【免费下载】第十四章 偏微分方程

，取二次连续可微函数
，使
，作变换
，
为
的积分，
不同时为零，作变量替换
，
,方程化为标准形式
二、极值原理·能量积分·定解问题的惟一性定理
椭圆型方程、抛物型方程的极值原理及双曲型方程的能量守恒原理是相应方程的解所具有的最基本性质之一，在定解问题的研究中起着重要的作用. 1
，方程化为标准形式
[椭圆型方程的极值原理与解的惟一性定理] 1 极值原理 设 D 为 n 维欧氏空间 En 的有界区域，S 是 D 的边界，在 D 内考虑椭圆型方程
(iii) 特征根都不为零，有
个具有同一种符号(n>m>1)，其余 m 个具有另一种符号，称方程在点 P 为超双曲型.
(iv) 特征根至少有一个是零，称方程在点 P 为抛物型.
若在区域 D 内每一点方程为椭圆型，双曲型或抛物型，则分别称方程在区域 D 内是椭圆型、双曲型或抛物型.
在点 P 作自变量的线性变换可将方程化为标准形式：
椭圆型：
双曲型：
超双曲型：
抛物型： 式中 Φ 为不包含二阶导数的项.
[两个自变量方程的分类与标准形式] 方程的一般形式为
a11,a12,a22 为 x,y 的二次连续可微函数，不同时为零. 方程
称为方程(2)的特征方程.特征方程的积分曲线称为二阶方程(2)的特征曲线. 在某点 P(x0,y0)的邻域 D 内，根据 Δ=a122－a11a12 的符号将方程分类： 当 Δ>0 时，方程为双曲型； 当 Δ=0 时，方程为抛物型； 当 Δ<0 时，方程为椭圆型.
[n 个自变量方程的分类与标准形式] 在点 P(x1,x2,…,xn)，根据二次型
)维平面，如
的特征根的符号，可将方程分为四类： (i) 特征根同号，都不为零，称方程在点 P 为椭圆型.
(ai 为参量)
(ii) 特征根都不为零，有 n 个具有同一种符号 ，余下一个符号相反，称方程在点 P 为双曲型.
(或
)
(S)
(S) 其中 N 为 S 的外法线方向.
(iii) 第三边值问题（混合问题）
(S) a( ),b( ), ( )在 S 上连续，N 是 S 的外法线方向，a( )≥0,b( )≤0，且 a2( )+b2( )≠0.
3 解的惟一性问题 设 c(x)及 b()不同时恒等于零，如果定解问题 Lu=f,lu= 的解存在，则是惟一的，设 c(x)及 b()都恒等于零，如果定解问题 Lu=f,lu=
,
,
其a2+b2≠0
3 解的惟一性定理 如果抛物型方程 Lu=f 的混合问题的解存在,那末它是惟一的.如果柯西问题存在有界的解，那末在有界函数类中，解是惟一的.
[波动方程的能量积分与解的惟一性定理]
1 波动方程的柯西问题与混合问题 设波动方程为
.
一、
一、 二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程
考虑二阶偏微分方程
§3 二阶偏微分方程
(1) 式中 aij(x)=aij(x1,x2,…,xn)为 x1,x2,…,xn 的已知函数.
[特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面] 代数方程
称为二阶方程(1)的特征方程；这里 a1,a2,…,an 是某些参数，且有
定理 2 设 u(x)为椭圆型方程在 D 内二次连续可微，在 上连续可微的解，且不是常数，并设 f(x)≤0（或 f(x)≥0）.若 u(x)在边界 S 上某点 M 处取非正最小值（或非负最大值），只要外法向导数 在 点 M 存在，则
2 定解问题 (i) 第一边值问题（狄利克莱问题）
(ii) 第二边值问题（诺伊曼问题）
定理 设 u(x,t)在 上连续，在 D×(0,T]内满足抛物型方程 Lu=f，且不是常数，设 f≤0，若 u(x,t)在 Γ 上某点 M 处取非正最小值，只要外法向导数 2 柯西问题与混合问题
柯西问题的初值条件是
在点 M 存在，则
混合问题按下列的定解条件分别称为
(i) 第一边值问题：
,
;
(ii) 线性边值问题：
式中 aij(x,t),bi(x,t),c(x,t),f(x,t)在 上连续，
且
正定.
