第6章简单的超静定问题
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7第六章简单的超静定问题
E3 A3
FN 1
FN 2
2COS
F E3 A3
EACOS
2
解超静定问题的步骤
（1）列 静力平衡方程 确定超静定次数； （2）根椐变形相容条件建立变形几何方程。变形几何方程的
个数与超静定次数相等； （3）将 物理方程 （胡克定律）代入变形几何方程得补充方程； （4）联立补充方程与静力平衡方程求解。
第六章
简单的超静定问题
• 超静定问题及其解法 • 拉压超静定问题 • 扭转超静定问题 • 简单超静定梁
§6—1 超静定问题及其解法
1，静定问题 约束反力或杆件的内力可以用静力平衡方程求出，这种情 况称作静定问题。
2，超静定问题
只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况称做超 静定问题。
F
A
C
2
3
1
A
B
C
P 40
80
FN1
FN2
80
FN3
P
几何方程
2 l2 l1 l3
物理方程
l1
F N1l1 EA
l 2
F N2l2 EA
l3
F N3l3 EA
2
3
1
A
B
C
l1
P l2
l3
4080807575补充方程
2 F N 2 l2 F N1l1 F N 3 l3 EA EA EA
2
3
1
A
B
2
A
F
B
D
C
3 1
2
A
FN1
FN3
FN2
αα
A
F
F
解：列静力平衡方程
F N1 F N2
材料力学(I)第六章(配孙训方版)
4. 将补充方程与平衡方程联立求解得：
FN1 FN2
eEA l
1
1 2
EA
，
E3 A3
FN3
eE3 A3 l
1
1 E3 A3
2EA
所得结果为正，说明原先假定杆1,2的装配内力为拉
力和杆3的装配内力为压力是正确的。
载Me和“多余”未知力偶矩MB，如图b；它应满足的位移 相容条件为
BMe
BM B
注：这里指的是两个扭转角的绝对值相等。
33
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
3. 根据位移相容条件利用物理关系得补充方程：
Mea M Bl GI p GI p
由此求得“多余”未知力，亦即约束力偶矩MB为
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
在基本静定系上加
B
C
D
上原有荷载及“多
1
2
余”未知力
FN3
并使“多余”约束
A
A
处满足变形(位移)
ΔA'
相容条件
A'
ΔA
A
F
FN3
相当系统 (equivalent system)
6
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
B 1
C 2
FN3
第六章 简单的超静定问题
求算FN3需利用位移(变形)相容条件 (图a)
AA AA e
列出补充方程
FN3l3 E3 A3
FN3l1
2 E1 A1cos2
6-简单超静定问题
4、补充方程
FN 1l FN 3l cos EA cos EA FN 1 FN 3 cos 2
5、求解方程组得
FN 1 FN 2
F cos 2 1 2 cos 3
FN 3
F 1 2 cos 3
目 录
二、装配应力
构件的加工误差是难以避免的。对静定结构，加工误 差只是引起结构几何形状的微小变化，而不会在构件内引 起应力。但对静不定结构，加工误差就要在构件内引起应 力。这种由于装配而引起的应力称为装配应力。 装配应力是结构构件在载荷作用之前已具有的应力， 因而是一种初应力。
超静定结构中才有温度应力。
目 录
解题思路： 平衡方程:RA = RB 变形几何关系: 物理关系:
(t 时)
lT lF
lT l t
RB L
RB l lF EA
EA Lt
补充方程:
联立求解: RA RB EAt
EAt t Et A
目 录
一静定问题及超静定问题三基本静定系或相当系统是一个静定结构该结构上作用有荷载和多余约束力61超静定问题及其解法61超静定问题及其解法二多余约束及多余约束力在静定结构的基础上增加的约束
第六章
简单的超静定问题
§6–1 概述
§6–2 §6–3 §6–4 拉压超静定问题 扭转超静定问题 简单超静定梁
目的与要求：
M
max
WZ
32 M
d
max 3
76.4MPa
目 录
例题
结构如图示,设梁AB和CD的弯曲刚度EIz相同. 拉杆BC的拉压刚度EA为已知,求拉杆BC的轴力.
a
C
将杆CB移除，则AB,CD均为静定结构， 杆CB的未知轴力FN作用在AB,CD梁上。为1 D 次超静定。
FN 1l FN 3l cos EA cos EA FN 1 FN 3 cos 2
5、求解方程组得
FN 1 FN 2
F cos 2 1 2 cos 3
FN 3
F 1 2 cos 3
目 录
二、装配应力
构件的加工误差是难以避免的。对静定结构，加工误 差只是引起结构几何形状的微小变化，而不会在构件内引 起应力。但对静不定结构，加工误差就要在构件内引起应 力。这种由于装配而引起的应力称为装配应力。 装配应力是结构构件在载荷作用之前已具有的应力， 因而是一种初应力。
超静定结构中才有温度应力。
目 录
解题思路： 平衡方程:RA = RB 变形几何关系: 物理关系:
(t 时)
lT lF
lT l t
RB L
RB l lF EA
EA Lt
补充方程:
联立求解: RA RB EAt
EAt t Et A
目 录
一静定问题及超静定问题三基本静定系或相当系统是一个静定结构该结构上作用有荷载和多余约束力61超静定问题及其解法61超静定问题及其解法二多余约束及多余约束力在静定结构的基础上增加的约束
第六章
简单的超静定问题
§6–1 概述
§6–2 §6–3 §6–4 拉压超静定问题 扭转超静定问题 简单超静定梁
目的与要求：
M
max
WZ
32 M
d
max 3
76.4MPa
目 录
例题
结构如图示,设梁AB和CD的弯曲刚度EIz相同. 拉杆BC的拉压刚度EA为已知,求拉杆BC的轴力.
