高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)导学案新人教A版必修4(

2018版高中数学第三章三角恒等变换3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一）导学案新人教A版必修4
编辑整理：
尊敬的读者朋友们：
这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第三章三角恒等变换3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一）导学案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018版高中数学第三章三角恒等变换3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一）导学案新人教A版必修4的全部内容。

3。

1。

2 两角和与差的正弦、余弦、正切
公式(一）
学习目标 1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.2。

会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3。

熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法。

知识点一两角和的余弦公式
思考如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？
答案用－β代换cos(α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β中的β便可得到。

梳理
公式cos(α＋β）＝cos αcos β－
sin αsin β
简记符号C（α＋β）
使用条件α，β都是任意角
记忆口决：“余余正正，符号相反”。

知识点二两角和与差的正弦公式
思考1 如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式?答案sin(α＋β)＝cos错误!
＝cos错误!
＝cos错误!cos β＋sin错误!sin β
＝sin αcos β＋cos αsin β。

思考2 怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？
答案用－β代换β,即可得sin（α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.梳理
内容两角和的正弦两角差的正弦
简记符号S（α＋β）S(α－β)
公式形式
sin(α＋β)＝
sin αcos β＋cos
αsin β
sin （α－β）＝
sin αcos β－cos
αsin β
记忆口诀:“正余余正，符号相同”.
类型一给角求值
例1 (1)化简求值:sin（x＋27°）cos(18°－x）－sin(63°－x)·sin（x－18°).
解(1）原式＝sin(x＋27°）cos(18°－x)－cos（x＋27°）·
sin（x－18°)
＝sin（x＋27°)cos(18°－x）＋cos(x＋27°）sin(18°－x)
＝sin［（x＋27°)＋(18°－x)]＝sin 45°＝错误!.
(2）错误!＝。

答案错误!
解析原式＝错误!
＝错误!
＝错误!＝sin 30°＝错误!。

反思与感悟（1)解答此类题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式.
(2)解题时应注意观察各角之间的关系，恰当运用拆角、拼角技巧，以达到正负抵消或可以约分的目的,从而使问题得解。

跟踪训练1 计算：(1）sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；
(2）sin（54°－x)cos（36°＋x）＋cos(54°－x）sin（36°＋x)。

解（1)原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°）cos(90°－16°）
＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°
＝sin(14°＋16°）＝sin 30°＝错误!。

（2)原式＝sin［(54°－x)＋（36°＋x）]＝sin 90°＝1。

类型二给值求值
例2 已知sin错误!＝错误!，cos错误!＝错误!,且0<α〈错误!<β<错误!，求cos(α＋β）。

解∵0<α<错误!〈β<错误!，
∴错误!〈错误!＋α<π，－错误!<错误!－β<0。

又∵sin错误!＝错误!，cos错误!＝错误!,
∴cos错误!＝－错误!，sin错误!＝－错误!.
∴cos(α＋β）＝sin错误!
＝sin错误!
＝sin错误!cos错误!－cos错误!sin错误!
＝错误!×错误!－错误!×错误!＝－错误!.
反思与感悟(1）给值(式)求值的策略
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角"的和或差的形式。

②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角"与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”。

（2)给值求角本质上为给值求值问题,解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解。

跟踪训练2 已知错误!<β〈α〈错误!，cos(α－β)＝错误!，sin（α＋β)＝－错误!，求cos 2α与cos 2β的值。

解∵错误!<β〈α<错误!，
∴0<α－β<错误!，π〈α＋β<错误!.
∴sin(α－β）＝错误!
＝错误!＝错误!，
cos（α＋β)＝－错误!
＝－错误!＝－错误!。

∴cos 2α＝cos［(α－β）＋（α＋β）]
＝cos（α＋β）cos（α－β）－sin(α＋β）sin(α－β)
＝－错误!×错误!－错误!×错误!＝－错误!,
cos 2β＝cos[(α＋β）－（α－β）］
＝cos（α＋β)cos（α－β)＋sin(α＋β）sin（α－β）
＝－错误!×错误!＋错误!×错误!＝－错误!。