1 强极值原理 设 u(x,t)为抛物型方程 Lu=f(x,t)在 D×(0,T)内连续可微在 上连续的解.并设 f(x)=0，若 u(x,t)在 D×(0,T]的某点(x0,t0)取非负的最大值，即
则对任意满足下列条件的点 P(x,t)，都有 u(x,t)=m：点 P(x,t)满足 t<t0,且可用完全在 D×(0,T] 内的连续曲线 x=x(t)与点(x0,t0)相连. 如在 的侧边界 Γ:S×[0,T]上（S 是 D 的边界）任一点 P 都可作一球，使它在 P 点与 Γ 相切且完全在 D×(0,T)内，则有
式中 πt 是 t=常数的超平面与以
*
三、三种典型方程
是
1. 波动方程 研究下面形式的波动方程
为上底所作的柱体（母线平行于 Ot 轴）的交截面.
的简写,下同.
式中 f(x,y,z,t)为已知函数. 许多物体的运动规律可用波动方程来描述.如弦振动可用一维波动方程描述；膜的振动可用二维波动方程描述；声波和电磁波的振荡可用三维波动方程描述.
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根保通据护过生高管产中线工资敷艺料设高试技中卷术资配，料置不试技仅卷术可要是以求指解，机决对组吊电在顶气进层设行配备继置进电不行保规空护范载高与中带资负料荷试下卷高总问中体题资配，料置而试时且卷，可调需保控要障试在各验最类；大管对限路设度习备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可关都能于可地管以缩路正小高常故中工障资作高料；中试对资卷于料连继试接电卷管保破口护坏处进范理行围高整，中核或资对者料定对试值某卷，些弯审异扁核常度与高固校中定对资盒图料位纸试置，.卷编保工写护况复层进杂防行设腐自备跨动与接处装地理置线，高弯尤中曲其资半要料径避试标免卷高错调等误试，高方要中案求资，技料编术试5写交卷、重底保电要。护气设管装设备线置备4高敷动调、中设作试电资技，高气料术并中课3试中且资件、卷包拒料中管试含绝试调路验线动卷试敷方槽作技设案、，术技以管来术及架避系等免统多不启项必动方要方式高案，中；为资对解料整决试套高卷启中突动语然过文停程电机中气。高课因中件此资中，料管电试壁力卷薄高电、中气接资设口料备不试进严卷行等保调问护试题装工，置作合调并理试且利技进用术行管，过线要关敷求运设电行技力高术保中。护资线装料缆置试敷做卷设到技原准术则确指：灵导在活。分。对线对于盒于调处差试，动过当保程不护中同装高电置中压高资回中料路资试交料卷叉试技时卷术，调问应试题采技，用术作金是为属指调隔发试板电人进机员行一，隔变需开压要处器在理组事；在前同发掌一生握线内图槽部纸内故资，障料强时、电，设回需备路要制须进造同行厂时外家切部出断电具习源高题高中电中资源资料，料试线试卷缆卷试敷切验设除报完从告毕而与，采相要用关进高技行中术检资资查料料和试，检卷并测主且处要了理保解。护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
的解存在，则除相差一个常数外，解是惟一的.