a
C
将杆CB移除，则AB,CD均为静定结构， 杆CB的未知轴力FN作用在AB,CD梁上。为1 D 次超静定。
材料力学(I)第六章
N2 y N1 N2 N3
(2) 几何方程
L2
( L3 ) cos L1
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
15
(3)、物理方程及补充方程：
FN 1L1 FN 3 L3 ( ) cos E1 A1 E3 A3
(4) 、解平衡方程和补充方程，得:
FN1 FN 2
E1 A1 cos2 L3 1 2 cos3 E1 A1 / E3 A3
FN 1L FN 3 L 得: cos E1 A1 cos E3 A3
5）联立①、④求解：
FN ! F
④
E 3 A3 2 co s E1 A1 co s2
FN 3
F E1 A1 1 2 co s3 E A
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
[例2-19]刚性梁AD由1、2、3杆悬挂，已知三杆材料 相同，许用应力为[σ ]，材料的弹性模量为 E，杆长 均为l，横截面面积均为A，试求各杆内力。
5
1.比较变形法 把超静定问题转化为静定问题解，但 必须满足原结构的变形约束条件。
[例2-16] 杆上段为铜,下段为钢杆，
E1 A1
A
1
上段长 1 , 截面积A1 , 弹性模量E1 下段长 2 , 截面积A2 , 弹性模量E2
杆的两端为固支,求两段的轴力。
C
E 2 A2
F
FB
B
2
（1）选取基本静定结构（静定基如图），B 解： 端解除多余约束，代之以约束反力RB
2E1 A1 cos3 FN 3 3 L3 1 2 cos E1 A1 / E3 A3
例2-22
材料力学(Ⅰ)电子教案
(2) 几何方程
L2
( L3 ) cos L1
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
15
(3)、物理方程及补充方程：
FN 1L1 FN 3 L3 ( ) cos E1 A1 E3 A3
(4) 、解平衡方程和补充方程，得:
FN1 FN 2
E1 A1 cos2 L3 1 2 cos3 E1 A1 / E3 A3
FN 1L FN 3 L 得: cos E1 A1 cos E3 A3
5）联立①、④求解：
FN ! F
④
E 3 A3 2 co s E1 A1 co s2
FN 3
F E1 A1 1 2 co s3 E A
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
[例2-19]刚性梁AD由1、2、3杆悬挂，已知三杆材料 相同，许用应力为[σ ]，材料的弹性模量为 E，杆长 均为l，横截面面积均为A，试求各杆内力。
5
1.比较变形法 把超静定问题转化为静定问题解，但 必须满足原结构的变形约束条件。
[例2-16] 杆上段为铜,下段为钢杆，
E1 A1
A
1
上段长 1 , 截面积A1 , 弹性模量E1 下段长 2 , 截面积A2 , 弹性模量E2
杆的两端为固支,求两段的轴力。
C
E 2 A2
F
FB
B
2
（1）选取基本静定结构（静定基如图），B 解： 端解除多余约束，代之以约束反力RB
2E1 A1 cos3 FN 3 3 L3 1 2 cos E1 A1 / E3 A3
例2-22
材料力学(Ⅰ)电子教案
第六章简单超静定问题
yc = 0
去掉多余约束而成为形式上 去掉多余约束而成为形式上 基本静定基。 的静定结构 — 基本静定基。
q A
l 2
q
C
l 2
B
AA
L/2
C
Rc
B
L/2
静力、几何、物理条件) 解超静定的步骤 —— (静力、几何、物理条件) 用多余约束反力代替多余约束（ 静定基，原则：便于计算） 1、用多余约束反力代替多余约束（取静定基，原则：便于计算） 2、在多余约束处根据变形协调条件列出变形的几何方程 3、把物理条件代入几何方程列出力的补充方程求出多余反力 分析—— ω
A
l 2
1)研究对象，AB梁 研究对象 B 解：1)研究对象，AB梁， 受力分析： 受力分析：R A , RB , RC , ql
∑ Y = 0, R A + RB + RC − ql = 0
∑ M A = 0, RB l + 0.5RC l − 0.5ql 2 = 0
q A
RC
B
２)选用静定基，去Ｃ支座 选用静定基， 静定基 ３)变形协调方程
C 2 δ
1
3 α
α
A
由温度引起杆变形而产生的应力（ 1）温度应力：由温度引起杆变形而产生的应力（热应力）。 温度应力 由温度引起杆变形而产生的应力 热应力）。 温度引起的变形量 —
∆L = α∆tL
1、静定问题无温度应力。 静定问题无温度应力。 超静定问题存在温度应力。 2、超静定问题存在温度应力。
F
B 1
D 3 α α A 2
C
超静定结构的特征：内力按照刚度分配
∆l3
∆l2
A2
∆l1
A3
第六章简单的超静定问题
例1 木制短柱的四角用四个40404的等边角钢加固，角钢和 木材的许用应力分别为[]1=160M Fa和[]2=12MFa，弹性模
量分别为E1=200GFa 和 E2 =10GFa；求许可载荷P。 P 解：平衡方程: y Y 4F F P 0
N1
N2
4FN1
FN2
几何方程
2 FN1 FN3
X F
Y F
FN2
N1
N1
sin FN 2 sin 0
A P
cos FN 2 cos FN 3 P 0
A P
B 3
D
1
A
2
C 几何方程——变形协调方程： L1 L3 cos
物理方程——弹性定律：
L1 FN 1 L1 E1 A1 L3 FN 3 L3 E3 A3
(a)
Tb Ta
(b)
解: 1. 铜杆和钢管的横截面上各有一个未知内力矩 ── 扭矩Ta和Tb(图b)，但只有一个独立的静力平衡方程
Ta+Tb= Me，故为一次超静定问题。
2. 位移相容条件为
Ba Bb
Tb Ta
(b)
3. 利用物理关系得补充方程为
Ga I pa Tal Tbl ，即 Ta Tb Ga I pa Gb I pb Gb I pb
P1 A11 / 0.07 308.6 160/ 0.07 705.4kN
FN 2 0.72P A2 2
P2 A2 2 / 0.72 2502 12 / 0.72 1042kN
求结构的许可载荷： 方法2:
1 L1 / E1 0.8mm 2 L 2 / E2 1.2mm
第六章 简单超静定问题
A
B
2.装配应力 2.装配应力
静定结构中当结构尺寸有误差时， 静定结构中当结构尺寸有误差时，只会引起 结构几何位置的变化，内部不会产生应力。 结构几何位置的变化，内部不会产生应力。 图示静定结构， 杆短， 杆长， 图示静定结构，1杆短，2杆长，装配时不会 产生装配应力。 产生装配应力。 超静定结构中当构件 尺寸有误差时， 尺寸有误差时，会引起强 迫装配， 迫装配，从而内部会产生 附加应力。 附加应力。
§6-2
拉压超静定问题
一、拉压超静定问题的求解 二、温度应力和装配应力
一、拉压超静定问题的求解
例题： 例题：求图示杆的支反力 解： AB 杆受力如图 由： A a F B b
F B A
FA
a
∑F
y
=0
A B 得： F + F = F
b
F B 本问题为共线力系， 本问题为共线力系，只有一个独立平衡方程
(
)
∆l1
例题
图示结构, 3根杆的抗拉刚度相同 根杆的抗拉刚度相同， EA， 图示结构, 3根杆的抗拉刚度相同，均为 EA， 3 杆比设计尺寸短了δ，若：3根杆均为圆钢杆 杆比设计尺寸短了δ d = 40mm, E = 200GPa, l =1 , δ = 0.5mm,α = 300 m
D
2
C
3
α α
B
1
l
A
根杆的装配应力。 求：3根杆的装配应力。
δ
解： 3根杆的装配内力为： 根杆的装配内力为：
δ EAcos2 α FN1 = FN2 = (2cos3 α +1)l
F3 N 2 EAcos α δ EAcos = 2cos3 α +1 l
第六章——简单的超静定问题
(2)根据变形协调条件列变形几何方程
(3)将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几ห้องสมุดไป่ตู้方程得补充方程
(4)联立补充方程与静力平衡方程求解
杆件的轴力可以用静力平衡条件求出,这种情况称作静定问题。
2、超静定问题
只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况称做超静定问题。
二、超静定问题求解方法
1、超静定的次数
未知力数超过独立平衡方程数的数目,称作超静定的次数.
