第六章(内插)数字高程模型

式中有16个待定系数，须列出16个线性方程，才能确定它们的 数值。已知A，B，C，D四个角点，将它们的三维直角坐标量 测值代人式中，可列出4个线性方程，其余12个方程根据下述力 学条件建立，这些力学条件为：
(1)相邻面片拼接处在X和Y方向的斜率都应保持连续； (2)相邻面片拼接处的扭矩连续。
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多面叠加的一个重要的优点是：如果希望对地形增加各种约束 和限制，则可以设计某一函数将其增加到多面叠加的函数体内。
比如希望在内插中考虑地面坡度的信息，就可以设计具有坡度
特性的函数。在数字高程模型中，如果在数据点密度较小和数 据点精度很高的情况下，要优先采用多面叠加的内插方法。但 在一般情况下，地球表面特征都很复杂，难以确定某一特定函 数严格表示地形变化(人工地物除外)。另外这种方法处理烦琐，
曲面在相邻边上的一阶导数是连续的，因此，整个区域的曲面
连接是光滑的。
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2.1分块内插（二元样条函数内插）
与整体内插不同，样条函数保留了微地物特征，拟合时只需与 少量数据点配准，因此内插速度快，同时也保证了分块间连接
处为平滑连续的曲面。这意味着样条函数内插法可以修改曲面
的某一分块而不必重新计算整个曲面。 应该指出的是，在分块上展铺样条曲面时，对相邻多项式分 片曲面间的拼接，采用了弹性力学条件，而地表分块不是狭义 的弹性壳体，并不具备采用弹性力学条件的前提，所以，尽管
(1)Arthur，Q(d)＝exp(-25d2／a2)，其中d为两点之间的距离，
a为一参数，为各数据点间最大距离。 (2)吕言法，以三次曲面为核函数，Q(d)＝1+d3。
(3)针对上述Hardy选用的二次函数进行各种改进，由值为o，
o．6和10进行实验，得出了的结果。它表明值越大内插的曲面
(图中仅绘出沿x方向的曲线)越平滑。
的高程重新插值。样条函数插值克服了
高次多项式插值可能出现的振荡现象， 具有较好的数值稳定性和收敛性。同时，
(a)
如果某个点位置发生变化时，只需要修
改局部曲线，而不必重新计算整条曲线， 这点要优于趋势面分析方法。
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(b)
2.1分块内插（二元样条函数内插）
任一矩形ABCD可构成双三次曲面方程
乘法则。可见，内插的中心
问题在于邻域的确定和选择 适当的插值函数。
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DEM内插分类
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1.2整体内插
整体内插的拟合模型 整体内插的拟合模型是由研究区域内所有采样点的观测值建 立的。整体内插主要通过多项式函数来实现，因此又称整体 函数法内插。这些函数模型的特点是不能提供内插区域的局 部特性，因此该方法常被用于模拟大范围的宏观变化趋势。
样条函数法有比较严密的理论基础，但未必是数字高程插值的
良好数学模型。
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2.1分块内插（多面叠加内插法）
多面叠加法是美国依阿华州大学Hardy教授于1977年提出 的，它的基本思想是任何一个规则的或不规则的连续曲面 均可以由若干个简单面(或称单值数学面)来叠加逼近。具 体做法是在每个数据点上建立一个曲面，然后在z方向上将
分。 (3)观测值的偶然误差，或称为随机噪声。
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2.1分块内插（最小二乘配置法）
当去掉趋势面之后，如果观测值包含信号和噪声两部分 (且信号与噪声期望均为0，两者的协方差也为零)，则可获 得信号估值的残差平方和为最小的线性内插方法，包括内
插、滤波和推估，统称最小二乘配置。数字高程模型满足
计算量大，因而多面叠加方法并不常用。
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2.1分块内插（最小二乘配置法）
最小二乘配置内插法是一种基于统计的、广泛用于测量学 科中的内插方法。在测量中，某一个测量值包含着三部分： (1)与某些参数有关的值。由于它是这些参数的函数，而 这个函数在空间是一个曲面，被称为趋势面。
(2)不能简单地用某个函数表达的值．称为系统的信号部
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如果数据参考点呈正方形格网分布，则可以 直接使用双线性内插公式：
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2.1分块内插（二元样条函数内插）
算法的基本思想
为保证各分块曲面间的光滑性，按照弹 性力学条件使所确定的n次多项式曲面 与其相邻分块的边界上所有n—1次导数 都连续，这n次多项式就称为样条函数。 可以用样条函数内插法对规则格网数据
