初三数学培训讲义第11讲 开放性、探究性专题

第十一讲 开放性、探究性专题
一、主要知识点回顾
开放探究型问题：
1．开放探究型问题一般是给定条件，去探索各种结论，或给出部分条件和结论，去探索附加条件的各种可能性等问题。

2．解题策略：解题时从所给的结论出发，执因索果，设想出合乎要求的一些条件，逐一列出，并进行逻辑证明；或先探索结论而后去论证结论，在探索过程中常可先从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再从一般情况去认证结论。

二、感悟与实践
例题1：（2011贵州六盘水）先化简代数式：2
11111
x x x x ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭，再从你喜欢的数中选择一个恰当的作为x 的值，代入求出代数式的值。

变式练习1：请你先将式子
2200811121a a a a ⎛
⎫÷+ ⎪--+⎝
⎭化简，然后从1，2，3中选择一个．．数．
作为a 的值代入其中求值。

x
图3
A B O 图2 例题2：（2011广州）5个棱长为1的正方体组成如图1的几何体。

（1）该几何体的体积是 （立方单位），表面积是 （平方单位）
（2）画出该几何体的主视图和左视图。

变式练习2：（2011黑河）如图2，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形。

（1）将△ABC 向右平移3个单位长度，画出平移后的△A 1B 1C 1。

（2）将△ABC 绕点O 旋转180°，画出旋转后的△A 2B 2C 2。

（3）画出一条直线将△AC 1A 2的面积分成相等的两部分。

例题3：如图3，在平面直角坐标系中，有A （0，1），B （-1，0），C （1，0）三点坐标。

（1）若点D 与A 、B 、C 三点构成平行四边形，请写出所有符合条件的点D 的坐标； （2）选择（1）中符合条件的一点D ，求直线BD 的解析式。

正面
图1
图4
变式练习3：按右图4所示的流程，输入一个数据，根据与的关系式就输出一个数据y ，
这样可以将一组数据变换成另一组新的数据。

要使任意一组都在20~100
（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：
（1）新数据都在60~100（含60和100）之间；
（2）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，
即原数据大的对应的新数据也较大。

①若y 与x 的关系式是y x p =+()100x -，请说明： 当1
2
p =
时，这种变换满足上述两个要求； ②若按关系式()2
y a x h k =-+()0a >将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。

（不要求对 关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要 过程）
B
（F ）
F B F
图5-1
图5-2 图5-3
A．B．D．
C．
图6
例题4：（2011岳阳）如图5-1。

将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF。

固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在—起。

（1）操作：如图5-2，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不
与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）。

求证：2
BH GD BF
（2）操作：如图5-3，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE。

交FE于点G，连
接DG。

探究：FD+DG＝_________。

请予证明。

三、巩固与提高
（A）巩固练习
1．（2011广东）左下图6为主视方向的几何体，它的俯视图是（）。

图
9
B
A B B （A ） C
图7 A ． B ． C ．
D ． A B
F
E
D
C 1 2
图8
2．在□ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，则下面条件能判定□ABCD 是矩形的是 （ ）。

A ．AC ＝BD
B ．A
C ⊥B
D C ．AC ＝BD 且AC ⊥BD D ．AB ＝AD 3．（2011恩施）对于非零的两个实数a 、b ，规定11a b b a
⊗=-.若()111x ⊗+=，则x 的值
为（ ）。

A ．
3
2
B ．13
C ．
1
2
D ．12
-
4．（2011广州）如图7所示，将矩形纸片先沿虚线AB 按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线CD 向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（ ）。

5．（2011湛江）如图8，点B ，C ，F ，E 在同直线上，∠1＝∠2，BC ＝EF ，要使△ABC ≌△DEF ， 还需添加一个条件，可以是 （只需写出一个）答案不唯一。

6．如图9，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开可以拼成不同形状的四边形，请写出 其中一种四边形的名称 。

7．已知一个反比例函数的图象在第一、三象限.请写出一个符合条件的函数表达式 。

8．（2011宿迁）在平面直角坐标系中，已知点A （-4，0）、B （0，2），现将线段AB 向 右平移，使A 与坐标原点O 重合，则B 平移后的坐标是 。

从正面看
图10
5c
P
4c
图11
9．一组按规律排列的式子：
3579
234
, , , ,
--
x x x x
y y y y
……()0
xy≠，其中第6个式子是。

