2019-2020年高三数学第二轮复习集合与简易逻辑学案

可编辑修改
2019-2020年高三数学第二轮复习集合与简易逻辑学案
一、考试要求
1.理解集合、子集、交集、并集、补集
的概念。

了解空集和全集的意义。

了解属
于、包含、相等关系的意义。

能掌握有关
的术语和符号，能正确地表示一些较简单
的集合。

2.理解充分条件，必要条件及充要条件
的意义，会判断两个命题的充要关系；
二、考点扫描
1．集合中元素特征：确定性，互异性，无
序性；集合按元素特征分类：数集，点集。

2、两类关系：
（1）元素与集合的关系，用或表示；
（2）集合与集合的关系，用，，=表示，当AB时，称A是B的子集；
（3）当AB时，称A是B的真子集。

如果一个集合A有n个元素（Crad(A)=n）,那么它有个个子集，个非空真子集
注：（1）元素与集合间的关系用符号表示；（2）集合与集合间的关系用符号表示
3、集合运算：交，并，补，定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}，
A∪B={x|x∈A，或x∈B}，C U A=｛x|x∈U，且xA｝。

4命题：
（1）复合命题的形式：p且q，p或q，非p；p或q(记作“p∨q”)；p且q(记作“p∧q”)；
非p(记作“┑q”)
（2）或”、“且”、“非”的真值判断：1）“非p”形式复合命题的真假与P的真假相反；
2）“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；
3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真（3）四种命题：记“若q则p”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q 则p“，逆否命题为”若非q则非p“。

其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。

因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。

5、分条件与必要条件（1）定义：对命题“若p则q”而言，
当它是真命题时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，当它的逆命题为真时，q是p的充分条件，p是q的必要条件，两种命题均为真时，称p是q的充要条件。

（2）如果已知pq那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。

判断两条件间的关系技巧：（1）；（2）
6、反证法是中学数学的重要方法。

会用反证法证明一些代数命题。

三小题训练
1、已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N 。

可编辑修改 2．xx 年全国卷三：设集合(){}22,1,,M x y x y x R y R =+=∈∈，(){}2
,0,,N x y x y x R y R =-=∈∈， 则集合中元素的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
3、若A 是B 的必要而不充分条件，C 是B 的充要条件，D 是C 的充分而不必要条件，判断D
是A 的 条件。

4．（xx 上海春）若全集I =R ，f （x ）、g （x ）均为x 的二次函数，P ={x |f （x ）＜0}，Q ={x |g （x ）
≥0}，则不等式组的解集可用P 、Q 表示为___ __
5．（1996全国理，1）已知全集I ＝N *，集合A ＝｛x ｜x ＝2n ，n ∈N *｝，B ＝｛x ｜x ＝4n ，n ∈
N *｝，则（ ）
A.I ＝A ∪B
B.I ＝I A ∪B
C.I ＝A ∪I B
D.I ＝I A ∪I B
6.（00上海春）设I 是全集，非空集合P 、Q 满足PQI .若含P 、Q 的一个集合运算表达式，使运
算结果为空集，则这个运算表达式可以是
（只要写出一个表达式）
四．典型例题
例1．（xx 上海理）记函数f(x)=的定义域为A,
g(x)=lg[(x －a －1)(2a －x)](a<1) 的定义域为B
.(1) 求A ；(2) 若BA, 求实数a 的取值范围.
例2．(03全国)已知设P ：函数在R 上单调递减.Q:不等式的解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一
个正确，求的取值范围.
例3．命题p :函数的定义域为；
命题q :不等式对一切正实数均成立.
如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围.
例4．（理科题）集合M 是满足下列性质的函数f (x )的全体：存在非零常数T ，对任意x ∈R ，
有f (x ＋T )=T f (x )成立．注：标注理科字样的例习题，供学有余力的同学使用，以后不再说明
（1）函数f (x )= x 是否属于集合M ？说明理由；（2）设函数 f (x )= a x (a ＞0，且a ≠1)的图象与
y=x 的图象有公共点，证明：f (x ) = a x ∈M.
五．强化训练
1、（03北京卷）设集合B A x x B x x A ⋂>=>-=则|},0log |{},01|{22等于（ ）
A ． D ．
2．（xx 北京，1）满足条件M ∪{1}={1，2，3}的集合M 的个数是（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1
3、全国卷四．已知集合},2|{},2,1,0{M a a x x N M ∈===，则集合=（ ）
A ．{0}
B ．{0，1}
C ．{1，2}
D ．{0，2}
4. 04湖北卷．设A 、B 为两个集合，下列四个命题：①A B 对任意
②A B ③A BAB ④A B 存在 其中真命题的序号是 （把符合要求的命题序号都填上）
5、（xx 年北京卷理）设全集U =R ，集合M ={x | x >1，P ={x | x 2>1}，则下列关系中正确的是 （ ）
（A ）M ＝P （B ）PM （C ）MP （ D ）
6、(xx 年湖北卷)设P 、Q 为两个非空数集，定义集合P+Q={a+b|a ∈P ，b ∈Q}。