n=未知力的个数-独立平衡方程的数目
2、求解超静定问题的步骤
(1)确定静不定次数；列静力平衡方程
所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几个约束,这些约束对于特定的工程要求是必要的,但对于保证结构平衡却是多余的,故称为多余约束。
未知力个数与平衡方程数之差,称为超静定次数或静不定次数。
求解超静定问题,需要综合考察结构的平衡,变形协调和物理等三个方面。
§6—2拉压超静定问题
一、静定与超静定问题
1、静定问题
章节
名称
学时
备注
第六章
简单的超静定问题
1教学目标：
2教学内容：
3重点、难点分析及解决策略
4教学方法：
5教学进程：
§6—1超静定问题及其解法
未知力个数等于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程即可解出全部未知力,这类问题称为静定问题,相应的结构称为静定结构。
未知力个数多于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程无法确定全部未知力,这类问题称为超静定问题或静不定问题,相应的结构称为超静定结构或静不定结构。
(3)将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几ห้องสมุดไป่ตู้方程得补充方程
(4)联立补充方程与静力平衡方程求解
杆件的轴力可以用静力平衡条件求出,这种情况称作静定问题。
2、超静定问题
只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况称做超静定问题。
二、超静定问题求解方法
1、超静定的次数
未知力数超过独立平衡方程数的数目,称作超静定的次数.
n=未知力的个数-独立平衡方程的数目
2、求解超静定问题的步骤
(1)确定静不定次数；列静力平衡方程
所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几个约束,这些约束对于特定的工程要求是必要的,但对于保证结构平衡却是多余的,故称为多余约束。
未知力个数与平衡方程数之差,称为超静定次数或静不定次数。
求解超静定问题,需要综合考察结构的平衡,变形协调和物理等三个方面。
§6—2拉压超静定问题
一、静定与超静定问题
1、静定问题
章节
名称
学时
备注
第六章
简单的超静定问题
1教学目标：
2教学内容：
3重点、难点分析及解决策略
4教学方法：
5教学进程：
§6—1超静定问题及其解法
未知力个数等于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程即可解出全部未知力,这类问题称为静定问题,相应的结构称为静定结构。
未知力个数多于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程无法确定全部未知力,这类问题称为超静定问题或静不定问题,相应的结构称为超静定结构或静不定结构。
第六章简单超静定问题共68页
Δ1lΔ2lF EN 1A l11 1E1A F1N cl1oαs
l3
FN3l E3 A3
3
2
1
A
Δ1lΔ2lF EN 1A l11 1E1A F1N cl1oαs
l1 l3
A2 A1
由变形协调方程和物理方程，可得到补充方程。
FN1l FN3l cos E1A1cos E3A3
FN3
FN1
E3A3
超静定次数 ——未知力个数与独立平衡方程数 之差 多余约束 —— 保持结构静定多余的约束
B
D
A
F
B
BC
D
A
D
F
A F
二、求解超静定问题的基本方法
方法1：寻找补充方程法（适用于求解拉压超
静定） 因为未知力个数超过了独立的平衡方程数，必须寻 找补充方程。 寻找补充方程的途径： 利用结构的变形条件
结构受力后变形不是任意的，必须满足以下条件：
例题
两端固支的直杆AB，长度为l ，抗拉刚度为EA， 热膨胀系数为α l。
求：温度升高 t 后0c杆内的应力。
A
B
l
解：
本问题为一次超静定 A
静平衡方程
l
Fx 0 FRAFRB
变形协调方程
l lT lF0
FRA A
物理方程
lT l lt
lF
FRAl EA
联解，得： F RA F RB EA l t
FAFBF
变形条件：
FA
BFBF B0A
A
A
A
物理条件：
a
B
F
Fa EA
F
F
F
B FB
FBl EA
材料力学简单的超静定问题
§6-4 简单超静定梁
1.基本概念： 超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁 多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束 超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。 相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统 2.求解方法： 解除多余约束，建立相当系统——比较变形，列变 形协调条件——由物理关系建立补充方程——利用 静力平衡条件求其他约束反力。
1Δ2l3cos
②
(3)代入物理关系，建立补充方程
1
N1 1 E1 A1
N1
E1 A1 cos
③
3
N3 E3 A3
13
2
A
2
1
3
A
§6-2 拉压超静定问题
(2)建立变形协调方程：如图三杆铰结， 画A节点位移图,列出变形相容条件。要 1 注意所设的变形性质必须与受力分析所 中设定的力的性质一致。由对称性知
C
(b)
F
B
F C
B
C
(c)
FBy
(c)
FBy FF
BB B
(d) (d) B
F CC C
C
(d) FBy
F(2a)2
1F 43a
(w B)F
(9a2a)
6EI
3EI
(wB)FBy
8FBya3 3EI
所以
14Fa3 8FBya3 0 3EI 3EI
FBy
7 4
F
4）由整体平衡条件求其他约束反力
M AF 2(a), F Ay 4 3F ( )
FCFFB 408.75
4.875kN
M C0 , M C2 F 4 F B 0
MC 4FB 2F
48.75240115kN.m
孙训方《材料力学》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-简单的超静定问题(圣才出品)
图 6-2-4 （2）补充方程 作铰 A 的位移图，由几何关系可得变形协调方程： Δl1/sin30°＝2Δl2/tan30°＋Δl3/sin30°③ 其中，由胡克定律可得物理关系：
