【初三数学】长沙市九年级数学上(人教版)第24章圆单元测试题(含答案解析)

人教新版九年级上学期第24章《圆》单元测试卷（含详解）
一．选择题
1．下随有关圆的一些结论：
①任意三点确定一个圆；
②相等的圆心角所对的弧相等；
③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，
④圆内接四边形对角互补
其中错误的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝140°，则∠D的度数是（）
A．20°B．30°C．40°D．70°
3．一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为8cm，则该圆的半径是（）A．5cm或11cm B．2.5cm
C．5.5cm D．2.5cm或5.5cm
4．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝65°，则∠DAO+∠DCO ＝（）
A．90°B．110°C． 120°D．165°
5．如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝，则图中阴影部分的面积是（）
A．πB． +C．D． +
6．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值为（）
A．1 B．C．D．
7．如图所示，已知AB为⊙O的弦，且AB⊥OP于D，PA为⊙O的切线，A为切点，AP＝6cm，OP＝4cm，则BD的长为（）
A． cm B．3cm C． cm D．2cm
8．如图，在菱形ABCD中，以AB为直径画弧分别交BC于点F，交对角线AC于点E，若AB ＝4，F为BC的中点，则图中阴影部分的面积为（）
A．B．C．D．
9．如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是（）
A．20°B．70°C．30°D．90°
10．如图，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA交⊙O的切线BC于点C，交AB于点D．已知∠OAB＝20°，则∠OCB的度数为（）
A．20°B．30°C．40°D．50°
11．如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD∥BC，以点B为圆心，BA为半径的圆弧与BC交于点E，四边形AECD是平行四边形，AB＝3，则的弧长为（）
A．B．πC．D．3
12．如图，⊙O的半径为4，A、B、C、D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF的值是（）
A．4 B．2C．4D．值不确定
二．填空题
13．把一个半径为12，圆心角为150°的扇形围成一个圆锥（按缝处不重叠），那么这个圆锥的高是．
14．（1）已知一个直角三角形的面积为12cm2，周长为12cm，那么这个直角三角形外接圆的半径是cm，内切圆半径是cm．
（2）等边△ABC的边长为10cm，则它的外接圆的半径是cm，内切圆半径是cm．
15．在圆内接四边形ABCD中，弦AB＝AD，AC＝2016，∠ACD＝60°，则四边形ABCD的面积为．
16．已知⊙O的半径为1cm，弦AB＝cm，AC＝cm，则∠BAC＝．
17．如图，CD是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧AD的中点，P点为直线CD 上的一个动点，当CD＝6时，AP+BP的最小值为．
三．解答题
18．AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝30°．（1）求∠B的度数；
（2）若PC＝2，求BC的长．
19．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC相交于点D，E，BD＝CD，过点D 作⊙O的切线交边AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为2，CF＝1，求的长（结果保留π）．
20．如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．
（1）求证：DG∥CA；
（2）求证：AD＝ID；
（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．
21．某隧道施工单位准备在双向道路中间全程增加一个宽为1米的隔离带，已知隧道截面是一个半径为4米的半圆形，点O是其圆心，AE是隔离带截面，问一辆高3米，宽1.9米的卡车ABCD能通过这个隧道吗？请说明理由．
22．如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，E为⊙O上的一点，AC＝EC，延长CE交AB的延长线于点D．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若OF⊥AE，OF＝1，∠OAF＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2．
