山东省泰安市高三上学期期中数学试题(解析版)

2020届山东省泰安市高三上学期期中数学试题
一、单选题
1．已知集合(){}2|log 10A x x =-<，{}|3B x x =≤，则()
R A B =ð（ ）
A ．(),1-∞
B ．()2,3
C ．(]
2,3 D ．(][],12,3-∞U
【答案】D
【解析】先化简集合A ，再求A R ð，从而根据交集运算求得结果. 【详解】
由集合(){}
{}2|log 10|12A x x x x =-<=<<，则{}
|12R A x x x =≤≥或ð， 又{}|3B x x =≤，所以(][],12,3R A B =-∞ðI U . 所以本题答案为D. 【点睛】
本题考查集合的交并补混合运算，注意认真计算，仔细检查，属基础题. 2．下列函数在区间()0,+∞上是增函数的是( ) A ．2x y x e =+ B ．cos x y x e =- C ．1
y x x
=
- D ．24y x x =-
【答案】A
【解析】根据题意，依次分析选项中函数在()0,+∞上的单调性，综合即可得答案． 【详解】
根据题意，依次分析选项，
对于A ，2
x
y x e =+，其导数'2x
y x e =+，当0x >时，有'20x
y x e =+>恒成立，则函数()f x 在()0,+∞上为增函数，符合题意；
对于B ，cos x
y x e =-，其导数为'sin x y x e =--，在(),2ππ上，'0y <，则函数()
f x 在(),2ππ上为减函数，不符合题意； 对于C ，1y x x =
-，其导数为21'1y x =--，当0x >时，有21'10y x
--<═恒成立，则函数()f x 在()0,+∞上为减函数，不符合题意；
对于D ，2
4y x x =-，为二次函数，在()0,2上为减函数，不符合题意；
故选：A ．
本题考查函数的单调性的判断，注意函数的导数与函数单调性的关系，属于基础题． 3．命题“()()2
0,11x x x x ∀>+>-”的否定是（ ） A ．()()2
0,11x x x x ∀>+≤- B ．()()2
0,11x x x x ∀≤+≤- C ．()()20,11x x x x ∃>+≤- D ．()()2
0,11x x x x ∃≤+≤-
【答案】C
【解析】全称命题的否定需要变成特称命题,且注意()()2
11x x x +>-要变成
()()2
11x x x +≤-.
【详解】
“()()2
0,11x x x x ∀>+>-”的否定为“()()2
0,11x x x x ∃>+≤-” 故选：C 【点睛】
本题主要考查全称命题的否定,属于基础题型. 4．已知sin 6x m π⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭，则2cos 23x π⎛
⎫
-= ⎪⎝
⎭
( ) A ．212m - B ．221m -
C ．m
D ．21m -
【答案】B 【解析】将角223x π-拆分成6
x π
+及一些特殊角的形式，利用诱导公式、倍角公式进行进一步的处理. 【详解】
22
2cos 2cos 2cos 2=2sin 1=213666x x x x m πππππ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-
=+-=-++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
， 故选B. 【点睛】
已知角的某种三角名称值，求其相关角的三角名称值问题，把题目中已知的角做整体及特殊角一起，去构造需要求解的角，再利用诱导公式、倍角公式进行处理. 5．“33a b ＞”是“77log log a b ＞”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解析】将33a b ＞及77log log a b ＞都化成最简形式，分别是a b ＞及0a b >＞，从而能得出结论. 【详解】
若33a b ＞，则a b ＞，当0b a ≤＜，或0a b ≥＞时，由a b ＞推不出77log log a b ＞；反之，若77log log a b ＞，则有a b ＞，所以，“33a b ＞”是“77log log a b ＞”的必要不充分条件，故选B. 【点睛】
判断充分条件必要条件考题，可以通过将两命题都化成最简形式，再利用“小范围可以推出大范围”的特点，可以得出结论.
6．已知向量()1,1m λ=+，()2,2n λ=+，若()()
22m n m n +-u r r u r r
P ，则λ=（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
【答案】B
【解析】根据题意，首先求出2,2m n m n +-，然后利用向量平行的坐标运算，写出λ的关系式，计算求解即可. 【详解】
因为2m n +()34,4λ=+，2m n -u r r
()3,3λ=---，且(2)//(2)m n m n +-，所以
()()()334430λλ-⋅+-⋅--=，0λ=．
【点睛】
本题考查向量的加法、减法运算，以及向量平行的坐标运算，属于基础题. 7．函数2
3sin ()1
x x
f x x -=
+在[]-，ππ的图象大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】判断函数的奇偶性，取特殊值即可判断.
因为2
3sin ()()1
x x
f x f x x --=-=-+，所以函数()f x 为奇函数，故排除A,B 由于2
()01
f π
ππ-=<+ ，排除D 故选C. 【点睛】
本题主要考查了函数图象的识别，一般要结合函数的奇偶性、定义域、单调性、特殊点等综合来判断，属于中档题.