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Δl1＝FN1l1/EA1＝FN1l/（EA1cos30°） Δl2＝FN2l2/EA2＝FN2l/（EA2） Δl3＝FN3l3/EA3＝FN3l/（EA3cos30°） 代入式③可得补充方程： FN1l/（EA1sin30°·cos30°）＝2FN2l/（EA2tan30°）＋FN3l/（EA3sin30°·cos30°）④ （3）求解 联立式①②④，可得各杆轴力：FN1＝8.45kN，FN2＝2.68kN，FN3＝11.55kN。
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MB = 0
FN2 Leabharlann 2 2a+
FN4
2 2
a
+
FN3
2a − F ( 2 a + e) = 0 2
②
根据结构的对称性可得 FN2＝FN4③
（2）补充方程
如刚性板的位移图所示，根据几何关系可得：Δl1＋Δl3＝2Δl2④
由结构对称可知 Δl2＝Δl4，其中，由胡克定律可得各杆伸长量：
Δl1＝FN1l/EA，Δl2＝FN2l/EA，Δl3＝FN3l/EA
代入式④，整理可得补充方程：FN1＋FN3＝2FN2⑤
（3）求解
联立式①②③⑤，解得各杆轴力：
FN1
=
(1 4
−
e )F(压) 2a
FN2
=
FN4
=
F 4
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Δl1＝FN1l1/EA1＝FN1l/（EA1cos30°） Δl2＝FN2l2/EA2＝FN2l/（EA2） Δl3＝FN3l3/EA3＝FN3l/（EA3cos30°） 代入式③可得补充方程： FN1l/（EA1sin30°·cos30°）＝2FN2l/（EA2tan30°）＋FN3l/（EA3sin30°·cos30°）④ （3）求解 联立式①②④，可得各杆轴力：FN1＝8.45kN，FN2＝2.68kN，FN3＝11.55kN。
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MB = 0
FN2 Leabharlann 2 2a+
FN4
2 2
a
+
FN3
2a − F ( 2 a + e) = 0 2
②
根据结构的对称性可得 FN2＝FN4③
（2）补充方程
如刚性板的位移图所示，根据几何关系可得：Δl1＋Δl3＝2Δl2④
由结构对称可知 Δl2＝Δl4，其中，由胡克定律可得各杆伸长量：
Δl1＝FN1l/EA，Δl2＝FN2l/EA，Δl3＝FN3l/EA
代入式④，整理可得补充方程：FN1＋FN3＝2FN2⑤
（3）求解
联立式①②③⑤，解得各杆轴力：
FN1
=
(1 4
−
e )F(压) 2a
FN2
=
FN4
=
F 4
第六章_简单的超静定问题
第 1 页/共 3 页第六章 容易的超静定问题6-1 一次超静定解除A 端约束，加反力F A 变形协调 0=∆=∆L A 补充方程 0])3()2(2[1=-+-+=∆a F F a F F a F EAL A A A 解得 F F A 47=轴力图： 6-4 一次超静定解除杆2约束，加反力F E 变形协调 EAl F EA lF C C E E C E =∆=∆∆=∆，，2 补充方程 C E F F 2=平衡 F F F M C E A 320=+⇒=∑ 解得 kN F F kN F F C E 30536056====， 从而可得轴力 kN F kN F N N 603021==，应力 MPa AFMPa A F N N 60302211====σσ， 6-9 若杆未碰到支座B ，计算δ>∆L ，则杆必碰到支座B ，一次超静定解除下端支座B ，加反力F B变形协调 δ=∆=∆L B 补充方程 []δ=-++-+-=∆a F F F a F F EAEA a F L B D C B C B )()(221解得 kN aEAF F F D C B 155253=-+=δ （其中a =1.2m ，A =300mm 2）kN F F F F B D C A 85=-+= 轴力图：6-11 一次超静定解除B 端约束，加反力偶M B 变形协调 0=BA ϕ 补充方程 0)(221=-+=p e B p B BA GI aM M GI a M ϕ 解得 e B M M 331=，从而e A M M 3332= 扭矩图：6-14 拉杆EF 与GH 相同，且变形同为C 端位移，故两杆拉力相等 一次超静定第 3 页/共 3 页解除两杆约束，加反力F C 变形协调 ，，2122/EA L F L d LC CA =∆∆=ϕ []L d F M l d F GI C e C p CA )(1111-+-=ϕ （其中L ＝1m ） 补充方程21114)2(EA F d F M GI d C C e p =- 解得 kN d M F eC 1071==从而AB 段 m kN M T e ⋅==676max 最大切应力 MPa d T W T p 6.3016/31maxmax max ===πτ 6-15(a) 一次超静定解除B 端约束，加反力F B 变形协调 0==∆B B w补充方程 0931433=-=EIa F EI Fa w B B 解得 F F B 2714= 6-16 一次超静定基础梁AB 与CD 间的约束，加互相作使劲F C 变形协调 C B w w =补充方程 23213133)(EI l F EI l F F C C =- 解得 FF C 167135=。
材料力学第五版课件 主编 刘鸿文 第六章 简单的超静定问题
例题： 试判断下图结构是静定的还是超静定的？若是超静定， 则为几次超静定？
B
DE
A
C
FP
(a)静定。 未知内力数：3 平衡方程数：3
B
D
A
C
F
P
(b)超静定。 未知力数：5 平衡方程数：3 静不定次数=2
(c)静不定。
未知内力数：3
平衡方程数：2
FP
静不定次数=1
静不定问题的解法： （1）建立静力平衡方程； （2）由变形协调条件建立变形协调方程； （3）应用物理关系，代入变形协调方程，得到补充方程；
基本静定基的选取：
(1)解除B支座的约束,以约束反力
代替，即选择一端固定一端自由
的悬臂梁作为基本静定基。
(2)解除A端阻止转动的约束，以 约束反力代替，即选择两端简支 的梁作为基本静定基。
基本静定基选取可遵循的原则：
(1) 基本静定基必须能维持静力平衡，且为几何不变系统； (2) 基本静定基要便于计算，即要有利于建立变形协调条
E3 A3
F FN3 = 1+ 2E1 A1 cos3 a
E3 A3
(拉力) (拉力)
温度应力和装配应力
一、温度应力
在超静定结构中，由于温度变化引起的变形受到约束的限制， 因此在杆内将产生内力和应力，称为温度应力和热应力。
杆件的变形 ——
由温度变化引起的变形 温度内力引起的弹性变形
例：阶梯钢杆的上下两端在T1=5℃时被固 定,上下两段的面积为
=-
[13EI
32(1+
24
I Al
2
)
]
M
M
A
C
B D
l
第六章简单的超静定问题共51页
试校核该梁的强度.
