吉林省通化市2021届新高考数学五月模拟试卷含解析

吉林省通化市2021届新高考数学五月模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知命题p ：若1a >，1b c >>，则log log b c a a <；命题q ：()00,x ∃+∞，使得0
302log x x <”，则
以下命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ∧⌝
C ．()p q ⌝∧
D ．()()p q ⌝∧⌝
【答案】B 【解析】 【分析】
先判断命题,p q 的真假,进而根据复合命题真假的真值表,即可得答案. 【详解】
1
log log b a a b =
，1log log c a a c =，因为1a >，1b c >>，所以0log log a a
c b <<，所以11log log a a c b
>，即命题p 为真命题；画出函数2x
y =和3log y x =图象，知命题q 为假命题,所以()p q ∧⌝为真.
故选:B.
【点睛】
本题考查真假命题的概念,以及真值表的应用,解题的关键是判断出命题,p q 的真假,难度较易.
2．等差数列{}n a 中，已知51037a a =，且10a <，则数列{}n a 的前n 项和n S *
()n N ∈中最小的是（ ）
A ．7S 或8S
B ．12S
C ．13S
D ．14S
【答案】C 【解析】 【分析】
设公差为d ，则由题意可得()()113479a d a d +=+，解得1451a d =-
，可得1
(554)51
n n a a -=
.令
554051
n -<，可得 当14n ≥时，0n a >，当13n ≤时，0n a <，由此可得数列{}n a 前n 项和()*
n S n N ∈中最小的.
【详解】
解：等差数列{}n a 中，已知51037a a =，且10a <，设公差为d ， 则()()113479a d a d +=+，解得 1
451
a d =-
， 1
1(554)(1)51
n n a a a n d -∴=+-=
.
令
554051n -<，可得5
4
5n >，故当14n ≥时，0n a >，当13n ≤时，0n a <， 故数列{}n a 前n 项和(
)*
n S n N ∈中最小的是13S
.
故选：C. 【点睛】
本题主要考查等差数列的性质，等差数列的通项公式的应用，属于中档题.
3．函数2sin cos ()20
x x x f x x =+
在[2,0)(0,2]ππ-⋃上的图象大致为( ) A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可利用排除法解得； 【详解】
解：依题意，22sin()()cos()sin cos ()()2020
x x x x x x
f x f x x x ----=+=+=-，故函数()f x 为偶函数，图
象关于y 轴对称，排除C ；
而2
()020
f ππ=-<，排除B ；2
(2)05
f ππ=
>，排除D.
故选：A . 【点睛】
本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性的应用，属于基础题. 4．已知函数()1x
f x xe
-=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数()2
0()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内
都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,]e B ．2(,]e e e
-
C ．22(,]e e e e
-
+ D ．2
(1,]e e
-
【答案】D 【解析】 【分析】
将原题等价转化为方程()2
0ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根，先求导()'f x ，可判断
()0,1x ∈时，
()0f x '>，()f x 是增函数；
当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤，再令2
()ln 1F x x x ax =-++，求导得
221
()x ax F x x
'
--=-
，结合韦达定理可知，要满足题意，只能是存在零点1x ，使得()0F x '=在()0,e 有解，通过导数可判断当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数；当()1,x x e ∈时()0F x '<，
()F x 在()1,x e 上是减函数；则应满足()()1max 1F x F x =>，再结合211210x ax --=，构造函数()2ln 1m x x x =+-，求导即可求解；
【详解】
函数()2
0()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，
等价于方程()2
0ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根.
111()(1)x x x f x e xe x e '---=-=-，所以当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；
当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤.
设2
()ln 1F x x x ax =-++，2121()2x ax F x x a x x
'
--=-+=-，
若()0F x '=在()0,e 无解，则()F x 在(0,]e 上是单调函数，不合题意；所以()0F x '=在()0,e 有解，且易知只能有一个解.
设其解为1x ，当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数；
当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是减函数.
因为0(0,]x e ∀∈，方程()2
0ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内有两个不同的根，
所以()()1max 1F x F x =>，且()0F e ≤.由()0F e ≤，即2ln 10e e ae -++≤，解得2a e e
≤-
. 由()()1max 1F x F x =>，即2111ln 11x x ax -++>，所以2
111ln 0x x ax -+>.
因为2
11210x ax --=，所以11
12a x x =-
，代入2111ln 0x x ax -+>，得2
11ln 10x x +->. 设()2
ln 1m x x x =+-，()1
20m x x x
'=
+>，所以()m x 在()0,e 上是增函数， 而()1ln1110m =+-=，由2
11ln 10x x +->可得()()11m x m >，得11x e <<.
