单调性定义求解.
【详解】
因为函数1()f x x =
， 所以21()f x x '=-
， 所以()'f x 在(),0-∞是增函数，在()0,+∞上是减函数，
当()12,0x x ∈-∞，时，因为12()()''<f x f x ，
所以12x x <，
当()120,x x ∈+∞，时，因为12()()''<f x f x ，
所以21x x <，
故选：B
【点睛】
本题主要考查函数的导数的求法以及函数单调性定义的应用，还考查了分类讨论的思想，属于基础题.
10．B
【解析】
【分析】
【详解】
根据题意，画出图象，如图，
由棱长为a 可以得到BF =，BO AO OE ==-， 在直角三角形中，根据勾股定理可以得到222BO BE OE =+，
把数据代入得到OE =，
所以棱长为a 的三棱锥内任一点到各个面的距离之和为4123a a ⨯
=； 11．B
【解析】
【分析】
构造函数()()x f x F x e =
，利用导数研究()F x 的单调性，由此求得不等式()5x f x e <的解集. 【详解】
依题意()()''()()0x x f f e f x x x x f e >+⇒->>
构造函数()()x f x F x e =，()()()''0x f x f x F x e
-=>，所以()f x 在R 上递增， 则不等式()5x f x e <可化为：()()()00()50x f f x F x F e e
=<==， 解得0x <，即不等式的解集为(,0)-∞.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查利用导数解不等式，属于中档题.
12．D
【解析】
【分析】
求得定点M 的轨迹方程2
2251639a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，可得142823a a ⨯⨯=，112123b a ⨯⨯=，解得a ，b 即可.
【详解】
设(),0A a -，(),0B a ，(),M x y .
∵动点M 满足2MA MB ==
22251639a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝
⎭. ∵MAB ∆面积的最大值为8，MCD ∆面积的最小值为1，
∴142823a a ⨯⨯=，112123b a ⨯⨯=，解得a =2
b =，
=. 故选D .
【点睛】
本题考查了椭圆离心率，动点轨迹的求解方法，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题．
13．1-
【解析】
【分析】
利用向量平行的坐标表示列方程，解方程求得x 的值，也即求得所求的充要条件.
【详解】
由于()//3121a b x x x ⇔⋅=⋅-⇔=-，所以向量(,1)a x =与向量(2,3)b x =-平行的充要条件是实数1x =-.
故答案为：1-
【点睛】
本小题主要考查向量平行的坐标表示，考查充分、必要条件的判读，属于基础题. 14．95%
【解析】
【分析】
根据独立性检验的原理，观察表中的数据可得答案.
【详解】
因为2K 的观测值 4.328>3.841k ≈，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为变量,X Y 有关系.
所以最大有95%的把握说变量,X Y 有关系.
故答案为：95%.
【点睛】
本题考查独立性检验的基本思想的具体运用，属于基础题.
15．6
【解析】
【分析】 根据双曲线方程，可得实轴，虚轴12A A ，12B B 的长，再根据12A A ，12B B ，1PF 成等比数列，求出1PF 的值，最后根据双曲线的定义求出2PF
的值. 【详解】 解：2
2
14y x -= 1222A A a ∴==，1224B B b ==， 12A A ，12B B ，1PF 成等比数列
2
12112A A PF B B ∴⋅=，
解得18PF =， 2826PF a ∴=-=
故答案为：6
【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.
16．(2,11)
【解析】
【分析】
结合等差数列前n 项和公式，判断出第68个数对所在的行，然后判断出是该行的第几个数对，由此确定正确结论.
【详解】
“数对三角形”第1行有1个数对，第2行有2个数对，第3行有3个数对，以此类推，第n
行有n 个数对，由()()*2N 1n n n
S n +=∈，其中11126668,7868S S =<=>，所以第68个
数对是第12行的第2个数对，故为(2,11).
故答案为：(2,11)
【点睛】
本小题主要考查等差数列前n 项和公式，属于基础题.
17．（1）(,1][3,)-∞-⋃+∞；（2）(]
[)1,02,3-.
