矩阵论复习题 第二章

第二章 内积空间
一、基本要求
1、掌握欧氏空间和酉空间的定义与性质，掌握Hermite 矩阵的定义，理解欧氏(酉)空间中度量的概念．
2、掌握线性无关组的Schmidt 正交化与对角化方法，理解标准正交基的性质．
3、理解Hermite 二次型的定义．
4、掌握在一组基下的度量矩阵的概念，标准正交基下度量矩阵的性质及两组标准正交基下的度量矩阵的关系．
5、了解欧氏子空间的定义．
6、掌握正交矩阵与酉矩阵的定义与性质，理解正交(酉)变换与正交(酉)矩阵的关系．
7、掌握对称矩阵与Hermite 矩阵的定义与性质，理解对称(Hermite)变换与对称(Hermite)矩阵的关系．
8、掌握矩阵可对角化的条件，会求一个正交(酉)矩阵把实对称(Hermite)矩阵化为对角形矩阵，会求一组标准正交基使线性变换在该基下对应的矩阵是对角形矩阵．
二、基本内容
1、内积空间
设数域F 上的线性空间)(F V n ，若)(F V n 中任意两个向量βα,都有一个确定的数与之对应，记为),(βα，且满足下列三个条件
(1) 对称性：),(),(αββα=，其中),(αβ表示对数),(αβ取共轭；
(2) 线性性：),(),(),(22112211βαβαβααk k k k +=+；
(3) 正定性：0),(≥αα，当且仅当0=α时，0),(=αα，
则称),(βα为向量α与β的内积．当R F =时，称)(R V n 为 欧氏空间；当C F =时，称)(C V n 为酉空间．
注意：在n R 中，),(),(βαβαk k =；在n C 中，),(),(βαβαk k =． 通常的几个内积：
(1) n R 中，αββαβαT T n
i i i y x ===∑=1
),(
n C 中，βαβαH i n
i i y x ==∑=1
),(． 其中T n T n y y y x x x ),,,(,),,,(2121 ==βα．
(2) n m R ⨯中，n m ij n m ij b B a A ⨯⨯==)(,)(，ij m i n
j ij H
b a B A tr B A ∑∑====11)(),(． (3) 在实多项式空间][x P n 及],[b a 上连续函数空间],[b a C 中，函数)(),(x g x f 的内积为
⎰=b a
dx x g x f x g x f )()())(),(( 2、向量的长度、夹角、正交性
定义 ),(ααα=，称为α的长度，长度为1的向量称为单位向量，ααα=0是α的单位向量．
长度有三个性质：
(1) 非负性：0≥α，且00),(=⇔=ααα；
(2) 齐次性：k k k ,αα=表示数k 的绝对值；
(3) 三角不等式：βαβα+≤+．
定理(Cauchy-Schwarz 不等式)βαβα≤),(．
α与β的夹角θ定义为βαβαθ)
,(arccos =．
当0),(=βα时，称α与β正交，记βα⊥．
若非零向量组s ααα,,,21 两两正交，即0),(j
i j i ≠=αα，称s ααα,,,21 是一个正交组；又若s i i ,,2,1,1 ==α，则称s ααα,,,21 为标准正交组，即 ⎩⎨⎧≠==.
,0,,1),(j i j i j i αα 定理(勾股定理) 0),(222=⇔+=+βαβαβα，即βα⊥．
3、标准正交基
标准正交基指欧氏(酉)空间中由两两正交的单位向量构成的基．
构造方法：对欧氏(酉)空间的一个基进行Schmidt 正交化可得正交基，再对
正交基进行单位化可得标准正交基．
把线性无关向量s ααα,,,21 正交化为s βββ,,,21 正交向量组： 设
.,,3,2,),(),(,
1111s k i k i i i i k k k =-==∑
-=ββββααβαβ
再把i β单位化：s i i i i ,,2,1,1
==ββε，则s εεε,,,21 为标准正交组．
在标准正交组n εεε,,,21 下，向量可表为：
=+++=n n x x x εεεα 2211n n εεαεεαεεα),(),(),(2211+++ ， 坐标),(i i x εα=表示α在i ε上的投影长度．
4、基的度量矩阵
度量矩阵是以欧氏(酉)空间的基中第i 个元素与第j 个元素的内积为i 行j 列元素构成的方阵．
设欧氏(酉)空间V 的一个基为n x x x ,,,21 ，令),,2,1,)(,(n j i x x a j i ij ==，则该基的度量矩阵为n n ij a A ⨯=)(．
基的度量矩阵是实对称(Hermite)正定矩阵，它的阶数等于欧氏(酉)空间的维数，正交基的度量矩阵是对角矩阵，标准正交基的度量矩阵是单位矩阵．
设酉空间V 的一个基为n x x x ,,,21 ，该基的度量矩阵为A ，V y x ∈,在该基下的坐标(列向量)分别为α与β，那么x 与y 的内积βαA y x T =),(．当V 为欧氏空间时，βαA y x T =),(．
当此基为标准正交基，酉空间V 的x 与y 的内积βαT y x =),(，欧氏空间V 的x 与y 的内积βαT y x =),(．
设欧氏空间n V 的两个基分别为(Ⅰ)n x x x ,,,21 和(Ⅱ)n y y y ,,,21 ，且由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵为C ，基(Ⅰ)的度量矩阵为A ，基(Ⅱ)的度量矩阵为B ，则有：
(1) AC C B T =．
(2) 基(Ⅰ)是标准正交基的充要条件是I A =．
(3) 若基(Ⅰ)与基(Ⅱ)都是标准正交基，则C 是正交矩阵．
(4) 若基(Ⅰ)(或(Ⅱ))是标准正交基，C 是正交矩阵，则基(Ⅱ)(或基(Ⅰ))是标准正交基．
5、正交变换与对称变换
(ⅰ) 关于正交变换，下面四种说法等价：
1) T 是欧氏空间n V 的正交变换，即对于任意的n V x ∈，有
),(),(x x Tx Tx =；
2) 对于任意的n V y x ∈,，有),(),(y x Ty Tx =；
3) T 在n V 的标准正交基下的矩阵为正交矩阵；
4) T 将n V 的标准正交基变换为标准正交基．
(ⅱ) 关于对称变换，下面两种说法等价：
1) T 是欧氏空间n V 的对称变换，即对于任意的n V y x ∈,，有),(),(Ty x y Tx =； 2) T 在n V 的标准正交基下的矩阵为对称矩阵．
(ⅲ) 若T 是欧氏空间n V 的对称变换，则T 在n V 的某个标准正交基下的矩阵为对角矩阵．
(ⅳ) 在欧氏空间n V 中，若正交变换T 的特征值都是实数，则T 是对称变换．
6、相似矩阵
(1) n n C A ⨯∈相似于上(下)三角矩阵．
(2) n n C A ⨯∈相似于Jordan 标准形矩阵．
(3) n n C A ⨯∈酉相似于上三角矩阵．
(4) 设n n C A ⨯∈，则H H AA A A =的充要条件是存在酉矩阵P ，使得Λ=AP P H (对角矩阵)．
(5) 设n n C A ⨯∈的特征值都是实数，则T T AA A A =的充要条件是存在正交矩阵Q ，使得Λ=AQ Q T ．
(6) 实对称矩阵正交相似于对角矩阵．
三、典型例题
例1、在n R 中，设),,,(),,,,(2121n n ηηηβζζζα ==，分别定义实数),(βα如下： (1) 21
212)(),(i n i i ηζβα∑==；
(2) ))((),(11∑∑===n
j j n i i ηζβα；
判断它们是否为n R 中α与β的内积．
解 (1) 设R k ∈，由
==∑=21122)
)((),(n i i i k k ηζβα
),()(21212
βαηζk k i
n i i =∑=
知，当0<k 且0),(≠βα时，),(),(βαβαk k ≠．故该实数不是n R 中α与β的内积．
