九下第一章直角三角形的边角关系6利用三角函数测高作业新版北师大版

解：在Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8 km，∴AO＝ AC＝ ×8＝4(km)．
10. 【2023·长沙】2023年5月30日9时31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8 km，仰角为30°；10 s后飞 船到达B处，此时测得仰角为45°. (2)求飞船从A处到B处的平均速度．(结果精确到0.1 km/s，参考数据： ≈1.73)
课题
测量“永泰寺塔”
成员
组长：×××；组员：×××，×××，×××
工具
测倾器、皮尺等
设计方案
方案一
说明：线段AB表示“永泰寺塔”，线段CD表示测倾器，CD的高度为1.2 m，点E在AB上，点A，B，C，D，E在同一平面内，需要测量的数据有BC的长度，∠ADE的度数
设计方案
方案二
说明：线段AB表示“永泰寺塔”，线段CD，FG表示测倾器，CD，FG的高度为1.2 m，点E在AB上，点A，B，C，D，E，F，G在同一平面内，需要测量的数据有CF的长度，∠ADE，∠AGE的度数
10. 【2023·长沙】2023年5月30日9时31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8 km，仰角为30°；10 s后飞 船到达B处，此时测得仰角为45°. (1)求点A离地面的高度AO；
实施方案
方案二 的测量 数据
∠ADE的平均值
∠AGE的平均值
CF的平均值
27°
45°
22 m
(1)“综合与实践”小组为什么放弃方案一，你认为原因可能是什么？(写出一条即可)
解：(答案不唯一)方案一适合测量底部可直接到达的物体的高度．
(2)请你根据他们的测量数据计算“永泰寺塔”的高度(结果精确到0.1 m；参考数据：sin 27°≈0.45，cos 27°≈0.89，tan 27°≈0.51)．
B
【点拨】由题意得AD⊥BD，设CD＝x m， ∵BC＝15.3 m，∴BD＝BC＋CD＝(x＋15.3)m. 在Rt△ABD中，∠ABD＝45°， ∴AD＝BD·tan 45°＝(x＋15.3)m. 在Rt△ACD中，∠ACD＝60°， ∴AD＝CD·tan 60°＝ x m， ∴ x＝x＋15.3，解得x≈21.0，∴AD＝x＋15.3≈36 m， ∴灯塔的高度AD大约是36 m，故选B.
∴tan∠EDF＝tan 22°＝ ， ∴EF＝DF·tan 22°. ∴x≈0.4(x＋150)，解得x≈100，∴EF≈100 m. ∴AB＝AE＋EF＋BF≈100＋100＋1.4≈201(m)． 答：AB的高度约为201 m.
12．【学科素养·应用意识】河南登封的永泰寺塔为第五批全国重点文物保护单位，塔身高耸，塔基底呈方形，边长5.05 m，塔室内部仍为方形．“综合与实践”小组开展了测量“永泰寺塔”高度的实践活动，他们设计了两个方案(如表)，经过实地考察放弃了方案一，采用了方案二，他们在塔底所在的水平地面上选取两个不同的测点，分别测量了塔顶的仰角及两个测点之间的距离，为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果填入表格，测量数据如表：
解：在Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°， AC＝8 km，∴OC＝ 在Rt△BOC中，∵∠BOC＝90°，∠BCO＝45°， ∴∠BCO＝∠OBC＝45°，∴OB＝OC＝4 km， ∴AB＝OB－OA＝(4 －4)km， ∴飞船从A处到B处的平均速度＝
∵DF＝DC＋CF，∴EH＝DF＝(40＋6 )m. 在Rt△AEH中，tan∠AEH＝ ， ∴AH＝tan 37°×(40＋6 )≈37.785(m)． ∵BH＝BF－FH，∴BH＝6－1.5＝4.5(m)． ∵AB＝AH－HB，∴AB≈37.785－4.5≈33.3(m)． 即大楼AB的高度约为33.3 m.
11．【2023·西安高新区模拟】如图，小明先在C处用测角仪测得建筑物AB上一点E的仰角∠EDF＝22°，接着他沿着CB方向前进50 m到达G处，再用测角仪测得点A的仰角∠AHF＝45°.若AE＝100 m，∠EFD＝90°，测角仪CD＝GH＝1.4 m，求AB的高度(结果精确到1 m；参考数据：sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93， tan 22° ≈0.40)．
B
【点拨】∵∠ABD是△ABC的一个外角，∠ABD＝60°，∠ACD＝30°， ∴∠BAC＝∠ABD－∠ACD＝30°. ∴∠BAC＝∠ACD＝30°.∴AB＝BC＝160 m. 在Rt△ABD中，AD＝AB·sin 60°＝160× ∴该主塔的高度是80 m.
