2017版高考数学一轮复习课件：第一章 第3讲量词与逻辑联结词

基础诊断
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解 析 (1) 将 命 题 p 的 量 词 “∃ ” 改 为 “∀ ” ， “ n2>2n ” 改 为 “n2≤2n”. (2)当x＝10时，lg10＝1，则①为真命题； 当x＝0时，sin 0＝0，则②为真命题； 当x<0时，x3<0，则③为假命题； 由指数函数性质知，∀x∈R，2x>0，则④为真命题.
考点突破第五页，编辑于星期课六：堂十总九点结三十八分。
2.(2015·湖北卷改编)命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定 是________.
解析 该命题的否定是将存在量词改为全称量词，等号改为 不等号即可.
答案 ∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
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答案 (1)③ (2)①
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规律方法 若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先 判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真 即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判断即可
.
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(2)命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三 种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范 围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降 落在指定范围”.故可表示为(綈 p)∨(綈 q).或者，命题“至少
有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落 在指定范围”的否定，即“p∧q”的否定.
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规律方法 以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两 个简单命题进行化简，然后依据“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假 ，列出含有参数的不等式(组)求解即可.
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答案 1
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5.(苏教版选修2－1P18T2，T4改编)给出下列命题： ①∀x∈N，x3＞x2； ②所有可以被 5 整除的整数，末位数字都是 0； ③∃x0∈R，x20－x0＋1≤0； ④存在一个四边形，它的对角线互相垂直. 则以上命题的否定中，真命题的序号为________. 答案 ①②③
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[思想方法]
1.把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”“且”“非”字
眼，要结合语句的含义理解.
2.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→
见假即假，p与綈p→真假相反. 3.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，再
(2)命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题.( ×)
(3)若命题p，q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题.( ) √
(4)已知命题p：∃n0∈N， 2＞n01 000，则綈p：∃n0∈N，
2n0≤1 000.( ×)
(5)命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∀x∈R，x2＜0”.( )
×
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2.几点注意
(1)注意命题是全称命题还是存在性命题，是正确写出命题的否定的前提
；
(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义 显现量词，再进行否定；
(3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，且”星期堂六：总十结九点 三十八分。
•第3讲 量词与逻辑联结词
考试要求 1.逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，A级要求；2.全称量词与 存在量词的意义，A级要求；3.对含有一个量词的命题否定，A级要求.
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知识梳理
1.简单的逻辑联结词
(1)命题中的 且 、 或、 非叫做逻辑联结词. (2)命题p∧q、p∨q、綈p的真假判断
对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”.
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考点突破第二十二页，编辑于课星期堂六：总十结九点 三十八分。
[易错防范]
1.命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而 得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定” 即“非p”，只是否定命题p的结论.
p
q
p∧q
p∨q
綈p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
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考点突破第二页，编辑于星期课六：堂十总九点结三十八分。
2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中 通常叫做全称量词，用“∀ ”表示；含有全称量词的命 题叫做全称命题. (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻 辑中通常叫做存在量词，用“ ∃ ”表示；含有存在量词 的命题叫做特称命题.
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考点一 含有逻辑联结词的命题及其真假判断
【例1】 (1)(2016·南通调研)已知命题p：∀x∈R，x2>0，命题q：∃α， β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β，则下列命题为真命题的是
________.
①p∧q；②p∨(綈 q)；③(綈 p)∧q；④p∧(綈 q). (2)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落 在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没
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考点突破第三页，编辑于星期课六：堂十总九点结三十八分。
3.含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，綈 p(x0)
∃x0∈M，p(x0)
∀x∈M，綈 p(x)
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考点突破第四页，编辑于星期课六：堂十总九点结三十八分。
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)命题“5＞6或5＞2”是真命题( ) √
【训练 3】 已知命题 p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”；命题 q：“∃x0 ∈R，使得 x20＋4x0＋a＝0”.若命题“p∧q”是真命题，则 实数 a 的取值范围是________. 解析 若命题“p∧q”是真命题，那么命题 p，q 都是真命 题.由∀x∈[0，1]，a≥ex，得 a≥e；由∃x0∈R，使 x20＋4x0＋a ＝0，知 Δ＝16－4a≥0，得 a≤4，因此 e≤a≤4. 答案 [e，4]
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考点突破第十三页，编辑于星课期六堂：总十九结点 三十八分。
解析 (1)因为函数 y＝x2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，所 以 p 是真命题； 因为函数 y＝x－1x的单调递增区间(－∞，0)和(0，＋∞)，所以 q 是假命题.