8．将函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭的图象向右平移12π
个单位，得到函数()g x 的图象，
则下列说法不正确的是( ) A ．5112g π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
B ．()g x 在区间53124ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦，上单调递减 C ．12
x π
=-
是()g x 图象的一条对称轴
D ．,08π⎛⎫
⎪⎝⎭
是()g x 图象的一个对称中心
【答案】D
【解析】利用图象平移得出函数()y g x =的解析式，然后利用正弦型函数的性质判断各选项中有关函数()y g x =的性质及函数值的正误. 【详解】
由题意可得()sin 2sin 2121263g x f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=-
=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
， 则55sin 11263g πππ⎛⎫⎛⎫
=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，A 选项正确； 当
53124x ππ≤≤时，72236x πππ≤-≤，则函数()y g x =在区间53124ππ⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦，上单调递减，B 选项正确；
sin 11263g πππ⎛⎫⎛⎫
-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则12x π=-是()y g x =图象的一条对称轴，C 选项
正确；
sin 0843g πππ⎛⎫⎛⎫=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,08π⎛⎫
⎪⎝⎭
不是()y g x =图象的一个对称中心，D 选项错误.
【点睛】
本题考查三角函数图象平移与三角函数的基本性质，解题的关键就是要确定函数解析式，并利用正弦函数的基本性质进行判断，考查推理能力，属于中等题.
9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，12n n n S a a +=，则10S =（ ）. A ．100 B ．110
C ．50
D ．55
【答案】D
【解析】首先利用递推关系式得到112n n n S a a --=⋅，两式相减可求出数列的通项公式，进一步利用等差数列的前n 项和公式求出结果. 【详解】
∵12n n n S a a +=⋅①，11a =， 当1n =时，1212a a a =⋅，得22a =， 当2n ≥时，112n n n S a a --=⋅② 由②-①得：()112n n n n a a a a +-=-，
又∵12n n n S a a +=⋅，可得0n a ≠，进而112n n a a +--=，
当n 为奇数时，数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，故：2121n a n -=-； 当n 为偶数时，数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等差数列，故：22n a n =； 所以当n 为正整数时，n a n =， 则()
101011012310552
S +=+++=
=， 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了等差数列的前n 和公式的应用，由递推公式求出其通项公式是解题的关键，属于中档题.
10．已知函数()sin f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56
x π
=
，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( )
A ．3
π-
B ．0
C ．
3
π D ．
23
π 【答案】D
【解析】运用辅助角公式，化简函数()
f x的解析式，由对称轴的方程，求得a的值，得出函数()
f x的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，函数()sin)(
f x a x x xθθ
==+为辅助角)，
由于函数的对称轴的方程为
5
6
x
π
=，且
53
()
622
a
f
π
=+，
即
3
22
a
+=1
a=，所以()2sin()
3
f x x
π
=-，
又由
12
()()4
f x f x
⋅=-，所以函数必须取得最大值和最小值，
所以可设
111
5
2,
6
x k k Z
π
π
=+∈，
222
2,
6
x k k Z
π
π
=-∈，
所以
1212
2
22,
3
x x k k k Z
π
ππ
+=++∈，
当
12
k k
==时，
12
x x
+的最小值2
3
π
，故选D.
【点睛】
本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
11．己知函数()
()21,0
4
3,0
x
e x
f x
x x
x
+
⎧≤
⎪
=⎨
+->
⎪
⎩
，函数()
y f x a
=-有四个不同的零点，从小到大依次为1x，2x，3x，4x，则1234
x x x x
-++的取值范围为（）A．[)
3,3e
+B．[)
3,3e
+C．()
3,+∞D．(]
3,3e
+
【答案】D
【解析】画出函数()
f x的草图，结合题意得到(1,]
a e
∈。