（1）求直径AB的长；
（2）求阴影部分图形的周长和面积．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E为的中点，CE交AB于点H，且AH＝AC，AF平分线∠CAH．
（1）求证：BE∥AF；
（2）若AC＝6，BC＝8，求EH的长．
25．如图所示，△ABC内接于⊙O，AC是直径，D在⊙O上，且AC平分∠BCD，AE∥BC，交CD于E，F在CD的延长线上，且AE＝EF．连接AF．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）连接BF交AE于G，若AB＝12，AE＝13，求AG的长．
参考答案
一．选择题
1．解：①任意三点确定一个圆；错误，应该的不在同一直线上的三点可以确定一个圆；
②相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中；
③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，此弦不是直径；
④圆内接四边形对角互补；正确；
故选：C．
2．解：∵∠AOC＝140°，
∴∠BOC＝40°，
∵∠BOC与∠BDC都对，
∴∠D＝∠BOC＝20°，
故选：A．
3．解：当点P在圆内时，最近点的距离为3cm，最远点的距离为8cm，则直径是11cm，因而半径是5.5cm；
当点P在圆外时，最近点的距离为3cm，最远点的距离为8m，则直径是5cm，因而半径是
2.5cm．
故选：D．
4．解：∵OA＝OB＝OC，
∴∠ABO＝∠BAO，∠OBC＝∠OCB，
∵∠ABC＝65°＝∠ABO+∠OBC，
∴∠BAO+∠BCO＝65°，
∵∠ADC＝65°，
∴∠DAO+∠DCO
＝360°﹣（∠ADC+∠BAO+∠BCO+∠ABC）
＝360°﹣（65°+65°+65°）
＝165°，
故选：D．
5．解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝BC＝，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴OC⊥AB，
∴△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，
∴S
△AOC ＝S
△BOC
，OA＝，
∴S
阴影部分＝S
扇形OAC
＝＝π．
故选：A．
6．解：∵正六边形的任一内角为120°，∴∠1＝30°（如图），
∴a＝2cos∠1＝，
∴a＝2．
故选：D．
7．解：∵PA为⊙O的切线，A为切点，∴∠PAO＝90°，
在直角△APO中，OA＝＝2，∵AB⊥OP，
∴AD＝BD，∠ADO＝90°，
∴∠ADO＝∠PAO＝90°，
∵∠AOP＝∠DOA，
∴△APO∽△DAO，
∴＝，即＝，
解得：AD＝3（cm），
∴BD＝3cm．
故选：B．
8．解：如图，取AB的中点O，连接AF，OF．∵AB是直径，
∴∠AFB＝90°，
∴AF⊥BF，∵CF＝BF，
∴AC＝AB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AE＝EC，
易证△CEF≌△BOF，
∴S
阴＝S
扇形OBF
＝＝，
故选：D．
9．解：连接AC，如图，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵∠ACB＝∠ADB＝70°，
∴∠ABC＝90°﹣70°＝20°．故答案为20°．
故选：A．
10．解：连接OB，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝20°，
∴∠DBC＝70°，
∵∠AOC＝90°，
∴∠ODA＝∠BDC＝70°，
∴∠OCB＝40°，
故选：C．
11．解：∵四边形AECD是平行四边形，
∴AE＝CD，
∵AB＝BE＝CD＝3，
∴AB＝BE＝AE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴的弧长为＝π，
故选：B．
12．解：当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF是定值．理由：连接OA、OB、OC、OD，如图：
∵DG与⊙O相切，
∴∠GDA＝∠ABD．
∵∠ADG＝30°，
∴∠ABD＝30°．
∴∠AOD＝2∠ABD＝60°．
∵OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形．
∴AD＝OA＝4．
同理可得：BC＝4．
∵PE∥BC，PF∥AD，
∴△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA．
∴＝，＝．
∴+＝+＝1．
∴+＝1．
∴PE+PF＝4．
∴当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF＝4．
故选：A．
二．填空题（共5小题）