若P={0，2，5}，
Q={1，2，6}，则P+Q 中元素的个数是 ( )
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
7、04全国卷一．设A 、B 、I 均为非空集合，且满足ABI ，则下列各式中错误．．
的是（ ） A ．(A)∪B=I B ．(A)∪(B)=I C ．A ∩(B)= D ．(A)(B)= B
8．（xx 广东，1）已知集合A ={1，2，3，4}，那么A 的真子集的个数是（ ）
A .15 B.16 C.3 D.4
9．（1996上海，1）已知集合M ＝｛（x ，ｙ）｜x ＋ｙ＝2｝，N ＝｛（x ，ｙ）｜x －ｙ＝4｝，
那么集合M ∩N 为（ ）
A.x =3，y =－1
B.（3，－1）
C.{3，－1}
D.{（3，－1）}
10、（xx 全国，1）如图7—1，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，
则阴影部分所表示的集合是（ ）
A.（M ∩P ）∩S
B.（M ∩P ）∪S
C.（M ∩P ）∩I S
D.（M ∩P ）∪I S 11．（1995全国，1）已知I 为全集，集合M 、NI ，若M ∩N ＝N ，则（ ）
A.I M I N
B.M I N
C. I M I N
D.M I N
12、(xx 年湖北卷理)对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“a=b ”是“ac=bc ”
的充要条件；②“a+5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“a>b ”是“a 2>b 2”的充
分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件。

其中真命题的个数是 ( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
13、（xx 年山东卷）设集合A 、B 是全集的两个子集，则是的（ ）
（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）冲要条件（D ）既不充分也不必要条件
14、已知,,分别就下面条件求的取值范围:
(I); (II).
15．（xx ·辽宁理科18）设全集U ＝R
图7—1
（1）解关于x 的不等式（R ）
（2）记A 为（1）中不等式的解集，集合B ＝｛0)3cos(3)3sin(|=-+-
ππππx x x ｝，
若C U 恰有3个元素,求a 的取值范围．
江苏省赣马高级中学高三数学《集合与简易逻辑》作业
1．（xx 年上海卷）a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2+b 1x +c 1>0和a 2x 2+b 2x +c 2>0
的解集分别为集合M 和N ，那么“”是“M=N ”的（ ）
A ．充分非必要条件.
B ．必要非充分条件.
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件.
2．（xx 年上海市春）若是常数，则“”是“对任意，有”的 ( )
（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件.（C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.
3、（1995上海）“ab <0”是“方程ax 2+by 2=c 表示双曲线”的（ ）
A .必要条件但不是充分条件 B.充分条件但不是必要条件
C.充分必要条件
D.既不是充分条件又不是必要条件
4（xx 上海，3）a =3是直线ax +2y +3a =0和直线3x +（a －1）y =a －7平行且不重合的（ ）
A.充分非必要条件 B .必要非充分条件C .充要条件D.既非充分也非必要条件
5、（xx 湖南）集合A ＝｛x |＜0，B ＝｛x || x -b|＜a ，若“a ＝1”是“A ∩B ≠”的充分条件， 则
b 的取值范围可以是（ ）A ．－2≤b ＜0B ．0＜b ≤2C ．－3＜b ＜－1D ．－1≤b ＜2
6、（xx 全国，18）α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出
四个论断:①m ⊥n ②α⊥β ③n ⊥β ④m ⊥α
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．
命题：_____. 7．已知集合{}{}A x x x R B x x a a R =≤∈=-≤∈||||||43，，，，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8、（xx 上海春，15）“a =1”是“函数y =cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的（ ）
A .充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件
9、集合},3
sin |{Z n n y y M ∈==π的子集的个数有（ ） （A ）无穷多个（B ）32个（C ）16个（D ）8个 10设集合M =，}12|{R ，x y y N x ∈-==，若M ∩N =，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11、命题甲：或；命题乙：，则 （ ）
A.甲是乙的充分非必要条件；
B.甲是乙的必要非充分条件；
C. 甲是乙的充要条件；
D.甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件.
12、已知集合{}{}
A x x x R
B x x a a R =≤∈=-≤∈||||||43，，，，若，
求的取值范围。