列静力平衡方程
q
Fy 0
A
C
L2
FA
L2
FC
变形协调方程
B
FAF BF CqL 0
MA0
FB
L
qL2
FC 2FBL 2 0
5 qL 4
CqCF C0384 EI Z
FC L3 48 EI Z
7.5kNm0FC来自5 qL 8FB
3 16
qL
FA
3 16
qL
M 7.5kNm max
例题
6.2
点由两根钢杆BD和CE支承。已知钢杆的横截面面积ADB=200mm2， ACE=400mm2，其许用应力[σ]=170MPa，试校核钢杆的强度。
列静力平衡方程 MA0
FNCE 13k5 N 3FNBD
变形协调方程
D
F LN DB 31 C m L CE 3 E k / m 0 N 2 3 m F 0 N 1 1 . 5 0 B F6 m 0 1 Nm D .B 8 2 DlF N E 65 F4 3 NB m CE3 0 D 1 0 F N 0 6 0 m C 2 l E E
F
2m
列静力平衡方程 MA0
F12F2F
变形协调方程2 m F F L1 1 24 mm F 2 L24m
2m A
L2 2L1
4m
F2
1m 2
L1 EF11LA1! gTL1
F2L2 E2A2
L2tTEFL222LA222(EFt11LA1T! L2gTL1)
2 . 1 F 2 8 F 1 2 4 0 1 . 5 1 2 . 5 4 6 . 2 1 2 N 0
a
第六章 简单的超静定问题
C
A
4m
F A
20kN m
ω1 =ω2 B B
A
M A
ω1 B
4m
B
F B ′ F 40kN B
L F 3q 5 P3 q 4 −FL =87 k L . 5N F B B ω1=2 8 − 4 = 8 B 8 IZ 3 IZ 3 E E 2 L L F 15 NP F F =q −F =7 .2 k L3 A FL B P2 2 L ω 2 = BL + + B q2 3 I 3 E E M = IZ −FE= 2 k2 IZ 2 L Z1 5 N m A B 2
EI1 P a A b
P3 a y= 1 3I E1
P P M A A y1 x y2
EI2 x y
(P ) ⋅a ab y = 2 E2 I
P2 a b a y=y +y = ( + ) 1 2 E 3 1 I2 I
(P ) 2 ab x= 2 I2 E
轴向拉压
对称弯曲
扭 转
内力分量 轴力F 轴力FN 应力分布规律 正应力均匀分布
A. 若取支反力 B为多余约束力，则变形协调条件是截面 的挠度 B=0; 若取支反力F 为多余约束力，则变形协调条件是截面B的挠度 的挠度ω B. 若取支承面 1对弹簧底面的作用力 c1为多余约束力，则变形协调条件为 若取支承面C 对弹簧底面的作用力F 为多余约束力， C1面的铅垂线位移 1=0; 面的铅垂线位移∆C C. 若取支承面 1对弹簧底面的作用力 c1为多余约束力，则变形协调条件为 若取支承面C 对弹簧底面的作用力F 为多余约束力， C1面的铅垂线位移 1等于弹簧的变形 面的铅垂线位移∆C 等于弹簧的变形; D. 若取弹簧与梁相互作用力为多余约束力，则变形协调条件为梁在 截面的挠 若取弹簧与梁相互作用力为多余约束力，则变形协调条件为梁在C截面的挠 等于弹簧的变形。 度ωc等于弹簧的变形。
A
4m
F A
20kN m
ω1 =ω2 B B
A
M A
ω1 B
4m
B
F B ′ F 40kN B
L F 3q 5 P3 q 4 −FL =87 k L . 5N F B B ω1=2 8 − 4 = 8 B 8 IZ 3 IZ 3 E E 2 L L F 15 NP F F =q −F =7 .2 k L3 A FL B P2 2 L ω 2 = BL + + B q2 3 I 3 E E M = IZ −FE= 2 k2 IZ 2 L Z1 5 N m A B 2
EI1 P a A b
P3 a y= 1 3I E1
P P M A A y1 x y2
EI2 x y
(P ) ⋅a ab y = 2 E2 I
P2 a b a y=y +y = ( + ) 1 2 E 3 1 I2 I
(P ) 2 ab x= 2 I2 E
轴向拉压
对称弯曲
扭 转
内力分量 轴力F 轴力FN 应力分布规律 正应力均匀分布
A. 若取支反力 B为多余约束力，则变形协调条件是截面 的挠度 B=0; 若取支反力F 为多余约束力，则变形协调条件是截面B的挠度 的挠度ω B. 若取支承面 1对弹簧底面的作用力 c1为多余约束力，则变形协调条件为 若取支承面C 对弹簧底面的作用力F 为多余约束力， C1面的铅垂线位移 1=0; 面的铅垂线位移∆C C. 若取支承面 1对弹簧底面的作用力 c1为多余约束力，则变形协调条件为 若取支承面C 对弹簧底面的作用力F 为多余约束力， C1面的铅垂线位移 1等于弹簧的变形 面的铅垂线位移∆C 等于弹簧的变形; D. 若取弹簧与梁相互作用力为多余约束力，则变形协调条件为梁在 截面的挠 若取弹簧与梁相互作用力为多余约束力，则变形协调条件为梁在C截面的挠 等于弹簧的变形。 度ωc等于弹簧的变形。
第6章简单的超静定问题详解
(3) 建立补充方程
FN1 RA
FN 2 RB
l1
FN1l1 E1 A1
l2
FN 2l2 E2 A2
RAl1 RBl2 0 —— 补充方程 E1A1 E2 A2
RA A P C
B RB
材料力学 任课教师：金晓勤 8
(4) 联立求解
将平衡方程与补充方程联立，求解，可得：
RA RB P
查表知40mm×40mm×4mm等边角钢 Ast 3.086cm2 故 Ast 4Ast 12.34cm2, AW 25 25 625cm2
代入数据，得 FW 0.717F Fst 0.283F
根据角钢许用应力，确定F
st
0.283F Ast
st
F 698kN
根据木柱许用应力，确定F
例: 若管道中，材料的线膨胀系数 12.5106 / C, E 200GPa,
温度升高 T 40C
则
T
RB A
E T
100MPa
材料力学 任课教师：金晓勤 14
2）.装配应力
图示超静定杆系结构,中间杆加工 制作时短了Δ。已知1，3杆拉伸刚 度为E1A1 ， 2杆为E2A2 ,试求三 杆在D点铰接在一起后各杆的内力。
超静定结构：约束反力不能由平衡方程求得 结构的强度和刚度均得到提高
超静定度（次）数： 约束反力多于独立 平衡方程的数
独立平衡方程数：
平面任意力系： 3个平衡方程
平面共点力系： 2个平衡方程
平面平行力系：2个平衡方程 共线力系：1个平衡方程
材料力学 任课教师：金晓勤 4
6.2 拉压超静定问题
例: 图示构件是由横截面 面积和材料都不相同的 两部分所组成的，在C截 面处受P力作用。试求杆 两端的约束反任课教师：金晓勤 12
简单的超静定问题 超静定问题及其解法
F
y
x
0:
FN1sin FN 2sin 0
0:
A FP FN3
FN1cos FN 2cos FN3 FP 0
y 未知力个数：3
FN1 FN2
x
平衡方程数：2
未知力个数＞平衡方程数
FP
例 试判断下图结构是静定的还是超静定的？若是超 静定，则为几次超静定？
M n M n1 M n 2 M
（2）变形协调条件
M n2
1 2
M n1
1 2
（3）物理关系：
1
M n1l G
,
4 1
2
32
d
G
M n 2l
4 (d 2 d14 )
32
代入变形协调方程，得补充方程
d14 M n1 M n 2 4 (d 2 d14 )
选择此等直圆截面杆直径。
M A l C l M B D l
例一组合杆由实心杆1和空心管2结合在一起所组成，杆和管的材
料相同。剪切模量为G,试求组合杆承受外力偶矩M以后，杆和管
内的最大剪应力，并绘出横截面上应力分布的规律。如果杆和管 的材料不相同，结果又怎样？
M
M
d1 d2
解： （1）静力学关系
1 2 Mn
（4）补充方程与静力平衡方程联立，解得
4 d14 (d 2 d14 ) M n1 M 4 , M n 2 M 4 d2 d2
（5）最大切应力
杆1：
管2：
M n1 M n1 16Md1 1 4 Wp1 d 3 2 d1 16
