天津初三初中数学中考模拟带答案解析

天津初三初中数学中考模拟
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、单选题
1.若|a|=3,|b|=2,且a＋b＞0,那么a-b的值是（）
A．5或1B．1或-1C．5或-5D．-5或-1
2.如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是( )
A．2B．C．D．
3.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
4.为缓解中低收入人群和新参加工作的大学生住房的需求，某市将新建保障住房3600000套，把3600000用科学记数法表示应是（）
A．0.36×107B．3.6×106C．3.6×107D．36×105
5.下列说法中正确的是（）．
A．若a＜0，则＜0B．x是实数，且x2=a，则a＞0
C．有意义时，x≤0D．0.1的平方根是±0.01
6.下列计算正确的是（）
A．2÷2﹣1=-1B．C．(﹣2x﹣2)﹣3=6x6D．
7.一元二次方程+x+=0的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定根的情况
8.在函数y=中，自变量x的取值范围是（）
A．x≥﹣2且x≠0B．x≤2且x≠0C．x≠0D．x≤﹣2
9.如图，平行四边形ABCD 中，DB=DC ，∠C=70°，AE ⊥BD 于E ，则∠DAE 等于（）．
A ．20°
B ．25°
C ．30°
D ．35°
10.已知反比例函数，当1＜x ＜2时，y 的取值范围是( )
A ．0＜y ＜5
B ．1＜y ＜2
C ．5＜y ＜10
D ．y ＞10
11.已知二次函数y=x 2+2x ﹣3,当自变量x 取m 时,对应的函数值小于0,设自变量分别取m ﹣4，m+4时对应的函数值为y 1，y 2，则下列判断正确的是（ ） A ．y 1＜0，y 2＜0 B ．y 1＜0，y 2＞0 C ．y 1＞0，y 2＜0 D ．y 1＞0，y 2＞0
二、填空题
1.下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
2.分解因式：x 2y ﹣y=______________．
3.计算
的结果是____________．
4.在一个袋子里装有10个球，其中6个红球，3个黄球，1个绿球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，充分搅匀后，在看不到球的条件下，随机从这个袋子中摸出一球，不是红球的概率是______．
5.如图，正比例函数y=kx ，y=mx ，y=nx 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示.则系数k ，m ，n 的大小关系是
__________.
6.如图,点A 的坐标为(-4，0)，直线y=x ＋n 与坐标轴交于点B ，C ，连接AC ，如果∠ACD=90°，则n 的值为
________．
7.已知菱形A 1B 1C 1D 1的边长为2，∠A 1B 1C 1=60°，对角线A 1C 1，B 1D 1相交于点O.以点O 为坐标原点，分别以OA 1，OB 1所在直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的直角坐标系．以B 1D 1为对角线作菱形B 1C 2D 1A 2∽菱形A 1B 1C 1D 1，再以A 2C 2为对角线作菱形A 2B 2C 2D 2∽菱形B 1C 2D 1A 2，再以B 2D 2为对角线作菱形B 2C 3D 2A 3∽菱形A 2B 2C 2D 2，…，按此规律继续作下去，在x 轴的正半轴上得到点A 1，A 2，A 3，…，A n ，则点A n 的坐标为
____________．
三、解答题
1.解不等式组：，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
2.某超市计划经销一些特产，经销前，围绕“A ：绥中白梨，B ：虹螺岘干豆腐，C ：绥中六股河鸭蛋，D ：兴城红崖子花生”四种特产，在全市范围内随机抽取了部分市民进行问卷调查：“我最喜欢的特产是什么？”（必选且只选一种）．现将调查结果整理后，绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和条形统计图． 请根据所给信息解答以下问题：
（1）请补全扇形统计图和条形统计图；
（2）若全市有280万市民，估计全市最喜欢“虹螺岘干豆腐”的市民约有多少万人？
（3）在一个不透明的口袋中有四个分别写上四种特产标记A 、B 、C 、D 的小球（除标记外完全相同），随机摸出一个小球然后放回，混合摇匀后，再随机摸出一个小球，则两次都摸到“A”的概率
为 ．
3.如图,已知在△ABC 中,BC ＝AC,以BC 为直径的⊙O 与边AB 相交于点D,DE ⊥AC,垂足为点E. (1)求证：点D 是AB 的中点；
(2)判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；
(3)若⊙O 的直径为18,cosB ＝,求DE 的长．
4.如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A 处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B 处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C 处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时
间.