13、一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根的充分不必要条件
是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
14．(03全国)已知设P ：函数在R 上单调递减.Q:不等式的解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个
正确，求的取值范围.
15．（理科）已知数列的前n 项和为).R a (n )1a (n S 2n ∈-+= 设集合 ,}.R y ,x ,1y x 4
1|)y ,x {(B 22∈=-= (1) 求数列的通项公式;
(2) 若以集合A 中的元素作为点的坐标,则这些点是否都在同一条直线上? 并说明理由;
(3) “至多只有一个元素”是否正确? 如果正确, 请给予证明; 如果不正确, 请举
例说明.
江苏省赣马中学高三数学二轮复习《集合与简易逻辑》教案
三 典型例题
1．已知集合M={y|y=x 2+1，x ∈R}，N={y|y=x+1，x ∈R}，求M ∩N 。

解析：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。

M 、N 均为数集，
不能误认为是点集，从而解方程组。

其次要化简集合，或者说使集合的特征明朗化。

M={y|y=x 2+1，
x ∈R}={y|y ≥1}，N={y|y=x+1，x ∈R}={y|y ∈R}∴ M ∩N=M={y|y ≥1}
说明：实际上，从函数角度看，本题中的M ，N 分别是二次函数和一次函数的值域。

一般
地，集合{y|y=f(x)，x ∈A}应看成是函数y=f(x)的值域，通过求函数值域化简集合。

此集合与集
合{（x ，y ）|y=x 2+1，x ∈R}是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y=x 2+1上的所有点，
属于图形范畴。

集合中元素特征与代表元素的字母无关，例{y|y ≥1}={x|x ≥1}。

2．xx 年全国卷三：设集合(){}22,1,,M x y x y x R y R =+=∈∈，(){}
2,0,,N x y x y x R y R =-=∈∈，则集合中元素的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
3．若A 是B 的必要而不充分条件，C 是B 的充要条件，D 是C 的充分而不必要条件，判断D
是A 的什么条件。

答案 ：B .
4(xx 上海春）若全集I =R ，f （x ）、g （x ）均为x 的二次函数，P ={x |f （x ）＜0}，Q ={x |g （x ）
≥0}，则不等式组的解集可用P 、Q 表示为_____.
解析：①利用“”、“”符号分析各命题之间的关系
DCBA ∴ DA ，D 是A 的充分不必要条件
说明：符号“”、“”具有传递性，不过前者是单方向的，后者是双方向的。

