2019-2020年北京市西城区高二数学上学期期末考试试题(文)(有答案)

北京市西城区高二数学上学期期末考试试题文
试卷满分：150分考试时间：120分钟
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9. 命题“x ∃∈R ，使得2250x x ++=”的否定是______________________.
10. 如果直线032=-+y ax 与20x y -=垂直，那么a 等于_______.
11. 已知双曲线2
2
13
y x -=，则双曲线的离心率为______；渐近线方程为_____________ .
12. 一个直三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的
体积为_________.
13. 如图，在四边形ABCD 中，1AD DC CB ===， AB =，对角线AC =
将ACD △沿AC
所在直线翻折，当AD BC ⊥时，线段BD 的长度 为______.
A
B
C
D
14. 学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己
家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x 轴，建立如图所示的平面直角坐
标系，但是他
无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程.你需要测量的数据是_________________________（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为___________．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）
如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E 是PA 的中点. (Ⅰ)求证：//PC 平面BDE ； (Ⅱ)证明：BD CE ⊥.
16．（本小题满分13分）
已知圆C 经过)1,1(),3,1(-B A 两点，且圆心在直线x y =上. (Ⅰ)求圆C 的方程；
(Ⅱ)设直线l 经过点)2,2(-，且与圆C 相交所得弦长为32，求直线l 的方程.
17．（本小题满分13分）
如图，在平面ABCD 中，⊥AB 平面ADE ，CD ⊥平面ADE ，ADE △是等边三角
形，22AD DC AB ===，,F G 分别为,AD DE 的中点. (Ⅰ)求证
EF
⊥平面ABCD ；
(Ⅱ)求四棱锥E ABCD -的体积；
(Ⅲ)判断直线AG 与平面BCE 的位置关系，并加以证明.
A
B
C
D
P
E E
D
A
B C
G
F
18．（本小题满分13分）
过椭圆2
212
x y +=右焦点F 的直线l 与椭圆交于两点,C D ，与直线2=x 交于点E . (Ⅰ)若直线l 的斜率为2，求||CD ；
(Ⅱ)设O 为坐标原点，若:1:3ODE OCE S S ∆∆=，求直线l 的方程．
19．（本小题满分14分）
如图,在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，
1AA =,M N 分别为BC 和1AA 的中点，P 为侧棱1BB 上的动点.
(Ⅰ)求证平面APM ⊥平面11BB C C ；
(Ⅱ)若P 为线段1BB 的中点，求证//CN 平面AMP ； (Ⅲ)试判断直线1BC 与PA 能否垂直. 若能垂直，求出
PB 的值；若不能垂直，请说明理由.
20．（本小题满分14分）
已知抛物线2
2y x =，两点(1,0)M ，(3,0)N . （Ⅰ）求点M 到抛物线准线的距离；
（Ⅱ）过点M 的直线l 交抛物线于两点,A B ，若抛物线上存在一点R ，使得,,,A B N R 四点构成平行四边形，求直线l 的斜率.
N
A M
P
C
B
A 1 C 1
B 1
北京市西城区第一学期期末试卷 高二数学（文科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1. A ；
2.D ；
3. C ；
4. C ；
5. D ；
6. A ；
7. B ；
8. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 对任意x ∈R ,都有0522≠++x x ； 10. 1； 11. 2
；y =； 12. 4；
；
14. 碗底的直径m ，碗口的直径n ，碗的高度h ；222
4n m
y x h
-=.
注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）
解 (Ⅰ)连结AC 交BD 于O ，连结OE ，
因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为AC 中点. 又因为E 是PA 的中点，所以//PC OE ， ………3分 因为PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，
所以//PC 平面BDE . ……………6分 (Ⅱ)因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥. ……8分
因为PA ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，
所以PA BD ⊥. ……………10分
又因为AC PA A =I ，所以BD ⊥平面PAC ， ……………12分 又CE ⊂平面PAC ，
所以BD CE ⊥. ……………13分
16.（本小题满分13分）
解：(Ⅰ)设圆C 的圆心坐标为),(a a ， 依题意，有2222)1()1()3()1(-++=
-+-a a a a ， ……………2分
即2
2
451a a a -+=+,解得1=a ， ……………4分 所以2
2
2
(11)(31)4r =-+-=， ……………5分 所以圆C 的方程为4)1()1(2
2
=-+-y x . ……………6分 (Ⅱ)依题意，圆C 的圆心到直线l 的距离为1. ……………8分
A
B
C
D
P
E O
所以直线2x =符合题意. ……………9分 当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为)2(2-=+x k y ， 即022=---k y kx ， 则
11
|3|2
=++k k ， ……………11分
解得4
3
k =-
， ……………12分 所以直线l 的方程为)2(3
4
2--
=+x y ，即0234=-+y x ， ……………13分 综上，直线l 的方程为2x = 或0234=-+y x .