13．解：设这个圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2πr＝，解得r＝5，
所以圆锥的高＝＝．
故答案为．
14．解：（1）如果设这个直角三角形的直角边是a，b，斜边是c，那么由题意得：S
＝ab＝12，a+b+c＝12，
△
∴ab＝24，a+b＝12﹣c，
根据勾股定理得
a2+b2＝c2，
（a+b）2﹣2ab＝c2，
（12﹣c）2﹣48＝c2，
解得c＝，
所以直角三角形外接圆的半径是cm；
设内切圆的半径是r，则×12r＝12，
解得：r＝cm．
故答案是：，；
（2）连接OC和OD，如图：
由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点
所以OD⊥BC，∠OCD＝30°，OD即为圆的半径．
又由BC＝10cm，则CD＝5cm
在直角三角形OCD中：＝tan30°
代入解得：OD＝CD＝，
则CO＝×10＝；
故答案为：，．
15．解：过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．
∵∠ADF+∠ABC＝180（圆的内接四边形对角之和为180），∠ABE+∠ABC＝180，∴∠ADF＝∠ABE．
∵∠ABE＝∠ADF，AB＝AD，∠AEB＝∠AFD，
∴△AEB≌△AFD，
∴四边形ABCD的面积＝四边形AECF的面积，AE＝AF．
又∵∠E＝∠AFC＝90°，AC＝AC，
∴Rt△AEC≌Rt△AFC（HL）．
∵∠ACD＝60°，∠AFC＝90°，
∴∠CAF＝30°，
∴CF＝1008，AF＝，
＝2×CF×AF＝88144．
∴四边形ABCD的面积＝2S
△ACF
故答案为：88144．
16．解：当圆心O在弦AC与AB之间时，如图（1）所示，
过O作OD⊥AC，OE⊥AB，连接OA，
由垂径定理得到：D为AB中点，E为AC中点，
∴AE＝AC＝cm，AD＝AB＝cm，
∴cos∠CAO＝，cos∠BAO＝＝，
∴∠CAO＝45°，∠BAO＝30°，
此时∠BAC＝∠CAO+∠BAO＝45°+30°＝75°；
当圆心在弦AC与AB一侧时，如图（2）所示，
同理得：∠BAC＝∠CAO﹣∠BAO＝45°﹣30°＝15°，
综上，∠BAC＝15°或75°．
故答案为：15°或75°．
17．解：作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于点P，则PA+PB最小，连接OA′，AA′．
∵点A与A′关于CD对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠A′OD＝∠AOD＝60°，PA＝PA′，∵点B是弧AD的中点，
∴∠BOD＝30°，
∴∠A′OB＝∠A′OD+∠BOD＝90°，
又∵OA＝OA′＝3，
∴A′B＝．
∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B＝3．
故答案为：3．
三．解答题（共8小题）
18．解：（1）∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴∠P＝30°，
∴∠POA＝60°，
∴∠B＝∠POA＝×60°＝30°，
（2）如图，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°且∠B＝30°，
∴BC＝AC，
设OA＝OB＝OC＝x，
在Rt△AOP中，∠P＝30°，
∴PO＝2OA，
∴2+x＝2x，x＝2．即OA＝OB＝2．
又在Rt△ABC中，∠B＝30°，
∴AC＝AB＝×4＝2，
∴BC＝tan60°•AC＝AC＝2．
19．（1）证明：连接OD，如图所示．∵DF是⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥DF，
∴∠ODF＝90°．
∵BD＝CD，OA＝OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴∠CFD＝∠ODF＝90°，
∴DF⊥AC．
（2）解：连接BE，
∵AB是直径，
∴BE⊥AC，
∵DF⊥AC，
∴＝＝，
∵FC＝1，
∴EC＝2，
∵OD＝AC＝2，
∴AC＝4，
∴AE＝EC＝2，
∴AB＝BC，
∵AB＝AC＝4，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵OD∥AC，
∴∠BOD＝∠BAC＝60°，
∴的长：＝．
20．（1）证明：∵点I是△ABC的内心，∴∠2＝∠7，
∵DG平分∠ADF，
∴∠1＝∠ADF，
∵∠ADF＝∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴DG∥AC；
（2）证明：∵点I是△ABC的内心，
∴∠5＝∠6，
∵∠4＝∠7+∠5＝∠3+∠6，
即∠4＝∠DAI，
∴DA＝DI；
（3）解：∵∠3＝∠7，∠AED＝∠BAD，∴△DAE∽△DBA，
∴AD：DB＝DE：DA，即AD：9＝4：AD，∴AD＝6，
∴DI＝6，
∴BI＝BD﹣DI＝9﹣6＝3．
21．解：如图所示：
连接OC，
