高二数学抛物线的简单几何性质练习

x 轴上截得的弦，设｜AM｜=m,｜AN｜=n，∠MAN=θ.(1)当点 C 运动时，｜MN｜是否变化?
nm
写出并证明你的结论?(2)求 + 的最大值，并求取得最大值时 θ 的值和此时圆 C 的方
mn
程.
10.已知抛物线 y2=4ax(0＜a＜1)的焦点为 F，以 A(a+4,0)为圆心，｜AF｜为半径在 x 轴上方作半圆交抛物线于不同的两点 M 和 N，设 P 为线段 MN 的中点，
分析 根据图形的对称性，设出并求出一边的抛物线的方程，便可求出水池的半径. 以 OA 所在直线为 y 轴，过 O 点作 oy 轴的垂直线 ox 轴，建立直角坐标系如图 依题意 A(0，1.25)，设右侧抛物线顶点为则 B(1，2.25)，抛物线与 x 轴正向交点为 C，OC 即圆型水池的半径. 设抛物线 ABC 的方程为 (x-1)2=-2p(y-2.25)
2
OA 和 OB 斜率之和为 1，求直线 l 的方程.
10.已知半圆的直径为 2r，AB 为直径，半圆外的直线 l 与 BA 的延长线垂直，垂足为
r
T，且｜TA｜=2a(2a＜ ),半圆上有 M、N 两点，它们与直线 l 的距离｜MP｜、｜NQ｜满足
2
条件｜MP｜=｜AM｜,｜NQ｜=｜AN｜，求证：｜AM｜+｜AN｜=｜AB｜.
1 37 19 37
为 AB 与抛物线的交点，即 P 为(
，
)时，ymax=｜AB｜= 10 .
6
18
2.参与设计小花园的喷水池活动. 要求水流形状美观，水流不落池外. 【知识探究学习】 1.如图，设 F 是抛物线的焦点，M 是抛物线上任意一点，MT 是抛物线在 M 的切线，MN 是法线，ME 是平行于抛物线的轴的直线.求证：法线 MN 必平分∠FME，即 φ1=φ2.
解：取坐标系如图，这时抛物线方程为 y2=2px.(p＞0)，因为 ME 平行 x 轴(抛物线的 轴)，∴φ1=φ2,只要证明 φ1=φ3，也就是△FMN 的两边 FM 和 FN 相等.设点 M 的坐标为
(x0,y0)，则法线 MN 的方程是 y-y0=- y0 (x-x0),令 y=0，便得到法线与 x 轴的交点 N 的坐标 p
10.解：设存在满足题意的正方形.则 BD：y=x+b,代入抛物线方程得 x2+(2b-4)
x+b2=0,∴△=(2b-4)2-4b2=16-16b＞0,∴b＜1,
①，设 B(x1,y1),D(x2,y2),BD 中点
M(x0,y0),则 x1+x2=4-2b,∴x0=2-b,y0=x0+b=2,∵M 在 AC 直线上，∴(2-b)+2-2=0，∴b=2 与
y2 x2
= kx1 1 + kx2 1 =2k-
x1
x2
x1 x2 x1 x2
2k
=2k-
2
=k=1，∴直线 l 的方程为
y=x-1. 10.证明：由｜MP｜=｜AM｜,｜NQ｜=｜AN｜知 M、N 在以 l 准，A 为焦点的抛物线上，
建立直角坐标系，设抛物线方程为 y2=2px，又｜TA｜=2a=p,∴抛物线方程为 y2=4ax，又圆 的方程为(x-a-r)2+y2=r2，将两方程相减可得：x2+2(a-r)x+a2+2ar=0，设 M(x1,y1),N(x2,y2)， 则 x1+x2=2r-2a,∴｜AM｜+｜AN｜=｜PM｜+｜QN｜=x1+x2+2a=2r,即｜AM｜+｜AN｜=｜AB｜ 【素质优化训练】
A.相交
B.相离
C.相切
D.不确定
二、填空题
6.圆心在抛物线 y2=2x 上，且与 x 轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是
.
x2 y2
7.若以曲线 + =1 的中心为顶点，左准线为准线的抛物线与已知曲线右准线交于
25 16
A、B 两点，则｜AB｜=
.
8.若顶点在原点，焦点在 x 轴上的抛物线截直线 y=2x+1 所得的弦长为 15 ，则此抛
①相矛盾，故不存在满足要求的正方形.
