高中数学第一章统计1.5用样本估计总体1.6统计活动结婚年龄的变化高一数学

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2．频率分布表、频率分布直方图的优点 (1)频率分布直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的 形状，使我们能够看到在分布表中看不清楚的数据模式．但是从直方图本身 得不出原始的数据内容． (2)频率折线图的优点是它反映了数据的变化趋势．如果样本容量不断增 加，分组的组距不断缩小，那么折线图就趋向于总体分布趋势的图形．
灯泡数 1
11 18 20 25 16
7
2
(1)试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差；
(2)若定期更换，可选择多长时间统一更换合适？
[分析] 总体的平均数与标准差往往很难求，甚至是不可求的，通常的做
法就是用样本的平均数与标准差去估计总体的平均数与标准差．只要样本的
代表性好，这种做法是合理的．
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频率 组距
0.0116 0.0349 0.0465 0.0930 0.0291 0.0233 0.二页，共五十二页。
答案
(2)从频率分布表中可以看出，将近 60%的美国总统就任时的年龄在 50 岁至 60 岁之间，45 岁以下以及 65 岁以上就任的总统所占的比例相对较小．
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[读教材·自主学习]
1．频率分布直方图：图中每个小矩形的宽度为□01 Δxi(分组的宽度) ，高为
□02 fi
Δxi
，小矩形的面积恰为相应的 □03 频率 fi
，通常我们称这样的图形为
频率分布直方图．
2．频率折线图：在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边
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[变式训练3] 某农户在承包的荒山上共种植了 44 棵樱桃树，2018 年采
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[解] (1)各组中值分别为 165,195,225,255,285,315,345,375，
由 此 ， 算 得 平 均 数 约 为 1100(165×1 ＋ 195×11＋ 225×18＋ 255×20＋ 285×25＋315×16＋345×7＋375×2)＝267.9≈268(天)．
故标准差约为 2128.6≈46(天)．
估计这种日光灯的平均使用寿命约为 268 天，标准差约为 46 天．
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答案
(2)由(1)可知，可在 222 天到 314 天内的某一天统一更换较合适．
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答案
类题通法 1在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的，但在解决实 际问题时，一般多采用标准差 2平均数和标准差是工业生产中监测产品质量的重要指标，当样本的平 均数或标准差超过了规定界限的时候，说明这批产品的质量可能距生产要求 有较大的偏离.应该进行检查，找出原因，从而及时解决问题.
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解 (1)－x ＝10＋18(－0.1＋0.3－0.2＋0.1＋0.4＋0－0.2－0.3)＝10(环)， s2＝18[(9.9－10)2＋(10.3－10)2＋…＋(9.7－10)2]＝18[0.01＋0.09＋…＋0.09] ＝18×0.44＝0.055(环 2)，所以 s＝ 0.055≈0.235(环)． (2)－x －s＝9.765，－x ＋s＝10.235. 所以环数落在－x －s 与－x ＋s 之间的有 5 次，所占百分比为 62.5%.
即数据落在[10.95,11.35)范围内的可能性是 75%.
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答案
考点二 样本平均数与标准差的计算 例 2 一个水库养了某种鱼 10 万条，从中捕捞了 20 条，称得它们的质 量如下(单位：千克)： 1 ． 15,1.04,1.11,1.07,1.10,1.32,1.25,1.19,1.15,1.21,1.18,1.14,1.09,1.25,1.21, 1.29,1.16,1.24,1.12,1.16. 计算样本平均数，并根据结果估计水库里的所有鱼的总质量． [分析] 利用样本均值公式－x ＝1n(x1＋x2＋…＋xn)，由鱼的平均质量与水 库中鱼的总数量便可求得总质量．
[11.35,11.45) 7 0.07 [11.45,11.55) 4 0.04
[11.55,11.65] 2 0.02
合计
100 1.00
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答案
(2)画频率分布直方图与频率分布折线图，如下图所示．
(3)由上述图表可知数据落在[10.95,11.35)范围内的频率为 0.13＋0.16＋ 0.26＋0.20＝0.75＝75%，
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解 (1)画出频率分布表．
分组 频数 频率
[10.75,10.85) 3 0.03
[10.85,10.95) 9 0.09
[10.95,11.05) 13 0.13
[11.05,11.15) 16 0.16
[11.15,11.25) 26 0.26
[11.25,11.35) 20 0.20
水库中鱼的总质量约为 1.1715×100000＝117150(千克)． 答：样本平均数为 1.1715 千克，估计水库里的所有鱼的总质量为 117150 千克．
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答案
类题通法 样本均值又称样本平均数，也称为样本的算术平均数，公式为－x ＝1n(x1 ＋x2＋…＋xn)，本例是计算样本平均数的简单应用，很明显是用部分反映整 体的一个例子．
将各组中值对于此平均数求方差，
得1100×[1×(165－268)2＋11×(195－268)2＋18×(225－268)2＋20×(255 － 268)2＋25×(285－ 268)2＋16×(315－268)2＋ 7×(345－ 268)2＋ 2×(375－ 268)2]≈2128.6(天 2)，
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答案
类题通法 在列频率分布表时，先求极差即最大值－最小值再分组，注意分组不能 太多也不能太少，要牢固掌握列频率分布表及画频率分布直方图、频率分布
折线图的步骤与方法.