∵OA＝AE＝0.5m，
∴OB＝1.9+0.5＝2.4m，
∴BC＝＝＝3.2＞3m ∴一辆高3米，宽1.9米的卡车能通过隧道．
22．（1）证明：连接OE，
∵AC＝EC，OA＝OE，
∴∠CAE＝∠CEA，∠FAO＝∠FEO，
∵AC⊥AB，
∴∠CAD＝90°，
∴∠CAE+∠EAO＝90°，
∴∠CEA+∠AEO＝90°，
即∠CEO＝90°，
∴OE⊥CD，
∴CE为⊙O的切线；
（2）解：∵∠OAF＝30°，OF＝1
∴AO＝2；
∴AF＝即AE＝；
∴；
∵∠AOE＝120°，AO＝2；
∴；
∴S
＝．
阴影
23．解：（1）设CD交AB于E．
∵∠BOC＝2∠CDB，∠CDB＝30°，∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠CBO＝60°，
∵CD⊥AB，CD＝2，
∴CE＝ED＝，
∴OC＝EC÷os30°＝2，
∴AB＝2OC＝4．
（2）连接BC，OD，
∵∠CBO＝∠BOD＝60°，
∴BC∥OD，
∴S
△BCD ＝S
△BCO
，
∴S
阴＝S
扇形OBC
＝＝π，
阴影部分的周长＝2+2+＝2+2+π．24．（1）证明：
∵AH＝AC，AF平分线∠CAH
∴∠HAF＝∠CAF，AF⊥EC，
∴∠HAF+∠ACH＝90°
∵∠ACB＝90°，即∠BCE+∠ACH＝90°，∴∠HAF＝∠BCE，
∵E为的中点，
∴，
∴∠EBD＝∠BCE，
∴∠HAF＝∠E BD，
∴BE∥AF；
（2）解：连接OH、CD．
∵BC为直径，
∴∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝，
∵AH＝AC＝6
∴BH＝AB﹣AH＝10﹣6＝4，
∵∠EBH＝∠ECB，∠BEH＝∠CEB
∴△EBH∽△ECB，
∴，
EB＝2EH，
由勾股定理得BE2+EH2＝BH2，
即（2EH）2+EH2＝42，
∴EH＝．
25．证明：（1）∵AC平分∠BCD
∴∠ACB＝∠ACD，
∵AE∥BC
∴∠ACB＝∠CAE＝∠ACD
∴AE＝CE，且AE＝EF
∴AE＝CE＝EF
∴△CAF是直角三角形
∴∠CAF＝90°
∴AF是⊙O的切线
（2）连接AD，
∵AC是直径
∴∠ABC＝90°＝∠ADC
∵∠ACB＝∠ACD，AC＝AC，∠ABC＝∠ADC＝90°
∴△ABC≌△ADC（AAS）
∴AB＝AD＝12，BC＝CD
在Rt△AED中，DE＝＝5
∵AE＝CE＝EF＝13
∴CF＝2EF，CD＝BC＝CE+DE＝18，
∵AE∥BC
∴＝
∴EG＝9
∴AG＝AE﹣EG＝13﹣9＝4
人教版九年级数学（上）第24章《圆》单元检测题
一．选择题
1．如图，AO是圆锥的高，圆锥的底面半径OB＝0.7，AB的长为2.5，则AO的长为（）
A．2.4 B．2.2 C．1.8 D．1.6
2．如图，OA为⊙O的半径，点P为OA的中点，Q为⊙O上的点，且∠APQ＝135°，若OA＝2，则PQ的长度为（）
A．B．C．3D．
3．若⊙O的半径为5cm，OA＝4cm，则点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在⊙O内B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外D．内含
4．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD＝130°，则∠BOD＝（）
A．50°B．80°C．100°D．130°
5．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，若∠BOC＝50°，则∠A的度数是（）
A．25°B．20°C．80°D．100°
6．下列命题错误的是（）
A．经过平面内三个点有且只有一个圆
B．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
C．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
D．圆内接菱形是正方形
7．如图，A、B、C是半径为4的⊙O上的三点．如果∠ACB＝45°，那么的长为（）
A．πB．2πC．3πD．4π
8．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，CM是它的中线，以C为圆心，5cm为半径作⊙C，则点M与⊙C的位置关系为（）
A．点M在⊙C上B．点M在⊙C内
C．点M在⊙C外D．点M不在⊙C内
9．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，分别以点A，D为圆心，以AB，DC为半径作扇形ABF，扇形DCE．则图中阴影部分的面积是（）
A．6﹣πB．6﹣πC．12﹣πD．12﹣π
10．如图，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，PA，PC均是⊙O的切线，若∠B＝40°，则∠P 的度数是（）
A．80°B．90°C．100°D．120°
11．如图，⊙O直径是10，弦AB长为8，M是AB上的一个动点，则OM的长度不可能是（）