AA 级
1.B 2.C 3.D 4.B 5.B 6.2 7.9 5 -18 8.12 3 p
x2
9.解：设 l:y=kx-1,代入 y=- ,得 x2+2kx-2=0，设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则 x1+x2=-
2
2k,x1x2=-2,又
y1 x1
+
1.C 2.C 3.D 4.C 5.C 6.4x+y+3=0 7.y2=x+2(在已知抛物线内部的部分) 8.
p 2
9.解：(1)设圆心 C(x0,y0),则 x20=2py0，圆 C 的半径｜CA｜= x02 ( y0 p)2 ，其方
程为(x-x0)2+(y-y0)2=x20+(y0-p)2,令 y=0，并将 x20=2py0，代入，得 x2-2x0x+x20-p2=0，解 得 xm=x0-p,xN=x0+p,∴｜MN｜=｜xN-xM｜=2p(定值)
【素质优化训练】 一、选择题
1.过点 A(0，1)且与抛物线 y2=4x 有唯一公共点的直线的条数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
2.设抛物线 y=ax2(a＞0)与直线 y=kx+b 相交于两点，它们的横坐标为 x1,x2,而 x3 是直
线与 x 轴交点的横坐标，那么 x1、x2、x3 的关系是( )
是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.不确定
5.将直线 x-2y+b=0 左移 1 个单位，再下移 2 个单位后，它与抛物线 y2=4x 仅有一个公
共点，则实数 b 的值等于( )
A.-1
B.1
C.7
D.9
二、填空题
6.抛物线 y2=-8x 被点 P(-1，1)所平分的弦所在直线方程为
A级
1
100
1.D 2.B 3.D 4.C 5.C 6.(x- )2+(y±1)2=1 7.
8.y2=12x 或 y2=-4x
2
3
x y 1
9.解：设 R(x,y),∵F(0,1),∴平行四边形 FARB 的中心为 C( ,
),l:y=kx-1,代
22
入抛物线方程，得 x2-4kx+4=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=4k,x1x2=4，且△=16k2-
高二数学抛物线的简单几何性质练习
【同步达纲练习】
A级
一、选择题
1.若 A 是定直线 l 外的一定点，则过 A 且与 l 相切圆的圆心轨迹是( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线一支
2.抛物线 y2=10x 的焦点到准线的距离是( )
D.抛物线
A.2.5
B.5
C.7.5
D.10
3.已知原点为顶点，x 轴为对称轴的抛物线的焦点在直线 2x-4y+11=0 上，则此抛物线
物线的方程是
.
三、解答题
9.抛物线 x2=4y 的焦点为 F，过点(0，-1)作直线 l 交抛物线 A、B 两点，再以 AF、BF
为邻边作平行四边形 FABR，试求动点 R 的轨迹方程.
10.是否存在正方形 ABCD，它的对角线 AC 在直线 x+y-2=0 上，顶点 B、D 在抛物线 y2=4x 上?若存在，试求出正方形的边长；若不存在，试说明理由.
D.-px0
5.已知抛物线 y2=2px(p＞0)的焦点弦 AB 的两端点坐标分别为 A(x1,y1)，B(x2,y2)，则
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y1 y2 的值一定等于( ) x1 x2
A.4 二、填空题
B.-4
C.p2
D.-p2
6.抛物线 y2=4x 的弦 AB 垂直于 x 轴，若 AB 的长为 4 3 ，则焦点到 AB 的距离为
16＞0，即|k|＞1 ①，
∴y1+y2= x12 x22 = (x1 x2 )2 2x1 x2 =4k2-2,∵C 为 AB 的中点.∴
4
4
x
2 y
x1 x2 2k 2
1 y1 y2
2
2
2k
2
1
x y
4k 4k
2
3
消去
k
得
x2=4(y+3),由①得，｜x｜＞4，故
动点 R 的轨迹方程为 x2=4(y+3)(｜x｜＞4).
A.x3=x1+x2
11
B.x3= +
x1 x2
C.x1x2=x2x3+x3x1 D.x1x3=x2x3+x1x2
1
3.当 0＜k＜ 时，关于 x 的方程
2 x =kx 的实根的个数是(
)
3
A.0 个
B.1 个
C.2 个
D.3 个
4.已知点 A(1，2)，过点(5，-2)的直线与抛物线 y2=4x 交于另外两点 B、C，则△ABC
(Ⅰ)求｜MF｜+｜NF｜的值； (Ⅱ)是否存在这样的 a 值，使｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜成等差数列?如存在，求出 a 的 值，若不存在，说明理由.
