2012高数 反常积分

微积分部分
第六章
定积分
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例4. 证明反常积分 时发散 . 证: 当 q = 1 时, 当 q≠1 时
当 q < 1 时收敛 ; q≥1
=[ ln x −a ]
1q −
b a+
= +∞
(x −a) = 1−q
(b−a)1−q , q <1 b 1−q a+= +∞, q >1
(6) 若在 [a, + ∞) 上 f ( x) ≤ g ( x) , 则
∫
+∞ a
f ( x) d x ≤ ∫
+∞ a
g ( x) d x .
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例4 解
计算
∫
+∞
1
ln x d x. 2 x
ln x
运用分部积分法
+∞
1 x
1 x2 1 − x
ln x ln x + ∞ + ∞ 1 ∫1 x 2 d x = − x 1 + ∫1 x 2 d x +∞ d x =∫ 罗 ln x 1 1 x2 lim = lim = 0 x → +∞ x x → +∞ x 1 +∞ =− 1 x
注意: 注意 若瑕点 c∈(a,b), 则
f (x)dx = F(b) −F(c+) + F(c−) −F(a)
可相消吗? 可相消吗
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例1 解
计算
∫
1 0
dx . 2 1− x 1 = +∞ , 所以 , 2 1− x 1 的瑕点 . 2 1− x
因为 lim −
= 1.
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二、无界函数的反常积分
引例:曲线 引例 与 x 轴, y 轴和直线 所围成的
开口曲边梯形的面积可记作 y 其含义可理解为
1d x
A= lim ∫
ε→0+
ε→0+ ε
x
= lim 2 x 1
ε→0+
ε
o
= lim 2(1− ε ) = 2
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1
A= ∫
+∞ d x
1 y= 2 x A
1
b
1−1 = lim =1 b→+∞ b
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b> ) 定义1. 定义 设 f (x)∈C[a, +∞ , 取 a, 若
存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分 记作 反常积分, 反常积分
这时称反常积分 就称反常ห้องสมุดไป่ตู้分
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例5.2 解
计算 ∫ xe dx .
x −∞
0
∫
0
−∞
xe dx = lim
x
a → −∞ a
∫
0
xe dx
x 0 a
x
= lim [ xe
a → −∞
− ∫ e dx ]
x a
0
= lim [− ae − 1 + e ]
a a a → −∞
= − 1.
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收敛 ; 如果上述极限不存在, 发散 .
类似地 , 若 f (x)∈C[a, b), 而在 b 的左邻域内无界, 则定义 微积分部分
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而在点 c 的 邻域内无界 , 则定义
∫a f (x)dx +∫c f (x)dx c−ε b = lim ∫ f (x)dx+ lim ∫ ε→ a 0 0 ε → c+ε
x = ± a 是 h( x ) = 1 的瑕点 . 2 2 x −a
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定义2. 定义 设 f (x)∈C(a, b], 而在点 a 的右邻域内无界, 若极限 存在 , 则称此极限为函
数 f (x) 在 [a , b] 上的反常积分, 记作
这时称反常积分 就称反常积分
1
1 y= 2 x
= −[−1 − 1] = 2.
−1
−1
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1
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一、无穷限的反常积分
引例. 引例 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积 可记作
x2 其含义可理解为 b bd x − 1 A= lim ∫ 2 = lim b→+∞ b→+∞ 1 x x1
a
c
f ( x) d x
c∈R.
[α f ( x) ± β g ( x)] d x = α u ( x)v′( x) d x = u ( x)v( x)
∫
+∞ a
f ( x) d x ± β
+∞ a
∫
+∞ a
g ( x) d x .
∫
+∞ a
−∫
u′( x)v( x) d x .
(5) 无穷积分也可按照定积分的换元法进行计算 .
的敛散性.
=[ lnx ]
当 p ≠ 1 时有
1 p −
+∞ a
= +∞
+∞,
a1−p , p−1
x = 1− p a
+∞
p <1 p >1
1−p
a ; 因此, 当 p >1 时, 反常积分收敛 , 其值为 p −1 当 p≤1 时, 反常积分发散 .
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p ≤1
p >1
+∞,
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q ≥1
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作业： 习题5-4 作业：p-256习题 习题
1 (4) , (5) , (6) , (9) , (10) ; 2
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ε
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1
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x
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1. 瑕积分的概念
(1) 瑕点的概念
ˆ ∀ δ > 0，若函数 f ( x) 在 U( x0 , δ ) 内无界，则称点 x0 为 函数 f ( x) 的一个瑕点 . 1 例如： x = a 是 f ( x) = 的一个瑕点； x−a
x = ± 1 是 g ( x) = ln(1 − x 2 ) 的瑕点 .

(b−a) 所以当 q < 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为 1−q 当 q ≥ 1 时, 该广义积分发散 .
