中考数学押题特训卷 专题强化七 函数与图象

专题七函数与图象
⊙热点一：图象信息题
1．如图Z7­7，二次函数y＝－x2－2x的图象与x轴交于点A，O，在抛物线上有一点P，满足S△AOP＝3，则点P的坐标是( )
图Z7­7
A．(－3，－3)
B．(1，－3)
C．(－3，－3)或(－3,1)
D．(－3，－3)或(1，－3)
2．(2013年山东菏泽)已知b＜0时，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象是下列4个图之一．根据图象分析，a的值等于( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
⊙热点二：代数几何综合题
1．(2013年湖南永州)如图Z7­8，已知二次函数y＝(x－m)2－4m2(m＞0)的图象与x轴交于A，B两点．
(1)写出A，B两点的坐标(坐标用m表示)；
(2)若二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，求二次函数的解析式；
(3)设以AB为直径的⊙M与y轴交于C，D两点，求CD的长．
图Z7­8
2．(2013年四川资阳节选)如图Z7­9，四边形ABCD是平行四边形，过点A，C，D作抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，与x轴的另一交点为E，连接CE，点A，B，D的坐标分别为(－2,0)，(3,0)，(0,4)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知抛物线的对称轴l交x轴于点F，交线段CD于点K，点M，N分别是直线l和x 轴上的动点，连接MN，当线段MN恰好被BC垂直平分时，求点N的坐标．
图Z7­9
⊙热点三：函数探索开放题
(2013年四川雅安)如图Z7­10(1)，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－3,0)，B(1,0)，C(0,3)三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；
(3)如图Z7­10(2)，若E是线段AD上的一个动点(E与A，D不重合)，过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S.
①求S与m的函数关系式；
②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
(1) (2)
图Z7­10
函数与图象
热点一 1．D 2.C 热点二
1．解：(1)∵y ＝(x －m )2－4m 2
，
∴当y ＝0时，(x －m )2－4m 2
＝0. 解得x 1＝－m ，x 2＝3m . ∵m ＞0，
∴A ，B 两点的坐标分别是(－m,0)，(3m,0)． (2)∵A (－m,0)，B (3m,0)，m ＞0，
∴AB ＝3m －(－m )＝4m ，圆的半径为1
2
AB ＝2m .
∴OM ＝AM －OA ＝2m －m ＝m .
∴抛物线的顶点P 的坐标为：(m ，－2m )．
又∵二次函数y ＝(x －m )2－4m 2(m ＞0)的顶点P 的坐标为(m ，－4m 2
)，
∴－2m ＝－4m 2
.解得m 1＝12
，m 2＝0(舍去)．
∴二次函数的解析式为y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122
－1，
即y ＝x 2
－x －34
.
(3)如图89，连接CM .在Rt △OCM 中，
∵∠COM ＝90°，CM ＝2m ＝1，OM ＝m ＝1
2，
∴OC ＝CM 2
－OM 2
＝12
－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32
.
∴CD ＝2OC ＝ 3.
图89 图90
2．解：(1)∵点A ，B ，D 的坐标分别为(－2,0)，(3,0)，(0,4)，且四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ＝CD ＝5，∴点C 的坐标为(5,4)．
∵点A ，C ，D 在抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)上，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
4a －2b ＋c ＝0，25a ＋5b ＋c ＝4，c ＝4.
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－2
7
，
b ＝10
7，
c ＝4.
故抛物线的解析式为y ＝－27x 2＋10
7
x ＋4.
(2)如图90，连接BD 交对称轴于G ，在Rt △OBD 中，易求BD ＝5，∴CD ＝BD ，则∠DCB ＝∠DBC .
又∵∠DCB ＝∠CBE ，∴∠DBC ＝∠CBE . 过G 作GN ⊥BC 于H ，交x 轴于N ， 易证GH ＝HN ，∴点G 与点M 重合．
故直线BD 的解析式y ＝－4
3
x ＋4.
根据抛物线可知对称轴方程为x ＝5
2，
则点M 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫52，23，即GF ＝23，BF ＝12. ∴BM ＝FM 2＋FB 2
＝56
.
又∵MN 被BC 垂直平分，∴BM ＝BN ＝5
6
.
∴点N 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫236，0. 热点三
解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋
b ＋
c ＝0，9a －3b ＋c ＝0，
c ＝3.
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝－1，
b ＝－2，
c ＝3.
∴抛物线的解析式为：y ＝－x 2
－2x ＋3.
(2)∵△PBC 的周长为PB ＋PC ＋BC ， ∵BC 是定值，
∴当PB ＋PC 最小时，△PBC 的周长最小． ∵点A 、点B 关于对称轴l 对称，
∴连接AC 交l 于点P ，即点P 为所求的点(如图91)．
图91
∵AP ＝BP ，
∴△PBC 的周长最小是PB ＋PC ＋BC ＝AC ＋BC . ∵A (－3,0)，B (1,0)，C (0,3)， ∴AC ＝3 2，BC ＝10.
故△PBC 周长的最小值为3 2＋10.
(3)①∵抛物线y ＝－x 2
－2x ＋3顶点D 的坐标为(－1,4)，A (－3,0)， ∴直线AD 的解析式为y ＝2x ＋6. ∵点E 的横坐标为m ，
∴E (m,2m ＋6)，F (m ，－m 2
－2m ＋3)．
∴EF ＝－m 2－2m ＋3－(2m ＋6)＝－m 2
－4m －3，
AH ＝12AB ＝12
×4＝2，
∴S ＝S △DEF ＋S △AEF ＝12EF ·GH ＋12EF ·AG ＝12EF ·AH ＝12(－m 2－4m －3)×2＝－m 2
－4m －3.
②存在．∵S ＝－m 2－4m －3＝－(m ＋2)2
＋1. ∴当m ＝－2时，S 最大，最大值为1. 此时点E 的坐标为(－2,2)．。