(2) 取0)0,,0,1,1(≠-= α，有
0),(,01==∑=ααζ
n i i
故该实数不是n R 中α与β的内积．
例2、n R 中，向量组n ααα ,,21线性无关的充要条件是
0)
,(),(),(),(),(),()
,(),(),(212221212111≠n n n n n n αααααααααααααααααα
． 证 方法一 设),,(21n A ααα =，则
⇔≠====⨯⨯0),(2
A A A A A T T n n j T i n n j i αααα n A ααα,,,021 ⇔≠线性无关．
方法二 设02211=+++n n x x x ααα ，则
n i x x x i n n ,,2,1,0),(2211 ==+++αααα，
即
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++,
0),(),(,0),(),(,0),(),(1121211111n n n n n n n n x x x x x x αααααααααααα 齐次方程组仅有零解的充要条件是系数矩阵的行列式0),(≠j i αα，即n ααα,,,21 线性无关．
例3、设欧氏空间3][t P 中的内积为
⎰-=1
1)()(),(dt t g t f g f (1) 求基2,,1t t 的度量矩阵．
(2) 采用矩阵乘法形式计算21)(t t t f +-=与2541)(t t t g --=的内积． 解 (1) 设基2,,1t t 的度量矩阵为33)(⨯=ij a A ，根据内积定义计算)(j i a ij ≤
2)1,1(1111===⎰-dt a ，0),1(1
1
12===⎰-tdt t a ， 3
2),1(112213===⎰-dt t t a ，32),(11222===⎰-dt t t t a ， 0),(113223===⎰-dt t t t a ，52),(1142233===⎰-dt t t t a ． 由度量矩阵的对称性可得)(j i a a ji ij >=，于是有
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=5203203203202A ． (2) )(t f 和)(t g 在基2,,1t t 下的坐标分别为T T )5,4,1(,)1,1,1(--=-=βα，那么
05415203203203202)1,1,1(),(=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==βαA g f T ． 例4、欧氏空间3][t P 中的多项式)(t f 和)(t g 的内积为
⎰-=1
1)()(),(dt t g t f g f ， 取t t f =)(1，记子空间))((1t f L W =．
(1) 求T W 的一个正交基；
(2) 将T W 分解为两个正交的非零子空间的和．
解 (1) 设T W t k t k k t g ∈++=2210)(，则有0),(1=g f ，即
0)()()(1
122101
11=++=⎰⎰--dt t k t k k t dt t g t f ， 也就是01=k ．于是可得
},,)()({20220R k k t k k t g t g W T ∈+==．
取T W 的一个基为2,1t ，并进行正交化可得
,31),(),()(,
1)(2111122
21-=-==t g g g g t t t g t g 那么，)(),(21t g t g 是T W 的正交基．
(2) 令))(()),((2211t g L V t g L V ==，则1V 与2V 正交，且21V V W T +=． 例5、已知欧氏空间2V 的基21,x x 的度量矩阵为
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=5445A ， 采用合同变换方法求2V 的一个标准正交基(用已知基表示)．
解 因为A 对称正定，所以存在正交矩阵Q ，使得Λ=AQ Q T (对角矩阵)，计算得
,111121,9001⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ΛQ ,131323121
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=Λ=-Q C 则有E AC C T =．于是，由C x x y y ),(),(2121=可得2V 的一个标准正交基为
)(231
),(21
212211x x y x x y +=-=．
例6、在欧氏空间中，定义α与β的距离为：βαβα-=),(d ，试问：保持距离不变的变换是否为正交变换？
答 不一定，例如2R 中向量的平移变换：
)1,1(),(,),(2++=∈=∀y x y x T R y x α，
)1,1()(),1,1()(,),(),,(2221112222111++=++=∈==y x T y x T R y x y x αααα， ),()()()()())(),((21212212212121ααααααααd y y x x T T T T d =-=-+-=-=． 虽然保持距离不变，但平移变换不是线性变换，更不是正交变换．
例7、设n ααα,,,21 与n βββ,,,21 是n 维欧氏空间两个线性无关的向量组，证明存在正交变换T ，使n i T i i ,,2,1,)( ==βα的充要条件是
n j i j i j i ,,2,1,),,(),( ==ββαα．
证 必要性 因为T 是正交变换：),())(),((j i j i T T αααα=，又已知i i T βα=)(，故有),(),(j i j i ββαα=．
充分性 定义变换T ，使得n i T i i ,,2,1,)( ==βα，则T 是线性变换，且是唯一的．下证T 是正交变换．已知),(),(j i j i ββαα=，则有),(),(j i j i T T αααα=，设n V ∈∀βα,，∑∑====n
j j j n i i i y x 11,αβαα，
则
),(),(),(1111j i j n i n
j i n j j j n i i i y x y x ααααβα∑∑∑∑======，
))
(),(())(,)(())(),((1111j i j n i n j i n j j j n i i i T T y x T y T x T T ααααβα∑∑∑∑======
),(11j i j n i n
j i y x αα∑∑===．
即n V ∈∀βα,，),())(),((βαβα=T T ，故T 是正交变换．
例8、设321,,ααα是欧氏空间3V 的一组标准正交基，求出3V 的一个正交变换T ，使得
⎪⎩
⎪⎨⎧+-=-+=).22(31)(),22(31)(32123211ααααααααT T 解 设3322113)(ααααx x x T ++=，使得)(),(),(321αααT T T 是标准正交的，因)(),(21ααT T 已标准正交，则只要满足
1)(,0))(),((,0))(),((32313===αααααT T T T T ，即
⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=-+.1,022,022232221
321321x x x x x x x x x
解得32,32,31321==-=x x x ，即)22(3
1)(3213αααα++-=T ，得)(),(),(321αααT T T 是标准正交基．因T 把标准正交基变为标准正交基，故T 是正交变换．