由1112a x x =-
在()1,e 上是增函数，得112a e e
<<-. 综上所述2
1a e e
<≤-， 故选：D. 【点睛】
本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题，构造函数法，导数法研究函数增减性与最值关系，转化与化归能力，属于难题
5．盒子中有编号为1，2，3，4，5，6，7的7个相同的球，从中任取3个编号不同的球，则取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率是（ ） A ．
235
B ．
835
C ．
635
D ．
37
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有1
1
42C C ，所有的情况有3
7C 种，由古典概型的概率公式即得解. 【详解】
由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有1
1
42C C ，所有的情况有3
7C 种 由古典概型，取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率为：
114237835
C C P C ==
故选：B
本题考查了排列组合在古典概型中的应用，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.
6．如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（ ）
A ．甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班
B ．甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定
C ．甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班
D ．甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是103 【答案】D 【解析】 【分析】
计算两班的平均值，中位数，方差得到ABC 正确，两班人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，D 错误，得到答案. 【详解】
由题意可得甲班的平均分是104，中位数是103，方差是26.4； 乙班的平均分是102，中位数是101，方差是37.6，则A ，B ，C 正确. 因为甲、乙两班的人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，故D 错误. 故选：D . 【点睛】
本题考查了茎叶图，平均值，中位数，方差，意在考查学生的计算能力和应用能力.
7．已知ABC V 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=u u u r u u u r
（ ）
A ．1
B ．2-
C ．
1
2
D ．12
-
【答案】C 【解析】
以,BA BC u u u r u u u r
为基底，将,AD BE u u u r u u u r 用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解.
【详解】
222,,33
BD DC BD BC AD BD BA BC BA ===-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
,
11,22
AE EC BE BC BA =∴=+u u u r u u u r u u u r
,
211()()322AD BE BC BA BC BA ⋅=-⋅+u u u r u u u r u u u
r u u u r u u u r u u u r
22
111362BC BC BA BA =-⋅-u u u
r u u u r u u u r u u u r 111123622
=-⨯⨯⨯=.
故选:C. 【点睛】
本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题. 8．下列命题是真命题的是（ ）
A ．若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥，则//αβ；
B ．命题p ：x R ∀∈，211x -≤，则p ⌝：0x R ∃∈，2
011x -≤；
C ．“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件；
D ．命题“若()110x
x e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则()110x
x e -+≠”.
【答案】D 【解析】 【分析】
根据面面关系判断A ；根据否定的定义判断B ；根据充分条件，必要条件的定义判断C ；根据逆否命题的定义判断D. 【详解】
若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能相交，故A 错误； 命题“p ：x R ∀∈，211x -≤”的否定为p ⌝：0x R ∃∈，2
011x ->，故B 错误；
p q ∨为真，说明,p q 至少一个为真命题，则不能推出p q ∧为真；p q ∧为真，说明,p q 都为真命题，则p q
∨为真，所以“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的必要不充分条件，故C 错误；
命题“若()110x
x e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则()110x
x e -+≠”，故D 正确；
故选D 【点睛】
本题主要考查了判断必要不充分条件，写出命题的逆否命题等，属于中档题. 9．集合{|20}N A x x B =-≤=，，则A B =I （ ） A ．{}1 B ．{}1,2
C ．{}0,1
D ．{}0,1,2
【答案】D 【解析】 【分析】
利用交集的定义直接计算即可. 【详解】
{}|2A x x =≤，故{}0,1,2A B =I ，
故选：D. 【点睛】
本题考查集合的交运算，注意常见集合的符号表示，本题属于基础题. 10．()()5
2122x x --的展开式中8
x
的项的系数为（ ）
A ．120
B ．80
C ．60
D ．40
【答案】A 【解析】 【分析】
化简得到()(
)
()()5
5
5
212222222x x x x x =⋅-----，再利用二项式定理展开得到答案.
【详解】
()()()()5
5
5
2
12222222x
x x x x =⋅-----
展开式中8x 的项为()
()
2
3
23
3
2
55
2C 22C 22
1208x x
x x ---=⨯.
故选：A 【点睛】
本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.
11．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h ，则1
2
h h =（ ）
A ．2
1
r r
B ．212
r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．3
21r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．
2
1
r r 【答案】B 【解析】 【分析】
根据空余部分体积相等列出等式即可求解. 【详解】
在图1中，液面以上空余部分的体积为211r h π；在图2中，液面以上空余部分的体积为2
22r h π.因为
221122r h r h ππ=，所以2
1221h r h r ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
.
