二项式定理与杨辉三角(A卷基础篇)(解析版)

专题3.2二项式定理与杨辉三角（A 卷基础篇）
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2020·北京高二期末）在5
(1)x +的展开式中，2x 的系数是（ ）
A ．5
B ．10
C ．20
D ．60
【答案】B 【解析】
5(1)x +的展开式的通项公式为515r r r T C x -+=，
令52r
，得3r =，
所以2x 的系数为3510C = 故选：B
2．（2020·山东济南�高二期末）6
1x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭展开式中的常数项为（ ）
A ．120
B ．70
C ．20
D ．1
【答案】C 【解析】
二项式61x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭展开式的通项为6621661r
r r r r
r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，
令620r -=，解得3r =，所以34620T C ==.
故选：C.
3．（2020·湖北恩施�高二期末）6
2x x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的展开式中含4x 项的系数是（ ）
A ．60
B ．60-
C ．12
D ．12-
【答案】D 【解析】
由二项式定理展开式的通项公式得：
()
()6626
16
6212k
k
k
k k k k k T C x C x
x ---+⎛⎫
=-=- ⎪
⎝⎭
，0,1,2,3,4,5,6k = 所以令264k -=得5k =，所以()5
6554
45161212T C x x -+=-=-，故4x 的系数为12-.
故选：D.
4．（2020·北京通州�高二期末）5(1)a +展开式中的第2项是（ ）
A ．35a
B ．310a
C ．45a
D ．410a
【答案】C 【解析】
5(1)a +展开式中的第2项是151
425
5T C a a -==. 故选：C .
5．（2020·广西七星�桂林十八中高二期中（理））()
7
12x x
-的展开式中2x 的系数为（ ）
A ．84-
B ．84
C ．280-
D ．280
【答案】C 【解析】
由题意，根据二项式定理展开式的通项公式1C k n k k
k n T a b -+=，得()7
12x -展开式的通项为
()17
2k
k k
k T C x
+=-，则
()7
12x x
-展开式的通项为()1
172k
k k k T C x -+=-，由12k -=，得3k =，所以所求
2x 的系数为()3
3
72280C -=-.故选C.
6．（2020·辽宁辽阳�高二期中）5555除以8，所得余数是( ) A ．7 B ．1
C ．0
D ．1-
【答案】A 【解析】
()55
5555561=-，展开式的通项为()5555
C 561r
r
r -⋅⋅-，不能被8整除即55r =时，余数为()55
11-=-，由于余数要为正数，故加8，得187-+=.
7．（2020·三亚华侨学校高二开学考试）如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据数组中的数构成的规律，其中的a 所表示的数是（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【答案】C 【解析】
从第三行起头尾两个数均为1， 中间数等于上一行肩上两数之和， 所以336a =+=. 故选：C.
8．（2020·山东潍坊�高二期中）已知72
70127(1)x a a x a x a x -=+++
+则127a a a ++⋯+=（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
【答案】C 【解析】
由7270127(1)x a a x a x a x -=++++
令0x =得：7
0(01)a -=，则01a =- 令1x =得：7
0127(11)a a a a -=+++
+
所以01270a a a a ++++=，则12701a a a a ++=-+=
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9．（2020·永安市第三中学高二期中）若1
()n
x x
+的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ） A ．第3项 B ．第4项
C ．第5项
D ．第6项
【答案】CD
【解析】
由题可知，该二项展开式中的项的系数于二项式系数相等，且展开式中第3项与第8项的系数为27
,n n C C ， 又因为其相等，则9n =
所以该展开式中二项式系数最大的项为91152-+=与91
162
++=项 即为第5项；第6项. 故选：CD
10．（2020·无锡市大桥实验学校高二期中）已知()2n
a b +的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10
【答案】ABC 【解析】
当()2n
a b +的展开式中第4项和第5项的二项式系数相等且最大时，7n =； 当()2n a b +的展开式中第5项和第6项的二项式系数相等且最大时，9n =； 当()2n a b +的展开式中只有第5项的二项式系数最大时，8n =. 故选：ABC.