6. 【2023·日照】日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角∠ABD＝45°，再沿BD方向前进至C处测得最高点A的仰角∠ACD＝60°，BC＝15.3 m，则灯塔的高度AD大约是( )(结果精确到1 m，参考数据： 53 m
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【点拨】如图，过点E作EF⊥CA，垂足为F， 由题意易得ED＝FA＝90 m，EF＝DA. ∵AB＝80 m，∴BF＝AF－AB＝10 m. 在Rt△EFB中，∠FEB＝6°，∴EF＝ ∴AD＝EF≈100 m. 在Rt△DAC中，∠CDA＝48°， ∴AC＝AD·tan 48°≈100×1.1＝110(m)． ∴BC＝AC－AB≈110－80＝30(m)．
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【点拨】由题意得∠ACD＝90°，∠ADC＝50°，∠BDC＝45°，CD＝40 m. 在Rt△ACD中，tan∠ADC＝ ＝tan 50°， ∴AC＝CD·tan 50°≈40×1.19＝47.6(m)． 在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，∠ACD＝90°， ∴△BCD是等腰直角三角形．∴BC＝CD＝40 m. ∴AB＝AC－BC≈47.6－40≈8(m)． 即旗杆AB的高度约为8 m.
A
2．如图所示，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为150 m，则这栋楼的高度为( )
C
3．【教材P25复习题T10变式】如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距40 m的D处，观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度约为______m(结果保留整数；参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19)．
C
【点拨】如图，延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H， ∴四边形HEDF是矩形，∴EH＝DF，FH＝DE＝1.5 m. 在Rt△BCF中，BF∶CF＝1∶ ， 设BF＝k m(k＞0)，则CF＝ k m. ∴BC＝ 又∵BC＝12 m，∴2k＝12，∴k＝6. ∴BF＝6 m，CF＝6 m.
∴DM＝CM·tan 60°≈42.16× ≈72.94(m)． ∴BD＝BM－DM≈98－72.94≈25.1(m)． 答：文峰塔的高度约为25.1 m.
9．某兴趣小组想测量一座大楼AB的高度．如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为12 m，它的坡度i＝1∶ .在离C点40 m的D处，用测角仪测得大楼顶端A的仰角为37°，测角仪DE的高度为1.5 m，则大楼AB的高度约为 (参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37° ≈0.75， ≈1.73)( ) A．39.3 m B．37.8 m C．33.3 m D．25.7 m
7．【教材P26复习题T17变式】如图，某政府为了测量建在山上的信号塔BC的高度，先在附近一办公楼底端D处测得信号塔BC的顶端C的仰角为48°，然后在办公楼顶端E处测得信号塔BC的底端B的俯角为6°，若山高AB为80 m，办公楼DE的高为90 m，则信号塔BC的高度约为________m(参考数据：tan 48°≈1.1， tan 6°≈0.1)．
第一章 直角三角形的边角关系
6 利用三角函数测高
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1．【2023·南平五中模拟】如图，某数学实践小组测量操场的旗杆AB的高度，操作如下： (1)在点D处放置测角仪，量得测角仪的高度CD为a； (2)测得仰角∠ACE＝α； (3)量得测角仪到旗杆的水平距离BD为b. 则旗杆的高度可表示为( ) A．a＋btan α B．a＋bsin α C．a＋ D．a＋
解：由题意得，四边形DCGH和四边形BCDF是矩形， ∴BF＝CD＝1.4 m，DH＝CG＝50 m. 设EF＝x m，则AF＝AE＋EF＝(x＋100)m. 在Rt△AFH中，∠AFH＝90°，∠AHF＝45°， ∴∠FAH＝45°，∴∠FAH＝∠AHF， ∴FH＝AF＝(x＋100)m， ∴DF＝DH＋FH＝(x＋150)m. 在Rt△DFE中，∠EFD＝90°，∠EDF＝22°，
8．【2023·随州外国语学校一模】随州文峰塔始建于唐宋年间，前身为“文笔塔”．某兴趣小组同学借助无人机航拍测量位于曾都区文峰塔广场的文峰塔高度．如图，无人机在距离地面98 m的A处，测得该塔底端点B的俯角为27°，然后向塔的方向沿水平线飞行50 s到达点C处，此时测得该塔顶端点D的俯角为60°. 已知无人机的飞行速度为3 m/s. (1)无人机从A处到C处的水平飞行距离为________m；
4．如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝20 m，则这棵树CD的高度约为________m(按四舍五入法将结果保留小数点后一位，参考数据： ≈1.732)．
12.7
【点拨】由题意得CD⊥AB，设BD＝x m， 在Rt△BDC中，∠CBD＝60°， ∴CD＝BD·tan 60°＝ x m. 在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，∴AD＝ ∵AD＋BD＝AB，∴ x＋x＝20.∴x＝10 －10. ∴CD＝30－10 ≈12.7(m)， ∴这棵树CD的高度约为12.7 m.
5．【2023·深圳龙岗区期中】港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．如图，某校九年级学生为了测量该主塔AD的高度，站在B处看塔顶A，仰角为60°，然后向后走160 m(BC＝160 m)，到达C处，此时看塔顶A，仰角为30°，则该主塔的高度是( ) A．80 m B．80 m C．160 m D．80 m
150
(2)求文峰塔的高度(参考数据：sin 27°≈0.45，cos 27° ≈0.89，tan 27°≈0.51， ≈1.73；结果精确到0.1 m)．
解：如图，延长BD交直线AC于点M， 由题意得AM⊥BM，BM＝98 m. 在Rt△ABM中，∠BAM＝27°， ∴AM＝ ∵AC＝150 m，∴CM＝AM－AC≈192.16－150＝42.16(m)． 在Rt△CDM中，∠MCD＝60°，