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1q −
;
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内容小结
1. 反常积分 积分区间无限 被积函数无界 常义积分的极限
2. 两个重要的反常积分
+∞, 1 , p− 1 ( p−1 a )
第五节
反常积分
一、无穷限的反常积分 二、无界函数的反常积分
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常义积分
积分限有限 被积函数有界
解决许多实际问题要求我们将函数f(x)从有限区间 推广到无限区间,将有界函数推广到无界函数.从而得到 两种反常积分(也称广义积分). 例5
1 求 ∫ 2 dx −1 x
1
1 =− x
∫
1
0
1 dx dx = lim ∫ ＝ lim [2 x ]1 ε ε → 0＋ ε ε → 0＋ x x
＝ lim [2 − 2 ε ] = 2. ＋
ε →0
因此， 因此，积分 ∫
1
0
dx 是收敛的. x
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例5.5 解
讨论 ∫
2
dx 4− x
2
0
的收敛性 .
x = 2是
dx
令 u = x2
1 A2 −u = lim ∫ e d u A→ +∞ 2 0 1 = lim (−e −u ) A→ +∞ 2
A2 0
能否将这里的书 写方式简化？
1 − A2 1 = lim ( − e + ) A→ +∞ 2 2 1 = . 2
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引入记号
F(+∞ = lim F(x) ; F(−∞ = lim F(x) ) )
1 + + 1 2
c
b
f (x)dx
2
无界函数的积分又称作第二类反常积分 无界点常称 第二类反常积分, 第二类反常积分 为瑕点 奇点 . 瑕点(奇点 瑕点 奇点) 说明: 说明 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 间断点, 则本质上是常义积分, 而不是反常积分. 例如, 微积分部分
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例1. 计算反常积分 解:
x → +∞
=[arctanx] −∞
x → −∞
+∞
= lim arctan x − lim arctan x
= −(− ) =π 2 2
π
π
思考: 思考 分析: 分析 原积分发散 !
注意: 注意 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 . 微积分部分
1
∫
2
0
4 − x2 2 dx dx = lim ∫ 2 ε → 0＋ 0 4− x 4 − x2
ε π
的瑕点， 的瑕点，
x 2−ε = lim [arcsin ]0 ε → 0＋ 2
因此， 因此，积分 ∫
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2
0
第六章
= lim [1－ ] = . ε → 0＋ 2 2 dx 是收敛的. 4 − x2
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设F(x)是f(x)的原函数, 则也有类似牛 – 莱公式的 的计算表达式 : 若 b 为瑕点, 则 若 a 为瑕点, 则
∫a
b
f (x)dx = F(b−) −F(a)
+
∫a f (x)dx = F(b) −F(a )
b
若 a , b 都为瑕点, 则
∫a ∫a
b
b
f (x)dx = F(b−) −F(a+)
2. 无穷积分的基本运算性质
设以下所有出现的积分均存在，则
(1) ( 2) (3) ( 4)
∫
+∞ a +∞ a +∞ a +∞ a
其它类型的无穷 积分的情形类似 于此.
f ( x) d x = − ∫
a +∞
f ( x) d x .
+∞ c
∫ ∫
f ( x) d x = ∫ f ( x) d x + ∫
c b
无穷限的反常积分也称为第一类反常积分 第一类反常积分. 第一类反常积分 说明: 说明 上述定义中若出现 ∞−∞, 并非不定型 , 它表明该反常积分发散 .
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例1 解
计算
∫
+∞ 0
− x2
xe
−x2
d x.
∫
+∞ 0
xe
d x = lim
A→ +∞
∫
A 0
xe
− x2
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例3 计 反 积 ∫0 算 常 分 解 因 lim 解 为
x→ − a
a
1 dx. a2 −x2
1 =+∞, a2 −x2
所以点a为被积函数的瑕点. .
∫0
a
1 dx=[arcsinx] a 2 2 a0 a −x
= lim arcsin x −0 a x→ − a 0=π . 2
收敛 ; 如果上述极限不存在, 发散 .
类似地 , 若 f (x)∈C(−∞, b], 则定义
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若f (x)∈C(−∞, +∞ , 则定义 )
lim ∫a f (x)dx +b→+∞∫c f (x)dx a→ ∞ − lim
( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 .
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例2 解
计算
∫
+∞ 0
cos x d x .
+∞ 0
∫
+∞ 0
cos x d x = sin x
x → +∞
= lim sin x − sin 0 ,
由于 lim sin x 不存在，故原积分
x → +∞
∫
+∞ 0
cos x d x 发散 .
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例3. 讨论反常积分 解:当 p =1 时有
0 dx 1 dx dx ∫−1 x 2 = ∫−1 x 2 + ∫0 x 2 1
而
∫
1 0
dx 1 =− 2 x x
1
1 0
1 = −1 + lim = +∞ , x →0 + x
故积分
dx ∫−1 x 2 是发散的 .
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例5.4 讨论 ∫0 解
1
dx 的收敛性 . x
x→ ∞ +
x→ ∞ −
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
∫a
+∞
f (x)dx= F(x)
= F(+∞ −F(a) ) = F(b) −F(−∞ ) = F(+∞ −F(−∞ ) )
∫−∞ f (x)dx = F(x) ∫−∞ f (x)dx = F(x)
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b
+∞
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x →1
x = 1 为函数 f ( x) =
∫
1 0
dx = arcsin x 2 1− x
1 0
= arcsin 1 − arcsin 0
=
π
2
.
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例2 解
dx 计算 ∫ . −1 x 2
1
1 1 因为 lim 2 = +∞ , 所以, x = 0 为 f ( x) = 2 的瑕点 . x →0 x x