5.市移动通讯公司开设了两种通讯业务: “全球通” 使用者先缴50元月基础费, 然后每通话1分钟, 再付电话费0.4元; “神州行” 不缴月基础费, 每通话1分钟, 付话费0.6元(这里均指市内通话). 若一个月内通话x 分钟, 两种通讯方式的费用分别为y 1元和y 2元.
(1)写出y 1、y 2与x 之间的函数关系式;
(2)一个月内通话多少分钟, 两种通讯方式的费用相同?
(3)若某人预计一个月内使用话费200元, 则应选择哪种通讯方式较合算?
6.如图1，在△ABC 中，AB=AC ，射线BP 从BA 所在位置开始绕点B 顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°） （1）当∠BAC=60°时，将BP 旋转到图2位置，点D 在射线BP 上．若∠CDP=120°，则∠ACD ∠ABD （填“＞”、“=”、“＜”），线段BD 、CD 与AD 之间的数量关系是 ； （2）当∠BAC=120°时，将BP 旋转到图3位置，点D 在射线BP 上，若∠CDP=60°，求证：BD ﹣CD=AD ； （3）将图3中的BP 继续旋转，当30°＜α＜180°时，点D 是直线BP 上一点（点P 不在线段BD 上），若∠CDP=120°，请直接写出线段BD 、CD 与AD 之间的数量关系（不必证
明）．
7.如图,已知抛物线y=﹣x2+2x经过原点O,且与直线y=x﹣2交于B，C两点．
（1）求抛物线的顶点A的坐标及点B,C的坐标；
（2）求证：∠ABC=90°；
（3）在直线BC上方的抛物线上是否存在点P,使△PBC的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
天津初三初中数学中考模拟答案及解析
一、单选题
1.若|a|=3,|b|=2,且a＋b＞0,那么a-b的值是（）
A．5或1B．1或-1C．5或-5D．-5或-1
【答案】A
【解析】根据绝对值的意义，得到a=±3，b=±2，然后由a+b＞0，可知a=3，b=2或a=3，b=-2，因此可求得a-b=1或a-b=3-（-2）=5.
故选：A
点睛：此题主要考查了绝对值的意义，解题时先根据绝对值的意义，求出a、b的值，然后根据a、b的关系分类讨论求解即可.
2.如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是( )
A．2B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意可由点的坐标得到其到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，因此可根据正切的意义，可得
tanα=.
故选：B
3.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，可知第一幅图是中心对称图形，但不是轴对称图形，第二幅图是是中心对称图形，但不是轴对称图形，第三幅图即是中心对称图形，又是轴对称图形，第四幅图是轴对称图形但不是中心对称图形.
故选：C
4.为缓解中低收入人群和新参加工作的大学生住房的需求，某市将新建保障住房3600000套，把3600000用科学记数法表示应是（）
A．0.36×107B．3.6×106C．3.6×107D．36×105
【答案】B
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数且为这个数的整数位数减1，,由于3600000有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．即3600000=3.6×106．故答案选B.
【考点】科学记数法.
5.下列说法中正确的是（）．
A．若a＜0，则＜0B．x是实数，且x2=a，则a＞0
C．有意义时，x≤0D．0.1的平方根是±0.01
【答案】C
【解析】根据算术平方根的意义，可知=|a|＞0，故A不正确；
根据一个数的平方为非负数，可知a≥0，故不正确；
根据二次根式的有意义的条件可知-x≥0，求得x≤0，故正确；
根据一个数的平方等于a，那么这个数就是a的平方根，故不正确.
