直线与抛物线的的位置关系课件2-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P(1,2)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y1＋y2 的
值及直线 AB 的斜率．
[解析] (1)设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)， 因为点P(1,2)在抛物线上，所以p＝2. 故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.
∴y2－xy21－yx21＋y1＝4.因为xy22－－yx11＝kAB＝1，y2＋y1＝4， y0＝2，x0＝y0＋1＝3，故中点为 P(3,2)．
直线与抛物线相交问题
【例 2】 过抛物线 y2＝4x 的准线与对称轴的交点 作直线，交抛物线于 M，N 两点，问该直线的倾斜角的 正切值为多少时，以线段 MN 为直径的圆经过抛物线的 焦点？
方法二：设弦 AB 所在的直线方程为 y＝k(x－4)＋1，
由yy2＝＝k8xx， －4＋1， 消去 x 得 ky2－8y－32k＋8＝0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数关系得 y1＋y2＝8k. 又因为 Q 是 AB 中点，所以y1＋2 y2＝1， 所以8k＝2，所以 k＝4. 所以弦 AB 所在直线方程为 4x－y－15＝0
[解析] 焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝－1 由题设知直线 AB 的方程为 y＝x－1 代入抛物线方程 y2＝4x.整理，得 x2－6x＋1＝0
方法二：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝6，x1x2＝1. |AB|＝ 2|x1－x2|＝ 2 x1＋x22－4x1x2 ＝ 2× 62－4＝8
[评析] (1)此题也可以求出两交点坐标，再根据两 点间的距离公式列出等式求出 k，但是计算复杂，一般 不采用．
(2)也可以利用弦长公式|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|来求， 这个方法普遍适用于求二次曲线的弦长．
(3)因为本题的弦是过焦点的，是特殊位置的弦，所 以结合抛物线的定义得到|AB|＝x1＋x2＋p，解起来更简 捷．
对称性 关于x轴对称
关于x轴对称
关于y轴对称
顶点
焦半径
焦点弦 的长度
（0,0）
p 2
x0
p x1 x2
（0,0）
p 2
x0
p (x1 x2 )
（0,0）
p 2
y0
p y1 y2
关于y轴对称
（0,0）
p 2
y0
p ( y1 y2 )
图象法: 直线与抛物线位置关系
相离
相交与 y
一个点
O
[分析] 利用点斜式方程及焦半径公式求解．
【例3】 已知过抛物线y2＝4x的焦点F的弦长为36. 求弦所在直线的方程．
[解析] 弦所在的直线经过焦点(1,0)，只需求出直线的斜率， ∵弦长为36，∴可以判断直线的斜率是存在的且不为0.
由题意可设弦所在的直线的斜率为k 且与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点． ∵抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，
由yy2－＝24＝x，kx－1， 得 ky2－4y＋8－4k＝0.
由根与系数关系可知 2＋y1＝4k，所以 y1＝－2＋4k.
同理可得 y2＝－2－4k，所以 y1＋y2＝－4. kAB＝xy22－－xy11＝14yy222－ －14y1y21＝y2＋4 y1＝－1.
弦长问题 【例3】 已知过抛物线y2＝4x的焦点F的弦长为36. 求弦所在直线的方程．
由yy＝ 2＝k4xx＋ ，1， 得 k2x2＋2(k2－2)x＋k2＝0. 因为直线与抛物线交于 M，N 两点，所以 Δ＝4(k2 －2)2－4k2·k2>0，即 k2<1，故－1<k<1. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，抛物线的焦点为 F(1,0)．
【例 2】 过抛物线 y2＝4x 的准线与对称轴的交点作直 线，交抛物线于 M，N 两点，问该直线的倾斜角的正切值为 多少时，以线段 MN 为直径的圆经过抛物线的焦点？
斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线 相交于两点A，B，求线段AB的长．
[解析] 焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝－1 由题设知直线 AB 的方程为 y＝x－1 代入抛物线方程 y2＝4x.整理，得 x2－6x＋1＝0
方法三：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝6. 由抛物线定义知 |AF|＝|AA′|＝x1＋1，|BF|＝|BB′|＝x2＋1. 所以|AB|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8
【例 2】 过抛物线 y2＝4x 的准线与对称轴的交点作直
线，交抛物线于 M，N 两点，问该直线的倾斜角的正切值为
多少时，以线段 MN 为直径的圆经过抛物线的焦点？
因为以线段 MN 为直径的圆经过抛物线的焦点，所以 MF
⊥NF.所以x1y－1 1 ·x2y－2 1＝－1，即 y1y2＋x1x2－(x1＋x2)＋1＝0. 又 x1＋x2＝－2k2k－2 2，x1x2＝1，y21y22＝16x1x2＝16 且 y1，
整理，得 x2－6x＋1＝0. 所以 x0＝x1＋2 x2＝3，y0＝x0－1＝2. 所以中点为 P(3,2)．
直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得线段的中点 坐标是________．
方法二：设直线 y＝x－1 与抛物线 y2＝4x 交于点 A(x1， y1)，B(x2，y2)，其中点为 P(x0，y0)．则 y22＝4x2，y21＝4x1， y22－y21＝4x2－4x1
两式相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)． 又 x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，则 k＝xy22－ －yx11＝y1＋8 y2＝4， 所以所求直线 AB 的方程为 y－1＝4(x－4)， 即 4x－y－15＝0
【例1】 过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被Q 平分，求AB所在直线的方程．
