3_4三铰拱

d2y 1 qc y q x qc y 则 2 dx H q y y c 即 H H
特征方程为： 2
方程的通解为：
y x A ch

H
x B sh

H
x
qc

其中待定常数A、B可由边界条件确定。
x 0 时, y 0
RB
如果拱受分布荷载，压力线呈 曲线，称为压力曲线；如果是集中 荷载，压力线呈多边形，称压力多 边形。
各截面合力R若都沿拱轴切线方向作用是最理想的情况，此时各截面内只有 均匀分布的正应力，拱处于轴向受压状态，拱的经济效果将最好。
三、三铰拱的合理轴线
在固定荷载作用下，使拱各截面处于无弯矩状态的轴线称
Fr 0 :
q ds 2 N sin
d 0 2
q Rd N d 0
N qR
R
N q
因N为常数，q也为常数，所以任一点的曲率半径R也是常数，即拱轴为圆弧。
例3、设三铰拱上承受填土荷载，填土表面为一水平面，试求拱的合理轴线。设填土 的容重为，拱所受的分布荷载为 q qC y。 [解] 拱截面弯矩计算式 M M Hy 在本例坐标系中须改为：
2、内力计算 以截面D为例 Q 取截面D左侧内为隔离体，并设截面弯矩以 P
o
1
x-a1
M
使拱内侧纤维受拉为正。
H
y
D H

MD 0 :
A
x
M VA x P 1 x a1 H y
M M Hy Q Q cos H sin
Ｑo

VA
P1
Q

ql 2
ql 2
先列出简支梁的弯矩方程
q M x x l x 2
拱的推力为：
MC ql 2 H f 8f
注意
*合理轴线对应的是
一组固定荷载； *合理轴线是一组。
所以拱的合理轴线方程为：
q 8f 4f y x x l x 2 2 x l x 2 ql l
A
qc


H
0


H
x 0 时, y 0
B 0
qc y ch x 1 悬链线 H
一、三铰拱的支座反力和内力的计算（在竖向荷载作用下） 1、支座反力 与同跨度同荷载对应简支梁比较
a1
d P1 a 2
D HA C
b1 b2
P2
MA 0
VB
1 Pa 1 1P 2 a2 l
VB VB
A
VA
y
f
l2
x
l1 l
B
HB
MB 0
VA
1 Pb 1 1P 2 b2 l
为合理轴线。由上可知，按压力线设计的拱轴线就是合理轴线。 从结构优化设计观点出发，寻找合理轴线即拱结构的优化选型。
对拱结构而言，在竖向荷载作用下，任意截面上弯矩计算式为：
M ( x) M ( x) H y ( x)
它是由两项组成，第一项是简支梁的弯矩，而后一项与拱轴形状
有关。令
M M Hy 0
D
o
A
VA
Mo
N Q sin H cos

Ｈ
3、受力特点（见教材 P81） （1）在竖向荷载作用下，拱有水平推力 H ; （2）由于推力 H 的存在，拱截面弯矩比相应简支梁小; （3）在竖向荷载作用下，拱内有轴力 N，且一般为压力。
q=2kN∙m y
1 0 3 4 5
P=8kN
绘制内力图
0
y
13.300 10.958 9.015 7.749 7.500 7.433 3.325 6.796 11.235 11.665 11.700 1.421 3.331 1.060 0.600 1.000 0.472 0.003 0.354
0.600
0.000
A
1
1.125 1.500 1.125
QD
MD
ND
RD αD
M D RD rD QD RD sin D N D RD cos D
如果拱中某截面右边（或左边）所有外力的合力R 已确定
（包括大小、方向、作用线），则可以确定该截面的内力。 下面介绍“求三铰拱任一截面合力”的图解法。
P1
索线表示 合力的作 F 用线。