A．5 B．4 C．3 D．2
12．如图，⊙C过原点，且与坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（﹣3，0），且M是第三象限内⊙C上一点，则∠BMO的度数为（）
A．100°B．110°C．120°D．130°
二．填空题
13．在边长为的正方形OABC中，D为边BC上一点，且CD＝1，以O为圆心，OD为半径作圆，分别与OA、OC的延长线交于点E、F，则阴影部分的面积为．
14．如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是的中点，P是直径AB上的一动点，若MN＝1，则△PMN周长的最小值为．
15．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝8，OE＝3，则⊙O的半径为．
16．如图，正方形ABCD的边长为1，分别以顶点A、B、C、D为圆心，1为半径画弧，四条弧交于点E、F、G、H，则图中阴影部分的外围周长为．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是（结果保留π）．
18．在⊙O中，直径AB＝4，PD与⊙O相切于点C，交AB的延长线与点D，且∠PDO＝30°，则劣弧的弧长为．
三．解答题
19．如图，CD是⊙O的直径，若AB⊥CD，垂足B．
（1）若∠OAB＝40°，求∠C度数；
（2）若∠C＝30°，AC＝4，求⊙O的直径．
20．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O上一点，连接BP并延长，交直线l于点C，使得AB＝AC．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）PC＝2，OA＝4，求⊙O的半径．
21．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO＝∠D；
（2）若CD＝，AE＝2，求⊙O的半径．
22．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC＝CD，∠ACD＝120°．（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
23．如图，AB是⊙O的直径，AE交⊙O于点F，且与⊙O的切线CD互相垂直，垂足为D．（1）求证：∠EAC＝∠CAB；
（2）若CD＝4，AD＝8，求⊙O的半径．
24．如图，已知四边形ADBC是⊙O的内接四边形，AB是直径，AB＝10cm，BC＝8cm，CD平分∠ACB．
（1）求AC与BD的长；
（2）求四边形ADBC的面积．
25．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，点P是CD延长线上一点，连接PB、BD．（1）若BD平分∠ABP，求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接AP，延长BD交AP于点F，若BD⊥AP，AB＝，OP＝，求OE的长度．
参考答案
一．选择题
1．解：由勾股定理得，AO＝＝2.4，故选：A．
2．解：作OE⊥PQ于E，连接OQ．
∵AP＝OP＝1，∠APQ＝135°，
∴∠OPE＝45°，
∴OE＝PE＝，
在Rt△OQE中，
QE＝＝＝，
∴PQ＝PE+QE＝+＝，
故选：D．
3．解：∵⊙O的半径为5cm，OA＝4cm，
∴点A与⊙O的位置关系是：点A在⊙O内．
故选：A．
4．解：
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝130°，∴∠A+∠BCD＝180°，
∴∠A＝50°，
由圆周角定理得，2∠A＝∠BOD＝100°，
故选：C．
5．解：∵∠BOC＝50°，
∴∠A＝∠BOC＝25°．
故选：A．
6．A、当三点在一直线上时，三点不共圆；故本项错误，符合题意；
B、三角形的外心是三角形外接圆的圆心，即三角形三边垂直平分线的交点；它到三角形
三个顶点的距离都相等；故本选项正确，不符合题意；
C、因为在同圆或等圆中圆心角相等，弧相等，弦相等，弦心距相等，在这几组相等关系
中，只要有一组成立，则另外几组一定成立；故本选项正确，不符合题意；
D、因为在菱形中只有正方形外接圆；故本项正确，不符合题意；
故选：A．
7．解：如图，连接OA、OB．
∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝4，
∴的长是：＝2π．
故选：B．
8．解：∵由勾股定理得AB＝＝10cm，
∵CM是AB的中线，
∴CM＝5cm，
∴d＝r，
所以点M在⊙C上，
故选：A．
9．解：∵正六边形ABCDEF的边长为2，
∴正六边形ABCDEF的面积是：＝6×＝6，∠FAB＝∠EDC ＝120°，
∴图中阴影部分的面积是：6﹣＝，
故选：B．
10．解：连接OA，
∵∠B＝40°，
∴∠AOC＝2∠B＝80°，
∵PA，PC均是⊙O的切线，
∴∠OAP＝∠OCP＝90°，
∴∠AOC+∠P＝180°，
∴∠P＝100°，
故选：C．
