第6章简单的超静定问题

6
两个未知量，一个静平衡方程，光由平衡方
程无法求解，这种问题称为超静定问题。需寻找 补充方程方能求解。
(2) 建立变形协调方程
A ②
E1A1
根据约束对变形的限制可 知，杆的总伸长不变，即可给 出变形协调方程：
l l1 l2 0
l1
C
① E2A2 l2
B
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的横截面上的最大切应力。
φ
1
φ
φ1 φ2
2
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解: 内管2受外力偶T后两端发生相对扭转角φ。
Tl GI P 2
φ φ1 φ2
当撤除外力偶T后内管2由于弹性 恢复，φ减小为φ2，并使外管1产生φ1， 变形几何条件为：
1 2
此时，在两管的横截面上必将产生等值反向的扭 矩，T1=T2，两管的相对扭转角分别为：
12.5 106 / C, E 200GPa,
温度升高 T 40C
则
RB T E T 100MPa A
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2）.装配应力
图示超静定杆系结构,中间杆加工 制作时短了Δ。已知1，3杆拉伸刚 度为E1A1 ， 2杆为E2A2 ,试求三 杆在D点铰接在一起后各杆的内力。
解: 图中蓝线AD、CD为1,3杆 装配前位置。由变形知1,3杆受 压，2杆受拉。 ⑴静力平衡方程
( FN 1 FN 3 ) cos FN 2
FN 1 FN 3
a
F F F
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⑵变形协调方程
l1 l3 l1 l2 cos
MA
3
q
A
B
Aq
代入上式，解得
A
AMA
B
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q
5.讨论 能否设FAy为多余约束力?
A l
B
q A
B q A B FAy
几何可变的——平衡的位置是不稳定的
结论: 静定基的选取不是唯一的 静定基必须是几何不变的
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7-6
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A
P B L q
PL wB 3EI z qL wB 8EI z PL wC 48EI z
3
4
3
PL2 B 2 EI z qL3 B 6 EI z PL2 A 16 EI z
A
B
L P
A
L/2
C
B
L/2
B L/2
q A
L/2
C
5qL4 wC 384 EI z
qL3 A 24 EI z
挠度： 3、8、48、5384
转角： 2、6、16、24
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例：试作图示超静定梁的剪力图和弯矩图。
解： 一次超静定
1.取静定基
q A l B
设FBy为多余约束力
2.求FBy 列变形几何方程 yB yBq yBFBy 0 查表
4
q
第六章 简单的超静定问题
第六章 简单的超静定问题
6.1 超静定问题及其解法 6.2 拉压超静定问题 6.3 扭转超静定问题 6.4 简单超静定梁
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2
6.1 超静定问题及其解法
1. 超静定的概念
静定结构：
约束反力（轴 力）可由静力 平衡方程求得
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3
超静定结构：约束反力不能由平衡方程求得 结构的强度和刚度均得到提高 超静定度（次）数：
2max
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6.4 简单超静定梁
1.基本概念： 超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁。 多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束。
超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。 相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统。
2.求解方法：
解除多余约束，建立相当系统——比较变形，列变 形协调条件——由物理关系建立补充方程——利用 静力平衡条件求其他约束反力。
3.由多余约束特点，建立变形协调关系； 4.将物理条件代入变形协调关系，得补充方程； 5.将补充方程与平衡方程联立求解； 6.求出全部约束反力，则可求内力、应力、变形，进行强度计算和 刚度计算。
关键是建立变形协调关系：
1.考虑刚性杆、板； 2.考虑约束性质。
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6.3 扭转超静定问题 1.平衡方程; 2.变形协调条件; 3.物理条件; 4.补充方程; 5.联立平衡方程和补充方程,求解.
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3. 温度应力和装配应力
1）. 温度应力
由于温度变化会引起物体的膨 胀和压缩.对于超静定结构,其胀 缩变形受到约束会产生内应力, 称为温度应力。
设温度上升ΔT,则A、B端 分别有约束力RA , RB
⑴静力平衡方程
RA RB R
a
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⑵变形协调方程
lR lT
⑶物理方程
b
α — 线膨胀系数, 1/℃
lT T l , Rl lR EA
由(b)、(c)得补充方程:
c
Rl T l EA 联立(a)式得: R T EA FN
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例: 若管道中，材料的线膨胀系数
A ②
E1A1
l1
C ① E2A2 l2 B
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解：(1) 画受力图、列静力平衡方程 解除上、下固定端对构 件的约束，并分别以 RA 、
RA A P C
RB 代表两端的约束反力。
由于这是共线力系问题， 只能列出一个独立的平 衡方程：
RA RB P
B
RB
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(3) 建立补充方程
FN 1 RA FN 2 RB FN 1l1 l1
RA A P
FN 2l2 l2 E2 A2