故选：C
6.下列计算正确的是（）
A．2÷2﹣1=-1B．C．(﹣2x﹣2)﹣3=6x6D．
【答案】D
【解析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，可知2÷2﹣1=21-（-1）=22=4，故不正确；
根据单项式除以单项式，可知=，故不正确；
根据积的乘方，可知(﹣2x﹣2)﹣3=-x6，故不正确；
根据合并同类项法则和负整指数幂的性质，可知=7x-2=，故正确.
故选：D
7.一元二次方程+x+=0的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定根的情况
【答案】B
【解析】一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0，方程有两个不相等的实数根；△=0，方程有两个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根．△=1﹣4×1×=0，∴原方程由两个相等的实数根． 【考点】根的判别式．
8.在函数y=
中，自变量x 的取值范围是（ ）
A ．x≥﹣2且x≠0
B ．x≤2且x≠0
C ．x≠0
D ．x≤﹣2
【答案】A
【解析】根据二次根式有意义的条件，可知x+2≥0，解得x≥-2，根据分式有意义的条件，可知x≠0. 故选：A
9.如图，平行四边形ABCD 中，DB=DC ，∠C=70°，AE ⊥BD 于E ，则∠DAE 等于（）．
A ．20°
B ．25°
C ．30°
D ．35°
【答案】A
【解析】∵DB=DC ，∠C=70°，∴∠DBC=∠C=70°，又∵AD ∥BC ，∴∠ADE=∠DBC=70°，∵AE ⊥BD ，∴∠AEB=90°，那么∠DAE=90°﹣∠ADE=20°． 故选：A ．
【考点】平行四边形的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．
10.已知反比例函数，当1＜x ＜2时，y 的取值范围是( )
A ．0＜y ＜5
B ．1＜y ＜2
C ．5＜y ＜10
D ．y ＞10
【答案】C
【解析】∵反比例函数y=
中当x=1时y=10，当x=2时，y=5，
∴当1<x<2时，y 的取值范围是5<y<10， 故选：C.
11.已知二次函数y=x 2+2x ﹣3,当自变量x 取m 时,对应的函数值小于0,设自变量分别取m ﹣4，m+4时对应的函数值为y 1，y 2，则下列判断正确的是（ ） A ．y 1＜0，y 2＜0 B ．y 1＜0，y 2＞0 C ．y 1＞0，y 2＜0 D ．y 1＞0，y 2＞0
【答案】D
【解析】令y=0，则x 2+2x ﹣3=0，解得x=1或x=3，其对称轴为x=2，则1＜m ＜3时，y ＜0，因此m-4与m+4时对应的y 1＞0，y 2＞0. 故选：D
点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x 轴的交点问题，求出函数图象与x 轴的交点并确定出m 的取值范围是解题的关键．
二、填空题
1.下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据轴对称图形的概念，延某条直线对折能够完全重合的图形，因此选B.
故选：B.
2.分解因式：x2y﹣y=______________．
【答案】y（x+1）（x﹣1）
【解析】根据因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、三检查（彻底分解），可得x2y﹣
y=y（x2﹣1）= y（x+1）（x﹣1）.
故答案为：y（x+1）（x﹣1）
3.计算的结果是____________．
【答案】-
【解析】试题解析：
4.在一个袋子里装有10个球，其中6个红球，3个黄球，1个绿球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全
相同，充分搅匀后，在看不到球的条件下，随机从这个袋子中摸出一球，不是红球的概率是______．
【答案】0.4
【解析】
5.如图，正比例函数y=kx，y=mx，y=nx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示.则系数k，m，n的大小关系是
__________.
【答案】
【解析】∵y=nx的图像经过二、四象限，n<0，函数y="kx,y=mx" 经过一、三象限，k>0,m>0.∴n<k,n<m；如图，A,B分别是y=kx,y=mx上的点，设A（a,b）,B（a,c）,显然b>c,∴k=b/a,m=c/a,∴k>m>n.
6.如图,点A的坐标为(-4，0)，直线y=x＋n与坐标轴交于点B，C，连接AC，如果∠ACD=90°，则n的值为
________．
【答案】.
【解析】已知直线与直线AC 互相垂直，可设直线AC 的解析式为
，把A 的坐标（-4,0）
代入得
，解得b=
，所以点C 的坐标为（0，
），即可得n=
.