类型三辅助角公式
命题角度1 用辅助角公式化简
例3 将下列各式写成A sin(ωx＋φ)的形式：
（1)3sin x－cos x;
（2）错误!sin(错误!－x）＋错误!cos（错误!－x）。

解(1）错误!sin x－cos x＝2（错误!sin x－错误!cos x)
＝2(cos 错误!sin x－sin 错误!cos x)
＝2sin(x－错误!）.
(2）原式＝错误!［错误!sin(错误!－x）＋错误!cos（错误!－x）]
＝错误![sin 错误!sin(错误!－x）＋cos 错误!cos(错误!－x)］
＝错误!cos(错误!－x－错误!)＝错误!cos（错误!－x)＝错误!sin（x＋错误!）。

反思与感悟一般地对于a sin α＋b cos α形式的代数式，可以提取错误!，化为A sin（ωx ＋φ）的形式，公式a sin α＋b cos α＝错误!sin(α＋φ）(或a sin α＋b cos α＝错误!cos(α－φ)）称为辅助角公式.利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值.
跟踪训练3 sin 错误!－错误!cos 错误!＝ .
答案－错误!
解析原式＝2错误!.
方法一原式＝2错误!
＝2错误!
＝2sin错误!＝2sin错误!＝－错误!。

方法二原式＝2错误!
＝－2错误!
＝－2cos错误!＝－2cos 错误!＝－错误!。

命题角度2 求函数值域最值
例4 已知函数f（x)＝2sin错误!－2cos x，x∈错误!，求函数f（x)的值域.
解f(x）＝2sin错误!－2cos x＝错误!sin x－cos x
＝2sin错误!,因为错误!≤x≤π，所以错误!≤x－错误!≤错误!。

所以错误!≤sin错误!≤1.
所以函数f（x）的值域为[1，2]。

反思与感悟（1)用辅助角公式化成一角一函数，
即a sin x＋b cos x＝错误!sin(x±φ)的形式。

(2）根据三角函数的单调性求其值域。

跟踪训练4 （1）当函数y＝sin x－错误!cos x（0≤x≤2π）取得最大值时，x＝ ;（2)函数f（x)＝sin x－cos错误!的值域为。

答案(1）错误!（2)［－错误!，错误!］
解析(1)y＝2sin(x－错误!），
∵0≤x≤2π,∴－错误!≤x－错误!≤错误!,
∴当x－错误!＝错误!，即x＝错误!时,y max＝2。

(2)f(x)＝sin x－错误!cos x＋错误!sin x
＝错误!sin x－错误!cos x＝错误!sin（x－错误!)，
∴f(x)∈[－错误!，错误!].
1。

计算2cos 错误!＋错误!sin 错误!的值是( ）
A。

2 B。

2 C。

2错误! D.错误!
答案B
解析2cos 错误!＋错误!sin 错误!＝2错误!（错误!cos 错误!＋错误!sin 错误!)
＝2错误!错误!
＝2错误!sin错误!＝2错误!sin 错误!＝2。

2.在△ABC中，已知cos A＝错误!，sin B＝错误!，则cos C等于( )
A。

－错误! B.错误!
C.－错误!或错误!
D.错误!或错误!
答案B
解析∵cos A＝错误!〈错误!＝cos 60°,∴60°<A<90°，
∵sin B＝错误!<错误!＝sin 60°，∴若B为钝角，
则B>120°，A＋B〉180°，矛盾，
∴B为锐角，且A为锐角，sin A＝错误!，cos B＝错误!.
∵cos C＝cos[π－(A＋B）］＝－cos（A＋B)，
∴cos C＝－cos(A＋B)＝－（cos A cos B－sin A sin B）
＝－错误!＝错误!.
3.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( )
A.－错误! B。

错误! C。

－错误! D。

错误!
答案D
解析sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝错误!。

4.已知锐角α、β满足sin α＝错误!，cos β＝错误!，则α＋β＝ .
答案错误!
解析∵α，β为锐角，sin α＝错误!，cos β＝错误!，
∴cos α＝错误!，sin β＝错误!.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝错误!×错误!－错误!×错误!＝－错误!。