故选：B 【点睛】
本题考查圆柱的体积，属于基础题.
12．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ）
A ．2对
B ．3对
C ．4对
D ．5对
【答案】C 【解析】 【分析】
画出该几何体的直观图P ABCD -，易证平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PCD ⊥平面PAD ，平面PAB ⊥平面PAD ，平面PAB ⊥平面PCD ，从而可选出答案．
【详解】
该几何体是一个四棱锥，直观图如下图所示，易知平面PAD ⊥平面ABCD ， 作PO ⊥AD 于O ，则有PO ⊥平面ABCD ，PO ⊥CD ， 又AD ⊥CD ，所以，CD ⊥平面PAD ， 所以平面PCD ⊥平面PAD ， 同理可证：平面PAB ⊥平面PAD ，
由三视图可知：PO ＝AO ＝OD ，所以，AP ⊥PD ，又AP ⊥CD ， 所以，AP ⊥平面PCD ，所以，平面PAB ⊥平面PCD ， 所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对．
【点睛】
本题考查了空间几何体的三视图，考查了四棱锥的结构特征，考查了面面垂直的证明，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知x ，y 满足约束条件10,240,2,x y x y y x --≤⎧⎪
+-≤⎨⎪≤⎩
，则z x y =+的最小值为__________.
【答案】3- 【解析】 【分析】
作出约束条件所表示的可行域，利用直线截距的几何意义，即可得答案. 【详解】
画出可行域易知z x y =+在点()1,2--A 处取最小值为3-.
故答案为：3- 【点睛】
本题考查简单线性规划的最值，考查数形结合思想，考查运算求解能力，属于基础题.
14．已知直线0x y a -+=与圆心为C 的圆222440x y x y ++--=相交于,A B 两点，且AC BC ⊥，则实数a 的值为_________． 【答案】0或6 【解析】 【分析】
计算得到圆心()1,2C -，半径3r =，根据AC BC ⊥得到32
2
d =，利用圆心到直线的距离公式解得答案. 【详解】
222440x y x y ++--=，即()()2
2
129x y ++-=，圆心()1,2C -，半径3r =.
AC BC ⊥，故圆心到直线的距离为32
2d =
，即33222
a d -==
，故6a =或0a =. 故答案为：0或6. 【点睛】
本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力。

15．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是
，则
_________ ，该几何体的表面积为 _________．
【答案】；
【解析】
试题分析：如图：此几何体是四棱锥，底面是边长为的正方形，平面
平面，并且
，
，所以体积是
，解得
，四个侧面都是直角三角形，所以
计算出边长，表面积是
考点：1．三视图；2．几何体的表面积． 16．已知0a >，0b >，2>c 且1a b +=，则36
2
ac c b ab c ++-的最小值是______. 【答案】1 【解析】 【分析】
先将前两项利用基本不等式去掉a ，b ，再处理只含c 的算式即可． 【详解】
解：236316316222ac c a a c c b ab c b ab c ab c +⎛⎫
++=++=⋅+ ⎪---⎝⎭
， 因为1a b +=，所以2
()1a b +=， 所以
22363()622ac c a a b c b ab c ab c ++++=⋅+=--224262a b ab c ab c ++⋅+-2224262a b ab c c +≥+-6666(2)1222c c c c =+
=-++--6
6(2)12242
c c ≥-⨯=-， 当且仅当13
a =
，2
3b =，3c =时等号成立，
故答案为：1． 【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用，但是由于有3个变量，导致该题不易找到思路，属于中档题． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知2()(0)kx f x kx e k -=+>
（1）当1
2
x >
时，判断函数()f x 的极值点的个数； （2）记2
1()()ln 2g x f x x m x x ⎛⎫
=+->
⎪⎝⎭
，若存在实数t ，使直线y t =与函数()g x 的图象交于不同的两点12(,),(,)A x t B x t ，求证：122m x x >． 【答案】（1）没有极值点；（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）求导可得()(2)kx
f x k x e -'=-,再求导可得()(2)0kx f x k ke -''=+>,则()f x '在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
递增,则
1()02f x f ⎛⎫''>> ⎪⎝⎭
,从而()f x 在1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭递增,即可判断；
（2）转化问题为存在121,,2x x ⎛⎫
∈+∞
⎪⎝⎭
且12x x <,使12()()g x g x =,可得21222121(ln ln )(1)()()kx kx m x x k x x e e ---=+-+-,由（1）可知21()()f x f x >,即2122
21()kx kx e e k x x --->--,
则222121(ln ln )m x x x x ->-,整理可得2
2212122ln x x m x x ->,则2
2122
1112ln x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>,设211x s x =>,则可整理为12ln 0s s s -->,设1
()2ln h s s s s
=--,利用导函数可得()()10h s h >=,即可求证.