另法 设)(3αT 的坐标为T x x x ),,(321，由
A x x x T T T ),,(323131323232),,())(),(),((321321321321ααααααααα=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=． T 是正交变换⇔A 为正交阵．由E A A T =，解得
32,31321==-=x x x ，则)22(3
1)(3213αααα++-=T ． 例9、设0x 是欧氏空间V 中的单位元素，定义变换
00),(2)(x x x x x T -= )(V x ∈
(1) 验证T 是线性变换；
(2) 验证T 既是正交变换，又是对称变换；
(3) 验证0x 是T 的一个特征向量，并求其对应的特征值． 证 (1) 设V y x ∈,，R l k ∈,，则有
00),(2)()(x x ly kx ly kx ly kx T +-+=+=]),(2[]),(2[0000x x y y l x x x x k -+-
=))(())((y T l x T k +， 故T 是线性变换．
(2) 因为
),(),(),(4),)(,(4),())(),((002000x x x x x x x x x x x x x T x T =+-= 所以T 是正交变换．设V y ∈，则00),(2)(x x y y y T -=，于是有
).
),((),)(,(2),())(,(),
,)(,(2),()),((0000y x T x x x y y x y T x y x x x y x y x T =-=-=
故T 也是对称变换．
(3) 直接计算可得 .)1(2),(2)(00000000x x x x x x x x T -=-=-=
故0x 是T 的对应于特征值1-=λ的特征向量．
例10、证明欧氏空间n V 的线性变换T 为反对称变换，即),()),(,()),((n V y x y T x y x T ∈-=的充要条件是T 在n V 的标准正交基下的矩阵为反对称矩阵．
证 设n V 的一个标准正交基为n x x x ,,,21 ，线性变换T 在该基下的矩阵为n n ij a A ⨯=)(，即
A x x x x x x T n n ),,(),,,(2121 =．
则有
.))(,(,)(,)),((,)(22112211ij j i n nj j j j ji j i n ni i i i a x T x x a x a x a x T a x x T x a x a x a x T =+++==+++= 必要性 设T 是反对称变换，则有))(,()),((j i j i x T x x x T -=，即ij ji a a -=，),,2,1,(n j i =，故A A T -=．
充分性 设A A T -=，则对任意的n V y x ∈,有
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n A x x x T x x x ξξξξ 1111),,()(,),,(，
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n A x x y T x x y ηηηη 1111),,()(,),,(． 因为n x x x ,,,21 是标准正交基，所以
=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅=n T n A y x T ηηξξ 11),,()),(()).(,(),,(11y T x A n n -=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⋅-ηηξξ 故T 是反对称变换．
例11、设欧氏空间n V 的正交变换T 的特征值都是实数，证明存在n V 的标准正交基，使得T 在该基下的矩阵为对角矩阵．
分析 正交矩阵是实的正规矩阵，当它的特征值都是实数时，它能够正交相似于对角矩阵．
证 设n V 的一个标准正交基为n x x x ,,,21 ，正交变换T 在该基下的矩阵为
A ，那么A 是正交矩阵，也是实的正规矩阵．因为T 的特征值都是实数，所以A 的特征值都是实数．于是存在正交矩阵Q ，使得
Λ==def
n T
diag AQ Q ),,,(21λλλ ，
其中),,2,1(n i i =λ是A 的特征值．令
Q x x x y y y n n ),,,(),,,(2121 =，
则n y y y ,,,21 是n V 的标准正交基，且T 在该基下的矩阵为
Λ==-AQ Q AQ Q T 1
【评注】 本例结果表明，特征值都是实数的正交变换是对称变换． 例12、设T 是欧氏空间V 的正交变换，构造子空间
},),({},,)({21V x x T x y y V V x x x T x V ∈-==∈==
证明⊥=21V V ．
证 先证⊥⊂21V V ．任取10V x ∈，则有00)(x x T =．对于任意的2V y ∈，有
))(,(),())(,(),(0000x T x x x x T x x y x -=-=
0),(),())(),((),(0000=-=-=x x x x x T x T x x 所以,20⊥∈V x 故.21⊥⊂V V
再证12V V ⊂⊥，任取⊥∈20V x ，那么200))((V x T x ∈-，从而有
0))(,(000=-x T x x ，
.
0))(,(2),())(,(2),())(),(())(,(2),())(),((0000000000000000000=-=+-=+-=--x T x x x x x T x x x x T x T x T x x x x T x x T x
所以0)(00=-x T x ，即00)(x x T =，也就是10V x ∈，故12V V ⊂⊥．
例13、设n m C A ⨯∈，酉空间m C 中的向量内积为通常的，证明
)()]([H A N A R =⊥．
分析 设m C 中的向量T m ),,,(21ξξξα =与向量T m ),,,(21ηηηβ =的内积为
βαηξηξηξβαT m m =+++= 2211),(，
则0=βαT 的充要条件是0=βαH ，或者0=αβH ．
证 划分),,,(21n a a a A =，则有
),,,()(21n a a a L A R =，
},),({)]([11m j n n C C k a k a k A R ∈∈++⊥=⊥βββ
},,,2,1,{m j C n j a ∈=⊥=βββ
},,,2,1,0{m
H j
C n j a ∈===βββ )(},0{H m H A N C A =∈==βββ．
例14、设n m C B A ⨯∈,，酉空间m C 中的内积为通常的，证明：)(A R 与)(B R 正交的充要条件是0=B A H ．
证 划分),,,(21n a a a A =，),,,(21n b b b B =，则有
),,,()(21n a a a L A R =，),,,()(21n b b b L B R =
根据例15结果可得，)(A R 与)(B R 正交的充要条件是
)()]([)(H A N A R B R =⊂⊥，
即
)()(H j A N B R b ⊂∈ ),,2,1(n j =，
或者
0=j H b A ),,2,1(n j =，
也就是0=B A H ．
例15、在4R 中，求一单位向量与)1,1,1,1(),1,1,1,1(---及)3,1,1,2(均正交． 解 设),,,(4321ξξξξ=x 和已知向量正交，即
⎪⎩⎪
⎨⎧=+++=+--=+-+.
