【高考调研】高考数学一轮复习课时作业(五十八) 新人教版

课时作业(五十八)
1．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )
A ．57.2,3.6
B ．57.2,56.4
C ．62.8,63.6
D ．62.8,3.6
答案 D
解析 平均数增加60，即为62.8. 方差＝1n ∑i ＝1
n [(a i ＋60)－(a ＋60)]2
＝
1
n
∑i ＝1
n
(a i －a )2
＝3.6，故选
D.
2．商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为( )
A ．6万元
B ．8万元
C ．10万元
D ．12万元 答案 C
解析 由0.40.1＝x
2.5
，得10万元，故选C.
3．(2012·济南质检)一次选拔运动员，测得7名选手的身高(单位：cm)分布茎叶图为
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪1817
0 1
0 3 x 8 9
，记录的平均身高为177 cm ，有一名候选人的身高记录不清楚，其末
位数记为x ，那么x 的值为( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
答案 D
解析 由茎叶图可知10＋11＋3＋x ＋8＋9
7
＝7，解得x ＝8.
4．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 且支出在[20,60)元的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)元的学生有30人，则n 的值为(
)
A ．90
B ．100
C ．900
D ．1000
答案 B
解析 根据频率分布直方图可得支出在[50,60)元的学生的频率为1－(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.3，因此总人数n ＝30
0.3
＝100.
5．从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图．根据茎叶图，下列描述正确的是( )
A．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐B．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐C．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐D．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐答案 D
解析根据茎叶图计算得甲种树苗的平均高度为27，而乙种树苗的平均高度为30，但乙种树苗的高度分布不如甲种树苗的高度分布集中，故D正确．
6．(2010·陕西卷)如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A和x B，样本标准差分别为S A和S B，则( )
A.x A>x B，S A>S B
B.x A<x B，S A>S B
C.x A>x B，S A<S B
D.x A<x B，S A<S B
答案 B
解析由图可知A组的6个数为2.5,10,5,7.5,2.5,10，
B组的6个数为15,10,12.5,10,12.5,10，
所以x A ＝2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋106＝37.5
6
，
x B ＝
15＋10＋12.5＋10＋12.5＋106＝70
6
.
显然x A <x B ，
又由图形可知，B 组的数据分布比A 均匀，变化幅度不大，故B 组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以S A >S B ，故选B.
7．(2012·广州综合测试)根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80 mg/100 mL(不含80)之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80 mg/100 mL(含80)以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款．据《法制晚报》报道，2011年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图是对这28800人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为( )
A ．2160
B ．2880
C ．4320
D ．8640
答案 C
解析 由题意及频率分布直方图可知，醉酒驾车的频率为(0.01＋0.005)×10＝0.15，故醉酒驾车的人数为2880×0.15＝4320.
8.甲、乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列叙述正确的是( )
A ．x 甲>x 乙；乙比甲成绩稳定
B ．x 甲>x 乙；甲比乙成绩稳定
C ．x 甲<x 乙；乙比甲成绩稳定
D ．x 甲<x 乙；甲比乙成绩稳定 答案 C
解析 由题意可知，x
甲
＝1
5
×(72＋77＋78＋86＋92)＝81，x 乙
＝1
5
×(78＋88＋88＋91＋90)＝87.又由方差公式可得x 2甲＝15×[(81－72)2＋(81－77)2＋(81－78)2＋(81－86)2
＋
(81－92)2]＝50.4，s 2乙＝15×[(87－78)2＋(87－88)2＋(87－88)2＋(87－91)2＋(87－90)2
]＝
21.6，因为s 2
乙<s 2
甲，故乙的成绩波动较小，乙的成绩比甲稳定．故选C.
9．(2011·江西文)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e ，众数为m o ，平均值为x ，则( )
A ．m e ＝m o ＝x
B ．m e ＝m o <x
C ．m e <m o <x
D ．m o <m e <x
答案 D
解析由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15,16个数(分别为5,6)的平均数，即m e＝5.5,5出现次数最多，故m o＝5，x＝
2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10
≈5.97.于是得m o<m e<x.故选
30
D.