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2.1分块内插（二元样条函数内插）
因此，对于任一角点的导数值，需要使用它周围8个角点高程求 出。这样，在ABCD矩形当中，已知四角点高程ZA、ZB、Zc、
ZD，以及它们的导数值RA，RB，RC，RD，SA，SB，SC，SD。
和TA、TB、TC、TD就可建立16个方程，求解后得出曲面方程 系数代入方程，就可解算某一点的高程。根据上述定义求得的
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1.2整体内插
整体内插的拟合模型数学表达式
设描述研究区域的曲面形式为下列二元多项式：
P ( x, y )
i 0 m m
Cij x i y j
i 0
式中有n个待定系数C ij(i，J＝0，1，2，…，m)，为了解求 这些系数，可量取研究范围内不同平面位置的n个参考点三维 坐标：P1(x1,y1,z1)，P2(x 2，y2，z2),P3(x3，y3,z3)，…， Pn(xn,yn,zn)，将其代入方程从而使n阶线性方程组有惟一解
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1.1内插方法的分类
按内插点的分布范围，可以将内插分为三类。
整体内插
分块内插 逐点内插
根据二元函数逼近数学面和参考点的关系，内插又可以分 为两种。
纯二维内插 曲面拟合内插
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1.1内插方法的分类
二维插值要求曲面通过内插 范围的全部参考点，曲面拟 合则不要求曲面严格包括参 考点，但该方法要求拟合面 相对于已知数据点的高差的 平方和最小，即 -10 -5 0 5 10
[X,Y] = meshgrid(-8:.5:8);; Z=6+(X.^2+Y.^2).^(2/3); mesh(X,Y,Z)
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2.1分块内插（多面叠加内插法）
多面叠加内插法在实际应用中，有以下一些常用的核函数选择 方法：
2.1分块内插（双线性内插）
算法的基本思想 双线性多项式内插是使用最靠近插值点的四个已知数据点 组成一个四边形，进而确定一个双线性多项式来内插待插 点的高程。基于格网的内插广泛采用这种方法。 设确定的函数形式为： 其中
Z a0 a1 x a2 y a3 xy
a0 , a1 , a2 , a3 是所求的参数,设四个点 P ( x1 , y1 , z1 ), P2( x2 , y2 , z2 ), P3( x3 , y3 , z3 ), P4( x4 , y4 , z4 ) 1
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该函数的改进形式的函数如下：
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式中(dki)min2表示数据点i与距离最近的数据点k的距离。当n＝
m时，Q矩阵也不是对称矩阵，因为在每个数据点上有各自的 参数(dki)min。利用该核函数可以很好地考虑地貌结构线的作用，
该条件，故可以使用此法内插。
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2.1分块内插（最小二乘配置法）
首先假设任一分块地表都会有一张能反应其基本形态的趋势面。 趋势面通常用简单的幂级数多项式来表示，对复杂的地表面来
讲，它具有削平、填平实际曲面的作用。
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图中第i号参考点的实测高程数据记为Hi，投影到趋势面的 参考点i的高程记为hi,从趋势面起算的参考点的高程记为Zi。 Zi包含两个部分：实际地面与参考面的较差、和参考点高 程的量测误差ri. 第37
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围内参考点的个数相等Ki(i＝1，2，3，…,n)为待
定参数，它代表了第i个核函数对多层叠加面的贡
献。为了计算方便，多层叠加面中的n个核函数一 般选用同一类型的简单函数，通常是围绕竖向轴 旋转的曲面，这条竖轴正好通过某一参考点。
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各个旋转曲面按一定比例叠加成一张整体的连续曲面，使
之严格地通过各个数据点。
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z f ( x, y ) ki Q( x, y, xi , yi )
i 1
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n
这里Q(x，y，xi，yi)为参加插值计算的简单数学 面，又称多面函数的核函数；n为简单数学面的张 数．或多层叠加面的层数，它的值与分块扩充范