且
1
x
2
x
<≤<
3
x
4
x
<，
则可解出12
+=2
x x-，
34
+=3+
x x a，
34
=4
x x⋅，即可求出
1234
x x x x
-++的取值范围。

【详解】
当0
x≤时，()21
(),
x
f x e+
=令2
(1)
t x
=+，()t
f x e
=单调递增
又2
(1)
t x
=+，在(,1)
-∞-单调递减，在(10]
-，单调递增，
所以()21
()x
f x e+
=，在(,1)
-∞-单调递减，在(10]
-，单调递增，且(0)(1)1
f e f
=-=
，。

当0x ≤时，4
()=3f x x x
+
-，在(0,2)单调递减，在(2+)∞，
单调递增，且(2)1f =。

画出函数()()2
1,04
3,0
x e x f x x x x +⎧≤⎪
=⎨+->⎪⎩
的图像，如图所示：
又()y f x a =-有四个不同的零点，等价于()y f x =与y a =有四个不同的交点。

所以(1,]a e ∈。

且1x 20x <≤<3x 4x <。

当0x ≤时，()2
111()x f x e +=，()2
212()x f x e +=，即()()2
2
121112+=2x x e e x x ++=⇒- 所以1210x x --<< 当0x ＞时， 解43=x a x
+-，化简得2(3+)40x a x -+=，所以34+=3+x x a ，34=4x x ⋅ 又(1,]a e ∈， 所以344+3x x e <≤+ 所以123433x x x x e <-++≤+ 故选D 【点睛】
本题考查函数的性质，画出草图，判断出交点的位置，是首要任务。

属于难题。

12．对任意实数,a b 定义运算“”，,,,b a b a
b a a b
≥⎧=⎨<⎩，设2()(2)
(4)f x x x =--，
有下列四个结论： ①()f x 最大値为2；
②()f x 有3个单调递减区间； ③()f x 在3
[,1]2
-
-是减函数；
④()f x 图象与直线y m =有四个交点，则02m ≤<，其中正确结论有（ ） A ．4 个 B ．3 个
C ．2 个
D ．1 个
【答案】C
【解析】根据f x （）的解析式，作出f x （）的图象，根据图象判断每个选项是否正确.
【详解】
根据定义，作出f x （）的图象（实线部分），可知当2x =±或0时，f x （）取得最大值2，
①正确；f x （）单调递减区间为[2,)-+∞，所以②正确；由图象可知，
f x （）在3,12⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
上不单调，③错误；要使f x （）图象与直线y m =有四个交点，则
0m =，④不正确.
故答案为：C. 【点睛】
以新定义运算为背景，设计出函数性质与图象的综合问题，考查函数的最大值、单调性、图象综合性问题，重在考查学生的转化能力和作图能力，属于中档题.
二、填空题
13．函数()cos sin f x x x θ=+在(0，0)处的切线方程为___________. 【答案】0x y -=
【解析】由()cos sin f x x x x '=-，得直线斜率(0)1k f '==，且过点()0,0，求出该直线方程. 【详解】
()cos sin f x x x x '=-，(0)1f '=，又(0)0f =.所以，函数()cos sin f x x x θ=+在
(0，0)处的切线方程为01(0)y x -=⨯-，即0x y -=.
【点睛】
求某函数切向方程问题有两种，包含过某点的切线方程及在某点处的切线方程. 本题中是属于在某点处的切线方程，步骤：1.求导函数；2.求斜率k 及所过点坐标；3.书写切线方程.
14．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若1
1,2
n n S a n N *=+∈，则5a =______ 【答案】2 【解析】根据1
1,2
n n S a n N *=+∈求解数列{}n a 的递推公式求解即可. 【详解】
由1
1,2n n S a n N *=
+∈,所以1111,22n n S a n --=+≥,两式相减得11122
n n n a a a -=- , 整理得1,2n n a a n -=-≥.又当111
1,12
n S a ==+,可得12a =.