10．(2012·北京海淀期末)某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60km/h是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)分组，绘制成如图所示的频率分布直方图．则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有________辆．
答案180
解析根据题图可知组距为10，则车速在[40,50)、[50,60)的频率分别是0.25、0.35，因此车速低于限速的汽车共有(0.25＋0.35)×300＝180(辆)．
11.(2012·南京一模)为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图，则该组数据的方差为______．
答案 5
解析该运动员6场的总得分为14＋17＋18＋18＋20＋21＝108，平均得分为108
6
＝
18(分)，方差＝1
6
[(14－18)2＋(17－18)2＋(18－18)2＋(18－18)2＋(20－18)2＋(21－18)2]
＝5，故填5.
12．(2011·浙江文)某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．
答案600
解析由题意知，在该次数学考试中成绩小于60分的频率为(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2，故这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是3000×0.2＝600.
13．下图是某市有关部门根据该市干部的月收入情况，作抽样调查后画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4000，请根据该图提供的信息解答下列问题：(图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000,1500))
(1)求样本中月收入在[2500,3500)的人数．
(2)为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1500,2000)的这段应抽多少人？
解析 (1)∵月收入在[1000,1500)的概率为0.0008×500＝0.4，且有4000人， ∴样本的容量n ＝4000
0.4＝10000；月收入在[1500,2000)的频率为0.0004×500＝0.2；
月收入在[2000,2500)的频率为0.0003×500＝0.15； 月收入在[3500,4000)的频率为0.0001×500＝0.05；
∴月收入在[2500,3500)的频率为1－(0.4＋0.2＋0.15＋0.05)＝0.2. ∴样本中月收入在[2500,3500)的人数为0.2×10000＝2000. (2)∵月收入在[1500,2000)的人数为0.2×10000＝2000，
∴再从10000人中用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[1500,2000)的这段应抽取100×200010000
＝20(人)．
14．从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于155 cm 和195 cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)；第二组[160,165)、…、第八组[190,195)，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．
(1)估计这所学校高三年级全体男生身高180 cm 以上(含180 cm)的人数； (2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别
为x 、y ，求满足|x －y |≤5的事件频率．
解析 (1)由频率分布直方图知，前五组频率为(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，
后三组频率为1－0.82＝0.18，人数为0.18×50＝9人，
这所学校高三男生身高在180 cm 以上(含180 cm)的人数为800×0.18＝144人． (2)由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5＝0.04，人数为0.04×50＝2人， 设第六组人数为m ，则第七组人数为9－2－m ＝7－m ， 又m ＋2＝2(7－m )，所以m ＝4，
即第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别为0.08,0.06. 频率除以组距分别等于0.016,0.012，见图．
(3)由(2)知身高在[180,185]内的人数为4人，设为a ，b ，c ，d ，身高在[190,195]的人数为2人，设为A 、B .
若x 、y ∈[180,185]时，有ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd 共六种情况． 若x 、y ∈[190,195]时，有AB 共一种情况．
若x ，y 分别在[180,185][190,195]内时，有aA ，bA ，cA ，dA ，aB ，bB ，cB ，dB 共8种情况．
所以基本事件的总数为6＋8＋1＝15种．
事件|x －y |≤5所包含的基本事件个数有6＋1＝7种，故P (|x －y |≤5)＝715.
15．(2012·郑州第一次质检)某中学共有1000名学生参加了该地区高三第一次质量检
测的数学考试，数学成绩如下表所示：
样的方法抽取100名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为95分，求他被抽中的概率；
(2)已知本次数学成绩的优秀线为110分，试根据所提供数据估计该中学达到优秀线的人数；
(3)作出频率分布直方图，并估计该学校本次考试的数学平均分．(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
解析 (1)分层抽样中，每个个体被抽到的概率均为样本容量总体中个体总数，
故甲同学被抽到的概率P ＝
110
. (2)由题意得x ＝1000－(60＋90＋300＋160)＝390.
故估计该中学达到优秀线的人数m ＝160＋390×120－110
120－90＝290.
(3)频率分布直方图如图所示．
该学校本次考试的数学平均分
x －＝60×15＋90×45＋300×75＋390×105＋160×1351000＝90.
估计该学校本次考试的数学平均分为90分．
1．样本数为9的一组数据，它们的平均数是5，频率条形图如图，则其标准差等于________．(保留根号)
答案 2 2
解析 由条形图知2与8的个数相等，且多于5的个数， 于是这9个数分别为2,2,2,2,5,8,8,8,8.∵x ＝5，
∴s 2＝19[(2－5)2＋(2－5)2＋(2－5)2＋(2－5)2＋(5－5)2＋(8－5)2＋(8－5)2＋(8－5)
2
＋(8－5)2
]＝19
×8×9＝8，∴s ＝2 2.
