高等钢结构分析中的精炼塑性铰模型_secret

高等钢结构分析中的精炼塑性铰模型
【摘要】：目前精炼塑性铰模型是二阶弹塑性分析中应用最多的一种模型，但是全面论述这方面的文献还比较少。

本文从此出发，介绍了钢结构高等分析(advanced analysis)的概念及对结构进行高等分析的必要性；简单介绍了现阶段高等分析中用到的塑性区模型（plastic zone）和塑性铰模型(plastic hinge )，并对比了各自的优势和不足；同时全面介绍了精炼塑性铰模型对各种非线性因素的处理方法，包括用稳定函数考虑二阶效应、用切线模量考虑残余应力和初始缺陷、用弯曲刚度降低系数考虑塑性扩展；并在简单弹塑性铰模型的基础上推导其总的刚度矩阵表达式；介绍了半刚性连接在结构弹塑性设计中优势，并推导了半刚性连接节点在精炼塑性铰模型分析中的力－位移增量关系表达式。

【关键词】：高等分析, 精炼塑性铰模型，切线模量，弯曲刚度降低系数，半刚性连接节点。

一、前言
目前基于弹性的钢结构分析和设计存在很多问题，例如计算长度的概念并不能准确反应结构与构件之间稳定承载力之间的关系；结构内力计算模式与构件承载力计算模式不一致；不同结构的整体承载能力极限状态可靠度水平不一致；没有考虑或很少考虑结构的非线性因素等，要克服以上问题，只有对结构进行高等分析。

钢结构的高等分析(Advanced Analysis)实质上是结构的二阶弹塑性全过程分析，在结构分析中充分考虑各种非线性因素，直接计算出结构的整体极限承载力并能得到整个加载历史的结构全过程反应，对于结构体系及构件的破坏模式能够进行预测【16】。

二阶弹塑性分析就是认为构件开始处于弹性变形状态，当荷载增大到极限弹性荷载后，构件截面边缘纤维达到屈服强度，塑性开始发展，弯矩曲率关系呈曲线形，截面经过很大的转动后达到塑性极限弯矩。

精确的钢结构高等分析方法应该能够考虑以下因素：(1)塑性在截面和杆长方向的扩展；(2)结构变形的影响，包括P-△效应和构件轴力对其刚度的降低效应；(3)缺陷的影响，包括构件初始缺陷P-δ和节点初始定位误差、残余应力等；（4）板件的局部屈服影响；（5）受弯构件的弯扭失稳影响；(6)材料的弹塑性性能；（7）半刚性连接，梁柱连接的柔性对框架的承载力有很大的影响，在非线性分析中不能忽视；（8）节点域的剪切变形影响等[19]。

在现有的钢结构高等分析的文献中有许多关于弹塑性分析的模型，但总的来说可以分为两类：塑性区模型（plastic-zone method）（塑性分布）和塑性铰模型(plastic-hinge method)（塑性集中）。

塑性区模型可以明确地模拟结构屈服过程及其屈服分布，对构件塑性化程度的模拟是通过把构件离散成若干单元和把截面细分来实现的。

在塑性区模型分析方法中，残余应力、几何缺陷和材料应变强化对结构的影响都能得到较全面的考虑。

由于对构件及其截面的精细离散，塑性区模型分析能预测结构的弹塑性反应（忽略局部屈服及横向扭转屈服等因素的影响），并且被认为是一种较精确的分析方法。

在塑性铰模型分析方法中，认为构件的弹塑性行为主要集中在塑性铰位置(一般在杆端，零长度)，在塑性铰以外的部位始终是弹性的。

二阶弹塑性铰模型分析主要的特点是实现了一个构件只需一个梁柱模型来模拟，这比塑性区模型更加经济和有效。

对以弹性失稳为主要破坏模式的细长构件，塑性区模型和塑性铰模型的分析结果是一样的。

但是对于构件有明显屈服行为的结构，简单塑性铰模型分析方法往往过高的估计结构的刚度和强度[11]。

由于简单弹塑性铰模型是精炼塑性铰模型的基础，所以先简单的介绍弹塑性铰模型，随后详细的介绍精炼塑性铰模型。

二、简单塑性铰模型
简单的塑性铰模型是基于塑性集中于杆端的假定，认为单元中除了两端可以形成塑性铰外，其它部分是完全弹性的，因而不能考虑塑性在截面上的扩展以及由于残余应力引起的沿
杆长方向的塑性分布．塑性铰法可以分为一阶方法和二阶方法．一阶塑性铰法忽略了几何非线性的影响，用这种方法得到的结构极限承载力与刚塑性方法的结果相同；二阶塑性铰方法同时考虑了几何和材料非线性的影响．只有二阶分析模型才能在高等分析中适用，所以在这里只讨论二阶分析模型。