M n2 M n2 16M 2 3 3 d1 4 Wp 2 d 2 d 2 [1 ( ) ] 16 d2
y
x
0:
FN1sin FN 2sin 0
0:
A FP FN3
FN1cos FN 2cos FN3 FP 0
y 未知力个数：3
FN1 FN2
x
平衡方程数：2
未知力个数＞平衡方程数
FP
例 试判断下图结构是静定的还是超静定的？若是超 静定，则为几次超静定？
M n M n1 M n 2 M
（2）变形协调条件
M n2
1 2
M n1
1 2
（3）物理关系：
1
M n1l G
,
4 1
2
32
d
G
M n 2l
4 (d 2 d14 )
32
代入变形协调方程，得补充方程
d14 M n1 M n 2 4 (d 2 d14 )
选择此等直圆截面杆直径。
M A l C l M B D l
例一组合杆由实心杆1和空心管2结合在一起所组成，杆和管的材
料相同。剪切模量为G,试求组合杆承受外力偶矩M以后，杆和管
内的最大剪应力，并绘出横截面上应力分布的规律。如果杆和管 的材料不相同，结果又怎样？
M
M
d1 d2
解： （1）静力学关系
1 2 Mn
（4）补充方程与静力平衡方程联立，解得
4 d14 (d 2 d14 ) M n1 M 4 , M n 2 M 4 d2 d2
（5）最大切应力
杆1：
管2：
M n1 M n1 16Md1 1 4 Wp1 d 3 2 d1 16
M n2 M n2 16M 2 3 3 d1 4 Wp 2 d 2 d 2 [1 ( ) ] 16 d2
简单的超静定问题
•补充方程：为求出超静定结构的全部未知力，除了利用平衡 方程以外，还必须寻找补充方程，且使补充方程的数目等于 多余未知力的数目。 •根据变形几何相容条件，建立变形几何相容方程，结合物理 关系（胡克定律），则可得出需要的补充方程。 •补充方程的获得，体现了超静定问题的求解技巧。本章节我 们将以轴向拉压、扭转、弯曲的超静定问题进行说明。
例 一平行杆系，三杆的横截面面积、长度和弹性模量均
分别相同，用A、l、E 表示。设AC为一刚性横梁，试求在
荷载F 作用下各杆的轴力
解: (1)受力分析--平衡方程
1
23
FN1
FN2
FN3
A
B
C
l
a
a
a 2
DC
D
F
A BF
Y 0 , F N 1 F N 2 F N 3 F 0
M D 0 , 1 . 5 F N 1 0 . 5 F N 2 0 . 5 F N 3 0
l1l3coas
(3)胡克定理
l1
FN1l EA
l3
FN3l c o E3A3
sa
(4)得出补充方程
FN1
FN3
EAco2sa
E3A3
联立平衡方程、补充方程，求解得
F 3）建立物理方程（如胡克定律，热膨胀规律等）。 F F 超静定结构的未知力的N 数1目多于独N 立2的平衡方程的数目；
2coasEEAcA osa 杆单例的凭两变 静端形力固包学定括平的两衡圆部方截分程面：不杆即能A由解B温出，度全在变部截化未面所知C引力处起的受的问一变题扭形，转，称力以为偶及超矩与静温定M度问e 作内题用力。如相3图应。的3弹2性变形。
（3） 胡刚克定度理(物的理关比系)值有关
第六章简单的超静定问题共14页word资料
第六章简单的超静定问题知识要点1．超静定问题的概念（1）静定问题结构或结构的约束反力或内力均能通过静力学平衡方程求解的问题。
（2）超静定问题结构或构件的约束反力或内力不能仅凭静力学平衡方程全部求解的问题。
（3）超静定次数未知力(约束反力或内力)数超过独立的静力平衡方程书的数目。
（4）多余约束力超静定问题中，多余维持静力平衡所必需的约束（支座或杆件）。
（5）多余未知力与多余（支座或杆件）相应的支座反力或内力。
（6）基本静定系在求解静定结构时，解除多余约束，并代之以多余未知力，从而得到一个作用有荷载和多余未知力的静定结构，称之为原超静定结构的基本体静定系。
2．静不定问题的解题步骤（1） 静力平衡条件——利用静力学平衡条件，列出平衡方程。
（2） 变形相容条件——根据结构或杆间变形后应保持连续的变形相容条件，作出位移图，由位移图的几何关系列出变形间的关系方程。
（3） 物理关系——应用胡克定律列出力与变形间的关系方程。
（4） 将物理关系代入变形相容条件，得补充方程 。
补充方程和静力平衡方程，二者方程数之和正好等于未知数的个数，联立平衡方程和补充方程，求解全部未知数。
习题详解6-1 试作题6-1图（a ）所示等直杆的轴力图。
解 解除题6-1图（a ）所示等直杆的约束，代之以约束反力，作受力图，如题6-1图（b ）所示。
由静力学平衡条件和变形协调条件 并将()EAa F EA a F F EA a F B DB A CD A AC -=∆-=∆=∆,22,代入式②，可得 联立式①，③，解得轴力如图6-1图（c ）所示6-2 题6-2图（a ）所示支架承受荷载F=10 kN,1,2,3各杆由同一材料制成，其横截面面积分别为232221200,150,100mm A mm A mm A ===。
试求各杆的轴力。
解 这是一个超静定问题，铰链A 的受力图，如题6-2图（c ）所示。
利用静力学平衡条件列平衡方程变形的几何关系如题6-2图（b ）所示,变形协调条件为应用胡克定律，三杆的变形为代入③，得补充方程联立式①，②，④，解得各杆的轴力分别为6-3 一刚性板有四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都相同，如 题6-3图（a ）所示。
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T1l 1 GI P1 T2l 2 GI P 2
材料力学 任课教师：金晓勤
21
φ
代入变形几何条件得：
φ1 φ2
T1l T1l Tl GI P1 GI P 2 GI P 2
I P1T 32 T1 T2 I P1 I P 2 D 4 d 4 D 4 d 4 1 1 2 2 32 32 1004 904 2 1.165kNm 4 4 4 4 100 90 90 80
代入数据，得
FW 0.717 F Fst 0.283F
根据角钢许用应力，确定F
F
st
0.283F st Ast
F 698kN
根据木柱许用应力，确定F
0.717 F W W AW
许可载荷
F 1046kN
250 250
F 698kN
材料力学
将平衡方程与补充方程联立，求解，可得：
RA RB P RAl1 RB l2 E A E A 0 2 2 1 1
P RA E2 A2l1 1 E1 A1l2
P RB E1 A1l2 1 E2 A2l1
材料力学 任课教师：金晓勤
9
例题 木制短柱的4个角用4个40mm×40mm×4mm的等边角钢加固， 已知角钢的许用应力[σst]=160MPa，Est=200GPa；木材的许 用应力[σW]=12MPa，EW=10GPa，求许可载荷F。 F 解： 平衡方程: F FW Fst 变形协调关系: l st l w （1）
b
⑶物理方程
FN 1l1 FN 1l l1 E1 A1 E1 A1 cos FN 2l2 FN 2l l2 E2 A2 E2 A2
由(b)、(c)得补充方程:
c
FN 2l FN 1l 2 E2 A2 E1 A1 cos
材料力学 任课教师：金晓勤
F
FW l 物理关系: lW EW AW
lst
补充方程:
FW Fst
250 250
Fst l Est Ast
（2）
Fst FW Est Ast EW AW
材料力学
任课教师：金晓勤
10
3.086cm 2 查表知40mm×40mm×4mm等边角钢 Ast 12.34cm 2 , AW 25 25 625cm 2 故 Ast 4 Ast
第六章 简单的超静定问题
第六章 简单的超静定问题
6.1 超静定问题及其解法 6.2 拉压超静定问题 6.3 扭转超静定问题 6.4 简单超静定梁
材料力学
任课教师：金晓勤
2
6.1 超静定问题及其解法
1. 超静定的概念
静定结构：
约束反力（轴 力）可由静力 平衡方程求得
材料力学
任课教师：金晓勤
3
超静定结构：约束反力不能由平衡方程求得 结构的强度和刚度均得到提高 超静定度（次）数：
B