10．（2011南京）甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5、乙报6……按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1，当报到的数是50时，报数结束；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为
____________。

（B）能力拓展
1．（2011连云港）如图10，是由8个相同的小立方块搭成的几何体的左视图，它的三个视图是2×2的正方形。

若拿掉若干个小立方块后（几何体不倒掉
．．．），其三个视图仍都为2×2的正方形，则最多能拿掉小立方块的个数为（）。

A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2011恩施）如图11，长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm，高为5 cm。

若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（）。

A．13cm B．12cm C．10cm D．8cm
3．（2011贵州六盘水）有一列数：1
3
，
5
7
-，
3
7
，
4
9
-……，则它的第7个数是________；
第n个数是。

4．（2011广州）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c。

其中真命题的是。

（填写所有真命题的序号）
A B F C E
D
图13 图12-1
A 1
B 1
C 1
D 1
A B C D D 2
A 2
B 2
C 2
D 1 C 1
B 1 A 1
A B C D 图12-2
5．（2011广东）如图12-1，已知小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A 1B 1C 1D 1边长按原法延长一倍得到正方形A 2B 2C 2D 2（如 图12-2）；以此下去……，则正方形A 4B 4C 4D 4的面积为__________。

（C ）趣味数学
某校初一有甲、乙、丙三个班，甲班比乙班多4个女生，乙班比丙班多1个女生，如果将甲班的第一组同学调入乙班，同时将乙班的第一组同学调入丙班，同时将丙班的第一组同学调入甲班，则三个班的女生人数恰好相等。

已知丙班第一组有2名女生，问甲、乙两班第一组各有多少女生？
四、考考你
1．（2011广州）将点A （2，1）向左平移2个单位长度得到点A'，则点A'的坐标是（ ）。

A ．（0，1） B ．（2，﹣1） C ．（4，1） D ．（2，3）
2．（2011黑河）如图13，点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，
点A 、D 在直线BE 的两侧，AB ∥DE ，BF ＝CE ，请添加 一个适当的条件： ，使得AC ＝DF 。

3．已知某函数的图象经过点A （1，2），且函数y 的值随自变量x 的值的增大而减小，请 你写出一个符合条件的函数表达式 。

4
．已知A +
B =+()3n >，请用计算器计算当3n >时，A 、 B 的若干个值，并由此归纳出当3n >时，A 、B 间的大小关系为 。

C
A
D
E
1 2
图
15
(第17题图)
图14 5．（2011福建龙岩）如图14，依次以三角形、四边形、…、n 边形的各顶点为圆心画半径为l 的圆，且圆与圆之间两两不相交。

把三角形与各圆重叠部分面积之和记为S 3，四边形与各圆重叠部分面积之和记为S 4，…。

n 边形与各圆重叠部分面积之和记为S n 。

则S 90的值为_________。

（结果保留π）
五、课外练习
如图15，正方形ABCD 中，E 与F 分别是AD 、BC 上一点。

在①AE ＝CF 、②BE ∥DF 、
③∠1＝∠2中，请选择其中一个条件，证明BE ＝DF 。

1．你选择的条件是 （只需填写序号）； 2．证明：
B
O
A
D
E
C
图1
补充习题 开放性、探究性专题
1．我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。

（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图1，在ABC △中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，设CD ，BE 相交于点O ，若
A 60∠=°，1
DCB EBC A 2
∠=∠=
∠。

请你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；
（3）在ABC △中，如果A ∠是不等于60°的锐角，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且
1
DCB EBC A 2
∠=∠=∠，探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，
并证明你的结论。

A C
B c a b
图2 2．如图2，在ABC △中，C 90∠= ，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，设ABC △的面积为s ，周长的一半为l 。

（1）填写右表： （2）观察右表，令m l a n l b =-=-，，
探究m n 、与s 之间的关系，并对
你的结论给予证明。

【课堂小测】每小题20分，共100分
1．（2011福建龙岩）现定义运算“★”，对于任意实数a 、b ，都有a ★b =23a a b -+，如：3★5=23335-⨯+，若x ★2＝6，则实数x 的值是（ ）。