又∵0〈α＋β<π，∴α＋β＝3π
4。

5。

化简：sin错误!cos错误!－cos错误!·
sin错误!.
解原式＝sin错误!cos错误!－sin错误!·cos错误!＝sin错误!＝sin错误!＝sin 错误!cos 错误!－cos 错误!sin 错误!
＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!。

1。

公式的推导和记忆
（1)理顺公式间的逻辑关系
C(α－β）错误!C（α＋β)错误!S(α＋β)错误!S(α－β)。

（2)注意公式的结构特征和符号规律
对于公式C（α－β），C(α＋β)可记为“同名相乘，符号反”；
对于公式S(α－β)，S(α＋β）可记为“异名相乘，符号同"。

（3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式C(α－β),C（α＋β），S（α－β）,且公式sin（α－β)＝sin αcos β－cos αsin β,角α，β的“地位"不同也要特别注意.
2。

应用公式需注意的三点
(1）要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用,要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式。

（2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来,使之能直接运用公式.
(3)注意常值代换:用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin2α＋cos2α，1＝sin 90°,错误!＝cos 60°，错误!＝sin 60°等，再如:0,错误!,错误!，错误!等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数.
课时作业
一、选择题
1.已知α∈错误!,sin错误!＝错误!，则sin α等于( ）
A。

错误! B.错误!
C.－错误!或错误!D。

－错误!
答案B
解析由α∈错误!，得错误!〈α＋错误!〈错误!，
所以cos错误!＝－错误!
＝－错误!＝－错误!.
所以sin α＝sin 错误!
＝sin错误!cos 错误!－cos错误!sin 错误!
＝错误!×错误!
＝错误!，故选B.
2。

sin 10°cos 20°＋sin 80°sin 20°等于（）A。

－错误!B。

－错误!
C。

错误!D。

错误!
答案C
解析sin 10°cos 20°＋sin 80°sin 20°
＝sin 10°cos 20°＋cos 10°sin 20°
＝sin（10°＋20°）＝sin 30°＝1
2
，故选C.
3.在△ABC中，A＝错误!，cos B＝错误!，则sin C等于（）
A.错误!B。

－错误!
C.错误!D。

－错误!
答案A
解析sin C＝sin［π－(A＋B)］＝sin(A＋B）
＝sin A cos B＋cos A sin B＝错误!（cos B＋错误!)
＝错误!×错误!＝错误!。

4。

已知0〈α〈错误!〈β<π，又sin α＝错误!，cos（α＋β)＝－错误!，则sin β等于（)
A。

0 B.0或24 25
C.错误!
D.0或－错误!
答案C
解析∵0<α<错误!<β<π，sin α＝错误!，cos（α＋β）＝－错误!，∴cos α＝错误!，sin(α＋β）＝错误!或－错误!。

∴sin β＝sin[（α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cos α－cos（α＋β)sin α＝错误!或0。

∵错误!〈β<π，∴sin β＝错误!.
5。

在△ABC中，若sin A＝2sin B cos C，则△ABC是（）
A。

锐角三角形B。

直角三角形
C.钝角三角形D。

等腰三角形
答案D
解析∵A＝180°－（B＋C)，
∴sin A＝sin(B＋C)＝2sin B cos C.
又∵sin(B＋C）＝sin B cos C＋cos B sin C，
∴sin B cos C－cos B sin C＝sin（B－C）＝0，
则B＝C，故△ABC为等腰三角形。

6.已知cos错误!＋sin α＝错误!，则sin错误!的值为（) A。

－错误! B.错误!
C。

－4
5
D。

错误!
答案C
解析∵cos错误!＋sin α＝错误!，
∴cos αcos 错误!＋sin αsin 错误!＋sin α＝错误!，
∴错误!cos α＋错误!sin α＝错误!，即错误!cos α＋错误!sin α＝错误!,∴sin错误!＝错误!.
∴sin错误!＝－sin错误!＝－错误!.
二、填空题
7.sin 15°＋sin 75°的值是。