②.答案：P ∩I Q 解析：∵g （x ）≥0的解集为Q ，所以g （x ）<0的解集为I Q ，因此的解
集为P ∩I Q .
评述：本题以不等式为载体，重点考查集合的补集、交集的概念及其运算，活而不难.
5．（1996全国理，1）已知全集I ＝N *，集合A ＝｛x ｜x ＝2n ，n ∈N *｝，B ＝｛x ｜x ＝4n ，n ∈
N ｝，则（ ）A.I ＝A ∪B B.I ＝I A ∪B C.I ＝A ∪I B D.I ＝I A ∪I B
6.（00上海春）设I 是全集，非空集合P 、Q 满足PQI .若含P 、Q 的一个集
合运算表达式，使运算结果为空集， 则这个运算表达式可以是 （只要写出一个表达式）
解析：①.答案： C
方法一：I A 中元素是非2的倍数的自然数，I B 中元素是非4的倍数的自然数，显然，只有Ｃ选项正确.
方法二：因A ＝｛2，4，6，8…｝，B ＝｛4，8，12，16，…｝，所
以I B ＝｛1，2，3，5，6，7，9…｝，所以I ＝A ∪I B ，故答案为Ｃ.
方法三：因BA ，所以I A I B ，I A ∩I B ＝I A ，故I ＝
A ∪I A ＝A ∪I
B .
方法四：根据题意，我们画出文氏图1—4来解，易知BA ，如图：可以清楚看到I =A ∪I B 是成立的.
评述：本题考查对集合概念和关系的理解和掌握，注意数形结合的思想方法，用无限集考
查，提高了对逻辑思维能力的要求.
②.答案：P ∩I Q 阴影部分为I Q （如图1—8）
显然，所求表达式为I Q ∩P =，
或I Q ∩（Q ∩P ）或I Q ∩（Q ∪P ）=.
评述：本题考查集合的关系及运算.
四典型例题
例 1、（xx 上海理）记函数f(x)=的定义域为A, g(x)=lg[(x －a －1)(2a －x)](a<1) 的定义域为B.(1) 求A ；
(2) 若BA, 求实数a 的取值范围.
【解】(1)2－≥0, 得≥0, x<－1或x≥1
即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞)
(2) 由(x －a －1)(2a －x)>0, 得(x －a －1)(x －2a)<0.
∵a<1,∴a+1>2a, ∴B=(2a,a+1).
∵BA, ∴2a≥1或a+1≤－1, 即a≥或a≤－2, 而a<1,
∴≤a<1或a≤－2, 故当BA 时, 实数a 的取值范围是(－∞,－2]∪[,1)
例2．
例3．命题p :函数的定义域为；
命题q :不等式对一切正实数均成立.
如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围.
图1—2 图1—8
图1—4
解： 命题p 为真命题函数的定义域为
对任意的x 均成立时，-x >0解集为；或者
20 2.1104
a a a >⎧⎪⇔>⎨-<⎪⎩ 命题q 为真命题对一切正实数均成立
a ⇔>==对一切正实数均成立.
0,12,1x >>>< 所以，命题q 为真命题a ≥1
根据题意知，命题p 与q 为有且只有一个为真命题. 当命题p 为真命题且命题q 为假命题时
a 不存在；当命题q 为真命题且命题p 为假命题时a 的取值范围是[1，2].
综上，命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，实数a 的取值范围是[1，2].
错误原因：对命题的真假性判断理解不清。

没有把命题p 与q 的等价命题找出来，导致讨
论的问题复杂化。

例4．（理科）集合M 是满足下列性质的函数f (x )的全体：存在非零常数T ，对任意x ∈R ，
有f (x ＋T )=T f (x )成立．
（1）函数f (x )= x 是否属于集合M ？说明理由；
（2）设函数 f (x )= a x (a ＞0，且a ≠1)的图象与y=x 的图象有公共点，证明：f (x ) = a x ∈M.
[思路分析] (1)对于非零常数T ，f (x ＋T)=x ＋T ， T f (x )=T x ．
因为对任意x ∈R ，x ＋T= T x 不能恒成立，所以f (x )=
(2)因为函数f (x ) = a x (a ＞0且a ≠1)的图象与函数y=x 的图象有公共点，
所以方程组：有解，消去y 得a x =x ，
显然x =0不是方程a x =x 的解，所以存在非零常数T ，使a T =T ．
于是对于f (x )=a x 有)()(x Tf a T a a a
T x f x x T T x =⋅=⋅==++ 故f (x ) = a x ∈M ．
三、巩固训练
1、（03北京卷）设集合B A x x B x x A ⋂>=>-=则|},0log |{},01|{22等于（ A ）
A ． D ．
2．（xx 北京，1）满足条件M ∪{1}={1，2，3}的集合M 的个数是（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1
答案：C
解析：M ={2，3}或M ={1，2，3}
评述：因为M {1，2，3}，因此M 必为集合{1，2，3}的子集，同时含元素2，3.
3、全国卷四理．已知集合},2|{},2,1,0{M a a x x N M ∈===，则集合=（ ）
A ．{0}
B ．{0，1}
C ．{1，2}
D ．{0，2} 4. 04湖北卷理．设A 、B 为两个集合，下列四个命题：①A B 对任意
②A B ③A BAB ④A B 存在
其中真命题的序号是 （把符合要求的命题序号都填上）
5、（xx 年北京卷理）设全集U =R ，集合M ={x | x >1，P ={x | x 2>1}，则下列关系中正确的是 （ C ） （A ）M ＝P （B ）PM （C ）MP （ D ）
6、(xx 年湖北卷理)设P 、Q 为两个非空数集，定义集合P+Q={a+b|a ∈P ，b ∈Q}。