032,0,04321
43214321ξξξξξξξξξξξξ 该齐次线性方程组的一个非零解为)3,1,0,4(-=x ，单位化可得
)26
3
,261,0,264(1-==
x x y ，即y 为所求的单位向量． 例16、设A 为n 维欧氏空间V 的一个线性变换，试证：A 为正交变换的充分必要条件是
βαβα-=-)()(A A ．
证 必要性
))()(),()(()()(βαβαβαA A A A A A --=-
),(),(),(),(βββααβαα+--= βαβαβα-=--=),(．
充分性 取0=β，于是有αα=)(A ，即A 保持V 中的向量长度不变，所以A 为正交变换．
例17、对于矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=542452222
A ，求正交(酉)矩阵P ，使AP P AP P T
=-1为对角矩阵．
解 可求得)10()1()det(2--=-λλλA I ，于是A 的特征值为
10,1321===λλλ．对应121==λλ的特征向量为
T T x x )1,0,2(,)0,1,2(21=-=．
正交化可得T T y y )1,5
4
,52(,)0,1,2(21=-=；再单位化可得
T T p p )5
35
,
534
,
532
(
,)0,5
1,
5
2(21=-
=．
对应103=λ的特征向量为T x )1,1,2
1
(3--=，单位化可得
T p )3
2
,32,31(3--=，
故正交矩阵
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣
⎡---
=325
35032534513153252P 使
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=1011AP P T ． 例18、设A 是n 阶实对称矩阵，且A A =2(即A 是幂等矩阵)，证明存在正交矩阵Q 使得
)0,,0,1,,1(1 diag AQ Q =-．
证 设A 的属于特征值λ的特征向量为x ，即x Ax λ=，则有x x A 22λ=．因为A A =2且0≠x ，所以02=-λλ，即0=λ或1．再由A 实对称知，存在正交矩阵Q 使得
)0,,0,1,,1(1 diag AQ Q =-．
例19、设21,V V 是欧氏空间V 的两个子空间，证明
.
)(,)(2
1
212121⊥⊥
⊥
⊥⊥⊥+==+V V V V V V V V
证 先证第一式．设⊥+∈)(21V V x ，即)(21V V x +⊥．于是1V x ⊥且2V x ⊥，
或者⊥∈1V x 且⊥∈2V x ，即⊥⊥∈21V V x ．故
)()(2121⊥⊥⊥⊂+V V V V ．
又设⊥⊥∈21V V x ，即⊥∈1V x 且⊥∈2V x ．于是1V x ⊥且2V x ⊥，或者)(21V V x +⊥，即⊥+∈)(21V V x ．故
⊥⊥⊥+⊂)()(2121V V V V ．
因此第一式成立．
对⊥1V 与⊥2V 应用第一式，有
212121)()()(V V V V V V ==+⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥，
故⊥⊥⊥+=2121)(V V V V ，即第二式成立．
例20、(1) 设A 为酉矩阵且是Hermite 矩阵，则A 的特征值为1或1-． (2) 若A 是正规矩阵，且A 的特征值1=λ，则A 是酉矩阵．
证 (1) 因A 为酉矩阵，则A 的所有特征值λ具有1=λ；又A 是Hermite 矩阵，则A 的特征值皆为实数，故A 的特征值为1或1-．
(2) 因A 是正规矩阵，且A 的特征值1=λ，则有酉矩阵U ，使得
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=n H H n H U A U AU U λλλλ 11,， .1122
1E AU A U n H H =⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡=⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎣
⎡=
λλ 故有E A A H =，即A 是酉矩阵．
例21、A 为n 阶正规矩阵，),,2,1(n i i =λ是A 的特征值，证明A A H 与H
AA 的特征值为n i i ,,2,1,2
=λ．
证 由A 正规，则
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=n H H n H U A U AU U λλλλ 11,，
U AA U AU A U H
H n H H =⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢
⎣
⎡=22
1λλ ，
故A A H 与H AA 的特征值皆为2
2
22
1,,,n λλλ ．
例22、设A 为n 阶正规矩阵，证明 (1) 若对于正数m ，有0=m A ，则0=A ． (2) 若A A =2，则A A H =． (3) 若23A A =，则A A =2．
证 (1) 若0=m A ，则A 的特征值皆为零，又A 是正规矩阵，A 可酉对角化，即有
⎥
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣
⎡=000 AU U H ， 故有0=A ．
(2) A A =2，则A 的特征值为1或0，假定r A r =)(；A 可酉对角化为：
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=000,000)(,00
0r H
H H
r H H r
H E U A U E AU U E AU U ， 可得A A H =．
(3) 23A A =，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡=⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=22
121)(,n H n H AU U AU U λλλλ ， ⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=33
132212,n H n H U A U U A U λλλλ ，
由23A A =，得0,2
3==i i i λλλ或1=i λ，不妨设
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=00
0r
H E AU U ，也有⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=0002
r H E U A U ， 故有A A =2．
例23、A 为n 阶Hermite 矩阵，设A 的n 个特征值为n λλλ≤≤≤ 21，证明
1min ,max λλ==∈∈X
X AX
X X
X AX X H H C X n H H C X n n ． 证 对于Hermite 二次型AX X f H =，必有酉变换UY X =，使化为标准形
2
222211n n UY
X H
y y y AX X λλλ+++== ，
又2
2
2
212
2
n H y y y Y
X X X
+++=== ，则
n n
n n H H y y y y y y X X AX X λλ=++++++≤2
22212
2
22
1)
( ． 设n X 为A 对应于n λ的特征向量，即n n n X AX λ=，则
n n
H
n n
H n n n H n n H n X X X X X X AX X λλ==， 故有
n H H C X X
X AX X n λ=∈max ． 同理有
1min λ=∈X
X AX X H H C X n ． 例24、A 是正规矩阵，证明
(1) A 的特征向量也是H A 的特征向量． (2) n C X ∈∀，AX 与X A H 的长度相等． 证 (1) A 为正规矩阵，则有酉矩阵，使得
⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢
⎣
⎡=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢
⎣
⎡=n H H n H
U A U AU U λλλλλλ
2
12
1,， 其中],,,[21n U ααα =，n ααα,,,21 为A 的特征向量，
由上两式可见i i i A αλα=，i i i H A αλα=，故A 与H A 有相同的特征向量．
(2) 由H H AA A A =，
X AA X X A X A X