答案错误!
解析sin 15°＋sin 75°＝sin（45°－30°）＋sin(45°＋30°)
＝2sin 45°cos 30°＝错误!。

8.已知cos（α＋错误!）＝sin(α－错误!)，则tan α＝ .
答案1
9.错误!＝。

答案1
解析原式＝sin45°－18°＋cos 45°sin 18°cos45°－18°－sin 45°sin 18°
＝错误!
＝tan 45°＝1.
10。

已知A(3，0)，B（0，3），C(cos α，sin α），若错误!·错误!＝－1，则sin（α＋错误!）＝ .
答案错误!
解析∵错误!＝(cos α－3，sin α），错误!＝（cos α，sin α－3)，
∴错误!·错误!＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3）
＝cos2α－3cos α＋sin2α－3sin α
＝1－3(sin α＋cos α)
＝1－3错误!（错误!sin α＋错误!cos α)
＝1－32sin（α＋错误!）＝－1，
∴sin（α＋错误!)＝错误!。

三、解答题
11。

已知sin α＝错误!,sin(α－β)＝－错误!,α，β均为锐角，求β的值.解∵α为锐角，sin α＝错误!，∴cos α＝错误!.
∵－错误!<α－β<错误!且sin（α－β）＝－错误!，
∴cos(α－β）＝错误!，
∴sin β＝sin［(β－α)＋α]
＝sin（β－α）cos α＋cos（β－α)sin α
＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.
又∵β为锐角，∴β＝错误!.
12.已知sin（α－β)cos α－cos(β－α）sin α＝4
5
,β是第三象限角，求sin错误!的值。

解∵sin(α－β）cos α－cos（β－α）sin α
＝sin（α－β)cos α－cos(α－β）sin α
＝sin(α－β－α）＝sin（－β）＝－sin β＝错误!，
∴sin β＝－错误!，又β是第三象限角，
∴cos β＝－错误!＝－错误!。

∴sin错误!＝sin βcos错误!＋cos βsin错误!
＝错误!×错误!＋错误!×错误!
＝－错误!。

13.已知cos α＝错误!,sin(α－β）＝错误!，且α，β∈(0,错误!）.求：(1）cos(2α－β)的值；
(2)β的值.
解（1）因为α，β∈(0，错误!）,所以α－β∈(－错误!,错误!)，
又sin(α－β）＝
10
10
〉0，
所以0<α－β<错误!.
所以sin α＝1－cos2α＝错误!，
cos(α－β）＝1－sin2α－β＝310 10
，
cos(2α－β）＝cos[α＋（α－β）]
＝cos αcos(α－β)－sin αsin（α－β）
＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!。

(2）cos β＝cos[α－(α－β)］
＝cos αcos(α－β）＋sin αsin(α－β）
＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!。

又因为β∈（0,错误!)，所以β＝错误!。

四、探究与拓展
14.定义运算错误!＝ad－bc.若cos α＝错误!，错误!＝错误!，0＜β＜α＜错误!,则β＝。

答案错误!
解析由题意，得sin αcos β－cos αsin β＝错误!,
∴sin（α－β）＝错误!。

∵0＜β＜α＜错误!，
∴cos(α－β)＝错误!＝错误!。

又由cos α＝错误!，得sin α＝错误!。

∴cos β＝cos［α－（α－β）]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin（α－β)＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!，
∴β＝π3 .
15.已知函数f(x)＝A sin错误!，x∈R，且f错误!＝错误!.
(1)求A的值；
(2)若f(θ）－f(－θ）＝错误!，θ∈错误!，求f(错误!－θ）。

解(1）由f错误!＝A sin错误!
＝A sin 错误!＝错误!＝错误!，可得A＝3.
(2）f(θ）－f(－θ)＝错误!,
则3sin错误!－3sin错误!＝错误!,
即3错误!－3错误!＝错误!，
故sin θ＝错误!.
因为θ∈错误!,所以cos θ＝错误!，
所以f（错误!－θ）＝3sin错误!
＝3sin错误!＝3cos θ＝错误!。