E1 A1
C

RAl1 RB l2 0 E1 A1 E2 A2
—— 补充方程
B RB
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(4) 联立求解
M max
1 2 M A ql 8
27
9 ql 2 128
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5.讨论
设MA为多余约束力
q A l B
列变形几何方程
A Aq AM 0
A
q MA A
B
查表
Aq
ql M Al ， AM A 24 EI 3 EI
1 2 M A ql 8
将平衡方程与补充方程联立，求解，可得：
RA RB P RAl1 RB l2 E A E A 0 2 2 1 1
P RA E2 A2l1 1 E1 A1l2
P RB E1 A1l2 1 E2 A2l1
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例题 木制短柱的4个角用4个40mm×40mm×4mm的等边角钢加固， 已知角钢的许用应力[σst]=160MPa，Est=200GPa；木材的许 用应力[σW]=12MPa，EW=10GPa，求许可载荷F。 F 解： 平衡方程: F FW Fst 变形协调关系: l st l w （1）
T1l 1 GI P1 T2l 2 GI P 2
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φ
代入变形几何条件得：
φ1 φ2
T1l T1l Tl GI P1 GI P 2 GI P 2

I P1T 32 T1 T2 I P1 I P 2 D 4 d 4 D 4 d 4 1 1 2 2 32 32 1004 904 2 1.165kNm 4 4 4 4 100 90 90 80
F
FW l 物理关系: lW EW AW
lst
补充方程:
FW Fst
250 250
Fst l Est Ast
（2）
Fst FW Est Ast EW AW
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3.086cm 2 查表知40mm×40mm×4mm等边角钢 Ast 12.34cm 2 , AW 25 25 625cm 2 故 Ast 4 Ast
A B FBy q
A
B yBq
BFBy
ql y y Bq , y BFBy A B 8 EI 3 EI F 代入上式，解得 3 FBy ql 8 材料力学 任课教师：金晓勤
By
FBy l 3
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q
3.求静定基的支反力
5 1 2 FAy ql， M A ql 8 8
A l q
b
⑶物理方程
FN 1l1 FN 1l l1 E1 A1 E1 A1 cos FN 2l2 FN 2l l2 E2 A2 E2 A2
由(b)、(c)得补充方程:
c
FN 2l FN 1l 2 E2 A2 E1 A1 cos
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联立(a)式得:
FN 1 FN 3
FN 2
E2 A2 l E2 A2 2 cos 1 3 2 E A cos 1 1 E2 A2 1 E2 A2 l 1 2 E1 A1 cos3 1
(压)
（拉）
⑴内力(或约束力)的分配不仅与外载荷有关,还与杆件的刚度有关; ⑵超静定结构会引起温度应力和装配应力。
代入数据，得
FW 0.717 F Fst 0.283F
根据角钢许用应力，确定F
F
st
0.283F st Ast
F 698kN
根据木柱许用应力，确定F
0.717 F W W AW
许可载荷
F 1046kN
250 250
F 698kN
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4 4 D d 1 1 T
φ φ1 φ2
1max
T1 1.165 106 17.3MPa 4 Wt1 90 3 100 1 16 100 T2 1.165 106 21.7 MPa 4 Wt 2 80 3 90 1 16 90
约束反力多于独立 平衡方程的数
独立平衡方程数：
平面任意力系： 3个平衡方程
平面共点力系： 2个平衡方程 平面平行力系：2个平衡方程 共线力系：1个平衡方程
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6.2 拉压超静定问题
例: 图示构件是由横截面
面积和材料都不相同的 两部分所组成的，在C截 面处受 P 力作用。试求杆 两端的约束反力。
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例: 两根长度为l的钢制圆管松套在一起，外管1的 外 径 D1=100mm ， 内 径 d1=90mm ； 内 管 2 的 外 径 D2=90mm ，内径 d2=80mm ( 如图所示 ) 。在内管两端加 以外力偶 T=2kN·m ，内管发生扭转变形，此时将两管
的两端焊接为一个组合管。试求撤除外力偶T后组合管
B
4.作FS、M图
极值弯矩位置：
3 x0 : l ql : ql 8
A 5 ql 8
FS
B FBy x0 Βιβλιοθήκη Baidu ql 8
3 x0 l 8
极值弯矩：
1 ql 8
2
1 2 M M 0 FBy x0 qx0 2 2 3 3 1 3 9 ql l q l ql 2 8 8 2 8 128
当温度应力不超过弹性极限时,温度因素消除后,其应力 也消失；当温度应力超过弹性极限时,构件产生塑性变形而 产生残余应力。
残余应力过大会使构件产生严重的变形,甚至破坏,需通过热处 理来消除。
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超静定问题求解步骤：
1.受力分析，确定超静定次数；
2.用多余约束力代替多余约束，列相应独立平衡方程；