所以綈 p 为假命题，(綈 p)∨q 为假命题. (2)若命题“p∨q”为真命题，则 p，q 中至少有一个为真命题. 若命题“p∧q”为真命题，则 p，q 都为真命题，因此“p∨q” 为真命题是“p∧q”为真命题的必要不充分条件.
考点突破第十八页，编辑于星课期六堂：总十九结点 三十八分。
考点三 与逻辑联结词、全称(存在性)命题有关的参数问题 【例3】 已知p：∃x∈R，mx2＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0
，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是________. 解析 依题意知，p，q 均为假命题.当 p 是假命题时，mx2＋1 ＞0 恒成立，则有 m≥0；当 q 是假命题时，则有 Δ＝m2－4≥0， m≤－2 或 m≥2.因此由 p，q 均为假命题得mm≥≤0－，2或m≥2， 即 m≥2. 答案 [2，＋∞)
3.已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的 根.则下列命题： ①p∧(綈q)；②(綈p)∧q；③(綈p)∧(綈q)；④p∧q. 其中真命题的序号是________. 解析 由题意知，命题p为真命题，命题q为假命题，故綈q为 真命题，所以p∧(綈q)为真命题.
答案 ①
【训练 1】(1)若命题 p：函数 y＝x2－2x 的单调递增区间是[1， ＋∞)，命题 q：函数 y＝x－1x的单调递增区间是[1，＋∞)，
则(綈 p)∨q 是________命题(填“真”或“假”). (2)“p∨q”为真命题是“p∧q”为真命题的________条件 (填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充 分也不必要”).
答案 (1)∀n∈N，n2 ≤2n (2)③
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考点突破第十六页，编辑于星课期六堂：总十九结点 三十八分。
规律方法 (1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命 题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否 定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是 真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判定一 个全称命题是假命题，只要举出集合M中的一个特殊值x0，使p(x0) 不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能 找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则就是假命题.
有降落在指定范围”可表示为________(填序号).
① (綈 p)∨(綈 q)；②p∨(綈 q)；③(綈 p)∧(綈 q).
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考点突破第十页，编辑于星期课六：堂十总九点结三十八分。
解析 (1)∵∀x∈R 时，x2≥0， 当 α＝β＝0 时，tan(0＋0)＝tan 0＋tan 0，
∴p 是假命题，q 是真命题，∴(綈 p)∧q 为真命题.
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考点突破第七页，编辑于星期课六：堂十总九点结三十八分。
4.(2015·山东卷)若“∀x∈0，π4 ，tan x≤m”是真命题，则实
数 m 的最小值为________.
解析
∵函数 y＝tan
x 在0，π4 上是增函数，∴ymax＝tan
π 4
＝1.依题意，m≥ymax，即 m≥1.∴m 的最小值为 1.
解析 (1)全称命题的否定是存在性命题，即命题“∀x∈R， |x|＋x2≥0”的否定为“∃x0∈R，|x0|＋x20＜0”. (2)∀x∈R，x2≥0，故①错；∀x∈R，－1≤sin x≤1，故 ②错；∀x∈R，2x＞0，故③错，④正确. 答案 (1)∃x0∈R，|x0|＋x20＜0 (2)④
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答案 (1)假 (2)必要不充分
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考点突破第十四页，编辑于星课期六堂：总十九结点 三十八分。
考点二 全称(存在性)命题的否定及其真假判定 【例 2】 (1)(2015·全国Ⅰ卷改编)设命题 p：∃n∈N，n2>2n，则
綈 p 为________.
(2)(2015·太原二模改编)下列命题： ①∃x0∈R，lg x0＝1；②∃x0∈R，sin x0＝0；③∀x∈R，x3>0；④ ∀x∈R，2x>0. 其中假命题的序号为________.
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考点突破第十七页，编辑于星课期六堂：总十九结点 三十八分。
【训练2】 (1)命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是________.
(2)下列命题：
①∀x∈R，x2＞0；②∀x∈R，－1＜sin x＜1； ③∃x0∈R，2x0＜0；④∃x0∈R，tan x0＝2.
其中真命题的序号为________.