17.（本小题满分13分）
(Ⅰ)证明：因为F 为等边ADE △的边AD 的中点， 所以 EF AD ⊥. ……………2分 因为⊥AB 平面ADE ，⊂AB 平面ABCD 所以平面ADE ⊥平面ABCD . ……………4分 所以EF ⊥平面ABCD . ……………5分 (Ⅱ)解：因为⊥AB 平面ADE ，CD ⊥平面ADE ， 所以//AB CD ，90ADC ∠=，
四边形ABCD 是直角梯形， ……………7分 又22AD DC AB ===， 所以1
(21)232
ABCD S =⋅+⋅=梯形，……………8分
又EF =
所以1
3
E ABCD ABCD V S E
F -=
⋅=. ……………9分 (Ⅲ)结论 直线//AG 平面BCE . 证明 取CE 的中点H ，连结,GH BH ， 因为G 是DE 的中点，所以//GH DC ，且 GH =1
2
DC . ……………11分 所以//GH AB ，且1GH AB ==，
所以四边形ABHG 为平行四边形，//AG BH ， ……………12分 又⊄AG 平面BCE ，⊂BH 平面BCE .
所以//AG 平面BCE . ……………13分
D
A
B
C
G
F
H
E
18.（本小题满分13分）
解：(Ⅰ)由已知，1=c ，)0,1(F ，直线l 的方程为22-=x y . ……………1分
设11(,)C x y ，22(,)D x y ，
联立⎩⎨⎧-==+2
22222x y y x ，消y 得2
91660x x -+=， ……………3分
91621=
+x x ，9
6
21=x x ， ……………4分 所以
||CD = ……………5分
9
==
. ……………6分 (Ⅱ)依题意，设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)1(-=x k y ，
联立⎩⎨⎧-==+k
kx y y x 2
222，消y 得
0)22(4)212222=-+-+k x k x k （， ……………7分 2221214k k x x +=+……①， 2
221212
2k k x x +-=……②
……………8分 因为:1:3ODE OCE S S =△△，所以 :1:3DE CE =， 3CE DE =，
所以 1223(2)x x -=-，整理得 2134x x -=……③ ……………10分
由①③得 212121k x k -=+，2223121
k x k +=+， ……………11分
代入②，解得1±=k ， ……………12分 所以直线l 的方程为1y x =-或1y x =-+. ……………13分
19.（本小题满分14分）
(Ⅰ)证明：由已知，M 为BC 中点，且AB AC =，所以AM BC ⊥. ……………1分 又因为11//BB AA ，且1AA ⊥底面ABC ， 所以1BB ⊥底面ABC .
所以1BB AM ⊥， ……………3分 所以AM ⊥平面11BB C C .
所以平面AMP ⊥平面11BB C C .……………5分 (Ⅱ)证明：连结BN ，交AP 于Q ，连结MQ ,NP .
因为,N P 分别为11,AA BB 中点，所以//AN BP ，且AN BP =.
N
A
M
P
C
B A 1
C 1
B 1 Q
所以四边形ANPB 为平行四边形， ……………7分
Q 为BN 中点，所以MQ 为CBN △的中位线，
所以//CN MQ . ……………8分 又CN ⊄平面AMP ，MQ ⊂平面AMP ，
所以//CN 平面AMP . ……………9分 (Ⅲ) 解：假设直线1BC 与直线PA 能够垂直，又因为1BC AM ⊥，
所以⊥1BC 平面APM ，所以1BC PM ⊥. ……………10分 设PB x =
，x ∈.
当1BC PM ⊥时，11BPM B C B ∠=∠， 所以Rt PBM △∽11Rt B C B △，所以
11
1
C B PB MB BB =. ……………12分
因为111MB C B BB =
=
，解得x =. ……………13分 因此直线1BC 与直线PA 不可能垂直. ……………14分
20.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由已知，抛物线2
2y x =的准线方程为1
2
x =-
. ……………2分 所以，点M 到抛物线准线的距离为13
1()22
--=
. ……………4分 （Ⅱ）设直线:(1)l y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，
由2
(1),
2y k x y x
=-⎧⎨
=⎩得2222
(22)0k x k x k -++=， ……………5分
所以2122
22
k x x k ++=，121x x =. ……………6分
①,N R 在直线AB 异侧，,,,A B N R 四点构成平行四边形，则,AB NR 互相平分. 所以，12R N x x x x +=+，12R N y y y y +=+，
所以，22
223R k x k +=+，2
2
2R k x k -=. 12122
(2)R y y y k x x k
=+=+-=
. ……………8分
将(,)R R x y 代入抛物线方程，得2
2R
R y x =，即2
22
422k k k -=⨯，
解得0k =，不符合题意. ……………10分 ②若,N R 在直线AB 同侧，,,,A B N R 四点构成平行四边形，则,AR BN 互相平分. 所以，12R N x x x x +=+，12R N y y y y +=+，
所以，213R x x x =-+，21R y y y =-. ……………12分 代入抛物线方程，得2
2121()2(3)y y x x -=-+，又2
112y x =，2
222y x =，
所以22
2
2121()2(3)22
y y y y -=-+，注意到212y y =-=-， 解得2
11y =，11y =±. ……………13分
当11y =时，112x =
，2k =-；当11y =-时，11
2
x =，2k =. 所以2k =±. ……………14分。