若P={0，2，
5}，Q={1，2，6}，则P+Q 中元素的个数是 ( B )
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
7、04全国卷一理．设A 、B 、I 均为非空集合，且满足AB I ，则下列各式中错误．．
的是（B ） A ．(A)∪B=I B ．(A)∪(B)=I C ．A ∩(B)= D ．(A)(B)= B
8．（xx 广东，1）已知集合A ={1，2，3，4}，那么A 的真子集的个数是（ A ）
A.15
B.16
C.3
D.4
解析：根据子集的计算应有24－1=15（个）.
评述：求真子集时千万不要忘记空集是任何非空集合的真子集.同时，A 不是A 的真子集.
9．（1996上海，1）已知集合M ＝｛（x ，ｙ）｜x ＋ｙ＝2｝，N ＝｛（x ，ｙ）｜x －ｙ＝4｝，那么集合M ∩N 为（ ）
A.x =3，y =－1
B.（3，－1）
C.{3，－1}
D.{（3，－1）}
10、（xx 全国，1）如图1—1，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影
部分所表示的集合是（ Ｃ ）
A.（M ∩P ）∩S
B.（M ∩P ）∪S
C.（M ∩P ）∩I S
D.（M ∩P ）∪I S 由图知阴影部分表示的集合是M ∩P 的子集且是I S 的子集，故答案为Ｃ．
11、（1995全国理，1）已知I 为全集，集合M 、NI ，若M ∩N ＝N ，则（ C ）
A.I M I N
B.M I N
C. I M I N
D.M I N
答案：C
解析一：∵M ∩N =N ，∴NM ，∴I N I M
解析二：画出韦恩图1—5，显然：I M I N .故选C.
评述：本题主要考查集合的概念和集合的关系，题目中不给出具
体集合，对分析问题解决问题能力提高了要求.
12、(xx 年湖北卷理)对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题： ①“a=b ”是“ac=bc ”的充要条件；
②“a+5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；
③“a>b ”是“a 2>b 2”的充分条件；
④“a<5”是“a<3”的必要条件。

