临界阻尼计算公式推导过程

临界阻尼计算公式推导过程
临界阻尼是指在其中一振动系统中，当系统受到外界激励时，使得系统不再发生振动，而是逐渐衰减至静止的阻尼状况。

假设我们有一个振动系统，其运动方程可以表示为：
$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F(t)$
其中，m表示系统的质量，c表示系统的阻尼系数，k表示系统的弹性系数，x表示系统的位移，F(t)表示外力的激励函数。

为了研究临界阻尼，我们可以假设系统在临界阻尼的情况下，其解可以写成$x(t)=Ae^{-\alpha t}$的形式，其中A和α为待定常数。

将解代入运动方程可得：
$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0$
对方程两边求导可得：
$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0$
由于$x(t)=Ae^{-\alpha t}$，求导得：
$\dot{x}=-A\alpha e^{-\alpha t}$和$\ddot{x}=A\alpha^{2}e^{-\alpha t}$
将上述结果代入运动方程可得：
$m(A\alpha^{2}e^{-\alpha t})+c(-A\alpha e^{-\alpha
t})+k(Ae^{-\alpha t})=0$
化简上式可得：
$-mA\alpha^{2}e^{-\alpha t}-cA\alpha e^{-\alpha t}+kAe^{-
\alpha t}=0$
再次化简可得：
$Ae^{-\alpha t}(-m\alpha^{2}-c\alpha+k)=0$
由于$e^{-\alpha t}$始终不等于零，因此方程中括号内的项应该等于零，即：
$m\alpha^{2}+c\alpha-k=0$
这是一个二次方程，我们可以使用求根公式求解α的值：
$\alpha=\frac{-c\pm \sqrt{c^2-4mk}}{2m}$
在临界阻尼的情况下，方程的解中的α应该取实根，也就是$c^2-4mk=0$。

将$c^2-4mk=0$代入求根公式可得：
$\alpha=\frac{-c}{2m}$
临界阻尼达到的条件是$c^2=4mk$，即阻尼系数的平方等于弹性系数与质量的乘积的4倍。

这就是临界阻尼的计算公式的推导过程。

临界阻尼的特点是系统收敛到零的速度最快，当阻尼系数超过临界阻尼时，系统则会过度阻尼，而在阻尼系数小于临界阻尼时，则会出现振荡现象。

这对于许多实际工程应用具有重要的意义。