A H H H H H H ==)()(2
2
)()(AX AX AX AX A X H H H ===． 证得
AX X A H =．
例25、B A ,为n 阶实对称矩阵，B 为正定矩阵，证明存在同一可逆矩阵P ，使
Λ=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡==n T H u u AP P I BP P 1,
． 证 B 为正定矩阵，必有可逆矩阵Q ，使
.E BQ Q T =
因A 为对称矩阵，则AQ Q T 也是对称矩阵，所以存在正交矩阵C ，使得
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=n T T u u AQC Q C 1， 令QC P =，就有
Λ=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=n T u u AP P 1． 又E C C EC C BQC Q C T T T T ===，即有E BP P T =，故存在同一可逆矩阵P ，使
Λ==AP P E BP P T T ,．
例26、(1) 设n n C A ⨯∈，则n n U A ⨯∈的充要条件是A 的n 个列(或者行)向量是标准的正交向量组．
(2) r n r U U ⨯∈1的充要条件是E U U H =11． 证 (1) 必要性 设
⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==H n H H H n A A αα
αααα 2121],,,[．
由于E A A H =，所以有
E n H n H n H n n H H H n H H H n
H n H H =⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡αααααααααααααααααααααααα 212221
2121112121],,,[， 于是可得
⎪⎩⎪⎨⎧==≠=j
i j
i j H
i j H
i ,1,0αααα 这表明矩阵A 的n 个列向量是一个标准的正交向量组．同样可以证明A 的n 个行
向量是一个标准的正交向量组．
充分性 设矩阵A 的n 个列向量n ααα,,,21 是一个标准的正交向量组，那么有
⎪⎩⎪⎨⎧==≠=j
i j
i j H
i j H i ,1,0αααα 从而可知
E n H n H n H n n H H H n H H H n
H n H H =⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡αααααααααααααααααααααααα 212221
2121112121],,,[， 此即E A A H =，进一步也有E AA H =，这表明A 为一个酉矩阵．类似地可以证明行的情况．
(2) 必要性 设矩阵1U 的r 个列向量r ααα,,,21 是一个标准的正交向量组，那么有
⎪⎩⎪⎨⎧==≠=j i j
i j
H
i j H
i ,1,0αααα 由此可得
r r H r H r H r r H H H r H H H r H r H H H E U U =⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=αααααααααααααααααααααααα 212221************],,,[． 充分性 设
.],,,,[211211⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==H r H H H
r U U αααααα 由于r H E U U =11，所以有
r
r H r H r H r r H H H r H H H r H r H H E =⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡αααααααααααααααααααααααα 2122212121112121],,,[．
于是可得
⎪⎩⎪⎨⎧==≠=j i j
i j
H
i j H
i ,1,0αααα 这表明矩阵1U 的r 个列向量r ααα,,,21 是一个标准的正交向量组．
例27、已知
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=502613803
A ， 试求酉矩阵U ，使得AU U H 是上三角矩阵．
解 首先求出其特征多项式3)1(+=-λλA E ．
当1-=λ时，求出属于特征值1--1的一个单位特征向量
T ]6
1,
6
1,
6
2[1-
=η．
解与1η内积为零的方程
02321=++-x x x ，
求得一个单位解向量
T
]3
3,33,33[
2=η．
解与21,ηη内积为零的方程
⎩
⎨
⎧=++=++-00
2321321x x x x x x 又求得一个单位解向量
T ]22,22,0[3-
=η． 于是取
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣
⎡--
=223
361223361033621U ， 经过计算可得
⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢
⎢
⎣
⎡-----=626
503654
033722
7111AU U H ． 记
⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡
--=62
6536541A ， 可得
21)1(+=-λλA E ．
对于1-=λ时，求得一个单位特征向量
T
]5
15,510[1-
=γ， 再求得一个与1γ正交的向量2γ
T
]5
10,515[
2=γ． 令
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣
⎡-=5105
15515510
1V ， 经计算可得
⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡---=10
66251111
V A V H
．
令
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢
⎢⎢⎢⎣
⎡-
=510515051551000012U ， 记
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣
⎡---
==55230
3061063061
551530
6221U U U ， 则
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣
⎡-----=10
0662510
201571530
1AU U H ．
例28、设B A ,均为n 阶正规矩阵，试证A 与B 相似的充要条件是A 与B 酉相似．
证 必要性 由于A 与B 均为正规矩阵，所以分别存在正规矩阵21,U U ，使得
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢
⎣⎡=n H
AU U λλλ
2
111 ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢
⎣
⎡=n H
BU U μμμ
2
122 其中),,2,1(0n i i =>λ为A 的特征值，),,2,1(0n i i =>μ为B 的特征值．又A 与
B 相似，
于是有2211,BU U AU U H
H i i ==μλ，此时B U AU U U H =--121121)(，这表明A 与B 相似．
充分性 显然．
例29、已知A 为实矩阵，且有T T AA A A =，证明A 必为对称矩阵． 证 由T T AA A A =可知，A 为正规矩阵，那么存在酉矩阵U ，使得
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=n H H n H U A U AU U λλλλ 11,， 从而有
⎥
⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢
⎢⎣
⎡=22
1
n T
H AU A U λλ ．
又A A T 为实矩阵，由上式可知其特征值也是实数，从而矩阵U 是一个正交矩阵，即1-==U U U T H ，从而有
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=-n AU U λλ 11， 其中n λλ,,1 一定为实数．同样也有
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=-n T U A U λλ 11． 由此可得A A T =，即A 为实对称矩阵．