2.(2012·济南调研)如图是2011年在某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )
A ．84,4.84
B ．84,1.6
C ．85,1.6
D ．85,4
答案 C
解析 依题意得，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为80＋1
5×(4×3
＋6＋7)＝85，方差为15
[3×(84－85)2＋(86－85)2＋(87－85)2
]＝1.6，选C.
3．统计某校1000名学生的数学水平测试成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，若满分为100分，规定不低于60分为及格，则及格率是( )
A ．20%
B ．25%
C ．6%
D ．80%
答案 D
解析 根据频率分布直方图，先求出不及格的频率为：(0.015＋0.005)×10＝0.2，故
及格率是0.8.
4．(2012·衡水调研卷)我市积极响应《全民健身条例》，大力开展学生体育活动，如图是委托调查机构在分属两类不同性质的A 校和B 校中分别随机抽取的10名高三年级学生周体育锻炼时间的茎叶图(单位：10分钟).
(1)根据茎叶图计算哪个学校学生总体活动时间多；
(2)如果从A 校这10名学生中随机抽取体育锻炼时间不超过120分钟的2名同学，求至少抽到1名活动时间不足1小时的同学的概率是多少．
解析 (1)计算可得，A 校的学生平均活动时间为1
10×(21＋11＋12＋13＋15＋17＋17＋
18＋3＋5)×10＝132分钟，B 校学生平均活动时间为
1
10
×(36＋18＋13＋13＋11＋5＋4＋4＋3＋3)×10＝110分钟，故A 校学生平均活动时间较多．
(2)由茎叶图知，A 校中活动时间不超过120分钟的同学共有4名，而不足1小时的有2名，则所求的概率P ＝C 12C 1
2＋C 2
2C 2
4＝4＋16＝56
. 5．随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)后获得身高数据的茎叶图如图甲所示，在这20人中，记身高在[150,160)，[160,170)，[170,180)，[180,190]内的人数依次为A 1，A 2，A 3，A 4，图乙是统计样本中身高在一定范围内的人数的算法流程图，则下列说法正确的是( )
A．由图甲可知甲、乙两班中平均身高较高的是甲班，图乙输出的S的值为18
B．由图甲可知甲、乙两班中平均身高较高的是乙班，图乙输出的S的值为16
C．由图甲可知甲、乙两班中平均身高较高的是乙班，图乙输出的S的值为18
D．由图甲可知甲、乙两班中平均身高较高的是甲班，图乙输出的S的值为16
答案 C
解析由茎叶图可知，甲班学生身高的平均数为170.3，乙班学生身高的平均数为170.8，故乙班学生的平均身高较高，由题意可知，A1＝2，A2＝7，A3＝9，A4＝2，由程序框
图易知，最后输出的结果为S＝7＋9＋2＝18.
1.
(2012·浙江温州五校联考)为促进社会和谐发展，儿童的健康已经引起人们的高度重
视，某幼儿园对本园“大班”的100名儿童的体重做了测量，并根据所得数据画出了频率分布直方图如图所示，则体重在18～20千克的儿童人数为______．
答案15
解析∵频数＝频率×样本容量，∴体重在18～20千克的儿童人数为(0.075×2)×100＝15，所以填15.
2．一位同学种了甲、乙两种树苗各1株，分别观察了9次、10次后，得到树苗高度的数据的茎叶图如图(单位：厘米)，则甲、乙两种树苗高度的数据的中位数之和是( )
A.44 B．54
C．50 D．52
答案 D
解析根据茎叶图可得，观察甲树苗9次得到的树苗高度分别为：19,20,21,23,24,37,33,32,31；观察乙树苗10次得到的树苗高度分别为：10,14,10,26,24,30,44,46,46,47，易得甲树苗高度的中位数为24，乙树苗高度的中位数为26＋30
＝28，因此24＋28＝52.
