2016年河南省中考数学课时复习课件9
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专题四 方案设计与动手操作型问题
方案设计型问题是设置一个实际问题的情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，寻 求恰当的解决方案，有时还给出几个不同的解决方案，要求判断其中哪个方案最优．方案设 计型问题主要考查学生的动手操作能力和实践能力． 方案设计型问题， 主要有以下几种类型： (1)讨论材料，合理猜想——设置一段讨论材料，让考生进行科学的判断、推理、证明； (2)画图设计，动手操作——给出图形和若干信息，让考生按要求对图形进行分割或设计 美观的图案； (3)设计方案，比较择优——给出问题情境，提出要求，让考生寻求最佳解决方案． 操作型问题是指通过动手实验，获得数学结论的研究性活动．这类问题需要动手操作、 合理猜想和验证，有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯．常见 类型有：(1)图形的分割与拼接；(2)图形的平移、旋转与翻折；(3)立体图形与平面图形之间的 相互转化．
而 2 分成四个不同三角形，不符合要求．∴有 4 种可以满足园艺设计师要求
4．(2015· 南阳模拟)小明家春天粉刷房间，雇用了 5 个工人，每人每天做 8 小时，做了 10 天完成．用了某种涂料 150 升，费用为 4800 元；粉刷的面积是 150 m2.最后结算工钱时，有 以下几种方案：①按工算，每个工 60 元(1 个工人干 1 天是一个工)；②按涂料费用算，涂料 费用的 60%作为工钱；③按粉刷面积算，每平方米付工钱 24 元；④按每人每小时付工钱 8 元 计算．你认为付钱最划算的方案是( B ) A．① B．② C．③ D．④ 解析：方案①：5×10×60＝3000(元)；方案②：4800×60%＝2880(元)；方案③：150×24 ＝3600(元)；方案④：5×8×10×8＝3200(元)．故方案②最省钱．
①
②
③
(2) 当 AE＝EF＝ 5 厘米时，如图②BF＝ EF2－BE2 ＝ 52－12＝ 2 6 厘米，∴ S △AEF＝ 1 1 · AE· BF＝ ×5×2 6＝5 6厘米 2 2 2 1 (3)当 AE＝EF＝5 厘米时， 如图③DF＝ EF2－DE2＝ 52－32＝4 厘米， ∴S△AEF＝ AE· DF 2 1 25 ＝ ×5×4＝10 厘米 2.故答案为： ，5 6，10. 2 2
1．(2015· 河北)如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要 拼一个与原来面积相等的正方形，则( A )
A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以 C．甲不可以、乙可以 D．甲可以、乙不可以 2．(2014· 江西)如图，贤贤同学用手工纸制作一个台灯灯罩，做好后发现上口太小了，于 是他把纸灯罩对齐压扁，剪去上面一截后，正好合适．以下裁剪示意图中，正确的是( A )
3．一位园艺设计师计划在一块形状为直角三角形且有一个内角为 60°的绿化带上种植 四种不同的花卉， 要求种植的四种花卉分别组成面积相等， 形状完全相同的几何图形图案． 某 同学为此提供了如图所示的五种设计方案．其中可以满足园艺设计师要求的有( C )
A．2 种 B．3 种
C．4 种 D．5 种
解析：如图，观察发现，1，3，4，5，都是被分成了四个 30°的直角三角形，满足园艺 设计师要求．
5．(2014· 黄冈)如图，在一张长为 8 cm，宽为 6 cm 的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为 5 cm 的等腰三角形(要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在 25 矩形的边上)．则剪下的等腰三角形的面积为__ ，5 6，10__ cm2. 2
解析：分三种情况计算： 1 1 25 (1)当 AE＝AF＝5 厘米时，如图①∴S△AEF＝ AE· AF＝ ×5×5＝ 厘米 2 2 2 2Байду номын сангаас
利用方程(组)、不等式、函数进行方案设计