4.作FS、M图
极值弯矩位置：
3 x0 : 8
FS
B FBy x0 3 ql 8
3 x0 l 8
极值弯矩：
1 ql 8
2
1 2 M M 0 FBy x0 qx0 2 2 3 3 1 3 9 ql l q l ql 2 8 8 2 8 128
6
两个未知量，一个静平衡方程，光由平衡方
程无法求解，这种问题称为超静定问题。需寻找 补充方程方能求解。
(2) 建立变形协调方程
A ②
E1A1
根据约束对变形的限制可 知，杆的总伸长不变，即可给 出变形协调方程：
l l1 l2 0
l1
C
① E2A2 l2
B
材料力学 任课教师：金晓勤
7
lR lT
⑶物理方程
b
α — 线膨胀系数, 1/℃
lT T l , Rl lR EA
由(b)、(c)得补充方程:
c
Rl T l EA 联立(a)式得: R T EA FN
材料力学 任课教师：金晓勤
13
例: 若管道中，材料的线膨胀系数
2max
材料力学
任课教师：金晓勤
23
6.4 简单超静定梁
1.基本概念： 超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁。 多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束。
超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。 相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统。
2.求解方法：
解除多余约束，建立相当系统——比较变形，列变 形协调条件——由物理关系建立补充方程——利用 静力平衡条件求其他约束反力。
M max
1 2 M A ql 8
27
9 ql 2 128
材料力学
任课教师：金晓勤
5.讨论
设MA为多余约束力
q A l B
列变形几何方程
A Aq AM 0
A
q MA A
B
查表
Aq
ql M Al ， AM A 24 EI 3 EI
1 2 M A ql 8
约束反力多于独立 平衡方程的数
独立平衡方程数：
平面任意力系： 3个平衡方程
平面共点力系： 2个平衡方程 平面平行力系：2个平衡方程 共线力系：1个平衡方程
材料力学
任课教师：金晓勤
4
6.2 拉压超静定问题
例: 图示构件是由横截面
面积和材料都不相同的 两部分所组成的，在C截 面处受 P 力作用。试求杆 两端的约束反力。
(3) 建立补充方程
FN 1 RA FN 2 RB FN 1l1 l1
RA A P
FN 2l2 l2 E2 A2
E1 A1
C
RAl1 RB l2 0 E1 A1 E2 A2
—— 补充方程
B RB
材料力学
任课教师：金晓勤
8
(4) 联立求解
的横截面上的最大切应力。
φ
1
φ
φ1 φ2
2
材料力学
任课教师：金晓勤
20
解: 内管2受外力偶T后两端发生相对扭转角φ。
Tl GI P 2
φ φ1 φ2
当撤除外力偶T后内管2由于弹性 恢复，φ减小为φ2，并使外管1产生φ1， 变形几何条件为：
1 2
此时，在两管的横截面上必将产生等值反向的扭 矩，T1=T2，两管的相对扭转角分别为：
材料力学
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19
例: 两根长度为l的钢制圆管松套在一起，外管1的 外 径 D1=100mm ， 内 径 d1=90mm ； 内 管 2 的 外 径 D2=90mm ，内径 d2=80mm ( 如图所示 ) 。在内管两端加 以外力偶 T=2kN·m ，内管发生扭转变形，此时将两管
的两端焊接为一个组合管。试求撤除外力偶T后组合管
qL3 A 24 EI z
挠度： 3、8、48、5384
转角： 2、6、16、24
材料力学 任课教师：金晓勤
25
例：试作图示超静定梁的剪力图和弯矩图。
解： 一次超静定
1.取静定基
q A l B
设FBy为多余约束力
2.求FBy 列变形几何方程 yB yBq yBFBy 0 查表
4
q
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22
4 4 D d 1 1 T
φ φ1 φ2
1max
T1 1.165 106 17.3MPa 4 Wt1 90 3 100 1 16 100 T2 1.165 106 21.7 MPa 4 Wt 2 80 3 90 1 16 90
16
联立(a)式得:
FN 1 FN 3
FN 2
E2 A2 l E2 A2 2 cos 1 3 2 E A cos 1 1 E2 A2 1 E2 A2 l 1 2 E1 A1 cos3 1
(压)
（拉）
⑴内力(或约束力)的分配不仅与外载荷有关,还与杆件的刚度有关; ⑵超静定结构会引起温度应力和装配应力。
7-6
材料力学
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24
A
P B L q
PL wB 3EI z qL wB 8EI z PL wC 48EI z
3
4
3
PL2 B 2 EI z qL3 B 6 EI z PL2 A 16 EI z
A
B
L P
A
L/2
C
B
L/2
B L/2
q A
L/2
C
5qL4 wC 384 EI z
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11
3. 温度应力和装配应力
1）. 温度应力
由于温度变化会引起物体的膨 胀和压缩.对于超静定结构,其胀 缩变形受到约束会产生内应力, 称为温度应力。
设温度上升ΔT,则A、B端 分别有约束力RA , RB
⑴静力平衡方程
RA RB R
a
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12
⑵变形协调方程
A B FBy q
A
B yBq
BFBy
ql y y Bq , y BFBy A B 8 EI 3 EI F 代入上式，解得 3 FBy ql 8 材料力学 任课教师：金晓勤
By
FBy l 3
26
q
3.求静定基的支反力
5 1 2 FAy ql， M A ql 8 8
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21
φ
代入变形几何条件得：
φ1 φ2
T1l T1l Tl GI P1 GI P 2 GI P 2
I P1T 32 T1 T2 I P1 I P 2 D 4 d 4 D 4 d 4 1 1 2 2 32 32 1004 904 2 1.165kNm 4 4 4 4 100 90 90 80
代入数据，得
FW 0.717 F Fst 0.283F
根据角钢许用应力，确定F
F
st
0.283F st Ast
F 698kN
根据木柱许用应力，确定F
0.717 F W W AW
许可载荷
F 1046kN
250 250
F 698kN
材料力学
将平衡方程与补充方程联立，求解，可得：
RA RB P RAl1 RB l2 E A E A 0 2 2 1 1
P RA E2 A2l1 1 E1 A1l2
P RB E1 A1l2 1 E2 A2l1
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9
例题 木制短柱的4个角用4个40mm×40mm×4mm的等边角钢加固， 已知角钢的许用应力[σst]=160MPa，Est=200GPa；木材的许 用应力[σW]=12MPa，EW=10GPa，求许可载荷F。 F 解： 平衡方程: F FW Fst 变形协调关系: l st l w （1）
b
⑶物理方程
FN 1l1 FN 1l l1 E1 A1 E1 A1 cos FN 2l2 FN 2l l2 E2 A2 E2 A2
由(b)、(c)得补充方程:
c
FN 2l FN 1l 2 E2 A2 E1 A1 cos
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F