例30、设B A ,均为正规矩阵，且有BA AB =，证明： (1)B A ,至少有一个公共的特征向量；
(2)B A ,可同时酉相似于上三角矩阵，即存在酉矩阵W ，使得AW W H 以及
BW W H 均为上三角矩阵；
(3)B A ,可同时酉相似于对角矩阵； (4)AB 与BA 均为正规矩阵．
证 (1) 设λV 是矩阵A 的属于特征值λ的特征子空间，若λαV ∈，即
λαα=A ，则αλαB BA =，由于BA AB =，所以有)()(αλαB B A =，这表明
λαV B ∈，从而λV 是B 的不变子空间，故在λV 中存在B 的特征向量β，它也是A 的特征向量．
(2) 对B A ,的阶数用归纳法证明．当B A ,的阶数均为1时，结论显然成立．设单位向量1α是B A ,的一个公共特征向量，再适当选取1-n 个单位向量n αα,,2 ，使得},,,{21n ααα 为标准正交基，于是],,,[21n U ααα =为酉矩阵，且有
],,,[,
2111n B B b BU b B ααααα ==．
进一步可得,01B B b BU U H
=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡=β这里β是)1(1-⨯n 矩阵，1B 是一个1-n 阶矩阵，另外也有A A a
AU U H =⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡=10η，这里η是)1(1-⨯n 矩阵，1A 是一个1-n 阶矩阵．
由BA AB =又有)()()()(H H H H UAU UBU UBU UAU ⋅=⋅，于是可得BA AB =，由此可推得1111A B B A =．故由归纳法假设，存在1-n 阶酉矩阵1V ，使得
∆=111V B V H ，这里∆为一个上三角矩阵，记
.,0011UV W V V =⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡=
于是有
V BU U V BW W H H H )(=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∆=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000100011111V b V B b V H ββ， 显然BW W H 是一个上三角矩阵．容易验证W 是酉矩阵．同样可得，AW W H 也是一个上三角矩阵．
(3) 由(2)可设R AW W H =，这里R 是一个上三角矩阵，那么H H H R W A W =，从而可得
H H H H H H W RR W W W R W RW AA )(=⋅=，
H H H H H H W R R W W RW W W R A A )(=⋅=．
又A A AA H H =，所以可得R R RR H H =，从而知R 为一个对角矩阵．同样可证
BW W H 也是一个对角矩阵．
(4) 由(3)可设
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=n H n H u u BW W AW W 11,λλ， 于是有
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n H ABW W μλμλ 11． 由正规矩阵结构定理可知AB 为正规矩阵，那么BA 也为正规矩阵．
【评注】教材中已给出一种证明方法，但是与这里的证明方法完全不同，这里主要运用Schur 引理的证明思想．
例31、已知下列正规矩阵，求酉矩阵U ，使得AU U H 为对角矩阵．
(1)⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=0000110i i A (2)⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+------+=062266234426434i i i i i i i i
A (3)⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-=1111A 解 (1) 首先求出矩阵A 的特征多项式为)2(2+=-λλλA E ，所以A 的特征
值为0,2,2321=-==λλλi i ．
对于特征值i 2，求得一个特征向量T i X ]1,,2[1-=． 对于特征值i 2-，求得一个特征向量T i X ]1,,2[2--=． 对于特征值0，求得一个特征向量T i X ]1,,0[3=．
由于A 为正规矩阵，所以321,,X X X 是彼此正交的，只需分别将321,,X X X 单位化即可
T
T
T
i i i ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=22,22,0,21,2,22,21,2,22321ααα，
于是取
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--
-==222
12
12222022
22
],,[321i i i
U ααα， 而且有
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=000020002i i AU U H ．
(2) 首先求出矩阵A 的特征多项式为)9)(81(2-+=-λλλA E ，所以A 的特征值为9,9,9321==-=λλλi i ．
对于特征值i 9-，求得一个特征向量T i
X ]1,1,2[1-=．
对于特征值i 9，求得一个特征向量T i X ]1,21
,[2-=．
对于特征值9，求得一个特征向量T i X ]2
1
,1,[3-=．
由于A 为正规矩阵，所以321,,X X X 是彼此正交的，只需分别将321,,X X X 单位化即可
T
T T i i i ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=31,32,32,32,31,32,32,32,3321ααα．
于是取
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡---==313
23
2323132
32323],,[321i i
i U ααα， 从而有
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=900090009i i AU U H ． (3) 首先求出矩阵A 的特征多项式为222+-=-λλλA E ，所以A 的特征值为i i -=+=1,121λλ．
对于特征值i +1，求得一个特征向量T i X ]1,[1=． 对于特征值i -1，求得一个特征向量T i X ]1,[2-=．
由于A 为正规矩阵，所以21,X X 是彼此正交的，只需分别将21,X X 单位化即可
T
T
i i ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=22,22,
22,2
221αα．
于是取
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢
⎣
⎡-==22222222],[21i i U αα， 从而有
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+=i i AU U H
1001． 【评注】这三个题目只需按照教材介绍的正规矩阵可对角化具体过程进行即
可．
例32、试举例说明：可对角化矩阵不一定可酉对角化．
解 设Y X ,是两个线性无关但不正交的向量，记],[Y X P =，取
b a b a D ≠⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡=,00 那么
1-=PDP A ，
就是一个可对角化矩阵，但不是可酉对角化矩阵．
例33、证明
(1) Hermite 矩阵的特征值为实数；
(2) 反Hermite 矩阵的特征值为零或纯虚数； (3) 酉矩阵特征值的模长为1．
证 (1) 设A 为一个Hermite 矩阵，λ是A 的一个特征值，X 为对应于特征值为λ的一个特征向量，即有X AX λ=，在此式两端取共轭转置可得
.
,H
H
H H H X A X X A X λλ==
用X 从右端乘上式两端有
X X AX X H H λ=，
于是有
X X X X H H λλ=．
由于0≠X ，所以0≠X X H ，从而有λλ=，这表明λ是实数．
(2) 设A 为一个反Hermite 矩阵，
λ是A 的一个特征值，X 为对应于特征值λ的一个特征向量，即有X AX λ=，在此式两端取共轭转置可得
.