【例 1】 (2015· 泸州)某小区为了绿化环境，计划分两次购进 A，B 两种花草，第一次分 别购进 A，B 两种花草 30 棵和 15 棵，共花费 675 元；第二次分别购进 A、B 两种花草 12 棵 和 5 棵．两次共花费 940 元(两次购进的 A，B 两种花草价格均分别相同)． (1)A，B 两种花草每棵的价格分别是多少元？ (2)若购买 A，B 两种花草共 31 棵，且 B 种花草的数量少于 A 种花草的数量的 2 倍，请 你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 解：(1)设 A 种花草每棵的价格 x 元，B 种花草每棵的价格 y 元，根据题意得：
30x＋15y＝675， x＝20， 解得： ∴A 种花草每棵的价格是 20 元， B 种花草每棵的 12x＋5y＝940－675， y＝5，
价格是 5 元
(2)设 A 种花草的数量为 m 株，则 B 种花草的数量为(31－m)株，∵B 种花草的数量少于 31 A 种花草的数量的 2 倍，∴31－m＜2m，解得：m＞ ，∵m 是正整数，∴m 最小值＝11， 3 设购买树苗总费用为 W＝20m＋5(31－m)＝15m＋155，∵k＞0，∴W 随 x 的减小而减小，当 m＝11 时，W 最小值＝15×11＋155＝320(元)．答：购进 A 种花草的数量为 11 株、B 种 20 株，费用最省；最省费用是 320 元 【点评】本题考查了列二元一次方程组，一元一次不等式解实际问题的运用，一次函数 的运用，一次函数的性质的运用，解答时根据总费用＝两种花草的费用之和建立函数关系式 是关键．
三个解题策略 (1)方程或不等式解决方案设计问题： 首先要了解问题取材的生活背景； 其次要弄清题意， 根据题意建构恰当的方程模型或不等式模型，求出所求未知数的取值范围；最后再结合实际 问题确定方案设计的种数． (2)择优型方案设计问题：这类问题一般方案已经给出，要求综合运用数学知识比较确定 哪种方案合理．此类问题要注意两点：一是要符合问题描述的要求，二是要具有代表性． (3)操作型问题：大体可分为三类，即图案设计类、图形拼接类、图形分割类等．对于图 案设计类，一般运用中心对称、轴对称或旋转等几何知识去解决；对于图形拼接类，关键是 抓住需要拼接的图形与所给图形之间的内在关系，然后逐一组合；对于图形分割类，一般遵 循由特殊到一般、由简单到复杂的动手操作过程．
方案设计型问题是设置一个实际问题的情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，寻 求恰当的解决方案，有时还给出几个不同的解决方案，要求判断其中哪个方案最优．方案设 计型问题主要考查学生的动手操作能力和实践能力． 方案设计型问题， 主要有以下几种类型： (1)讨论材料，合理猜想——设置一段讨论材料，让考生进行科学的判断、推理、证明； (2)画图设计，动手操作——给出图形和若干信息，让考生按要求对图形进行分割或设计 美观的图案； (3)设计方案，比较择优——给出问题情境，提出要求，让考生寻求最佳解决方案． 操作型问题是指通过动手实验，获得数学结论的研究性活动．这类问题需要动手操作、 合理猜想和验证，有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯．常见 类型有：(1)图形的分割与拼接；(2)图形的平移、旋转与翻折；(3)立体图形与平面图形之间的 相互转化．
而 2 分成四个不同三角形，不符合要求．∴有 4 种可以满足园艺设计师要求
4．(2015· 南阳模拟)小明家春天粉刷房间，雇用了 5 个工人，每人每天做 8 小时，做了 10 天完成．用了某种涂料 150 升，费用为 4800 元；粉刷的面积是 150 m2.最后结算工钱时，有 以下几种方案：①按工算，每个工 60 元(1 个工人干 1 天是一个工)；②按涂料费用算，涂料 费用的 60%作为工钱；③按粉刷面积算，每平方米付工钱 24 元；④按每人每小时付工钱 8 元 计算．你认为付钱最划算的方案是( B ) A．① B．② C．③ D．④ 解析：方案①：5×10×60＝3000(元)；方案②：4800×60%＝2880(元)；方案③：150×24 ＝3600(元)；方案④：5×8×10×8＝3200(元)．故方案②最省钱．
①
②
③
