2019年上海高中数学·第三轮复习讲义_第09讲_平面向量

第09讲 平面向量
一、考点剖析：
1．向量的本质是什么？ ① 即有大小又有方向的量；
② 向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！
2．向量的性质有哪些？
① 相等向量：大小相等，方向相同的两个向量叫做相等向量，记为：（与起点，终点的位置无关）； ② 互为负向量：大小相等，方向相反的两个向量叫做互为负向量。

的负向量：-； )(=-+； ③ 平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量。

（平行向量与大小无关） 若a ，b 都是非零向量，则b a // ⇔ b k a = (R k ∈)；（向量平行即共线） ④ 零向量：大小为零的向量叫做零向量，记为：0。

（零向量方向任意） 注：≠0， =-， //任意向量， ⊥任意向量；
⑤ 单位向量：大小为“1”的向量叫做单位向量。

单位向量方向不确定；单位向量不唯一；单位向量之间不一定相等；若0a 是非零向量a
的单位向量，则：a =
0；
⑥ 位置向量：起点在原点的向量叫做位置向量⇒位置向量与向量终点一一对应⇒位置向量的向量坐标与终点的点坐标一一对应
⑦ 判断向量垂直的依据：0a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=-r r r r r r r r
⑧ 判断向量平行的依据：（非零向量）
方法一：存在常数k ，使得k =⇔ //且0>k 时，与同向；0<k 时，与反向。

方法二：b a //1cos 01cos ⇔⎪⎩
⎪
⎨
⎧⇔=⇔-=⇔=⋅⇔=⇔=⇔=⋅反向
同向
π
θθθθ。

⑨ 向量a 在向量b 方向上的投影：cos a b
a b
θ⋅⋅=r r
r r 。

（投影有正负）
3．你掌握了“数与向量相乘”，“向量的数量积”的运算了吗？
① 数与向量乘积：k ⨯=k （结果为向量）注：若k ⨯=，则=或0=k 。

运算律：当m 、R n ∈时， ⅰ、n m n m +=+)(； ⅱ、m m m +=+)(； ⅲ、)()()(m n mn n m ==；
② 向量的数量积：cos ,[0,]a b a b θθπ⋅=⋅⋅∈r r r r
（结果为实数）
性质：① a b b a ⋅=⋅ ② ⋅+⋅=⋅+)( ③ )()()(m m m ⋅=⋅=⋅ ④
2
==⋅ ⑤ 2
2
)()(-=-⋅+ ⑥ 2
2
2
2)(+⋅±=± ③ 向量的夹角θ：
t ==θcos ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧<-=>=0
arccos 02
0arccos t t t t t ππθ ④ 向量的运算与实数运算有区别：等式两边能同时约去一个向量吗？；向量满足的乘法结合律吗？（即
()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅）。

切记向量不能相除。

4．线段的定比分点公式记住了吗？λ的取值与定比分点P 和21P P 的位置有何关系？
ⅰ、中点公式以及重心公式你还记得吗？ⅱ、在利用定比分点解题时，你注意到1-≠λ了吗？
5．平面向量分解定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不平行的向量，那么对于这个平面内的任意向量
，有且只有一对实数1λ、2λ，满足2211e e a λλ+=。

6．函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系！
例1 按向量把点()3,2-平移到()2,1-，则按向量把点()2,7-平移到点
例2 函数x y 2sin =的图象按向量平移，得到函数的解析式是12cos +=x y ，则=
7、平行四边形对角线平方和定理：对角线的平分和等于四边形的平方和：
)|||(|2||||222b a b a b a +=-++
8、ABC ∆的判定：
（1）ABC b a c ∆⇔+=2
2
2
为直角三角形⇔2
π
=∠+∠B A （2）ABC b a c ∆⇔+<2
2
2
为锐角三角形⇔2
π
>∠+∠B A （3）ABC b a c ∆⇔+>2
2
2
为钝角三角形⇔2
π
<
∠+∠B A
例3 已知向量1||=，且,满足2||,4||=+=-，则在方向上的投影等于
例4 若ABC ∆的面积],2
33,23[
∈∆ABC S 且3=⋅,则与夹角的取值范围为 例5 设12,e e u r u u r
是两个不共线的向量，若122a e e =-r u r u u r 与12b e e λ=+r u r u u r 共线，则实数λ=_____
例6 O 为平面上一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：
),0[(
+∞∈+=λλ，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
例7 在ABC ∆中，“0AB AC ⋅<uu u r uuu r
”是“ABC ∆是钝角三角形”的( )
（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件
例8 已知向量a r 与b r 的夹角为120︒，3a =r ，a b +=r r b =r （ ）
.A 5 .B 4 .C 3 .D 1
例9 在ABC ∆中，O 是中线AM 上一动点，若2=AM ，则)(OC OB OA +⋅的最小值是________ 例10 已知点A （1，－2），若向量与a =（2，3）同向，||=213，则点B 的坐标为______ 例11 已知两个不相等的平面向量α，(≠α)满足||＝1，且α与－的夹角为120°，则|α|的最大值是
例12 在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则=+2
2
2|
|||||PC PB PA
三、满分精练：
1、已知2a b ==r r
，a r 与b r 的夹角为60︒，则a b +r r 在a r 上的投影为______
2、已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且
PA PB PB PC PC PA •=•=•，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的 ( )
A.重心 外心 垂心
B.重心 外心 内心
C.外心 重心 垂心
D.外心 重心 内心
3、已知点A （1，－2），若向量与a =（2，3）同向，||=213，则点B 的坐标为________
4、已知向量a ϖ和b ϖ的夹角为120°，且|a ϖ|=2，|b ϖ|=5，则（2a ϖ—b ϖ）· a ϖ
=
5、在平行四边形ABCD 中，3
π
=
∠A ，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上
|
||
|CD BC =
⋅的取值范围是
6、在ABC ∆中，M 是BC 的中点，AM=3，BC=10，则=⋅
7、在ABC ∆中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB,AC 于不同的两点M,N,若AM m AB =
AN n AC =，则=+n m
8、设向量,满足1||||==及7|23|=-。

（1）求,夹角的大小； （2）求|3|+的值。

9、已知向量)sin ),6
(sin(),sin cos 3,cos 2(x x x x x π
+=-=，且满足n m x f ⋅=)(。

（1）求函数)(x f y =的单调递增区间；
（2）设ABC ∆的内角A 满足c b a A f ,,,2)(=分别为角A,B,C 所对的边，且3=⋅,求边BC 的最
小值。