故543212a a a a a =-==-== 故答案为：2 【点睛】
本题主要考查根据前n 项和与n a 的递推公式求某项的方法,利用1n n n a S S -=-求解递推公式即可.
15．ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，若ABC ∆)22
2a c b +-，且C ∠为钝角，则c
a
的取值范围是_______ 【答案】()2,+∞
【解析】)2
22a c b +-可联想到用B 角的余弦定理与面积公式得出3
B π
=
.
又
c
a 想到用正弦定理化简成sin sin c C a A
=
,再化简利用3B π=,C ∠为钝角求取值范围即可. 【详解】
由ABC ∆)222a c b +-得)22
21sin 2ac B a c b =+-,化简由余弦定理得
)
222
sin 2a c b B B ac
+-=
=,显然B 不为直角, cos 0B ≠,
故tan B =又()0,B π∈,所以3
B π
=
.
故sin sin()sin sin c C A B a A A +==sin cos cos sin 33sin A A A
ππ
+
=122tan A =+, 又3
B π
=
,C ∠为钝角,所以(0,
)6
A π
∈,
故tan (0,
),2tan (0,33
A A ∈∈
3(,+)2∈∞,
故1(2,)2+∞ 故答案为：()2,+∞ 【点睛】
本题主要考查余弦定理与面积公式的运用.同时也考查了解三角形中边化角的思路以及三角函数范围问题,属于中等问题.
16．已知()f x 是定义在,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭上的奇函数，其导函数为()f x '
，8f π⎛⎫=
⎪⎝⎭
当x 0,
2π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，()sin 22()cos 20f x x f x x '
+>，则不等式()21f x sin x ＜的解集为______． 【答案】,88ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
【解析】首先根据已知构造函数，()()sin 2g x f x x =⋅ ，根据导数可知函数()g x 单调递增，即()()sin 218f x x g x g π⎛⎫
⋅<⇔< ⎪⎝⎭
，再结合奇偶性得到不等式的解集. 【详解】
令()() 2g x f x sin x =，
则()()()' 22 2g x f x sin x f x cos x =+ 当0,
2x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，()()'0g x g x >，
单调递增，且sin 18842g f πππ
⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
因为()sin 21f x x <等价于()sin 2sin 288f x x f ππ⎛⎫⎛⎫
<⨯
⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭，即g(x)<g(8π)，
又()()sin 2g x f x x =为偶函数，所以8
x π
<，
故8
8
x π
π
-
<<
，故不等式()21f x sin x <的解集为,88ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭ . 【点睛】
本题考查了函数的奇偶性，函数与方程，函数与不等式，导数的应用，涉及函数与方程思想，数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力，等价转化能力，运算求解能力，综合性较强，本题的关键是构造函数()() 2g x f x sin x =，根据导数分析函数的单调性，并且判断()g x 是偶函数.
三、解答题
17．已知函数()4sin cos 26f x x x π⎛⎫
=-+ ⎪⎝
⎭
. （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间,44ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最值。