【解析】
【分析】
（1）先求出命题q 的等价条件，根据“q ⌝”是真命题，即可求出实数m 的取值范围．
（2）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，则,p q 只有一个为真命题，即可求实数m 的取值范围．
【详解】
（1）因为x R ∀∈,不等式22230x mx m +++>恒成立，
所以244(23)0m m ∆=-+<，解得13m -<<，又“q ⌝”是真命题等价于“q ”是假命题．
所以所求实数m 的取值范围是(][),13,-∞-+∞
（2）方程22
12x y m
+=表示焦点在x 轴上的椭圆，∴02m << “p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，
∴,p q 一个为真命题，一个为假命题，
当p 真q 假时， 则021,3
m m m <<⎧⎨≤-≥⎩，此时无解． 当p 假q 真时，则0,213m m m ≤≥⎧⎨-<<⎩
，此时10m -<≤或23m ≤< 综上所述，实数m 的取值范围是(]
[)1,02,3-
【点睛】
本题考查命题的真假以及根据复合的真假求参数的取值范围，属于基础题．
18．（1）1,0a b ==，极大值2，极小值-2；（2）916y x =+.
【解析】
【分析】
（1）利用1x =±是()f x 的导函数()'f
x 的零点，结合根与系数关系求得,a b 的值，再求
得()f x 的极大值和极小值.
（2）设出切点坐标00(,)x y ，根据斜率列方程，解方程求得0x ，由此求得切线的斜率，进而求得切线方程.
【详解】
（1）2()323f x ax bx '=+-，由题意可知1x =±是方程23230ax bx +-=的两根，所以()()2110331113b a a
⎧-=+-=⎪⎪⎨⎪-=⨯-=-⎪⎩，解得1,0a b ==，()33f x x x =-， 所以2
()333(1)(1)f x x x x '=-=+-， (,1)x ∈-∞-时，()0f x '>，()f x 单调递增，
(1,1)x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减，
(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，
所以()f x 在1x =-处取得极大值()12f -=，在1x =处取得极小值12f .
（2）易知点(0,16)A 不在曲线()y f x =上，设切点坐标为00(,)x y ，即3000(,3)x x x -，对
应的斜率为()'2
00
33f x x =-.则有320000031633x x x x ---=-，解得02x =-， 所以切线的斜率为()()2
'23239f -=⨯--=，切线的方程为916y x =+.
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数求解有关曲线切线的问题，属于中档题.
19．（1）(11,4)-；（2）4400+-=x y .
【解析】
【分析】
（1）先求出焦点F 的坐标为(8,0)，设点M 的坐标为00(,)x y ，根据2AF FM =即可求出线段BC 中点M 的坐标；
（2）由211
22232{32y x y x ==得4BC k =-,再求出直线BC 所在直线的方程.
【详解】
（1）由点(2,8)A 在抛物线22y px =上，有2822p =⨯，解得16p =.
所以抛物线方程为232y x =，焦点F 的坐标为(8,0).
由于F 是ABC 的重心，M 是线段BC 的中点，
所以2AF FM =，设点M 的坐标为00(,)x y ，
则00(6,8),(8,)AF FM x y =-=-
00
62(8)82x y =-⎧∴⎨-=⎩ 解得0011,4x y ==-，所以点M 的坐标为(11,4)-
（2）由211
22232{32y x y x ==得212121()()32()y y y y x x +-=-
因为128y y +=-，所以2121
4BC y y k x x -=-=-, 因此BC 所在直线的方程为(4)4(11)y x --=--，
即4400+-=x y .
【点睛】
本题主要考查抛物线的几何性质，考查中点弦所在直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
20．（1） 1.4518.7y x =-+；（2）3
【解析】
【分析】
（1）由表中数据计算x 、y ，求出ˆb
、ˆa ，即可写出回归直线方程；
（2）写出利润函数z y w =-，利用二次函数的图象与性质求出3x =时z 取得最大值．
【详解】
解：（1）由表中数据得，1(246810)65
x =⨯++++=， 1(16139.57 4.5)105
y =⨯++++=， 由最小二乘法求得：
22222221641369.58710 4.5561058ˆ 1.452468105640
b ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯-===-++++-⨯， ˆ10(1.45)618.7a
=--⨯=， 所以y 关于x 的回归直线方程为 1.4518.7y x =-+；
（2）根据题意，利润函数为：
22( 1.4518.7)(0.05 1.7517.2)0.050.3 1.5z y w x x x x x =-=-+--+=-++， 所以，当0.332(0.05)
x =-=⨯-时，二次函数z 取得最大值为1.95； 即预测3x =时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z 最大．
【点睛】
本题考查了回归直线方程的求法，以及二次函数的图象与性质的应用，考查计算能力．
21．（1）22
143
x y +=；（2）3344y x =+. 【解析】
【分析】
（1）根据已知条件求得c 以及D 点坐标，由此列方程组，解方程组求得22,a b 的值，进而
求得椭圆C 的方程.