2
3．某限速路段的监控记录下某时间段经过该路段的50辆车辆的行驶速度，据统计，这些车辆的行驶速度全部介于40 km/h～80 km/h之间．按如下方式分成四组：第一组[40,50)，第二组[50,60)，第三组[60,70)，第四组[70,80]，按上述分组方法得到的频率分布直方图如图．则车速在区间[50,60)的车辆共有________辆．
答案 15
解析 由题可知车速在[50,60)的车辆的频率为0.3，所以车速在[50,60)的车辆共有50×0.3＝15辆．
4．(2012·江南十校联考)已知一组正数x 1，x 2，x 3，x 4的方差为s 2
＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24－
16)，则数据x 1＋2，x 2＋2，x 3＋2，x 4＋2的平均数为________．
答案 4
解析 ∵s 2
＝14
(x 21＋x 22＋x 23＋x 24－16)
＝14[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋(x 3－x －)2＋(x 4－x －)2
]， ∴2x －(x 1＋x 2＋x 3＋x 4)－4x －2
＝16.
∴8x －2－4x －2＝16，x －
＝2，即x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝8. ∴
x 1＋2＋x 2＋2＋x 3＋2＋x 4＋2
4
＝4.
5．(2012·合肥质检)某班级共有60名学生，先用抽签法从中抽取部分学生调查他们的学习情况，若每名学生被抽到的概率为16
.
(1)求从中抽取的学生数； (2)若抽查结果如下表
(3)估计该班学生每周学习时间的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．
解析 (1)设共抽取学生n 名，则n 60＝1
6
，∴n ＝10，即共抽取10名学生．
(2)由2＋4＋x ＋1＝10，得x ＝3，频率分布直方图如下：
(3)所求平均数为 x －
＝0.2×5＋0.4×15＋0.3×25＋0.1×35＝18，
故估计该班学生每周学习时间的平均数为18小时．
6．下表给出了从某校500名12岁的男孩中用随机抽样得出的120人的身高资料．(单位：cm)
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计身高低于134 cm的人数占总人数的百分比和身高在134～146 cm之间的人数占总人数的百分比．
解析(1)频率分布表：
(2)
(3)∵样本中身高低于134 cm的男孩出现的频率
5＋8＋10120＝23
120
＝0.19， ∴由样本频率可估计该校身高低于134cm 的男孩占500名12岁男孩总数的19%. ∵样本中身高在134～146 cm 的男孩出现的频率22＋33＋20120＝75120＝0.625，
∴估计该校500个12岁男孩中身高在134～146 cm 之间的有62.5%.
思路 题目中已经分组，且已确定了频数，只需求频率即可制作频率分布表．再由频率分布表画直方图，并根据样本的分布估计总体的分布．
7．(09·海南)某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A 类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B 类工人)．现用分层抽样方法(按A 类，B 类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)．
(1)求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A 类工人，乙为B 类工人； (2)从A 类工人中的抽查结果和从B 类工人中的抽查结果分别如下表1和表2. 表1：
个体间的差异程度与B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？(不用计算，可通过观察直方图直接回答结论)
②分别估计A 类工人和B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数．(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
解析 (1)甲、乙被抽到的概率均为1
10，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽
到”相互独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为p ＝110×110＝1
100
.
(2)①由题意知A 类工人中应抽查25名，B 类工人应抽查75名．故4＋8＋x ＋5＋3＝25，得x ＝5,6＋y ＋36＋18＝75，得y ＝15.
频率分布直方图如下：
从直方图可以判断，B 类工人个体间的差异程度更小． ②x A ＝425×105＋825×115＋525×125＋525×135＋3
25×145
＝123，
x B ＝675×115＋1575×125＋3675×135＋1875
×145＝133.8， x ＝
25100×123＋75
100
×133.8＝131.1. A 类工人生产能力的平均数，B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均
数的估计值分别为123,133.8和131.1.
8．(2010·陕西卷)为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：
(1)估计该校男生的人数；
(2)估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率；
(3)从样本中身高在165～180 cm 之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170～180 cm 之间的概率．
解析 (1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估
计全校男生人数为400.
(2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm 之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35人，
样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185 cm 之间的频率f ＝3570
＝0.5，故由f 估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率p ＝0.5.
(3)样本中女生身高在165～180cm 之间的人数为10，身高在170～180cm 之间的人数为4.
设A 表示事件“从样本中身高在165～180cm 之间的女生中任取2人，至少有1人身高在170～180 cm 之间”，
则P (A )＝1－C 26C 210＝23(或P (A )＝C 16·C 14＋C 24C 210＝23)．。