,H
H
H H H X A X X A X λλ=-=
用X 从右端乘上式两端有
X X AX X H H λ=-，
于是有
X X X X H H λλ=-．
由于0≠X ，所以0≠X X H ，从而有λλ=-，这表明λ为零或纯虚数． (3) 设A 为一个酉矩阵，λ是A 的一个特征值，X 为对应于特征值λ的一个特征向量，即有X AX λ=，在此式两端取共轭转置可得
H H H X A X λ=．
用AX 从右端乘上式两端有
X X EX X H H λλ=，
于是有
0)1(=-X X H λλ．
由于0≠X ，所以0≠X X H ，从而有1=λλ，这表明λ的模长为1．
例34、设A 与B 均为Hermite 矩阵，试证A 与B 酉相似的充要条件是A 与B 的特征值相同．
证 必要性 由于相似矩阵有相同的特征值，所以A 与B 的特征值相同．
充分性 A 与B 均为Hermite 矩阵，所以分别存在酉矩阵21,U U ，使得
.,2122211⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=n H n H BU U AU U ηηηδδδ
其中),,2,1(n i i =δ为A 的特征值，),,2,1(2n i =η为B 的特征值．又i i ηδ=，从
而2211BU U AU U H H =，此即B U U A U U H
H H =)()(2121，这表明A 与B 酉相似．
例35、设A 是Hermite 矩阵，且A A =2，则存在酉矩阵U ，使得
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=00
0r
H E
AU U ． 证 由于A 是Hermite 矩阵，所以存在酉矩阵
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢
⎣
⎡=n H
AU U λλλ
2
1， 其中),,2,1(n i i =λ为A 的特征值，又A 为幂等矩阵，于是0=i λ或1．不妨设A 的秩为r ，那么i λ中有r 个1，r n -个0．
记0,12121========-++r n r r r λλλλλλ ．即
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=000r
H E
AU U ． 例36、设3R 中的向量为),,(321ξξξα=，线性变换为
)32,32,22()(32132132ξξξξξξξξα+---+---=T ，
求3R 的一个基，使T 在该基下的矩阵为对角矩阵．
解 取3R 的简单基321,,e e e ，计算得
),3,1,2()(),1,3,2()(),2,2,0()(321--=--=--=e T e T e T
那么，T 在基321,,e e e 下的矩阵为
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-----=312132220A ． A 的特征值为2,4321-===λλλ，与之对应的线性无关的特征向量依次为
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-112,201,021． 令
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=Λ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=244,120102211P ， 则有Λ=-AP P 1，由P e e e ),,(),,(321321=ααα求得3R 的另一个基为
).
1,1,2(2),2,0,1(2),
0,2,1(23213312211=++=-=+-=-=+-=e e e e e e e ααα T 在该基下的矩阵为Λ．
四、教材习题同步解析
1、设V 是实数域R 上的n 维线性空间，12,,,n εεε 是V 的一组基，对于V 中向量
n n x x x εεεα+++= 2211， n n y y y εεεβ+++= 2211，
定义内积为
n n y nx y x y x +++= 22112),(βα，
证明V 在此内积下构成一个内积空间．
证 设R k V z z z n n ∈∈+++=,2211εεεγ ，则有
n n x ny x y x y +++== 22112),(),(αββα；
111222(,)()2()()n n n x y z x y z nx y z αβγ+=++++++
11221122(2)(2)
n n n n x y x y nx y x z x z nx z =+++++++
(,)(,)αβαγ=+；
1122(,)2(,)n n k kx y kx y nkx y k αβαβ=+++= ．
当0=α时，0),(=αα；当0≠α时，至少有一个00≠i x ，从而
0),(2
00>=i x i αα，因此，该实数是V 上的内积，V 构成一个内积空间．
2、设V 是实数域R 上的n 维线性空间，n εεε,,21 是V 的一组基，A 是一个
n 阶正定实对称矩阵．定义V 的内积如下：对于V 中向量βα,，如果它们在基
12,,,n εεε 下的坐标分别为y x ,，则
Ay x T =),(βα，
证明V 是一个内积空间．
证 设V ∈γ，在基12,,,n εεε 下的坐标为z ，R k ∈，则有
),()(),(αββα=====Ax y x A y Ay x Ay x T T T T T T ； ),(),()(),(γαβαγβα+=+=+=+Az x Ay x z y A x T T T ； ),()(),(βαβαk Ay kx Ay kx k T T ===；
因为A 为n 阶正定实对称矩阵，所以Ax x T =),(αα为正定二次型．0≠α时，
0),(>αα；0=α时，0),(=αα，所以V 是一个内积空间．
3、在实内积空间4R (内积为实向量的普通内积)中，已知
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1111,1111,0011321βββ，
试求出与321,,βββ都正交的单位向量．
解 设T x x x x ),,,(4321=α满足,3,2,1,0),(==i i βα有
⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=--+=+0
004321
432121x x x x x x x x x x ，可取T
)1,1,1,1(--=α，故单位向量为 T ⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,21,21,21或T
⎪⎭
⎫
⎝⎛--21,21,21,21． 4、设内积空间3C 中向量βα,的内积为
αββαH =),(
判断下述向量βα,是否正交：
1)T T i i i i )2,1,1(,),,1(-+=--=βα； 2)T T i i i i i )3,1,,1(,)2,,1(-=+-=βα．
解 1)01)2,1,1(),(=⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛--+-=i i i i βα，故正交．
2)04721)3,,1(),(≠+=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+-+-=i i i i i i βα，故不正交．
5、设12,,,n ααα 是n 维内积空间V 的一组基，如果V 中向量β使
.,2,1,0),(n i i ==αβ
证明 0=β．
证 令n n x x x αααβ+++= 2211，有0),(),(),(1
1
===∑∑==n
i i i n
i i i x x αβαβββ，
由内积定义，有0=β．
6、设V 是实数域R 上的内积空间，321,,εεε是V 的一组标准正交基．证明
)22(3
1),22(31),22(3
1
321332123211εεεηεεεηεεεη--=+-=-+=
也是V 的一组标准正交基．
证 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=323
23
132
3132313232),,(),,(3213
21εεεηηη，记矩阵 ⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--
