高二数学综合法与分析法

去……”
天栓的父亲把大家逗得开怀大笑，张老爷子知道在揭他的短，哆哆嗦嗦地拿起拐杖去打天栓的父亲，嘴里还不住地唠叨着：“你这小子，哪壶
不开你提哪壶……看我怎么收拾你……”
“来呀来呀……”天栓的父亲来了神儿，做个‘猴哥’的动作，抓耳挠腮地挑逗起张老汉来：“我看你是吃饱了撑的……有本事就来跟‘俺老
孙’练练……”
(1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线, ---则: f(n)=n2. (2)这n条直线把平面分成(n2+n+2)/2个区域.
练习1:凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线 ------的条数f(n+1)=f(n)+___n_-_1____.
练习2:设有通过一点的k个平面,其中任何三个平面或 三个以上的平面不共有一条直线,这k个平面将 空间分成f(k)个区域,则k+1个平面将空间分成 f(k+1)=f(k)+___2_k______个区域.
注:所谓至多有两个,就是不可能有三个,要 证“至多有两个不相等的实根”只要证明 它的反面“有三个不相等的实根”不成立即 可.
问题:如图;已知L1、L2 是异面直线且 A、B∈ L1,C、D∈ L2,, 求证;AC,SD也是异面直线.
C
D L1
a L2 B A
五.归纳、类比、猜想、证明
例：在各项为正的数列{a n }中，数列的前n项
最忙碌的自然就是我的妻子肖燕。
她先把老人的一大堆衣服洗了，晾在大院的阳光下；再去整理床上的被祿，打扫房间的卫生；等她把这些活忙完了，便拿出梳子和剪刀为老人
理起发来……
“六婶儿……你真好……”正在理发的傻子感激地说：“您对待俺比俺娘还好上十倍百倍……”
• 所以 a -5 - a -3 < a - 2 - a 成立.
问题一:
三:反证法
求证:两条相交直线有且只有一个交点.
注:1.结论中的有且只有(有且仅有)形式出现, 是唯一性问题,常用反证法
2.有且只有的反面包含1)不存在;2)至少两个.
问题二:求证一元二次方程至多 ------有两个不相等的实根.
和sn满足sn
=
1(a 2
n
+
1 an
)
（1）求a1、a2、a3；
（2）由（1）猜想到数列{an}的通项公式，
并用数学归纳法证明你的猜想。
例：有下列各式： 1> 1,
2 1+ 1 + 1 > 1,
23 1+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 > 3 ,
234567 2 1+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + + 1 >2
综合法与分析法
知识结构
合情推理
归纳推理
推理
类比推理
推
演绎推理
理
与
比较法
证 明
直接证明
综合法
证明
分析法
间接证明
反证法
数学归纳法
一.综合法
例.已知a、b、c 为不相等正数 ，且abc = 1，
证求 ：a + b + c < 1 + 1 + 1 . abc
证法1:∵ a、b、c 为 不相等正 数 ，且abc = 1，
“六弟，只要你不记恨我，我巴不得为你效劳。”
我用拳头拥了拥他的前胸，“你我没有无仇无怨，哪来的记恨？！”
他咧着嘴笑了，“六弟，我欠你的太多了……恐怕这一辈子也补偿不完……”
我拍着他的肩，深有感触地说：“人生本来就是平等的，怎能用一时的恩怨蒙蔽我们兄弟之间的感情？除了感情之外，我们谁也不欠西也太古怪了，有时它让人难以自拔……
作业：
１:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条 不过同一点, 证明这n条直线把平面分成f(n)＝(n2+n+2)/2个区域.
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张老爷子的话还没说完，天栓的父亲就模仿起张老爷子的姿势学着他的口气说：“你回家告诉瘸子，他就是用八台大轿来抬我……我也不
“爸，你什么时候关心起国家大事来了？”
“国家兴亡匹夫有责，人口的老年化已成为当务之急，作为一个国家的子民应该为国家排忧解难才是……
“爸，你真了不起！”女儿竖起了大拇指。
除夕这天，马天栓也回来了，他带着妻子来找我，主动地承担了做年夜饭的大厨。
我握着他的手说：“天栓哥，年夜饭固然重要，但我更需要你长期的帮助……”
b+
c < 1+1+1. abc
证法2:∵a、b、c为不相等正数 ，且abc = 1，
∴ a+ b+ c= 1 + 1 + 1 bc ca ab
1+1 1+1 1+1 <b c+c a+a b
= 1+1+1.
2
2
2 abc
∴
a+
b+
c
<
1 a
+
1 b
+
1 c
成立.
二.分析法
例：已知a > 5，求证 ：
大家都在为他们二人鼓掌叫劲儿……
我招呼大家安静下来，“父老乡亲们，这次领导来访是一个好机会，特别是我们老年娱乐中心的老人们要抓紧时间排练，把你们最精彩的一面
完美的展现给大家……”
在我的鼓励下，老人们进行着紧张而有序的排练……
在外地打工的打工仔陆续地回家了，这些年轻人看到自己的父母生活的如此幸福，他们也不甘示弱，自发地组成了青年歌舞队加入到老年娱乐
2 3 4 5 6 7 15
你能得到怎样的一般不等式，并加以证明。
例:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条 不过同一点,证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2.
证:(1)当n=2时,两条直线的交点只有1个,又 f(2)=2•(2-1)/2=1,因此,当n=2时命题成立. (2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,就是说,平面内满足 题设的任何k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 以下来考虑平面内有k+1条直线的情况.任取其中 的1条直线,记作l.由归纳假设,除l以外的其他k 条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2.
另外,因为已知任何两条直线不平行,所以直线l 必与平面内其他k条直线都相交,有k个交点.
又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k 个交点两两不相同,且与平面内其他的k(k-1)/2个 交点也两两不相同.
从而平面内交点的个数是 k(k-1)/2+k=k[(k-1)+2]/2 =(k+1)[(k+1)-1]/2.
中心来，在老人们的指导下，跑龙灯划旱船，载歌载舞好不热闹，尤其是傻子扮演的猪八戒背媳妇更是别有一番风趣……
小荷从南方回来了，她一见到我就扑到我的怀里，亲了亲我的脸，高兴地说：“爸，真没想到不到半年的时间你的养老院竟办得如此红火，我
们的整个山村都要燃烧了……”
我呵呵地笑了，“爸爸有这么大的魄力吗？这是党的政策好，民心所向啊……”
∴ 1 + 1 + 1 = bc + ca + ab a bc
= bc + ca + ca + ab + ab + bc
2
2
2
> abc2 + a2bc + ab2c = a + b + c.
∴
a+
b+
c
<
1 a
+
1 b
+
1 c
成立.
例.已知a、b、c 为不相等正数 ，且abc = 1，
证求
：a +
这就是说,当n=k+1时,k+1条直线的交点个数为: f(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]/2.
根据(1)、(2)可知,命题对一切大于1的正整数都成 立.
说明:用数学归纳法证明几何问题,重难点是处理好当 n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立.
注:在上例的题设条件下还可以有如下二个结论:
a -5 - a -3 < a -2 - a.
• 证明:
• 要证
a-5- a-3 < a-2- a
• 只需证 a - 5 a < a - 2 + a - 3
• 只需证 a(a - 5)< (a - 2)(a - 3)
• 只需证 a(a -5)<(a -2)(a -3)
• 只需证 0 < 6
• 因为 0 < 6 成立.