承受轴力同时两端承受弯矩的粱单元弯矩－转角关系[13]用矩阵形式表达为：
122
1
/A A B B M s s EI M s s L A I P e θθ⎧⎫⎧⎫
⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎢⎥=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎣⎦⎩⎭
⎩⎭
(1) 式中，1s 和2s 是衡量抗弯刚度的稳定函数，由下式计算
21sin()()cos()
22cos()sin()kL kL kL kL s kL kL kL -=
-- (2) 22()sin()
22cos()sin()
kL kL kL s kL kL kL -=
-- (3) 二阶简单塑性铰方法通过稳定函数考虑了轴力引起的二阶效应。

算例分析表明，对于长细比较大的构件（其极限状态处于弹性状态），采用二阶简单塑性铰方法可以得到很好的结果；而对于长细比较小的构件（其极限状态已出现弹塑性现象），采用二阶简单塑性铰方法会过高的估计结构的强度和刚度。

简单塑性铰方法不能胜任精确的钢框架结构弹塑性分析，因而有必要改进这种方法，以使之适用于更广的范围。

在这种情况下，精炼塑性铰(refined plastic hinge method)模型被提出。

三、精炼塑性铰模型
3.1、精炼塑性铰模型考虑的非线性因素 精炼塑性铰模型是以二阶简单弹塑性铰模型为基础，在其之上考虑残余应力、初始缺陷、塑性扩展、局部屈曲和横向扭转屈服等非线性因素，下面分别进行具体介绍。

3.1.1、二阶效应影响 精炼塑性铰模型是建立在二阶简单弹塑性铰模型的基础上，由于二阶弹塑性铰模型用稳定函数考虑了二阶效应，所以认为精炼塑性铰模型也通过稳定函数考虑了二阶效应。

采用稳定函数的方法可以一个构件只用一个单元模拟，并获得所有轴力范围内的单元刚度精确值和单元杆端恢复力。

实践表明模拟几何非线性最简单的方法是用稳定函数。

因为稳定函数只用一个梁柱单元来定义独立单元的二阶效应，它是一个进行框架分析的有效且经济的途径[17]。

3.1.2、横截面的塑性强度
横截面的塑性强度是判断单元端部是否出现塑性铰的标准，如果单元内力满足塑性强度要求，则我们认为构件还处于弹塑性阶段，不具备形成塑性铰的条件；反之，如果单元内不满足塑性强度要求，则认为在单元端部将出现塑性铰，需要对单元的力－位移关系进行修正，以符合该端形成塑性铰的单元受力特性[9][10]。

在AISC-LRFD 柱的基础上建立的横截面塑性强度表达式为：
81.09y p P M P M +=
0.2y P
P ≥ (4)
1.02y p P M P M += 0.2y
P
P < (5)
式中M 、P 为二阶弯矩和轴力，y P 为轴力极限，p M 为塑性弯矩极限。

3.1.3、残余应力和初始几何缺陷影响
残余应力对钢构件极限承载力的影响很大，对低碳钢轴压构件极限承载力的最大影响可
达17.5％；同样初始几何缺陷对轴压构件的极限承载力的影响也很大，其中初弯曲的最大影响可达45％，同时，初始几何缺陷对压弯构件的极限承载力影响也很大。

因此，要在精炼塑性铰模型中考虑残余应力和初始几何缺陷的影响。

精炼塑性铰模型对残余应力和初始几何缺陷影响的考虑是通过定义切线模量来实现的。

切线模量理论最早是在1889年由恩格赛提出的，当时是为了计算弹塑性阶段构件弯曲屈曲的临界荷载。

在这里沿用切线模量这个概念，但是具体的计算公式是通过考虑了残余应力和初始几何缺陷的柱子强度公式推导得到的。

因为具体的柱的强度公式中考虑了残余应力和初始几何缺陷的影响，所以说用切线模量可以间接的考虑残余应力和初始几何缺陷的影响。

其来源由两种，一种是基于AISC-LRFD 柱的强度公式，其中包括了残余应力和初始几何缺陷的影响；另一种是基于CRC 柱的强度公式，但是这其中没有包括初始几何缺陷的影响，所以在其基础上进行折减（折减系数为0.85），以考虑初始几何缺陷的影响。