【考点】一次函数的性质.
7.已知菱形A 1B 1C 1D 1的边长为2，∠A 1B 1C 1=60°，对角线A 1C 1，B 1D 1相交于点O.以点O 为坐标原点，分别以OA 1，OB 1所在直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的直角坐标系．以B 1D 1为对角线作菱形B 1C 2D 1A 2∽菱形A 1B 1C 1D 1，再以A 2C 2为对角线作菱形A 2B 2C 2D 2∽菱形B 1C 2D 1A 2，再以B 2D 2为对角线作菱形B 2C 3D 2A 3∽菱形A 2B 2C 2D 2，…，按此规律继续作下去，在x 轴的正半轴上得到点A 1，A 2，A 3，…，A n ，则点A n 的坐标为
____________．
【答案】(3n －1，0)
【解析】先根据菱形的性质，可求得A 1的坐标为（，0）然后根据相似菱形的性质可得A 2的坐标为（，
0），同理可得A 3的坐标为（，0），……，则A N 的坐标为（，0）. 故答案为：（，0）
三、解答题
1.解不等式组：，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
【答案】不等式组的解集为-1≤x<4,在数轴上表示见解析.
【解析】分别求出不等式组中每一个不等式的解，再求出它们的公共部分. 解：
由①得x ≥-1，由②得x <4， 故不等式组的解集为-1≤x <4.
不等式组的解集在数轴上表示为：
2.某超市计划经销一些特产，经销前，围绕“A ：绥中白梨，B ：虹螺岘干豆腐，C ：绥中六股河鸭蛋，D ：兴城红崖子花生”四种特产，在全市范围内随机抽取了部分市民进行问卷调查：“我最喜欢的特产是什么？”（必选且只选一种）．现将调查结果整理后，绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和条形统计图． 请根据所给信息解答以下问题：
（1）请补全扇形统计图和条形统计图；
（2）若全市有280万市民，估计全市最喜欢“虹螺岘干豆腐”的市民约有多少万人？
（3）在一个不透明的口袋中有四个分别写上四种特产标记A 、B 、C 、D 的小球（除标记外完全相同），随机摸出一个小球然后放回，混合摇匀后，再随机摸出一个小球，则两次都摸到“A”的概率
为 ．
【答案】（1）作图见试题解析；（2）114.8；（3）．
【解析】（1）由A 的人数与所占的百分比列式求出随机抽取的总人数，再求出B 的人数，最后补全两个统计图即可；
（2）用全市的总人数乘以B 所占的百分比；
（3）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可． 试题解析：（1）被抽查的总人数：290÷29%=1000，B 的人数：1000﹣290﹣180﹣120=410，C 所占的百分比：
180÷1000=18%；
（2）280×41%=114.8（万人），
答：最喜欢“虹螺岘干豆腐”的市民约有114.8万人；
（3）根据题意作出树状图如下：
一共有16种情况，两次都摸到“A”的有1种情况，所以P（A，A）=．故答案为：
．
【考点】1．列表法与树状图法；2．用样本估计总体；3．扇形统计图；4．条形统计图．
3.如图,已知在△ABC中,BC＝AC,以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D,DE⊥AC,垂足为点E.
(1)求证：点D是AB的中点；
(2)判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(3)若⊙O的直径为18,cosB＝,求DE的长．
【答案】（1）AD＝BD, 即点D是AB的中点（2）DE⊥DO，OD是⊙O的半径得DE是⊙O的切线
（3）4
【解析】（1）证明：连接AD
∵AB为半圆O的直径,
∴AD⊥BC
∵AB=AC
∴点D是BC的中点
(2)解：相切
连接OD
∵BD=CD，OA=OB，
∴OD∥AC
∵DE⊥AC
∴DE⊥OD
∴DE与⊙O相切
（3）∵AB为半圆O的直径
∴∠ADB=900
在Rt△ADB中
∵cosB=
∴BD=3
∵CD=3
在Rt△ADB中
∴cosC=
∴CE=1
4.如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时
间.
【答案】2小时.