FW l 物理关系: lW EW AW
lst
补充方程:
FW Fst
250 250
Fst l Est Ast
（2）
Fst FW Est Ast EW AW
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10
3.086cm 2 查表知40mm×40mm×4mm等边角钢 Ast 12.34cm 2 , AW 25 25 625cm 2 故 Ast 4 Ast
第六章 简单的超静定问题
第六章 简单的超静定问题
6.1 超静定问题及其解法 6.2 拉压超静定问题 6.3 扭转超静定问题 6.4 简单超静定梁
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2
6.1 超静定问题及其解法
1. 超静定的概念
静定结构：
约束反力（轴 力）可由静力 平衡方程求得
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3
超静定结构：约束反力不能由平衡方程求得 结构的强度和刚度均得到提高 超静定度（次）数：
B
4.作FS、M图
极值弯矩位置：
3 x0 : 8
FS
B FBy x0 3 ql 8
3 x0 l 8
极值弯矩：
1 ql 8
2
1 2 M M 0 FBy x0 qx0 2 2 3 3 1 3 9 ql l q l ql 2 8 8 2 8 128
6
两个未知量，一个静平衡方程，光由平衡方
程无法求解，这种问题称为超静定问题。需寻找 补充方程方能求解。
(2) 建立变形协调方程
A ②
E1A1
根据约束对变形的限制可 知，杆的总伸长不变，即可给 出变形协调方程：
l l1 l2 0
l1
C
① E2A2 l2
B
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7
lR lT
⑶物理方程
b
α — 线膨胀系数, 1/℃
lT T l , Rl lR EA
由(b)、(c)得补充方程:
c
Rl T l EA 联立(a)式得: R T EA FN
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13
例: 若管道中，材料的线膨胀系数
2max
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23
6.4 简单超静定梁
1.基本概念： 超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁。 多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束。
超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。 相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统。
2.求解方法：
解除多余约束，建立相当系统——比较变形，列变 形协调条件——由物理关系建立补充方程——利用 静力平衡条件求其他约束反力。
M max
1 2 M A ql 8
27
9 ql 2 128
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5.讨论
设MA为多余约束力
q A l B
列变形几何方程
A Aq AM 0
A
q MA A
B
查表
Aq
ql M Al ， AM A 24 EI 3 EI
1 2 M A ql 8
约束反力多于独立 平衡方程的数
独立平衡方程数：
平面任意力系： 3个平衡方程
平面共点力系： 2个平衡方程 平面平行力系：2个平衡方程 共线力系：1个平衡方程
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4
6.2 拉压超静定问题
例: 图示构件是由横截面
面积和材料都不相同的 两部分所组成的，在C截 面处受 P 力作用。试求杆 两端的约束反力。
(3) 建立补充方程
FN 1 RA FN 2 RB FN 1l1 l1
RA A P
FN 2l2 l2 E2 A2
E1 A1
C
RAl1 RB l2 0 E1 A1 E2 A2
—— 补充方程
B RB
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8
(4) 联立求解
的横截面上的最大切应力。
φ
1
φ
φ1 φ2
2
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解: 内管2受外力偶T后两端发生相对扭转角φ。
Tl GI P 2
φ φ1 φ2
当撤除外力偶T后内管2由于弹性 恢复，φ减小为φ2，并使外管1产生φ1， 变形几何条件为：
1 2
此时，在两管的横截面上必将产生等值反向的扭 矩，T1=T2，两管的相对扭转角分别为：
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例: 两根长度为l的钢制圆管松套在一起，外管1的 外 径 D1=100mm ， 内 径 d1=90mm ； 内 管 2 的 外 径 D2=90mm ，内径 d2=80mm ( 如图所示 ) 。在内管两端加 以外力偶 T=2kN·m ，内管发生扭转变形，此时将两管
的两端焊接为一个组合管。试求撤除外力偶T后组合管
qL3 A 24 EI z
挠度： 3、8、48、5384
转角： 2、6、16、24
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例：试作图示超静定梁的剪力图和弯矩图。
解： 一次超静定
1.取静定基
q A l B
设FBy为多余约束力
2.求FBy 列变形几何方程 yB yBq yBFBy 0 查表
4
q
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4 4 D d 1 1 T
φ φ1 φ2
1max
T1 1.165 106 17.3MPa 4 Wt1 90 3 100 1 16 100 T2 1.165 106 21.7 MPa 4 Wt 2 80 3 90 1 16 90
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联立(a)式得:
FN 1 FN 3
FN 2
E2 A2 l E2 A2 2 cos 1 3 2 E A cos 1 1 E2 A2 1 E2 A2 l 1 2 E1 A1 cos3 1
(压)
（拉）
⑴内力(或约束力)的分配不仅与外载荷有关,还与杆件的刚度有关; ⑵超静定结构会引起温度应力和装配应力。
7-6
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A
P B L q
PL wB 3EI z qL wB 8EI z PL wC 48EI z
3
4
3
PL2 B 2 EI z qL3 B 6 EI z PL2 A 16 EI z
A
B
L P
A
L/2
C
B
L/2
B L/2
q A
L/2
C
5qL4 wC 384 EI z
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3. 温度应力和装配应力
1）. 温度应力
由于温度变化会引起物体的膨 胀和压缩.对于超静定结构,其胀 缩变形受到约束会产生内应力, 称为温度应力。
设温度上升ΔT,则A、B端 分别有约束力RA , RB
⑴静力平衡方程
RA RB R
a
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⑵变形协调方程
A B FBy q
A
B yBq
BFBy
ql y y Bq , y BFBy A B 8 EI 3 EI F 代入上式，解得 3 FBy ql 8 材料力学 任课教师：金晓勤
By
FBy l 3
26
q
3.求静定基的支反力
5 1 2 FAy ql， M A ql 8 8