（1）基于AISC-LRFD 柱强度公式的切线模量表达式[1]：
2.7243ln t y y E P P E P P ⎡⎤
=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
0.39y P P > （6） t E E = 0.39y P P ≤ （7）
式中y P 是轴压极限强度；
（2）基于CRC 柱强度公式的切线模量表达式[6]：
1.0t E E = 0.5y P P ≤ （8）
4
1t y
y P
P E E P P ⎛⎫
=- ⎪ ⎪
⎝
⎭ 0.5y P P > （9） 由于没有考虑初始几何缺陷，所以在此基础上进行折减得到切线模量表达式为：
4
1t i y
y P
P E E P P
ξ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝
⎭
0.5y P P > （10） t i E E ξ= 0.5y P P ≤ （11）
在实际的钢框架高等分析中发现，采用LRFD 柱子强度公式得到的切线模量的精度不如采用CRC 柱子强度公式相应的切线模量，所以精炼塑性铰模型在分析中采用了CRC 柱的切线模量。

3.1.4、单元两端截面的塑性扩展
因为塑性铰模型的假定是认为构件的塑性行为主要集中铰部位，构件的其它部位始终是弹性的，而实际上构件的塑性行为是在截面上和沿杆长方向逐步扩展的。

为了更真实的模拟构件的弹塑性行为，精炼塑性铰模型引入弯曲刚度降低系数φ考虑单元两端截面塑性扩展的影响。

在此模型中，认为弯曲刚度降低系数φ具有二次抛物线形式，并满足LRFD 梁柱轴力一弯矩强度相关公式以及初始屈服面方程定义。

φ的取值在0和1之间，当0φ=时，表示塑性铰已经形成；当1φ=时，表示构件还处于弹性状态。

φ取值的计算表达式为：
4(1)φαα=- 0.5α> （12）
式中α是表征轴力P 和弯矩M 大小的参数，其计算表达式为：
89y p P M
P M α+
=
29y p M
M P P ≥
（13） 2y p P M
P M α+
= 29y p
M
M P P <
（14） 其中0.5α=表示轴力在初始屈服面的位置上， 1.0α=表示构件已经开始进入全截面塑性状态。

3.2、精炼塑性铰模型的刚度矩阵
3.2.1、不考虑连接节点柔度的刚度矩阵
以简单弹塑性铰矩阵为基础，综合考虑以上非线性因素，可以得到精炼塑性铰模型的刚度矩阵。

在A 端塑性铰形成后，由于考虑构件的逐步塑性过程，塑性弯矩会有一个逐步下降的过程。

假设在此过程中轴力P 的改变构件端部的塑性弯矩改变的关系式如下：
122
10000
/pcA A B B M s s EI M s s L A I P e θθ∆⎡⎤∆⎡⎤
⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥∆=∆⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥∆∆⎝⎭⎣⎦
⎣⎦
（15） 式中pcA M ∆为轴力改变时端部塑性弯矩的改变量；由上式第一行可得：
21/pcA A B L M s s EI θθ∆⎛⎫
∆=-∆ ⎪⎝⎭
（16）
将上式反代回(15)式中第二行和第三行可得：
2
121210
0010/0/00/0
A A
B B pcA M EI M s s s s s M L A I P e θθ-∆∆⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥∆=∆+∆ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥
⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥∆∆⎝⎭⎝⎭⎣⎦
⎣⎦ （17）
在（16）中引入切线模量和弯曲刚度降低系数得到：
12()t pcA A
A B E I
M s s L
φθθ∆=∆+∆ （18） 将（18）代入（15），同时在（15）中也引入切线模量和弯曲刚度降低系数得构件在A 端形成塑性铰时的精炼塑性铰模型刚度矩阵：
()1
2
22
211
0100
/A A A A t B A A B s s M E I s M s
s L s P e A I φφθφφθ--⎛⎫
∆∆⎡⎤⎡⎤
⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪∆=∆⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥∆∆ ⎪⎣⎦⎣⎦ ⎪⎝
⎭
（19） 同理可得构件在两端同时形成塑性铰得刚度矩阵为：
()()2
2
1212
2211101000/A B A B A A t B A B A B B s s s s M E I s M s s L s P e A I φφφφθφφφφθ----⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥
⎣
⎦ ⎪
∆∆⎡⎤⎡⎤
⎪⎡⎤⎢⎥⎢⎥ ⎪∆=∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎢⎥⎢⎥∆∆ ⎪⎣⎦
⎣⎦
⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
（20）
3.2.2、半刚性连接的刚度矩阵
半刚性节点连接是部分约束连接，兼有刚性连接和铰支连接的优点，若合理使用可以获得较好的结构性能和经济效应。