[抛物型方程的极值原理与解的惟一性定理] 设 为柱体
，在柱体内部
考虑抛物型方程
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根保通据护过生高管产中线工资敷艺料设高试技中卷术资配，料置不试技仅卷术可要是以求指解，机决对组吊电在顶气进层设行配备继置进电不行保规空护范载高与中带资负料荷试下卷高总问中体题资配，料置而试时且卷，可调需保控要障试在各验最类；大管对限路设度习备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可关都能于可地管以缩路正小高常故中工障资作高料；中试对资卷于料连继试接电卷管保破口护坏处进范理行围高整，中核或资对者料定对试值某卷，些弯审异扁核常度与高固校中定对资盒图料位纸试置，.卷编保工写护况复层进杂防行设腐自备跨动与接处装地理置线，高弯尤中曲其资半要料径避试标免卷高错调等误试，高方要中案求资，技料编术试5写交卷、重底保电要。护气设管装设备线置备4高敷动调、中设作试电资技，高气料术并中课3试中且资件、卷包拒料中管试含绝试调路验线动卷试敷方槽作技设案、，术技以管来术及架避系等免统多不启项必动方要方式高案，中；为资对解料整决试套高卷启中突动语然过文停程电机中气。高课因中件此资中，料管电试壁力卷薄高电、中气接资设口料备不试进严卷行等保调问护试题装工，置作合调并理试且利技进用术行管，过线要关敷求运设电行技力高术保中。护资线装料缆置试敷做卷设到技原准术则确指：灵导在活。分。对线对于盒于调处差试，动过当保程不护中同装高电置中压高资回中料路资试交料卷叉试技时卷术，调问应试题采技，用术作金是为属指调隔发试板电人进机员行一，隔变需开压要处器在理组事；在前同发掌一生握线内图槽部纸内故资，障料强时、电，设回需备路要制须进造同行厂时外家切部出断电具习源高题高中电中资源资料，料试线试卷缆卷试敷切验设除报完从告毕而与，采相要用关进高技行中术检资资查料料和试，检卷并测主且处要了理保解。护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
.如果点 x=(x1,x2,…,xn)满足特征方程，即
则过 x的平面
的法线方向 l:(a1,a2,…,an)称为二阶方程的特征方向；如果一个(n )维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特征曲面；过一点的(n
其法线方向为特征方向，则称这个平面为特征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面.
在点 P 的邻域 D 内作变量替换，可将方程化为标准形式：
a11dy2
a12dxdy+a22dx2=0
（i）
（i） 双曲型：因 Δ>0，存在两族实特征曲线
，
，作变换
，
和
(2) 方程化为标准形式
或 （ii）
（ii） 抛物型: 因 Δ=0，只存在一族实的特征曲线
（iii）
（iii） 椭圆型：因 Δ<0，不存在实特征曲线，设
柯西问题的初值条件是
如果在有界区域 Q:D×(0,T]中考虑波动方程，记 的侧边界为 Γ，则混合问题的定解条件是
(i)
(i)
第一边值问题
(ii)
(ii) 第二边值问题
(iii)
(iii) 第三边值问题
2
式中 N 为 Γ 的外法线方向，φ(x),ψ(x)为 D 上的已知函数， 2 解的惟一性定理 波动方程的混合问题与柯西问题的解如果存在必定惟一. 惟一性定理可用下面能量积分证明.
3 能量积分 积分
称为波动方程的能量积分.
式中
满足齐次波动方程及 u|Γ=0（或
能量守恒原理
能量不等式
满足齐次波动方程及 对于柯西问题,在特征锥
E(t)=E(0).
）的函数 u(x,t)成立：
的函数，在上面能量不等式 E(t)中增加一项
中考虑齐次波动方程的解 u,记特征锥与 t=t0 的截面为 ，关于能量积分 成立下面的能量不等式
式中 aij(x),bi(x),c(x),f(x)在 上连续，c(x)≤0 且二次型
正定，即存在常数 μ>0，对任意
和任意的 ai 有
定理 1 设 u(x)为 D 内椭圆型方程的解，它在 D 内二次连续可微，在 上连续，且不是常数，如 f(x)≤0（或 f(x)≥0），则 u(x)不能在 D 的内点取非正最小值（或非负最大值）. 如果过边界 S 上的任一点 P 都可作一球，使它在 P 点与 S 相切且完全包含在区域 D 内，则有
[齐次方程柯西问题的解] 设齐次波动方程的柯西问题满足下面初始条件：
并设 三次连续可微， 二次连续可微，那末解 u 的表达式分别为 1 三维（克希霍夫公式）
式中 Sat 表示球面： 2 二维（泊松公式）
式中 Kat 表示圆：
3 一维（达兰贝尔公式）
利用降维法可从高维的解推得低维的解.
[非齐次方程柯西问题的解] 非齐次波动方程柯西问题的解等于上面齐次方程柯西问题的解添加一项所谓推迟势 . 1 三维