其中真命题的个数是 ( B )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
13、（xx 年山东卷）设集合A 、B 是全集的两个子集，则是的（ ）
（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）冲要条件（D ）既不充分也不必要条件
14．已知,,分别就下面条件求的取值范围:
(I); (II).
正确答案： (I):(1)a<0,A=,∅∅解当时有A B=,
{≥≤≤(2)当a 0时,有A=x -a+3x a+3},
由有
得 与,矛盾!
故当时,的取值范围是;
(II)解:(1)a<0,A=,∅当时有A B=B ,
{≥≤≤(2)当a 0时,有A=x -a+3x a+3},
图1—1 图1—5
由必有,得或得 (舍去)或
得故当时, .
15．（xx ）设全集U ＝R
（1）解关于x 的不等式（R ）
（2）记A 为（1）中不等式的解集，集合
B ＝｛0)3cos(3)3sin(|=-+-π
ππ
πx x x ｝，若C U 恰有3个元素,
求a 的取值范围．
解：（1）由.1|1|01|1|a x a x ->->-+-得当时，解集是R ；当时，解集是
（2）当时， =；当时，= 因)3cos(3)3sin(π
ππ
π-+-x x x x x ππ
π
ππ
π
πsin 2]3sin )3cos(3cos )3[sin(2=-+-=
由Z B Z k x Z k k x x =∈=∈==所以即得,),(,0sin πππ
当怡有3个元素时，a 就满足 解得
江苏省赣马高级中学高三数学《集合与简易逻辑》作业
1．（xx 年上海卷）a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2+b 1x +c 1>0和a 2x 2+b 2x +c 2>0
的解集分别为集合M 和N ，那么“”是“M=N ”的（ ）
A ．充分非必要条件.
B ．必要非充分条件
.C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件.
2．（xx 年上海市春）若是常数，则“”是“对任意，有”的 ( )
（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件
.（C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.
3、（1995上海）“ab <0”是“方程ax 2+by 2=c 表示双曲线”的（ ）
A .必要条件但不是充分条件 B.充分条件但不是必要条件
C.充分必要条件
D.既不是充分条件又不是必要条件
4（xx 上海，3）a =3是直线ax +2y +3a =0和直线3x +（a －1）y =a －7平行且不重合的（ ）
A.充分非必要条件 B .必要非充分条件C .充要条件D.既非充分也非必要条件
当a =3时，直线l 1：3x +2y +9=0，直线l 2：3x +2y +4=0
显然a =3l 1∥l 2.
5、（xx 湖南）集合A ＝｛x |＜0，B ＝｛x || x -b|＜a ，若“a ＝1”是“A ∩B ≠”的充分条件， 则
b 的取值范围可以是（ ）
A ．－2≤b ＜0
B ．0＜b ≤2
C ．－3＜b ＜－1
D ．－1≤b ＜2
6、（xx 全国，18）α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出
四个论断:①m ⊥n ②α⊥β ③n ⊥β ④m ⊥α
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．
命题：_____. 7．已知集合{}{}A x x x R B x x a a R =≤∈=-≤∈||||||43，，，，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
解：易知集合满足： 若 则，符合
若 则集合满足 且
的取值范围为 选B
说明：此题极易错选为A ，容易忽略的情况。

8、（xx 上海春，15）“a =1”是“函数y =cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的（ ）
A .充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既非充分条件也非必要条件
9、集合},3
sin |{Z n n y y M ∈==π的子集的个数有（ ） （A ）无穷多个（B ）32个（C ）16个（D ）8个
正解：D
由题意可知：y=0,集合M 的元素个数为3个，其子集个数为=8。

误解：A ，不能正确计算y 值，误认为有无数多个y 值。

10设集合M =，}12|{R ，x y y N x
∈-==，若M ∩N =，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
正确答案：C
错因：不能区分集合中元素的形式，把集合当成了点集。

11、命题甲：或；命题乙：，则 （ ）
A.甲是乙的充分非必要条件；
B.甲是乙的必要非充分条件；
C. 甲是乙的充要条件；
D.甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件.
正确答案：B
错因：想不到及时转换为便于判断的等价命题：非命题甲：且；非命题乙：。

12、已知集合{}{}A x x x R B x x a a R =≤∈=-≤∈||||||43，，，，若，
求的取值范围。

13、一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根的充分不必要条件
是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
14．(03全国)已知设P ：函数在R 上单调递减.Q:不等式的解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个
正确，求的取值范围.
15．（理科）已知数列的前n 项和为).R a (n )1a (n S 2n ∈-+= 设集合 ,}.R y ,x ,1y x 4
1|)y ,x {(B 22∈=-= (1) 求数列的通项公式;
(2) 若以集合A 中的元素作为点的坐标,则这些点是否都在同一条直线上? 并说明理由;
(3) “至多只有一个元素”是否正确? 如果正确, 请给予证明; 如果不正确, 请举
例说明.
解: (1)当时, …………(1分)
当时, )]1n )(1a ()1n [(]n )1a (n [S S a 2
21n n n --+---+=-=-
＝…………(3分)
可见, 当时, 满足上式.
所以, 数列的通项公式是)N n (2a n 2a n +∈-+= …………(4分)
(2)由数列的通项公式是
可知数列是等差数列.
∴, ∴…………(6分)
∴点的坐标满足方程
∴点在直线上.
所以, 以集合A 中的元素为坐标的点均在直线上. …………(8分) (3)由⎪⎩
⎪⎨⎧=-+=4y 4x )a x (2
1y 22, 消去y, 得…………①…………(9分) 当时, 方程①无解, 此时, …………(10分)
当时, 方程①只有一个解
此时方程组也只有一个解, 即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+-=a 44
a y a 2a 4x 22
故上述方程组至多．．
有一解, 所以至多有一个元素…………(12分) .。