qc+.f
M M H y M H f y 0 M y f H
由于q(x)取决于y(x)，则 M 无法事先求得，

qc
f y
q qc y
y
y*
x
d2y 1 d2 M 将上式微分两次有： 2 dx H dx 2 d2 M 对简支梁来说， q x 2 dx
2
y2
q=2kN .m
6m x
0.000 0.375 4.500
3
2
4 5
6m
0.375
7 B 8
6
P=8kN
0.000
M图 (kN.m)
N图 (kN)
Q图 (kN)
二、三铰拱的压力线 —— 各截面所受外力合力的作用线
拱与梁的结构不同，在竖向荷载作用下，它不仅产生弯矩
和剪力，还产生轴力。经过合理设计可使其成为以受压为主的 结构体系。因此拱结构可采用受压性能良好而受拉性能较差的 脆性材料（如砖石、素砼）建造，以保证其良好的经济性。 下面研究拱截面的受力。拱截面一般承受三种内力：M、Q、N。
如果是集中荷载压力线呈多边形称压力多各截面合力r若都沿拱轴切线方向作用是最理想的情况此时各截面内只有均匀分布的正应力拱处于轴向受压状态拱的经济效果将最好
§3-8 三 铰 拱
拱的实例
P1
H
l
P2
f H
VA
V有拉杆三铰拱。 曲杆轴线几何形状：抛物线、圆弧、悬链线…….. 三铰拱的基本参数：拱高－f、跨长－l、高跨比－ f / l 。 拱的基本特点：在竖向荷载作用下有水平推力（或拉杆拉力）。
例2、设三铰拱承受均匀分布的水压力，试证明其合理轴线是圆弧曲线。
[证明] 设拱在静水压力作用下处于无弯矩状态，然后由平衡条件推导轴线方程。
q
s
D
E
ds R d
M0 0: ND R NE R dR 0
ND NE N
这表明拱在法向均布荷载作用下处于无弯矩状态时，截面的轴力为常数。
y2 4f 4 4 x l x 3 12 3 3m 2 2 l2 122
dy dx
x 3
26983 11kN 12 2 6 38 9 VB VB 9 kN 12
MC 11 6 2 6 3 H 7.5kN f 4
0.667
7.5 0.555 0.0025kN 0.003kN
N 2 Q2 sin 2 H cos 2 11 2 3 0.555
2 33 41,sin 2 0555 . ,cos 2 0832 .

7.5 0.832 9.015kN
例 1、三铰拱及所受荷载如图
2
所示，拱的轴线为抛物线方程
6 7 8 B
2
y2 x
f=4m H 7.5kN VB 9kN
7.5kN
A
4f y 2 xl x ，计算反力并 l 绘制内力图。
x2=3m VA 11kN
3m 6m 6m
（1）计算支座反力
VA VA
（2）内力计算 将拱沿跨度方向分成八等份 以截面2为例
M2 M2 Hy2 11 3 2 3 15 . 7.5 3
15 . kN m
tg 2 4 f 2x 1 l l
x 3
4 4 2 3 1 12 12
Q2 Q2 cos 2 H sin 2 11 2 3 0.832
M x yx H
此即三铰拱合理轴线方程
在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线的纵坐标与简支梁 弯矩图的纵坐标成正比。
例1、设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，求其合理轴线。
q y C q B l/2 x A B x
A
l/2
f
M x [解] 由式 y x H
VA VA
x 0
VB
H A HB H
P1
d
A
P1
D
P2
C
f
MC 0
VA l1 P 1 d H f 0
MC H f 0 H MC f
B H
B
V
A
x
C
V
VA
A
l1
结论：①拱的竖向反力与相应简支梁的竖向反力相同； ②拱的推力与拱轴的曲线形式无关，而与拱高 f 成反比。
P2
G
rD k2 C D
P3
H
（1）确定各截面合力的大小 和方向（作闭合力多边形）： 用数解法求 RA RB 绘力多边形 作射线 （2）确定各截面合力的 作用线（作索多边形）：
k1
A
k3
B
RA
射线只表示 合力的大小 和方向。
RA
O
(极点)
23
P1
RB
P2
P3
AFGHB称索多边形。 对于拱，因截面内力 主要为压力，索多边 形又称压力线。