【解析】由题意可知∠ABC=120°,设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为小时.则，
，建立直
角三角形，过点作的延长线于点，∠ABD="60°," ，可求得,在
中，利用勾股定理即可求出x.
试题解析：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为小时.如图1所示，由题得
，，
，
，过点
作的延长线于点
，在
中，
，∴.∴
.在
中，由勾股定理得：
，解此方程得
（不合题意舍去）.所以巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时.
【考点】1.解直角三角形的实际应用；2.方向角问题.
5.市移动通讯公司开设了两种通讯业务: “全球通” 使用者先缴50元月基础费, 然后每通话1分钟, 再付电话费0.4元; “神州行” 不缴月基础费, 每通话1分钟, 付话费0.6元(这里均指市内通话). 若一个月内通话x 分钟, 两种通讯方式的费用分别为y 1元和y 2元.
(1)写出y 1、y 2与x 之间的函数关系式;
(2)一个月内通话多少分钟, 两种通讯方式的费用相同?
(3)若某人预计一个月内使用话费200元, 则应选择哪种通讯方式较合算?
【答案】（1）y 1=50+0.4x （x≥0的整数）；y 2=0.6x （x≥0的整数）（2）x=250（3）选择“全球通”较合算
【解析】（1）根据：全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟，再付电话费0.4元；“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟，付话费0.6元，可将通讯费用和通话时间的函数关系式求出； （2）根据通讯方式的费用相同可直接列方程求解；
（3）根据话费，可将两种通讯业务的通话时间求出，然后进行比较，时间较长的通讯方式较为合算． 试题解析：解：（1）由题意，得 y 1=50+0.4x ， y2=0.6x ；
（2）由题意，得 当y 1=y 2时， 50+0.4x=0.6x ， 解得：x=250．
答：一个月通话为250分钟时，两种通讯方式的费用相同； （3）“全球通”可通话375分钟，“神州行”可通话
分钟，∴选择“全球通”较合算
6.如图1，在△ABC 中，AB=AC ，射线BP 从BA 所在位置开始绕点B 顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°） （1）当∠BAC=60°时，将BP 旋转到图2位置，点D 在射线BP 上．若∠CDP=120°，则∠ACD ∠ABD （填“＞”、“=”、“＜”），线段BD 、CD 与AD 之间的数量关系是 ； （2）当∠BAC=120°时，将BP 旋转到图3位置，点D 在射线BP 上，若∠CDP=60°，求证：BD ﹣CD=AD ； （3）将图3中的BP 继续旋转，当30°＜α＜180°时，点D 是直线BP 上一点（点P 不在线段BD 上），若∠CDP=120°，请直接写出线段BD 、CD 与AD 之间的数量关系（不必证
明）．
【答案】（1）∠ACD=∠ABD ，BD=CD+AD ；（2）详见解析；（3）BD+CD=AD ．
【解析】（1）如图2，根据已知条件易证∠CDB=∠BAC=60°，可得A、B、C、D四点共圆，根据圆周角定理可得∠ACD=∠ABD；在BP上截取BE=CD，连接AE．利用SAS证明△DCA≌△EBA，得出AD=AE，
∠DAC=∠EAB，再证明△ADE是等边三角形，得到DE=AD，从而得出BD=CD+AD．
（2）如图3，设AC与BD相交于点O，在BP上截取BE=CD，连接AE，过A作AF⊥BD于F．根据两角对应相等的两三角形相似可证△DOC∽△AOB，所以∠DCA=∠EBA．再利用SAS证明△DCA≌△EBA，得出
AD=AE，∠DAC=∠EAB．由∠CAB=∠CAE+∠EAB=120°，得出∠DAE=120°，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ADE=∠AED==30°．在Rt△ADF，利用锐角三角函数得到DF=AD，所以
DE=2DF=AD，从而得出BD=DE+BE=AD+CD，即BD﹣CD=AD；
（3）同（2）证明可以得出BD+CD=AD．
试题解析：解：（1）如图2，∵∠CDP=120°，