A ．-4或-1 B ．4或-1 C ．4或-2 D ．-4或2 2．在平面直角坐标系x O y 中，已知点P （2，2），点Q 在y 轴上，△PQO 是等腰三角形，则满足条件的点Q 共有（ ）。

A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个
3．（2011内江）如图3，点E 、F 、G 、H 分别是任意四边形ABCD 中AD 、BD 、BC 、CA 的中点，当四边形ABCD 的边至少满足________条件时，四边形EFGH 是菱形。

4．二次函数2
的部分对应值如下表：二次函数2y ax bx c =++图象的对称轴为x =
，2x =对应的函数值
y = 。

5．如图4，将边长为2cm 的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把△ABC 沿着BC 平移得到△A'B'C'，设两三角形重叠部分的面积为S ，则S 的最大值为 2cm 。

A
B
C
D
E F
H
G 图3
B
A C A 1 C 1 O
C 2 A 2
B
初三数学讲义第十一讲参考答案（58期）
二、感悟与实践
例题1：解：2
11111
x x x x ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭ ＝()()
()()
112
11x x x x x
+--+
＝
2x
（注：若x 取1±或0，以下步骤不给分） 当x ＝2时 原式＝1
变式练习1：原式＝
()
()
2
2
200811200812008
1111a
a a a a a a a a -+⨯÷
=⨯=---- 取2a =，原式2008=。

（取
3a =，原式1004=）
例题2：解：（1）每个正方体的体积为1，∴组合几何体的体积为5×1＝5；
∵组合几何体的前面和后面共有5×2＝10个正方形，上下共有6个正方形，左右共6个正方形，每个正方形的面积为1， ∴组合几何体的表面积为22。

故答案为：5，22 （2）
【点评】考查组合几何体的计算和三视图的画法；用到的知识点为：主
视图，左视图分别是从物体的正面和左面看到的平面图形。

变式练习2：解：（1）如图所示
（2）如图所示 （3）答案不唯一
【点评】此题主要考查了图形的平移以及旋转和等分三角形的面积，根据
已知正确平移和旋转对应点是平移或旋转图形的关键。

例题3：（1）符合条件的点D 的坐标分别是：D 1（2，1），D 2（-2，1），D 3（0，-1），
（2）①选择点D 1（2，1）时，直线BD 1的解析式为11
33
y x =
+。

②选择点D 2（-2，1）时，直线BD 2的解析式为1y x =--。

③选择点D 3（0，-1）时，直线BD 3的解析式为1y x =--。

变式练习3：（1）当1p 2=时，()11002y x x =+-，即1
502
y x =+。

∴y 随着x 的增大而增大，即1
p 2=时，满足条件②，
又当20x =时，1
2050602
y =⨯+=；当100x =时，
110050100
2
y =⨯+=。

而原数据都在20~100之间，所以新数据都在60~100之间，即满足
条件①。

综上可知，当1
2
p =
时，这种变换满足要求。

（2）本题是开放性问题，答案不唯一。

所给出的关系式满足：()20≤a h ；
()b 若20100x =，
时，y 的对应值m n ，都能落在60~100之间，则这样的关
系式都符合要求。

如取20h =，()2
20y a x k =-+， ∵0a >，∴当20100≤≤x 时，y 随x 的增大而增大。

令20x =，60y =，得60k = ① 令100x =，100y =，得280100a k ⨯+= ②
由①②解得116060
a k ⎧
=⎪⎨⎪=⎩，()2
12060160y x =-+。

例题4：（1）证明：根据图②操作有∠B ＝∠D ＝∠CFE ，BF ＝DF
在△DFG 中，∠D+∠DFG+DGF ＝180°，而∠DFG+∠CFE+BFH ＝180° ∴ ∠BFH ＝∠DGF 。