节点的半刚性连接对钢结构的承载力和变形有较大的影响，在结构受力过程中引起结构的内力重分布，与刚性连接相比，增大了P-△效应。

由于其受力的特殊性及工程中良好的弹塑性性能，正越来越受到重视。

半刚性连接节点在精炼塑性铰模型分析中的力－位移增量关系式是建立在式（10）的基础上的，设构件在轴力P 的作用下端部的转角增量为rA θ∆、rB θ∆，A 、B 端的切线刚度分别为ktA R 、ktB R ，且相关表达式如下：
P
M B
M A
P
图5 有轴力作用的梁柱单元 A rA ktA M R θ∆∆= B
rB ktB
M R θ∆∆= （21） 则（Ⅰ）、修正后的A 、B 端弯矩－转角增量关系式为：
t A B A ii A ij B ktA ktB E I
M M M s s L R R θθ⎡⎤⎧⎫⎧⎫∆∆∆=
∆-+∆-⎢⎥⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎩⎭⎣⎦ （22）
t A B B ij A jj B ktA ktB E I M M M s s L
R R θθ⎡⎤
⎧⎫⎧⎫∆∆∆=
∆-+∆-⎢⎥⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎩⎭⎣
⎦ （23）
式中关于ii s 、ij s 、jj s 的定义如下：
（1）、如果构件处于弹性或者弹塑性铰的假设成立（塑性铰形成）时，
1ii jj s s s == 2ij s s = （24）
（2）、当由于塑性分布的影响，构件刚度开始降低时，
[]22
11(1)ii B A s s s s φφ=-- （25）
[]22
11
(1)jj A B s s s s φφ=-- （26）
2ij A B s s φφ= （27）
式中A φ、B φ分别为A 、B 端塑性铰形成后弯曲刚度降低系数。

对（22）、（23）式解联立方程组，并做一定的简化得到：
**
t A ii A ij B E I M s s L
θθ⎡⎤∆=∆+∆⎣⎦ （28） **t B ij A jj B E I M s s L
θθ⎡⎤∆=
∆+∆⎣⎦ （29）
其中： 2*22
1t ii jj t ij
ii ktB ktB
ii
t jj ij t ii t ktA ktB ktA ktB E Is s E Is s LR LR s E Is s E Is E I LR LR L R R +
-=⎡⎤⎡⎤⎡⎤
+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦⎣⎦ （30） 2
*22
1t ii jj t ij
jj ktA
ktA jj t jj ij
t ii t ktA ktB ktA ktB
E Is s E Is s LR LR s E Is s E Is E I LR LR L R R +-
=⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （31） *22
1ii ij
ij t jj ij t ii t ktA ktB ktA ktB s s s E Is s E Is E I LR LR L R R =
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦⎣⎦ （32）
001c i i kti ri u dM M M R K d M M θ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥==- ⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦
0M M > （33）
0kti R K = 0M M ≤ （34）
上式中kti R 为切线刚度；0K 为节点初始刚度；0M 为弹性屈服弯矩；u M 为极限屈服弯矩；i M 为施加在i 端的节点弯矩；c 为切线刚度衰减指数; i 表示A 端或B 端。

（Ⅱ）、修正后的轴力－位移增量表达式为：
/t P E I e L ∆=∆ （35）
最后，半刚性连接节点在精炼塑性铰模型分析中总的力－位移增量关系式可以写成：
*
*
**000
/A A ii ij
t B ij
jj B M s s E I M s s L A I P e θθ⎛⎫∆∆⎧⎫
⎧⎫
⎪⎪⎪⎪⎪
∆=∆⎨⎬⎨⎬ ⎪⎪⎪
⎪⎪ ⎪∆∆⎩⎭⎩⎭
⎝⎭ （36）
式中考虑了单元的塑性分布影响和在轴力作用下的弯曲影响。

并由此可求得半刚性连接单元
切线刚度矩阵，进一步求解非线性方程得到结构在这个加载／卸载历史的荷载－位移关系。

四、总结
精炼塑性铰模型的刚度矩阵是在简单弹塑性铰模型的基础上导出的，简单塑性铰模型考虑了二阶效应影响，因此精炼塑性铰模型考虑了二阶效应影响；同时引入切线模量考虑初始缺陷和残余应力影响；引入弯曲刚度降低系数考虑单元两端塑性扩展。

这些近似处理既简化了分析过程又可以保证计算精度，用于实际工程的分析和设计是完全可行的。

理论上精炼塑性铰模型在半刚性连接节点的应用上是完全可行的，分析结果比简单塑性铰模型更精确。

半刚性连接由于在结构塑性设计中的良好表现被广泛的接受，相关的研究是目前钢结构设计研究的热点。

总之，不管从分析精度上还是计算的简便性上，精炼塑性铰模型都可以在实际工程设计应用。

但是目前的应用还只局限于平面结构，对局部屈曲和横向扭转影响虽然有人在研究，但是还局限于某些截面形式，研究不够深入[17][18]。

关于三维结构弹塑性分析的研究就更少了。

总之，对平面结构而言，不管从分析精度上还是计算的简便性上，精炼塑性铰模型都可以胜任实际工程设计应用；对空间结构，其应用还有待进一步研究。

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