高中数学 3.2一元二次不等式及其解法(一)课时作业 新

3.2 一元二次不等式及其解法
(一)
课时目标
1．会解简单的一元二次不等式．
2．了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的相互关系．
1．一元一次不等式
一元一次不等式经过变形，可以化成ax >b (a ≠0)的形式．
(1)若a >0，解集为⎩⎨⎧
⎭⎬⎫x |x >b a ；
(2)若a <0，解集为
⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x |x <b a . 2．一元二次不等式
一元二次不等式经过变形，可以化成下列两种标准形式：
(1)ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)；(2)ax 2
＋bx ＋c <0 (a >0).3.一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系如下表所示： 判别式
Δ＝b 2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y ＝ax 2
＋bx
＋c (a >0)的图象
一元二次方程ax 2
＋
bx ＋c ＝0(a >0)的根
ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集 (－∞，x 1)∪(x 2，＋
∞)
{x |x ∈R 且x ≠－b
2a
}
R
ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集
{x |x 1<x <x 2}
∅ ∅
一、选择题
1．不等式－6x 2
－x ＋2≤0的解集是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23≤x ≤12
B.⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－23或x ≥12
C.⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12
D.⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－32
答案 B
解析 ∵－6x 2－x ＋2≤0，∴6x 2
＋x －2≥0， ∴(2x －1)(3x ＋2)≥0，
∴x ≥12或x ≤－23
.
2．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2
＋bx ＋c ≥0的解集为( )
A ．{x |x <－1或x >2}
B ．{x |x ≤－1或x ≥2}
C ．{x |－1<x <2}
D ．{x |－1≤x ≤2} 答案 D
解析 由题意知，－b a ＝1，c a
＝－2，
∴b ＝－a ，c ＝－2a ，
又∵a <0，∴x 2
－x －2≤0，∴－1≤x ≤2.
3．函数y ＝lg(x 2－4)＋x 2
＋6x 的定义域是( ) A ．(－∞，－2)∪[0，＋∞) B ．(－∞，－6]∪(2，＋∞) C ．(－∞，－2]∪[0，＋∞) D ．(－∞，－6)∪[2，＋∞) 答案 B
解析 ∵⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－4>0，
x 2＋6x ≥0，∴x ≤－6或x >2.
4．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )
A ．(0,2)
B ．(－2,1)
C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D ．(－1,2) 答案 B
解析 ∵x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2<0， ∴x 2
＋x －2<0.∴－2<x <1.
5．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2
＋4x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(－2,2] C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D ．(－∞，2) 答案 B
解析 ∵mx 2＋2mx －4<2x 2
＋4x ，
∴(2－m )x 2
＋(4－2m )x ＋4>0. 当m ＝2时，4>0，x ∈R ；
当m <2时，Δ＝(4－2m )2
－16(2－m )<0， 解得－2<m <2.此时，x ∈R . 综上所述，－2<m ≤2.
6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
－4x ＋6，x ≥0，
x ＋6， x <0，
则不等式f (x )>f (1)的解是( )
A ．(－3,1)∪(3，＋∞)
B ．(－3,1)∪(2，＋∞)
C ．(－1,1)∪(3，＋∞)
D ．(－∞，－3)∪(1,3) 答案 A
解析 f (1)＝12
－4×1＋6＝3，
当x ≥0时，x 2
－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1； 当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0.
所以f (x )>f (1)的解是(－3,1)∪(3，＋∞)． 二、填空题
7．二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的部分对应点如下表： X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
则不等式ax 2
＋bx ＋c >0的解集是______________． 答案 {x |x <－2或x >3}
8．不等式－1<x 2
＋2x －1≤2的解集是________． 答案 {x |－3≤x <－2或0<x ≤1}
解析 ∵⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋2x －3≤0，
x 2＋2x >0，
∴－3≤x <－2或0<x ≤1.
9．已知x ＝1是不等式k 2x 2
－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是______________． 答案 k ≤2或k ≥4
解析 x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，把x ＝1代入不等式得k 2
－6k ＋8≥0， 解得k ≥4或k ≤2.
10．不等式(x 2－x ＋1)(x 2
－x －1)>0的解集是________________．
答案 {x |x <1－52或x >1＋5
2
}
解析 ∵x 2
－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34
>0，
∴(x 2－x －1)(x 2
－x ＋1)>0可转化为
解不等式x 2
－x －1>0，由求根公式知，
x 1＝1－52，x 2＝1＋52.
∴x 2
－x －1>0的解集是 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x |x <1－52或x >
1＋52. ∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫
x |x <1－52或x >
1＋52. 三、解答题
11．若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |－13≤x ≤2，求关于x 的不等式cx 2
－bx ＋a <0
的解集．
解 由ax 2
＋bx ＋c ≥0的解集为
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |－13≤x ≤2， 知a <0，且关于x 的方程ax 2
＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－13
，2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－13＋2＝－b a －13×2＝c
a
，∴b ＝－53a ，c ＝－2
3
a .
所以不等式cx 2
－bx ＋a <0可变形为
⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a x 2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－53a x ＋a <0， 即2ax 2
－5ax －3a >0.
又因为a <0，所以2x 2
－5x －3<0，
所以所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |－1
2<x <3.
12．解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3
>0.
解 将不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3
>0变形为
(x －a )(x －a 2
)>0. ∵a 2
－a ＝a (a －1)．
∴当a <0或a >1时，a <a 2，解集为{x |x <a 或x >a 2
}．
当0<a <1时，a 2<a ，解集为{x |x <a 2
或x >a }． 当a ＝0或1时，解集为{x |x ∈R 且x ≠a }．
综上知，当a <0或a >1时，不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2
}；
当0<a <1时，不等式的解集为{x |x <a 2
或x >a }；
当a ＝0或1时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠a }．
【能力提升】
13．已知a 1>a 2>a 3>0，则使得(1－a i x )2
<1 (i ＝1,2,3)都成立的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 3 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，2a 3
答案 B
解析 由(1－a i x )2
<1，
得1－2a i x ＋(a i x )2
<1， 即a i ·x (a i x －2)<0. 又a 1>a 2>a 3>0.
∴0<x <2
a i
，
即x <2a 1，x <2a 2且x <2a 3
.
∵2a 3>2a 2>2a 1
>0
∴0<x <2
a 1
.
14．解关于x 的不等式：ax 2
－2≥2x －ax (a ∈R )．
解 原不等式移项得ax 2
＋(a －2)x －2≥0， 化简为(x ＋1)(ax －2)≥0. 当a ＝0时，x ≤－1；
当a >0时，x ≥2
a
或x ≤－1；
当－2<a <0时，2
a
≤x ≤－1；
当a ＝－2时，x ＝－1；
当a <－2时，－1≤x ≤2
a
. 综上所述，
当a >0时，解集为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ≥2
a
或x ≤－1；
当a ＝0时，解集为{}x |x ≤－1；
当－2<a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x |2a ≤x ≤－1；
当a ＝－2时，解集为{}x |x ＝－1；
当a <－2时，解集为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x |－1≤x ≤2a .
1．解一元二次不等式可按照“一看，二算，三写”的步骤完成，但应注意，当二次项系数为负数时，一般先化为正数再求解，一元二次不等式的解集是一个集合，要写成集合的形式．
2．一元二次不等式解集的端点值一般是对应的一元二次方程的根．
3．含参数的一元二次不等式的求解往往要分类讨论，分类标准要明确，表达要有层次，讨论结束后要进行总结．。