又∠B ＝∠D
∴△BFH ∽△DGF ∴BH BF
DF DG
=
由于BF ＝DF ∴BF 2＝B H ·DG （2）解：探究得出：FD+DG ＝BD
证明：∵AG ∥CE ，∴∠FAG ＝∠C ，∠FGA ＝∠E
∵∠CFE ＝∠E ， ∴∠E ＝∠FGA ∴AG ＝AF
根据菱形有：∠BAD ＝∠FCE ∴∠BAD ＝∠FAG, 即：∠BAF+∠FAD ＝∠FAD+∠DAG ∴∠BAF ＝∠DAG
在△ABF 与△ADG 中，⎩⎨⎧AB=AD
∠BAF=∠DAG AF=AG
∴△ABF ≌△ADG
∴BF ＝DG
∴DF+DG ＝DF+BF ＝BD
三、巩固与提高 （A ）巩固练习
1．D 2．A 3．D
4．D 【点评】严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来，也可仔
细观察图形特点，利用对称性与排除法求解。

5．AC ＝FD ，答案不惟一
6．平行四边形、矩形、等腰梯形（三种中任选一种） 7．答案不惟一，例如2
y x
=
，写出的关系式只要满足k 值为正数即可 8．（4，2） 9．13
6x y
-
10．4
表中可见。

（B ）能力拓展
1．B 【点评】要几何体不倒掉，下面的不能拿掉，所以要使其三个视图仍都为2×2的正
方形，
则最多能拿掉对角的2个小立方块。

2．A
3．
715；()1
121
n n n +-+ 4．①②④ 5．625
（C ）趣味数学
解答：设甲乙两班第一组的女生分别有m 和n 个，丙班女生有x 个，乙班就有x +1
个，甲
班就有x +5个，平均x +2个（利用改变量来计算）。

丙班：-2+n ＝（x +2）-x ，
甲班：+2-m ＝（x +2）-（x +5），可以得出 m ＝5，n ＝4。

四、考考你
1．A 2．AB ＝DE ，答案不唯一 3．3y x =-+（不唯一） 4．A B > 5．44π
五、课外练习
解法一：1．选 ① ；
2．证明：∵ABCD 是正方形，
∴AB ＝CD ，∠A ＝∠C ＝Rt ∠。

又∵AE ＝CF
∴△AEB ≌△CFD 。

∴BE ＝DF 。

解法二：1．选 ② ；
2．证明：∵ABCD 是正方形，
∴AD ∥BC 又∵BE ∥DF ，
∴四边形EBFD 是平行四边形。

∴BE ＝DF 。

解法三：1．选 ③ ；
2．证明：∵ABCD ABCD 是正方形，
∴AB ＝CD ，∠A ＝∠C ＝Rt ∠。

又∵∠1＝∠2，
∴△AEB ≌△CFD 。

∴BE ＝DF 。

初三数学补充讲义第十一讲参考答案（58期）
【能力拓展】
1．（1）回答不唯一，如平行四边形、等腰梯形等。

（2）答：与A ∠相等的角是BOD ∠（或COE ∠）。

四边形DBCE 是等对边四边形。

（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE 。

证法：如图，作CG BE ⊥于G 点，作BF CD ⊥交CD 延长线于F 点。

∵1
DCB =EBC =A 2
∠∠∠，BC 为公共边，
∴BCF CBG △≌△ ∴BF CG =，
∵BDF ABE EBC DCB ∠=∠+∠+∠ BEC ABE A ∠=∠+∠， ∴BDF BEC ∠=∠
可证BDF CEG △≌△， ∴BD CE =
∴四边形DBCE 是等边四边形。

2．（1）填表如右： （2）m n 、与s 之间有如下关系：s mn =。

证明：在Rt ABC ∆中，1S 2
ab =。

2b c a
m l a +-=-=
, 2
a c b
n l b +-=-=
， ()()4
a c
b b
c a mn +-+-=∴
即()()()(
)2
222
2
2(44
4
c a b
ab c a b c a b c a b mn -++⎡+-⎤⎡--⎤--⎣
⎦⎣⎦===
又222a b c += ，21
42
ab mn ab ==∴
s mn =∴。

【课堂小测】
1．B
2．B
3．A B ＝CD ，答案不唯一
4．1，-8
5．1
B O
A
D
F
G
E
C。