∴∠CDB=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠CDB=∠BAC=60°，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠ACD=∠ABD．
在BP上截取BE=CD，连接AE．
在△DCA与△EBA中，
，
∴△DCA≌△EBA（SAS），
∴AD=AE，∠DAC=∠EAB，
∵∠CAB=∠CAE+∠EAB=60°，
∴∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE=AD．
∵BD=BE+DE，
∴BD=CD+AD．
故答案为∠ACD=∠ABD，BD=CD+AD；
（2）如图3，设AC与BD相交于点O，在BP上截取BE=CD，连接AE，过A作AF⊥BD于F．
∵∠CDP=60°，
∴∠CDB=120°．
∵∠CAB=120°，
∴∠CDB=∠CAB，
∵∠DOC=∠AOB，
∴△DOC∽△AOB，
∴∠DCA=∠EBA．
在△DCA与△EBA中，
，
∴△DCA≌△EBA（SAS），
∴AD=AE，∠DAC=∠EAB．
∵∠CAB=∠CAE+∠EAB=120°，
∴∠DAE=120°，
∴∠ADE=∠AED==30°．
∵在Rt△ADF中，∠ADF=30°，
∴DF=AD，
∴DE=2DF=AD，
∴BD=DE+BE=AD+CD，
∴BD﹣CD=AD；
（3）BD+CD=AD．
【考点】三角形综合题．
7.如图,已知抛物线y=﹣x2+2x经过原点O,且与直线y=x﹣2交于B，C两点．
（1）求抛物线的顶点A的坐标及点B,C的坐标；
（2）求证：∠ABC=90°；
（3）在直线BC上方的抛物线上是否存在点P,使△PBC的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) A（1，1）, B（2，0），C（-1，-3）;(2)证明见解析;(3) 存在满足条件的点P，（，
);(4) 存在满足条件的N点，其坐标为（5，0）或（-1，0）或（，0）或（，0）．
）；
【解析】（1）把抛物线解析式化为顶点式可求得A点坐标，联立抛物线与直线的解析式可求得B、C的坐标；（2）由A、B、C的坐标可求得AB2、BC2和AC2，由勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形；
（3）过点P作PG∥y轴，交直线BC于点G，设出P点坐标，则可表示出G点坐标，从而可表示出PG的长，则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值时P点坐标；
（4）设出M、N的坐标，则可表示出MN和ON的长度，由相似三角形的性质可得到关于N点坐标的方程可求得N点坐标．
解：（1）∵y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，
∴抛物线顶点坐标A（1，1），
联立抛物线与直线解析式可得，解得或，
∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；
（2）证明：
由（1）可知B（2，0），C（﹣1，﹣3），A（1，1），
∴AB2=（1﹣2）2+12=2，BC2=（﹣1﹣2）2+（﹣3）2=18，
AC2=（﹣1﹣1）2+（﹣3﹣1）2=20，∴AC2=AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC=90°；
（3）如图，过点P作PG∥y轴，交直线BC于点G，
设P（t，﹣t2+2t），则G（t，t﹣2），
∵点P在直线BC上方，
∴PG=﹣t 2+2t ﹣（t ﹣2）=﹣t 2+t+2=﹣（t ﹣
）2+， ∴S △PBC =S △PGB +S △PGC =
PG[2﹣（﹣1）]= PG=﹣（t ﹣）2+，
∵﹣＜0， ∴当t=时，S △PBC 有最大值，此时P 点坐标为（
，）， 即存在满足条件的点P ，其坐标为（
，）； （4）∵∠ABC=∠ONM=90°，
∴当△OMN 和△ABC 相似时，有
或， 设N （m ，0），
∵MN ⊥x 轴， ∴M （m ，﹣m 2+2m ），
∴MN=|﹣m 2+2m|，ON=|m|，
①当
时，即=，解得m=5或m=﹣1或m=0（舍去）； ②当时，即=，解得m=或m=或m=0（舍去）；
综上可知存在满足条件的N 点，其坐标为（5，0）或（﹣1，0）或（，0）或（
，0）． “点睛”此题考查了二次函数的综合应用，涉及了相似三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题需要我们熟练各个知识点的内容，认真探究题目，谨慎作答．。