(2) 当 AE＝EF＝ 5 厘米时，如图②BF＝ EF2－BE2 ＝ 52－12＝ 2 6 厘米，∴ S △AEF＝ 1 1 · AE· BF＝ ×5×2 6＝5 6厘米 2 2 2 1 (3)当 AE＝EF＝5 厘米时， 如图③DF＝ EF2－DE2＝ 52－32＝4 厘米， ∴S△AEF＝ AE· DF 2 1 25 ＝ ×5×4＝10 厘米 2.故答案为： ，5 6，10. 2 2
1．(2015· 河北)如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要 拼一个与原来面积相等的正方形，则( A )
A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以 C．甲不可以、乙可以 D．甲可以、乙不可以 2．(2014· 江西)如图，贤贤同学用手工纸制作一个台灯灯罩，做好后发现上口太小了，于 是他把纸灯罩对齐压扁，剪去上面一截后，正好合适．以下裁剪示意图中，正确的是( A )
3．一位园艺设计师计划在一块形状为直角三角形且有一个内角为 60°的绿化带上种植 四种不同的花卉， 要求种植的四种花卉分别组成面积相等， 形状完全相同的几何图形图案． 某 同学为此提供了如图所示的五种设计方案．其中可以满足园艺设计师要求的有( C )
A．2 种 B．3 种
C．4 种 D．5 种
解析：如图，观察发现，1，3，4，5，都是被分成了四个 30°的直角三角形，满足园艺 设计师要求．
5．(2014· 黄冈)如图，在一张长为 8 cm，宽为 6 cm 的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为 5 cm 的等腰三角形(要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在 25 矩形的边上)．则剪下的等腰三角形的面积为__ ，5 6，10__ cm2. 2
解析：分三种情况计算： 1 1 25 (1)当 AE＝AF＝5 厘米时，如图①∴S△AEF＝ AE· AF＝ ×5×5＝ 厘米 2 2 2 2Байду номын сангаас
利用方程(组)、不等式、函数进行方案设计
【例 1】 (2015· 泸州)某小区为了绿化环境，计划分两次购进 A，B 两种花草，第一次分 别购进 A，B 两种花草 30 棵和 15 棵，共花费 675 元；第二次分别购进 A、B 两种花草 12 棵 和 5 棵．两次共花费 940 元(两次购进的 A，B 两种花草价格均分别相同)． (1)A，B 两种花草每棵的价格分别是多少元？ (2)若购买 A，B 两种花草共 31 棵，且 B 种花草的数量少于 A 种花草的数量的 2 倍，请 你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 解：(1)设 A 种花草每棵的价格 x 元，B 种花草每棵的价格 y 元，根据题意得：
30x＋15y＝675， x＝20， 解得： ∴A 种花草每棵的价格是 20 元， B 种花草每棵的 12x＋5y＝940－675， y＝5，
价格是 5 元
(2)设 A 种花草的数量为 m 株，则 B 种花草的数量为(31－m)株，∵B 种花草的数量少于 31 A 种花草的数量的 2 倍，∴31－m＜2m，解得：m＞ ，∵m 是正整数，∴m 最小值＝11， 3 设购买树苗总费用为 W＝20m＋5(31－m)＝15m＋155，∵k＞0，∴W 随 x 的减小而减小，当 m＝11 时，W 最小值＝15×11＋155＝320(元)．答：购进 A 种花草的数量为 11 株、B 种 20 株，费用最省；最省费用是 320 元 【点评】本题考查了列二元一次方程组，一元一次不等式解实际问题的运用，一次函数 的运用，一次函数的性质的运用，解答时根据总费用＝两种花草的费用之和建立函数关系式 是关键．
三个解题策略 (1)方程或不等式解决方案设计问题： 首先要了解问题取材的生活背景； 其次要弄清题意， 根据题意建构恰当的方程模型或不等式模型，求出所求未知数的取值范围；最后再结合实际 问题确定方案设计的种数． (2)择优型方案设计问题：这类问题一般方案已经给出，要求综合运用数学知识比较确定 哪种方案合理．此类问题要注意两点：一是要符合问题描述的要求，二是要具有代表性． (3)操作型问题：大体可分为三类，即图案设计类、图形拼接类、图形分割类等．对于图 案设计类，一般运用中心对称、轴对称或旋转等几何知识去解决；对于图形拼接类，关键是 抓住需要拼接的图形与所给图形之间的内在关系，然后逐一组合；对于图形分割类，一般遵 循由特殊到一般、由简单到复杂的动手操作过程．