【生活实际运用】 1.已知点 P(x0,y0)在抛物线含焦点的区域内，求证以点 P 为中点的抛物线 y2=2px(p＞0)的
中点弦方程为
yy0-p(x+x0)=y20-2px0 注：运用求中点弦的方法不难求出结论，这一结论和过抛物线 y2=2px 上点的切线方程 有什么联系?
解：将函数变形为 y= (x 3)2 (x 2 2)2 - x 2 (x 2 1)2 ，由几何意义知，y 可
以看成在抛物线 f(x)=x2 上的点 P(x,x2)到两定点 A(3，2)和 B(0，1)的距离之差， ∵｜PA｜-｜PB｜≤｜AB｜，∴当 P、A、B 三点共线，且 P 在 B 的左方时取等号，此时 P 点
x2 y2
x2
若 P(x0,y0)为非对称中心，将抛物线 y2=2px 换成椭圆 a 2
+
b2
=1 或双曲线
a2
-
y2
=1，它们的中点弦存在的话，中点弦方程又将如何?证明你的结论.
b2
中点弦方程在高考中多以选择题、填空题的形式出现. 2.公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子 OA，O 恰在圆 形水面中心，OA=1.25 米.安置在柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状 相同的抛物线路经落下，且在过 OA 的任一平面上抛物线路径如图所示，为使水流形状较为 漂亮，设计成水流在到 OA 距离 1 米处达到距水面最大高度 2.25 米.如果不计其它因素，那 么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外?
p
p
(x0+p,0)，所以｜FN｜=｜x0+p- ｜=x0+ ,又由抛物线的定义可知，
2
2
p
｜MF｜=x0+ ,∴｜FN｜=｜FM｜,由此得到 φ1=φ2=φ3，若 M 与顶点 O 重合，则法线为 x
2
轴，结论仍然成立.
2.课本第 124 页阅读材料：
圆锥曲线的光学性质及其应用
参考答案:
【同步达纲练习】
的方程是( )
A.y2=11x
B.y2=-11x
C.y2=22x
D.y2=-22x
4.过抛物线 y2=2px(p＞0)的焦点且垂直于 x 轴的弦 AB，O 为抛物线顶点，则∠AOB( )
A.小于 90°
B.等于 90°
C.大于 90°
D.不能确定
5.以抛物线 y2=2px(p＞0)的焦半径｜PF｜为直径的圆与 y 轴位置关系为( )
1
将 A(0，1.25)代入求得 p=
2
∴抛物线方程为(x-1)2=-(y-2.25) 令 y=0，(x-1)2=1.52,x=2.5(米) 即水池的半径至少要 2.5 米，才能使喷出的水流不致落到池外.
【知识验证实验】
1.求函数 y= x 4 3x 2 6x 13 - x 4 x 2 1 的最大值.
AA 级
一、选择题
1.经过抛物线 y2=2px(p＞0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为( )
A.p
B.2p
C.4p
D.不确定
2.直线 y=kx-2 交抛物线 y2=8x 于 A、B 两点，若 AB 的中点横坐标为 2，则｜AB｜为( )
A. 15
B.4 15
3.曲线 2x2-5xy+2y2=1( )
.
x2
7.以椭圆 +y2=1 的右焦点 F 为焦点，以原点为顶点作抛物线，抛物线与椭圆的一个
5
公共点是 A，则｜AF｜=
.
8.若△OAB 为正三角形，O 为坐标原点，A、B 两点在抛物线 y2=2px 上，则△OAB 的周
长为
.
三、解答题
x2
9.抛物线 y=- 与过点 M(0，-1)的直线 l 相交于 A、B 两点，O 为坐标原点，若直线
.
7.已知抛物线 y2=2x 的弦过定点(-2，0)，则弦 AB 中点的轨迹方程是
.
11
8.已知过抛物线 y2=2px 的焦点 F 的弦 AB 被 F 分成长度为 m、n 的两部分，则 + =
.
mn
三、解答题
9.已知圆 C 过定点 A(0，p)(p＞0)，圆心 C 在抛物线 x2=2py 上运动，若 MN 为圆 C 在
C.2 15
D. 42
A.关于 x 轴对称 B.关于 y 轴对称 C.关于原点对称，但不关于 y=x 对称 D.关于直线 y=x 对称也关于直线 y=-x 对称 4.若抛物线 y2=2px(p＞0)的弦 PQ 的中点为(x0,y0)(y≠0)，则弦 PQ 的斜率为( )
p
A.-
x0
p
B.
y0
C.px-