【答案】（1）周期为π；（21，最小值为1- 【解析】
(1)用和差角公式将4sin cos 6x x π⎛
⎫
- ⎪⎝
⎭
展开,再利用降幂公式与辅助角公式化简成()2sin 216f x x π⎛⎫
=-
+ ⎪⎝
⎭
,即可求得周期. (2)由,44x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
求得26x π-的范围,再根据正弦函数图像求最值即可.
【详解】
(1)()4sin cos
cos sin
cos 26
6f x x x x π
π⎛
⎫
=-+ ⎪⎝
⎭
2
cos 2cos 2x x x =-+
2cos 21x x =-+2sin 216x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭
22
T π
π∴=
=,()f x ∴的最小正周期为π； (2)
,44x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
,22,633x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦，
()
26
3
4x x f x π
π
π
∴-
=
=
，，取得最大值，最大值为14f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
， 当()2626x x f x π
ππ-
=-=-，，取得最小值，最小值为16f π⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
∴函数()f x 在44ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，1，最小值为1-.
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换公式,同时也考查了三角函数最值范围问题,属于中等题型. 18．如图，在ABC ∆中，
60,2,1A AB AC ∠===,()2,AD DC AE AC AB R λλ==-∈.
（1）若4AD AE ⋅=-，求λ的值；
（2）若非零向量(),m xAB yAC x y R =+∈，求
m y
的最小值.
【答案】（1）2λ=-；（2【解析】(1)将,AB AC 作为基底向量表示AD ,再代入4AD AE ⋅=-，根据向量的数量积公式求解即可. (2)要求
m y
可先将m u r
表达成,x y 的表达式,再化简成二次函数类型进行最值判断即可.
【详解】
(1)AD AB BD =+23AB BC =+
()
23AB AC AB =+-12
33
AB AC =+， 21=1AB AC AB AC ==⋅，，
()
12=33AD AE AB AC AC AB
λ⎛⎫
∴⋅+⋅- ⎪⎝⎭
22122
3333
AB AC AB AC AC AB λ
λ=⋅-+-⋅2λ=-4=-
2λ∴=-
(2)()
2
2
m xAB y AC
=+22
222x AB xyAB AC y AC =+⋅+22
42x xy y =++
4m x
y
∴
=
==∴当
14x y =-即4y x =
-时，m y
. 【点睛】
本题主要考查基底向量与数量积的计算以及二次不等式的最值问题.属于中等题型. 19．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
()()()sin sin sin .a b A B c b C
+-=-
(1)求A ；
(2)若(21c b =+，求sin B ． 【答案】（
1）3
A π
=
；（2）sin B =
【解析】(1)利用正弦定理化简()()()sin sin sin .a b A B
c b C +-=-再用余弦定理即可算得A
(2)利用正弦定理将(21c b =+的边化成角的关系,再利用三角函数恒等变换即可算得sin B 【详解】
(1)由题知：()()()a b a b c b c +-=-2
2
2
b c a bc ∴+-=2221
cos 22
b c a A bc +-∴==
()0,
A π∈3
A π
∴=
(2)由题知：
(2sin 1sin C B =+(22sin 1sin 3B B
π
⎛⎫
∴-=+ ⎪⎝⎭
(22
2sin cos 2cos sin 1sin 33
B B B ππ∴-=+
cos 2sin B B ∴=又
22sin cos 1B B +=，sin B ∴=
【点睛】
本题主要考查正余弦定理的运用,注意边化角角化边为常见方法,同时也考查了三角函数
恒等变换的相关公式,属于中等题型.
20．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且234452,2a a a S a +=+=；
数列{}n b 满足()2
112121,n n
n n b n N b b b b *=++⋅⋅⋅+
=∈． (1)求n a 和n b ；
(2)求数列()212log n n b a ⎧⎫⎪⎪
⎨⎬+⎪⎪⎩⎭
的前n 项和n T ．
【答案】（1）2,n
n a n N *
=∈，,n b n n N *
=∈；（2）()()
323
4212n n T n n +=
-++ 【解析】(1) 设等比数列{}n a 的公比为()0,q q >再根据题目条件列出关于公比q 的表达式求解即可.
n b 通过n
n
b 前n 项和的一般思路,写出前1n -项和相减,得出关于n b 的递推公式再求解
即可.
(2)代入,n n a b 化简得11122n c n n ⎛⎫
=- ⎪+⎝⎭
,故用裂项相消求和即可. 【详解】
(1)设等比数列{}n a 的公比为()0,q q >由2
2342,20a a a q q +=--=
解得 2q =或1q =-(舍)，又452=S a +，()4141122212
a a -∴
+=⋅-，解得 12a =
2,n
n a n N *
∴=∈，()2
1212n n
n n n N b b b b *∴++⋅⋅⋅+=∈
2n ∴≥时，()212111121n n n n b b b b ----++⋅⋅⋅+=，()()2
2112n n n n n n n b b b --∴=-
≥
整理得
()112n n n n n b b --=≥，又 11b = ∴数列n n b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是首项为1的常数列，1n
n b ∴=，,n b n n N *∴=∈ (2)设()()2111112log 222n n n c b a n n n n ⎛⎫
=
==- ⎪+++⎝⎭
，
12n n