【详解】 （1）当12
x >
时,()(2)kx
f x k x e -'=-,()(2)0kx f x k ke -''=+>, 所以()f x '
在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增,所以21()(1)02k f x f k e -⎛
⎫''>=-> ⎪⎝⎭
,
所以()f x 在1,2⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
递增,所以函数()f x 没有极值点. （2）由题,2
2
()()ln (1)ln kx
g x f x x m x k x m x e
-=+-=+-+,
若存在实数t ,使直线y t =与函数()g x 的图象交于不同的两点12(,),(,)A x t B x t ,即存在121,,2x x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
且12x x <,使12()()g x g x =.
由12()()g x g x =可得2122
2121(ln ln )(1)()()kx kx m x x k x x e e ---=+-+-,12x x <, 由（1）可知21()()f x f x >,可得2122
21()kx kx e e k x x --->--．,
所以22
2121(ln ln )m x x x x ->-,即2
22
12
1
2
2ln x x m x x ->, 下面证明2
22112212ln x x x x x x ->,只需证明：2
2122
1
1
12ln x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>, 令
211x s x =>,则证212ln s s s
->,即12ln 0s s s -->． 设1()2ln h s s s s =--,那么22
(1)()0s h s s
-'=>, 所以()(1)0h s h >=,所以122
m
x x >,即122m x x > 【点睛】
本题考查利用导函数求函数的极值点,考查利用导函数解决双变量问题,考查运算能力与推理论证能力. 18．设函数()()2
2f x alnx x a x =+-+，其中.a R ∈
(Ⅰ)若曲线()y f x =在点()()
22f ，处切线的倾斜角为
4
π
，求a 的值; (Ⅱ)已知导函数()'f x 在区间()1
e ，上存在零点，证明:当()1x e ∈，时，()2
f x e >-. 【答案】 (Ⅰ)2a =；(Ⅱ)证明见解析 【解析】 【分析】
(Ⅰ)求导得到()()'22a f x x a x =+-+，()'ta 12n 4
f π
==，解得答案. (Ⅱ) ()()()12'0x x a f x x
--=
=，故0
2a x
=，()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，
()20000min 2ln 2f x x x x x =--，设()22ln 2g x x x x x =--，证明函数单调递减，故()()2min g x g e e >=-，得到证明.
【详解】
(Ⅰ)()()2
ln 2f x a x x a x =+-+，故()()'22a
f x x a x
=
+-+， ()()'42tan 124
2a f a π
=
+-+==，故2a =. (Ⅱ) ()()()()12'220x x a a
f x x a x x
--=
+-+==，即()22,a x e =∈，存在唯一零点，
设零点为0x ，故()()000
'220a
f x x a x =
+-+=，即02a x =， ()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，
故()()()()02
2
0000i 0000m n ln 22ln 22a x x a x x x f x f x x x x +-+=+-+==
200002ln 2x x x x =--，
设()2
2ln 2g x x x x x =--，则()'2ln 2g x x x =-，
设()()'2ln 2h x g x x x ==-，则()2
'20h x x
=
-<，()h x 单调递减， ()()1'12h g ==-，故()'2ln 20g x x x =-<恒成立，故()g x 单调递减. ()()2min g x g e e >=-，故当()1x e ∈，时，()2f x e >-.
【点睛】
本题考查了函数的切线问题，利用导数证明不等式，转化为函数的最值是解题的关键. 19．一种游戏的规则为抛掷一枚硬币，每次正面向上得2分，反面向上得1分. （1）设抛掷4次的得分为X ，求变量X 的分布列和数学期望.