21分块内插第12页数字高程模型由于实际的地形是很复杂的整个地形不可能用一个多项式来拟合因此dem内插中一般不用整体函数内插而采用局部函数内插即分块内插较21分块内插第13页数字高程模型分块内插是把参考空间分成若干分块对各分块使用不同的函数
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第六章 数字高程模型的内插
教学目的与要求
通过本章的学习，让大家掌握DEM内插的各 种方法的原理和过程，包括整体内插、局部内插， 逐点内插。
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是DFM分析与应用中最常用的方法。
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2.1分块内插（线性内插）
算法的基本思想 线性内插是首先使用最靠近插值点的三个已知数据点确定 一个平面，继而求出内插点的高程值的方法。基于TIN的 内插广泛采用这种简便的方法。
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将待插点的坐标代入式中，可得到待定点的高程值。
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1.2整体内插
整体内插方法 整体函数内插法的优点是易于理解，因为简单地形特征参考 点比较少，选择低次多项式来描述就可以了。但当地貌复杂 时，需要增加参考点的个数。选择高次多项式固然能使数学
面与实际地面有更多的重合点，但由于多项式是自变量幂函
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2.1分块内插（二元样条函数内插）
问题的关键是设法求得三次曲面的一阶导数和二阶混合导 数。设R为沿x轴方向的斜率，s是沿y袖方向的斜率，扭矩 为T，则：
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2.1分块内插（二元样条函数内插）
可使用不同的方法求得四个角点的R，S，T值．较为简单 的是使用差商来代替导数。使用等权一阶差商中数求任一 网格点A(i，j)的导数的公式可写为：
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此时只要沿地貌结构线上取一组密集数据点(或先内插出来)，
就会产生很小的(dki)min值，结果在双曲面顶端产生一个大的斜 率，由此保证了内插曲面上突变性的转折。

对多层叠加面的解算，可通过将m个参考点的三维坐标代 入．得一误差方程组，按最小二乘法解求待定系数(m＞n)。
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2.1分块内插（多面叠加内插法）
缺点，实际工作中很少用于直接内插。它的主要用途是在某
种局部内插方法对区域进行内插前，从数据中去除—些不符 合总体趋势的宏观地物特征。
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2.1分块内插
由于实际的地形是很复杂
的，整个地形不可能用一
个多项式来拟合，因此 DEM内插中一般不用整 体函数内插，而采用局部 函数内插(即分块内插较
宜)。
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2.1分块内插
分块内插是把参考空间分成若干分块，对各分块使用不同的函 数。要考虑的问题是各相邻分块函数问的连续性问题。分块的
大小根据地貌复杂程度和参考点的分布密度决定。
一般相邻分块间要求有适当宽度的重叠，以保证相邻分块间能 平滑、连续地拼接。典型的局部内插有线性内插、多项式内插、 双线性内插和样条函数内插等。特别是 基于TIN 和 正方形格网的剖分法双线性内插
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本章重点与难点
本章重点
内插分类 内插的各种方法
数字高程模型
本章难点
各种内插方法
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内容提要
第一节内插方法的分类 第二节整体内插 第三节分块内插
第四节逐点内插法
1.1内插方法的分类
内插是数字高程模型的核心问题，它贯穿在DEM的生
产、质量控制、精度评定和分析应用等各个环节。DEM
内插就是根据若干相邻参考点的高程求出待定点上的高程 值，在数学上属于插值问题。任意一种内插方法都是基于 原始地形起伏变化的连续光滑性，或者说邻近的数据点间 有很大相关性才可能由邻近的数据点内插出待定点的高程。
数的和式，参考点的增减或移位都需对多项式的所有参数做 全面调整，从而参考点间会出现难以控制的振荡现象，使函 数极不稳定。
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1.2整体内插
整体内插方法 另外，整体内插法中需要解求高次的线性方程组，参考点测 量误差的微小扰动都可能引起高次多项式参数的很大变化， 使高次多项式插值很难得到稳定解。由于整体内插法的上述