T c c c ∴=++⋅⋅⋅+11111111111232435112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
111112212n n ⎛⎫=
+-- ⎪
++⎝⎭()()
3
234212n n n +=-++ 【点睛】
本题主要考查等比数列的通项公式求解方法,同时也考查了构造数列求通项公式与裂项求和的基本方法等.属于中等题型.
21．水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点(用t 表示第t 月份，t N *∈)，根据历年数据，某水库的蓄水量V (单位：亿立方米)与时间t 的近似函数关系为：当0<t ≤10时，()()
2
144060at
V t t t e =-+-+；当10<t ≤12时，
()2122841700V t t t =-+；若2月份该水库的蓄水量为33.6亿立方米．
(1)求实数a 的值；
(2)求一年内该水库的最大蓄水量．
参考数据：27.39, 1.40e e ====． 【答案】（1）1
4
a =
；（2）最大蓄水量为119.12亿立方米 【解析】(1)由当0<t ≤10时，()()
2
144060at
V t t t e =-+-+与2月份该水库的蓄水量
为33.6亿立方米,可直接列出()2V 的表达式即可算出a . (2)因为()V t 为分段函数,故可分段求得最大值.
其中()()
12
4
010=144060t t V t t t e <≤-+-+，需要求导分析最值, 当10<t ≤12时，
()2122841700V t t t =-+,因为t N *∈则直接带入11,12t =求最值即可.
【详解】
(1)()()
2
2221424060a
V e
=-+⨯-+21660a e =-+33.6=
∴226.4
1.6516
a e =
=，又 1.65
=，∴ 1
4
a = (2)当()()
12
4
010=144060t t V t t t e <≤-+-+，，
设()()
()124
144060010x f x x x e x =-+-+<≤，()()()141
284
x f x e x x '=-+-，
令()0f x '=，解得8x =或2x =-(舍去)，当(]()()0,80,x f x f x '∈>，单调递增， 当(]()()8,100,x f x f x '∈<，单调递减，8x ∴=时()()8max f x f = 当010t <≤时,()()max =8=119.12V t V ，又()()11=2812=20V V ，
∴一年内该水库的最大蓄水量为119.12亿立方米
【点睛】
本题主要考查分段函数的最值以及求导分析函数单调性与最值的方法.属于中等题型.
22．已知函数()()()222
2
13,ln ln 322x
x
k f x e me m x g x m x x m x ⎛⎫=---=--+ ⎪⎝⎭
．
(1)讨论()f x 的单调性；
(2)若对于任意的,0m R x ∈>，都有()()f x g x >成立，求正整数k 的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）最大值为2.
【解析】(1)求导得()()(
)
23x x
f x e m e m '=-+,因为0x e >,故分0,0,0
m m m <=<三种情况进行分类讨论即可.
(2)带入()(),f x g x 化简可得()
()2
2222ln 22ln 00x
x
m e x m e
x k x -+++->>,因
为是关于m 的二次函数零点问题,故用判别式小于0恒成立,化简得()
2
2ln x e x
k ->,
再设()ln x
h x e x =-分析单调性,由于()1
x
h x e x
'=-
零点无法求出,故判断零点的大致范围,设为0x 再分析即可. 【详解】
(1)()22
=23x x f x e me m '+-()()
23x x e m e m =-+
①()2020x
m f x e
'==>，恒成立，()f x ∴在R 上单调递增.
②当0230x m e m <->，，令()0f x '=，解得()ln x m =-， 当()()'
ln 0x m f x >->，，函数()f x 在()()ln ,m -+∞上单调递增， 当()()'
ln 0x m f
x <-<，，函数()f x 在()(),ln m -∞-上单调递减，
③当()
'
000x
m e m f x >+>=，，，解得3
ln 2
x m = 当()3ln
02m x f x '>>，，函数()f x 在3ln
,2m ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，
当()3ln
02m x f x '<<，，函数()f x 在3,ln 2m ⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭上单调递减，
(2)对任意的()(),0,m R x f x g x ∈>>成立，
即 ()()2
222
13ln ln 3022x
x
k e me m x m x x m x x ⎛⎫--->--+> ⎪⎝
⎭成立，
即 (
)
()2
222
2l n 22l n 0
0x
x
m e x m e x k x -+++->
>恒成立 ∴ ()
()2
222
4l n 422l n 0
x x
e x
e x k
∆=+-+
-<
即 ()
2
2ln x e x
k ->，令()()1
ln ,x x h x e x h x e x
'=-=-
， 令()()()2
1,0x
x h x x e x
ϕϕ''==+
>，()'
h x ∴在()0+∞，上单调递增，
又1202h ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，()
121
3
233
23270328h e e ⎛⎫⎛⎫'=-=-> ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，()'h x ∴在()0+∞，
上有唯一零点0x ，且0
00
12123x x e
x ⎛⎫∈=
⎪⎝⎭
，，，当()()()'
00,0,x x h x h x ∈<，为减函数，
当()()()'
0,0,x x h x h x ∈+∞>，为增函数，
()()0000min 0
1
ln x h x h x e x x x ∴==-=
+， ()0135,62h x ⎛⎫
∴∈ ⎪⎝⎭
，ln 0x e x ∴->，ln x e x k ∴->恒成立
()0k h x k ∴<，且是正整数，=1k ∴或2k =，k ∴的最大值为2.
【点睛】
本题主要考查分类求单调性的问题与隐零点的问题等.注意导函数的零点求解不出时可设为0x ,再根据单调性与最值求解即可.属于综合问题.。