（2）当游戏得分为*(N )n n ∈时，游戏停止，记得n 分的概率和为11,2
n Q Q =. ①求2Q ；
②当*N n ∈时，记111
,2
n n n n n n A Q Q B Q Q ++=+
=-，证明：数列{}n A 为常数列，数列{}n B 为等比数列. 【答案】（1）分布列见解析，数学期望为6；（2）①3
4
；②证明见解析 【解析】 【分析】
（1）变量X 的所有可能取值为4，5，6，7，8，分别求出对应的概率，进而可求出变量X 的分布列和数学期望；
（2）①得2分只需要抛掷一次正面向上或两次反面向上，分别求出两种情况的概率，进而可求得2Q ；②得n 分分两种情况，第一种为得2n -分后抛掷一次正面向上，第二种为得1n -分后抛掷一次反面向上，可知当3n ≥且*N n ∈时，1211
22n n n Q Q Q --=
+，结合112
n n n A Q Q +=+，可推出121111
22
n n n n n n A Q Q Q Q A ++++=+=+=，从而可证明数列{}n A 为常数列；结合1n n n B Q Q +=-，可推出
121111
()22
n n n n n n B Q Q Q Q B ++++=-=--=-，进而可证明数列{}n B 为等比数列.
【详解】
（1）变量X 的所有可能取值为4，5，6，7，8.
每次抛掷一次硬币，正面向上的概率为12，反面向上的概率也为12
， 则4142
444111113(4)(),(5)(),(6)()2162428P X P X C P X C ===
==⨯===⨯=， 344
4441111(7)(),(8)()24216
P X C P X C ==⨯===⨯=.
所以变量X 的分布列为：
故变量X 的数学期望为()4567861648416
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）①得2分只需要抛掷一次正面向上或两次反面向上，概率的和为22113
()224
Q =
+=. ②得n 分分两种情况，第一种为得2n -分后抛掷一次正面向上，第二种为得1n -分后抛掷一次反面向上，
故3n ≥且*N n ∈时，有1211
22
n n n Q Q Q --=+， 则*N n ∈时，2111
22n n n Q Q Q ++=+，
所以12111111111
22222
n n n n n n n n n A Q Q Q Q Q Q Q A ++++++++==+=+=，
故数列{}n A 为常数列； 又1211111111111
()222222
n n n n n n n n n n n B Q Q Q Q Q Q Q Q Q B +++++++=-=
+-=-+=--=-， 121311
424
B Q Q =-=-=，所以数列{}n B 为等比数列.
【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查常数列及等比数列的证明，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于中档题.
20．设2()x f x xe ax =-，2
ln ()1(0)e
g x x x a a
x =+-+-> （1）求()g x 的单调区间；
（2）设()()()0h x f x ag x =-≥恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为()0,1，单调递减区间为(1,)+∞；（2）0a e <≤ 【解析】 【分析】 （1）'
(21)(1)()x x g x x
-+-=
，令()'0g x >，()'
0g x <解不等式即可；
（2）'(1)()(1)(1)()x
x a x a h x x e x e x x
+=+-
=+-，令()0h x '=得0x ，即00x
a e x =，且()h x 的最小值为
()0
0000ln x h x x e a x ax a e =---+，令()00h x ≥，结合00
x
a
e x =
即可解决. 【详解】 （1）'
1(21)(1)()12x x g x x x x
-+-=+
-=，(0,)x ∈+∞ 当()0,1x ∈时，()'
0g x >，()g x 递增， 当(1,)x ∈+∞时，()'
0g x <，()g x 递减.
故()g x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为(1,)+∞. （2）()()()ln x
h x f x ag x xe a x ax a e =-=---+，
'(1)()(1)(1)()x x a x a
h x x e x e x x
+=+-
=+-， 0a >，设()0h x '=的根为0x ，即有0
x a
e
x =
可得， 00ln ln x a x =-，当()00,x x ∈时，()'0h x <，()h x 递减，
当0(,)x x ∈+∞时，()'
0h x >，()h x 递增.
()0min 0000()ln x h x h x x e a x ax a e ∴==---+
()0
000
ln a
x a x a ax a e x =+---+ ln 0e a a =-≥，
所以ln a a e ≤，
①当(0,1],ln 0a a a e ≤≤<；
②当1a >时，设()ln a a a ϕ=，()1ln 0a a ϕ'=+>
()ln a a a ϕ=递增，ln a a e ≤，所以1a e <≤.
综上，0a e <≤. 【点睛】
本题考查了利用导数研究函数单调性以及函数恒成立问题，这里要强调一点，处理恒成立问题时，通常是构造函数，将问题转化为函数的极值或最值来处理. 21．已知函数()sin ax f x e x =.