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[变式训练1] 为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为 100 的样本， 数据的分组数如下：
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[解] (1)以 4 为组距，列表如下：
年龄分组
频数
[41.5,45.5)
2
[45.5,49.5)
6
[49.5,53.5)
8
[53.5,57.5)
16
[57.5,61.5)
5
[61.5,65.5)
4
[65.5,69.5]
2
频率
0.0465 0.1395 0.1860 0.3721 0.1163 0.0930 0.0465
各加一个区间．从所加的左边区间的 □04 中点 开始，用线段依次连接各个矩 形的顶端 □05 中点 ，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，我们
称之为频率折线图．
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3．样本平均数：假设通过随机抽样得到的样本为 x1，x2，…，xn，我们
把 □06 －x ＝x1＋x2＋n …＋xn称为样本平均数，用样本平均数来估计总体的平均数．
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(3)规律性：根据频率趋近于概率的原理若固定分组数，随着样本容量的 增加，频率分布表中的各个频率会稳定于总体中任一个体分布在相应分组的 概率，从而频率分布直方图中的各个矩形的高度也会稳定在特定的值(即相应 的概率除以组间距)上．
(4)在频率分布直方图中，每个小矩形的面积等于相应数据组的频率，小 矩形的高等于数据组的频率除以组距．
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[解] －x ＝210[1.15＋1.04＋1.11＋1.07＋1.10＋1.32＋1.25＋1.19＋1.15＋ 1.21＋ 1.18＋ 1.14＋ 1.09＋ 1.25＋1.21＋1.29＋ 1.16＋ 1.24＋ 1.12＋ 1.16]＝210 ×23.43＝1.1715(千克)．
§1.5 用样本估计总体(zǒngtǐ) §1.6 统计活动：结婚年龄的变化
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课前新知预习
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课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
第二页，共五十二页。
课后课时精练
[航向标·学习目标] 1．通过实例体会频率分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学 会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图，体会它们各自的特点． 2．会用样本的频率分布估计总体的分布，用样本的基本数字特征，估计 总体的数字特征． 3．体会统计的作用和基本思想，形成对数据处理过程进行初步评价的意 识，激发学生的兴趣．
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[变式训练2] 一名射击运动员射击 8 次所中环数如下： 9.9,10.3,9.8,10.1,10.4,10,9.8,9.7. (1)8 次射击平均环数－x 是多少？标准差是多少？ (2)环数落在－x －s 与－x ＋s 之间的有几次？所占百分比是多少？ 分析 只有正确地利用平均数公式求出－x ，才能正确地求出标准差．
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第八页，共五十二页。
课堂师生共研
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课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
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课后课时精练
考点一 频率分布表、频率分布直方图及折线图 例 1 美国历届总统中，就任时年纪最小的是罗斯福，他于 1901 年就任， 当时年仅 42 岁；就任时年纪最大的是里根，他于 1981 年就任，当时 69 岁．下 面按时间顺序(从 1789 年的华盛顿到 2001 年的小布什，共 43 任)给出了历届 美国总统就任时的年龄： 57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,52,56,46,54,49,51,47,55,55,54 ,42,51,56,55,51,54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54
4．样本标准差：假设通过随机抽样得到的样本为 x1，x2，…，xn.
我们把
□07 s＝ s2＝
x1－－x 2＋x2－－x 2＋…＋xn－－x 2 n
样本标准差．
用样本标准差来估计总体的标准差．
称为
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[看名师·疑难剖析] 1．频率分布表和频率分布直方图的特征 (1)频率分布表中的数字和频率分布直方图的形状都与分组数(组距)有 关；频率分布直方图的外观还和坐标系单位长度有关．分组数的变化可引起 频率分布表和频率分布直方图的结构变化；坐标系的单位长度的变化只能引 起频率分布直方图的形状沿坐标轴方向的拉伸变化． (2)随机性：频率分布表和频率分布直方图由样本决定，因此会随着样本 的改变而改变．
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答案
考点三 用样本数字特征估计总体数字特征
例 3 为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更
换．已知某校使用的 100 只日光灯在必须换掉前的使用天数如下．
天数 151～ 181～ 211～ 241～ 271～ 301～ 331～ 361～ 180 210 240 270 300 330 360 390
[10.75,10.85)，3；[10.85,10.95)，9；[10.95，11.05)，13； [11.05,11.15)，16；[11.15,11.25)，26；[11.25,11.35)，20； [11.35,11.45)，7；[11.45,11.55)，4；[11.55,11.65]，2. (1)列出频率分布表； (2)画出频率分布直方图以及频率分布折线图； (3)根据上述图表，估计数据落在[10.95,11.35)范围内的可能性是多大？
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(1)将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率分布折 线图．
(2)用自己的语言描述一下历届美国总统就任时年龄的分布情况． [分析] 由本题可获得以下主要信息： ①本题给出了样本数据；②本题要列表画图． 解答本题可先列出频率分布表，再按步骤作出频率分布直方图及折线图．