11．（2020·山东省桓台第一中学高二期中）（多选）二项式11
21x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中，系数最大的项为
（ ）. A ．第五项 B ．第六项
C ．第七项
D ．第八项
【答案】BC 【解析】
二项式11
21x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中，每项的系数与二项式系数相等，共有12项
所以系数最大的项为第六项和第七项 故选：BC
12．（2020·三亚华侨学校高二开学考试）关于()10
a b -的说法，正确的是（ ） A ．展开式中的二项式系数之和为1024
B ．展开式中第6项的二项式系数最大
C ．展开式中第5项和第7项的二项式系数最大
D ．展开式中第6项的系数最小
【答案】ABD 【解析】
关于10
()a b -的说法：
对于选项A ，由二项式系数的性质知，二项式系数之和为1021=024，故A 正确； 对于选项,B C ，当n 为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B 正确，C 错误；
对于选项D ，因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的，故D 正确. 故选：ABD ．
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2020·辽宁高二期末）7(56)x -的展开式的各项系数之和为_______. 【答案】1- 【解析】
令1x =，得7(56)x -的展开式中各项的系数之和为：
7(56)1-=-． 故答案为：1-．
14．（2020·湖南高二期末）若6
a x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中常数项为160，则a =__________．
【答案】2 【解析】
6
a x x ⎛⎫+ ⎪
⎝
⎭的展开式的第k 1+项为662166T k k k k k k k k C x a x C x a ---+==， 令620k -=，则3k =，所以33
6160C a =，所以38a =，故2a =
故答案为2
15．（2019·广东江门�高二期末）观察下图所示“三角数阵”，该数阵最后一行各数之和为________.
【答案】102（或1024） 【解析】
由题得最后一行的和为0
1
2
10
1010101010=2C C C C ++++.
故答案为：102（或1024）
16．（2020·浙江海宁�高三一模）早在11世纪中叶，我国宋代数学家贾宪在其著作《释锁算数》中就给出了二、三、四、五、六次幂的二项式系数表．已知()6
1ax -的展开式中3x 的系数为160-，则实数
a =________；展开式中各项系数之和为________．（用数字作答）
【答案】2 1 【解析】
由题可知，()
()3
3
3
3461160T C ax x =-=-，则320160a =，故2a =．
令1x =，展开式中各项系数之和为()6
211-=． 故答案为：(1).2；(2).1
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2020·上海高三专题练习）若5(12)x -的展开式中第2项小于第1项，但不小于第3项，求实数x 的
范围． 【答案】1
010
x -< 【解析】
通项公式15(2)r r
r T C x +=-，则321T T T ≤<，
得221100
555(2)(2)(2)C x C x C x ⋅-⋅-⋅-<，化简得240101x x ≤-<，
解得1
010
x -
<. 18．（2019·全国高二课时练习）已知的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：
3，求展开式中的常数项． 【答案】
【解析】
由通项，
，当时，取到常数项，即
．
19．(2n
x x
+
的展开式中各项系数之和为81，求展开式中x 的系数． 【答案】24 【解析】 因为(2n
x x
+
的展开式中各项系数之和为81， 所以(21)81n +=，解得4n =，
因此4(2x x
+
的展开式的通项是344442214422r r r r r r r r T C x x C x --
---+==， 由3
412
r -
=得2r ，
所以，展开式中x 的系数为22
42
24C =.
20．（2019·同济大学第一附属中学高二期末）21(2)n
x x
+的展开式一共有13项.
（1）求展开式中二项式系数之和； （2）求展开式中的常数项 【答案】（1）122；（2）7920 【解析】
由21(2)n
x x
+的展开式一共有13项得12n =，
（1）由212
1(2)x x
+得展开式中二项式系数之和为122；
（2）由2
121(2)x x
+得展开式的通项为()
122
1224311212122r
r
r
r r r r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭
， 令2430r -=，得8r =， 所以展开式中的常数项为8
128
122
7920C -⋅=.
21．（2018·营口开发区第一高级中学高二月考（理））在4
1
()n
x x
+的展开式中，第三项的二项式系数比第二项的二项式系数大35. （1）求n 的值；
（2）求展开式中的常数项.
【答案】（1）10（2）45
【解析】
（1）由题意知得或（舍去）
（2）设第项为常数项，则
所以展开式中的常数项为
22．（2020·永安市第三中学高二期中）已知的展开式中的系数是-35，
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）1（2）
【解析】
∵，
∴，∴.
（1）令时，，①
令时，.
∴.
（2）令时，.②
①-②得.。