广东省广州市太和中学2021年高二数学文联考试卷含解析

广东省广州市太和中学2021年高二数学文联考试卷含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列命题为真命题的是
（A）（B）
（C）（D）
参考答案：
A
2. 设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c+1）=P（ξ＜c﹣1），则c=（）
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
B
【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【分析】画正态曲线图，由对称性得c﹣1与c+1的中点是2，由中点坐标公式得到c的值．
【解答】解：∵N（2，32）?，
，
∴，
解得c=2，
所以选B．
3. 已知圆的极坐标方程为，圆心为C，点P的极坐标为，则
（）
A. B. 4 C. D. 2
参考答案：
C
【分析】
分别化为直角坐标方程，利用两点之间的距离公式即可得出．
【详解】圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，
可得：x2+y2=4x，配方为：（x﹣2）2+y2=4．
圆心为C（2，0），
点P的极坐标为（4，），化为直角坐标．
则|CP|=2．
故选：C．
【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标方程互化、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4. 素数指整数在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可．
【详解】解：在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个不同的数有种，
和等于30的有，，，共3种，
则对应的概率，
故选：C．
【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，求出不超过30的素数是解决本题的关键，属于基础题．
5. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，
则函数在开区间内有极小值点（）
A 0个
B 1个
C 2个
D 3个
参考答案：
B
6. 某个命题与正整数有关，若当时该命题成立，那么可推得当
时该命题也成立，现已知当时该命题不成立，那么可推得
A. 当时，该命题不成立
B. 当时，该命题成立
C. 当时，该命题成立
D. 当时，该命题不成立
参考答案：
D
略
7. 已知则“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
8. 的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，则展开式中的常数项是（）
Ａ．第3项Ｂ．第4项Ｃ．第7
项Ｄ．第8项
参考答案：
B
略
9. 已知等差数列的前项和为，满足，且，则中最大的是
A．S6 B．S7 C．S8 D．S9
参考答案：
B
10. 用系统抽样法从150个零件中，抽取容量为25的样本，.则每个个体被抽取到的概率是（）
A B C D
参考答案：
D
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率
为．
参考答案：
2
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】利用双曲线的渐近线方程，推出a，b的关系，然后求解双曲线的离心率即可．
【解答】解：双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=x，可得=，即
，解得e=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
12. 椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率是，则的最小值为．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质；基本不等式．
【分析】直接利用椭圆的离心率，求出a，b的关系代入表达式，通过基本不等式求出表达式的最小值．
【解答】解：因为椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率是，
所以a=2c，所以4b2=3a2，
=，当且仅当a=时取等号．
所以的最小值为．
故答案为：．
13. 用秦九韶算法计算多项式当
时的值时,至多需要做乘法和加法的次数分别是 _
和
参考答案：
6 , 6
14. 在各棱长都为的正三棱柱中，M为的中点，为的中点，则与侧面所成角的正切值为________________；
参考答案：
15. 已知且为偶函数，则
参考答案：
-6
16. 给出定义：若(其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即. 在此基础上给出下列关于函数的四个命题：
①函数的定义域是R，值域是[0，]；
②函数的图像关于直线对称；
③函数是周期函数，最小正周期是1；
④函数在上是增函数；
则其中真命题是__ 。

参考答案：
①②③
略
17. 若函数在x＝1处取极值，则a＝________.
参考答案：
3
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分14分）
已知二阶矩阵属于特征值－1的一个特征向量为，属于特征值2的一个特征向量为，求矩阵M及其逆矩阵．
参考答案：
解：M=……………7分=.……………7分
19. 已知函数.
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若对所有都有，求实数a的取值范围.
参考答案：
（Ⅰ）最小值；（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）由导数的应用，研究函数的单调性，再求其最值，
（Ⅱ）构造函数，由导数的应用求函数的最值即可得解.
【详解】解：（Ⅰ）的定义域为，的导数. 令，
解得；令，解得.从而在单调递减，在单调递增.
所以，当时，取得最小值.
（Ⅱ）依题意，得在上恒成立，即不等式对于恒成立.
令，则. 当时，因为
，
故是上的增函数，所以的最小值是，
从而的取值范围是.
【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值及利用导数研究不等式，属中档题.
20. 21．（本小题满分12分）
了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试.成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超
过12米）为优秀．把获得的所有数据，分成五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在10米到12米之间．
（Ⅰ）求实数的值及参加“掷实心球”项目测试的人数；
（Ⅱ)根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；
（Ⅲ）若从此次测试成绩最好和最差的两组男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生来自不同组的概率．
参考答案：
21. 设抛物线x2=2py（p>0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥y轴.证明直线AC经过原点O.
参考答案：
证：设AB：y=kx+，代入x2=2py，得x2－2pmx－P2=0.
由韦达定理，得x A x B=－p2，
即x B=－.
∵BC∥y轴，且C在准线y=－上，
∴C（x B，－）.
则k OC===k OA.
故直线AC经过原点O.
略
22. (1）将101111011（2）转化为十进制的数； (2）将53（8）转化为二进制的数. 参考答案：
（1）101111011（2）=1×28+0×27+1×26+1×25+1×24+1×23+0×22+1×21+1=379. (2）53（8）=5×81+3=43.
∴53（8）=101011（2）.。