[评析] 涉及直线和抛物线相交，一般将直线方程 和抛物线方程联立，利用判别式和根与系数关系 求解有关问题．
变式训练
抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P(1,2)， A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程； (2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y1＋y2 的 值及直线 AB 的斜率．
由yy2＝＝k4xx，－1， 整理得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0
∴x1＋x2＝2kk2＋2 4.∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝2k2k＋2 4＋2
又|AB|＝36，
∴2k2k＋ 2 4＋2＝36
解得
k2＝18，即
k＝±
2 4
∴所求直线方程为 y＝ 42(x－1)或 y＝－ 42(x－1)
[分析] 直线与抛物线相交，应将直线方程代入抛 物线方程，此时 Δ>0，同时注意韦达定理的使用．
【例 2】 过抛物线 y2＝4x 的准线与对称轴的交点作直 线，交抛物线于 M，N 两点，问该直线的倾斜角的正切值为 多少时，以线段 MN 为直径的圆经过抛物线的焦点？
[解析] 抛物线 y2＝4x 的准线与对称轴的交点为(－ 1,0)．设直线 MN 的方程为 y＝k(x＋1)．
抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P(1,2)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上． (1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
y2＝4x
(2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y1＋y2 的
值及直线 AB 的斜率．
(2)由已知条件可知kPA＝－kPB
设直线PA的方程为y－2＝k(x－1)，则直线PB的方程为y－2＝－k(x－1)
中点弦问题 【例1】 过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被Q
平分，求AB所在直线的方程．
[分析] 中点弦问题用点差法或设直线方程， 代入抛物线方程，利用韦达定理解决．
[评析] 有关弦中点轨迹、中点弦所在直线的方程， 中点坐标的问题，有时采用“点差法”，可优化解 题过程，简化运算．
变式训练
[解析] 抛物线 y2＝4x 的准线与对称轴的交点为(－ 1,0)．设直线 MN 的方程为 y＝k(x＋1)．
由yy2＝＝k4xx，＋1， 得 k2x2＋2(k2－2)x＋k2＝0. 因为直线与抛物线交于 M，N 两点，所以 Δ＝4(k2 －2)2－4k2·k2>0，即 k2<1，故－1<k<1. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，抛物线的焦点为 F(1,0)．
平分，求AB所在直线的方程．
[分析] 中点弦问题用点差法或设直线方程， 代入抛物线方程，利用韦达定理解决．
【例1】 过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被Q 平分，求AB所在直线的方程．
[解析] 方法一：设以 Q 为中点的弦 AB 端点坐标 为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 y21＝8x1，y22＝8x2，
变式训练
斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线 相交于两点A，B，求线段AB的长．
斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线 相交于两点A，B，求线段AB的长．
[解析] 焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝－1 由题设知直线 AB 的方程为 y＝x－1 代入抛物线方程 y2＝4x.整理，得 x2－6x＋1＝0
方程 图
形 范围
y2 = 2px （p＞0）
l yP x0, y0
y2 = -2px （p＞0）
y
l
x2 = 2py （p＞0）
P x0, yy0 F
x2 = -2py （p＞0）
y
l
OF x F O x
P x0, y0
O
x lOFP源自xx0 ,y0
x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 x∈R y≤0
y2 同号，所以2k2k－2 2＝－6.
解得 k2＝12.
即该直线的倾斜角的正切值为 22或－ 22时，以线段 MN 为直径的圆经过抛物线的焦点．
【例 2】 过抛物线 y2＝4x 的准线与对称轴的交点作直 线，交抛物线于 M，N 两点，问该直线的倾斜角的正切值为 多少时，以线段 MN 为直径的圆经过抛物线的焦点？
直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得线段的中点 坐标是________．
直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得线段的中点 坐标是________．
[解析] 方法一：设直线 y＝x－1 与抛物线 y2＝4x 交于
点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中点为 P(x0，y0)．
由题意得yy＝ 2＝x4－x，1， 消去 y，得(x－1)2＝4x，
方法一：解上述方程得 x1＝3＋2 2，x2＝3－2 2，分别代入直线方程得 y1＝2＋2 2， y2＝2－2 2，即 A，B 的坐标分别为(3＋2 2，2＋2 2)， (3－2 2，2－2 2)．
所以|AB|＝ 4 22＋4 22＝8
斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线 相交于两点A，B，求线段AB的长．
相切
x
相交于 两个点
代数法: 判断直线与抛物线位置关系的操作流程图
把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程
直线与抛物线的 对称轴平行
相交（一个交点）
直线平行于对称轴时
得到一元二次方程 计算判别式
>0 =0 <0 相交 相切 相离 两点
中点弦问题 【例1】 过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被Q