（2）设1122:1,(,),(,)l x my D x y E x y =-，利用AEF 与BDF 的面积之比求得1y 和2y 的关系式，联立直线l 的方程和椭圆方程，消去x 并写出根与系数关系，结合上述所求1y 和2y 的关系式求得m 的值，由此求得直线l 的方程.
【详解】
（1）设焦距为2c ，易知1c =，31,2D ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
， 由222219141
a b b a ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，解得 2243a b ⎧=⎨=⎩ ， 所以椭圆的方程为 22
143
x y += （2）设112221:1,(,),(,),0l x my D x y E x y y y =-<<，
11223773BDF AEF S
y y y S y ==⇒=--①， 22223412(34)6901
x y m y my x my ⎧+=⇒+--=⎨=-⎩ ， 2144(1)0m ∆=+> 122634
m y y m +=+，②；122934y y m -=+③； 由①②得：2292(34)m y m -=
+ ，1221002(34)m y m m =>⇒>+ ， 代入③得：222221899164(34)349
m m m m --=⇒=++ ，又0m > ，故 43m = 因此，直线l 的方程为3344y x =
+. 【点睛】
本小题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，
属于中档题.
22．（1）答案见解析；（2）[6)-+∞.
【解析】
【分析】
（1）求函数导数，分类讨论求()0f x '>的解即可求解；
（2）由(1)知()f x 在[1.3]上单调递减，不妨设12x x <，从而把不等式中的绝对值去掉得： 1122()()f x x f x x λλ+<+，构造函数()()(13)h x f x x x λ=+≤≤，把问题转化为恒成立
问题，求得实数λ的取值范围.
【详解】
（1）(1)()()1(0)a x x a f x x a x x x
----+'==> 当1a = 时，2
(1)()0x f x x
-=≥'， 所以()f x 在 (0,)+∞ 上单调递增；
当1a > 时，由(1)()()0x x a f x x
-'-=>解得(0,1)x ∈或(,)a +∞， 所以()f x 在(0,1)，(,)a +∞上单调递增；
当01a <<时，由(1)()()0x x a f x x
-'-=>解得(0,)x a ∈或(1,)+∞， 所以()f x 在(0,)a ，(1,)+∞ 上单调递增；
当0a ≤时，由(1)()()0x x a f x x
-'-=>解得(1,)x ∈+∞， 所以()f x 在(1,)+∞上单调递增.
综上所述：
当1a > 时，单调递增区间为(0,1)和(,)a +∞；
当1a = 时，单调递增区间为(0,)+∞；
当01a << 时，单调递增区间为(0,)a 和(1,)+∞；
当0a ≤ 时，单调递增区间为(1,)+∞
（2）因为[3,5]a ∈，由（1）得，()f x 在[1,3]上单调递减，
不妨设 12x x < ， 由1212|()()|||f x f x x x λ-<-得1221()()f x f x x x λλ-<-， 即1122()()f x x f x x λλ+<+
令()()(13)h x f x x x λ=+≤≤ ，()1a h x x a x λ'=+
--+， 只需()0h x '≥恒成立， 即1
(1)1a x x
λ≥--+（[3,5]a ∈，[1,3]x ∈）恒成立，
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答案第15页，总15页 []1,3x ∈ ,
110x
∴-
≥ max 1()1(5(1)111)a x x x x
∴=---++- 即15(1)1x x
λ≥--+（[1,3]x ∈）恒成立， 即56()x x
λ≥-+（[1,3]x ∈）恒成立，
因为56()6x x -+≤-
x =， 所以实数λ
的取值范围是[6)-+∞.
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性、全称量词和存在量词的综合、不等式恒成立问题等，对分类讨论思想的要求较高，在第（2）问的求解时，去掉绝对值后，构造新函数，再利用导数研究新函数是解决问题的关键.。