（1）若()f x 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增，求实数a 的取值范围；
（2）若1a =，对0,
2x π⎡⎤
∀∈⎢⎥⎣⎦
，恒有()f x bx …成立，求实数b 的最小值. 【答案】（1
）[)+∞（2）22
e π
π
【解析】 【分析】 （1）求得()'
f
x ，根据已知条件得到()0f x '≥在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，由此得到sin cos 0a x x +≥在06,π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
恒
成立，利用分离常数法求得a 的取值范围.
（2）构造函数设()()g x f x bx =-，利用求二阶导数的方法，结合()0g x ≤恒成立，求得b 的取值范围，由此求得b 的最小值. 【详解】
（1）()sin cos (sin cos )ax
ax
ax
f x ae x e x e a x x '=+=+
因为()f x 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()0f x '≥在06,π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
恒成立，
即sin cos 0a x x +≥在06,π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
恒成立，
当0x =时，上式成立，a R ∈
当0,6x π⎛⎤
∈
⎥⎝⎦
，有cos 1sin tan x a x x ≥-=-，需max 1tan a x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭， 而06
x π
<≤
，0tan 3
x <≤
，
1tan x ≥
1tan x -≤
，故a ≥综上，实数a
的取值范围是[)+∞
（2）设()()sin x
g x f x bx e x bx =-=-，0,
2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，则()(sin cos )x
g x e x x b '=+-， 令()(sin cos )x
h x e x x b =+-，
()(2cos )0x h x e x '=≥，()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，也就是()g x '在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
单调递增，
所以2()1,g x b e b π
⎡⎤
'∈--⎢⎥⎣⎦
.
当10b -≥即1b ≤时，()(0)0g x g ≥=，不符合； 当20e b π
-≤即2b e π
≥时，()(0)0g x g ≤=，符合
当210b e b π
-<<-即21b e π
<<时，根据零点存在定理，00,2x π⎛
⎫
∃∈ ⎪⎝⎭
，使()00g x '=，有()00,x x ∈时，
()0g x '<，()g x 在[)00,x 单调递减，0,2x x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()0g x '>，()g x 在0,2x π⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递增，(0)0
g =成立，故只需02g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即可，有202e b ππ-≤，得222
e b e ππ
π
≤<，符合
综上得，2
2
b e π
π
≥，实数b 的最小值为
22
e π
π
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.
22．已知函数()2|2|f x x m =--(0)m >，若(2)0f x +<的解集为()2,2-． （1）求m 的值；
（2）若正实数a ，b ，c 满足23++=a b c m ，求证：1119
234
a b c ++≥． 【答案】（1）4m =；（2）证明见详解. 【解析】 【分析】
（1）将不等式(2)0f x +<的解集用m 表示出来，结合题中的解集，求出m 的值； （2）利用柯西不等式证明. 【详解】
解：（1）(2)2||0f x x m +=-<，||2
m x <
， 22
m m x ∴-
<<， 因为()20f x +<的解集为()2,2-，所以
22
m
=， 4m ∴=；
（2）由（1）234a b c ++= 由柯西不等式2111
()(23)(111)923a b c a b c
+
+++≥++=，
1119
234 a b c
∴++≥
当且仅当
4
3
a=，
2
3
b=，
4
9
c=，等号成立．
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法，利用柯西不等式证明不等式的问题，属于中档题.
23．选修4-5：不等式选讲
设函数．
（1）证明:；
（2）若不等式的解集非空，求的取值范围．
【答案】(1)见解析.
(1) .
【解析】
试题分析：（1）直接计算，由绝对值不等式的性质及基本不等式证之即可；
（1），分区间讨论去绝对值符号分别解不等式即可.
试题解析：（1）证明：函数f（x）=|x﹣a|，a＜2，
则f（x）+f（﹣）=|x﹣a|+|﹣﹣a|=|x﹣a|+|+a|≥|（x﹣a）+（+a）|
=|x+|=|x|+≥1=1．
（1）f（x）+f（1x）=|x﹣a|+|1x﹣a|，a＜2．
当x≤a时，f（x）=a﹣x+a﹣1x=1a﹣3x，则f（x）≥﹣a；
当a＜x＜时，f（x）=x﹣a+a﹣1x=﹣x，则﹣＜f（x）＜﹣a；
当x时，f（x）=x﹣a+1x﹣a=3x﹣1a，则f（x）≥﹣．则f（x）的值域为[﹣，+∞）.
不等式f（x）+f（1x）＜的解集非空，即为＞﹣，解得，a＞﹣1，由于a＜2，
则a的取值范围是．
考点：1.含绝对值不等式的证明与解法.1.基本不等式.。