--=323231323132313232
A ，因为,E A A T =所以A 为正交矩阵，又因为321,,εεε为标准
正交基，所以321,,ηηη也是标准正交基．
7、设54321,,,,εεεεε是5维内积空间V 的一组标准正交基．32132125112,,εεεαεεαεεα++=-=+=．求子空间),,(321αααL 的一组标准正交基．
解 设0332211=++αααk k k ，则
0)()2(51332321321=+++-+++εεεεk k k k k k k ，
因为5321,,,εεεε线性无关，则0321===k k k ，所以321,,ααα线性无关，所以他们是),,(321αααL 的一组基．将321,,ααα正交化，单位化，即得),,(321αααL 的一组标准正交基．
记)0,0,1,1,2(),0,0,0,1,1(),1,0,0,0,1(321=-==x x x ，则正交化，
11x y =；
⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-
=21,0,0,1,2
1
),(),(1111222y y y y x x y ；
()1,0,1,1,1)
,()
,(),(),(13222231111333-=-=--=y x y y y y x y y y y x x y ；
单位化
)1,0,0,0,1(2
22211==
y z ；
)1,0,0,2,1(6
63622--==y z ； )1,0,1,1,1(2
1
3-=
z 所以标准正交基
)(2
1),2(66),(22532135212511εεεεγεεεγεεγ-++=--=+=
． 8、已知线性空间4][x R 对于内积
⎰-=1
1
)()())(),((dx x g x f x g x f
构成一个内积空间．从基32,,,1x x x 出发，经正交单位化求一组标准正交基．
解 因为3
2
),(,0)1,(,211)1,1(1
1
21
1
1
1
=
====⋅=⎰⎰⎰---dx x x x xdx x dx ， 5
2
),(,32)1,(,0),(2222==
=x x x x x ，…… 正交化，令11=β；
x x x =⋅-
=1)
1,1()
1,(2β； 3
1
),(),(1)1,1()1,(2222
3-=⋅-⋅-=x x x x x x x x β；
x x 5
334-=β；
再单位化
x x x x x x 4
14
34145;4104103;2
6)
,(;2
2
)
1,1(34232
21
1-=-=
=
==
=ηηβηβη
9、对于实数域R 上的线性空间n m R ⨯，规定内积如下：对于n m R ⨯中任意元素
][],[ij ij b B a A ==，则
=),(B A 迹∑∑===n
i m
j ji ji T
b a A B 11)(．
证明n m R ⨯对此内积构成欧氏空间．
证 ∑∑∑∑=======n i m j m j n
i ji ji ji ji A B a b b a B A 11
11
),(),(；
对任意的R k ∈，n m ij R a C ⨯∈=][，有
=+),(C B A 迹=+))((A C B T 迹()T T B A C A +
=迹)(A B T +迹()T C A =(,)A B (,)A C +；
=),(B kA 迹=))((kA B T 迹)(A kB T =k 迹)(A B T =),(B A k ；
0),(11
2
≥=∑∑==n i m
j ji a A A ，当且仅当0=ji a (即0=A )时，0),(=A A ，所以n
m R ⨯对此内积构成欧氏空间．
10、设欧氏空间4R (内积为普通实数组向量的点积)的一组基为
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1111,0111,0011,00014321αααα，
求在这组基下的度量矩阵A ．
解 ⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛==432133212221
1111)),((j i A αα．
11、在线性空间4R 上定义一种内积成为欧氏空间．已知在基
T T T T e e e e )1,0,0,0(,)0,1,0,0(,)0,0,1,0(,)0,0,0,1(4321====下的度量矩阵为
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡----=3101121001211012A ． 1) 求在基T T T T )1,1,0,1(,)1,2,1,0(,)0,0,2,1(,)0,0,1,1(4321==-=-=αααα下的度量矩阵B ．
2) 求实数a ，使向量T a )1,2,,1(-=α与向量T )0,2,1,1(-=β正交． 解 1) 因为由基4321,,,e e e e 到基4321,,,αααα的过渡矩阵
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛--=-21001
10010113112;11
001200012110111P P ， 设向量α在4321,,,e e e e 下的坐标为x ，则α在4321,,,αααα下的坐标为x P 1-，如果在基4321,,,αααα下的度量矩阵为B ，则Ax x x BP x P T T ==--11)(),(αα，所以
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛----===--79119
130010631032,)(11AP P B A BP P T T 2)βα,在4321,,,e e e e 下的坐标分别为T a )1,2,,1(-和T )0,2,1,1(-，所以
0)0,2,1,1()1,2,,1(),(=--=T A a βα时，有3
10
=
a ． 12、设321,,εεε是欧氏空间V 的一组基，内积在这组基下的度量矩阵为
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=612121211A
已知V 的子空间1V 的一组基为
112αεε=+，2123αεεε=+-．
1) 证明21,αα是1V 的一组正交基； 2) 求1V 的正交补⊥1V 的一组基． 证 1) 因为
12111213212223(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)ααεεεεεεεεεεεε=+-++-
112(1)2(1)0=--+-+--=，
故21,αα正交，所以21,αα是1V 的一组正交基．
2) 只需再找到V 中向量3α使321,,ααα为V 的一组正交基，则3α即为⊥1V 的一组基．
方法一：设3322113εεεαx x x ++=，利用正交条件
⎩⎨
⎧==0),(0),(3231αααα 即 ⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡0
)1,1,1(0)0,1,1(321321x x x A x x x A 可得一解为2,2,7321-===x x x ，即得3213227εεεα-+=．
方法二：先将21,αα扩充为V 的一组基123,,ααξ，为此只需123,,αατ的坐标线性无关．例如取31ξε=即可．再将123,,ααξ正交化．因21,αα已是正交组，正交化过程只需从第三个向量做起．令
(3)(3)
311223k k αααξ=++，
算出
(3)(3)
3132121122(,)(,)20,(,)(,)5
k k ξαξααααα=-
==-=，
即得
32135
25
25
7
εεεα-+=．
13、设4维欧氏空间V 在基4321,,,εεεε下的度量矩阵为
⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡--=1100162102100101A ， 已知V 中向量323312211,,εεαεεαεεα-=+=+=，V 的子空间1123(,,)V L ααα=．
1) 试求1V 的一组标准正交基； 2) 设有1V 的线性变换σ，使
11266()(1)33σααα=+
-，21266
()(1)(2)63
σααα=-++-，
3136()22σααα=+请判明σ是不是1V 的正交变换或对称变换？
解 1) 显然321,,ααα线性相关，其极大无关组21,αα即为1V 的一组基，将。