11．解：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，由垂线段最短可知当M于点D重合时OM最短，当OM是半径时最长，
∵，⊙O的直径为10，
∴OA＝5，
∵弦AB的长为8，OD⊥AB，
∴AD＝AB＝4，
在Rt△OAD中，
OD＝＝＝3，
∴当OM＝3时最短，
∴OM长的取值范围是：3≤OM≤5．
∴OM的长度不可能是2．
故选：D．
12．解：∵点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（﹣3，0），
∴OA＝3，OB＝3，
∴tan∠BAO＝＝，
∴∠BAO＝60°，
∵四边形ABMO是圆内接四边形，
∴∠BMO＝120°，
故选：C．
二．填空题（共6小题）
13．解：在Rt△OCD中，OD＝＝＝2，∴∠COD＝30°，
在Rt△COD和Rt△AOG中，
，
∴Rt△COD≌Rt△AOG（HL）
∴AG＝CD＝1，∠AOG＝∠COD＝30°，
∴∠DOG＝30°，
∴阴影部分的面积＝×﹣×1××2﹣＝3﹣﹣，故答案为：3﹣﹣．
14．解：作点N关于AB的对称点N′，连接OM、ON、ON′、MN′，
则MN′与AB的交点即为PM+PN的最小时的点，PM+PN的最小值＝MN′，
∵∠MAB＝20°，
∴∠MOB＝2∠MAB＝2×20°＝40°，
∵N是弧MB的中点，
∴∠BON＝∠MOB＝×40°＝20°，
由对称性，∠N′OB＝∠BON＝20°，
∴∠MON′＝∠MOB+∠N′OB＝40°+20°＝60°，∴△MON′是等边三角形，
∴MN′＝OM＝OB＝AB＝＝4，
∴△PMN周长的最小值＝1+4＝5，
故答案为：5．
15．解：连接OD，
∵CD⊥AB于点E，直径AB过O，
∴DE＝CE＝CD＝×8＝4，∠OED＝90°，
由勾股定理得：OD＝＝＝5，即⊙O的半径为5．
故答案为：5．
16．解：如图，连接AF、DF，
由圆的定义，AD＝AF＝DF，
所以，△ADF是等边三角形，
∵∠BAD＝90°，∠FAD＝60°，
∴∠BAF＝90°﹣60°＝30°，
同理，弧DE的圆心角是30°，
∴弧EF的圆心角是90°﹣30°×2＝30°，
∴＝，
由对称性知，图中阴影部分的外围四条弧都相等，
所以，图中阴影部分的外围周长＝×4＝π．故答案为：π．
17．解：∵在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，
∴S
阴影＝S
矩形
﹣S
四分之一圆
＝2×3﹣π×22＝6﹣π，
故答案为：6﹣π
18．解：∵PD切⊙O于C，
∴∠OCD＝90°，
∵∠PDO＝30°，
∴∠COD＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∵直径AB＝4，
∴半径是2，
∴劣弧的弧长是＝，故答案为：．
三．解答题（共7小题）
19．解：（1）∵AB⊥CD，∠OAB＝40°，∴∠AOB＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠C＝∠CAO，
∴∠AOB＝2∠C＝50°，
∴∠C＝25°；
（2）连接AD，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∵∠C＝30°，AC＝4，
∴CD＝AC＝2．
∴⊙O的直径是2．
20．（1）证明：连结OB，如图，
∵AB＝AC，
∴∠1＝∠2，
∵OA⊥AC，
∴∠2+∠3＝90°，
∵OB＝OP，
∴∠4＝∠5，
而∠3＝∠4，
∴∠5+∠2＝90°，
∴∠5+∠1＝90°，即∠OBA＝90°，
∴OB⊥AB，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：作OH⊥PB于H，如图，则BH＝PH，
设⊙O的半径为r，则PA＝OA﹣OP＝4﹣r，
在Rt△PAC中，AC2＝PC2﹣PA2＝（2）2﹣（4﹣r）2，在Rt△OAB中，AB2＝OA2﹣OB2＝42﹣r2，
而AB＝AC，
∴（2）2﹣（4﹣r）2＝42﹣r2，解得r＝1，
即⊙O的半径为1．
21．（1）证明：如图．
∵OC＝OB，
∴∠BCO＝∠B．
∵∠B＝∠D，
∴∠BCO＝∠D；
（2）∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，
∴CE＝CD＝×4＝2，
在Rt△OCE中，OC2＝CE2+OE2，
设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝OA﹣AE＝r﹣2，∴r2＝（2）2+（r﹣2）2，
解得：r＝3，
∴⊙O的半径为3．
22．证明：（1）连接OC，
∵CD＝AC，
∴∠CAD＝∠D，
又∵∠ACD＝120°，
∴∠CAD＝（180°﹣∠ACD）＝30°，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠1＝30°，
∴∠COD＝60°，
又∵∠D＝30°，
∴∠OCD＝180°﹣∠COD﹣∠D＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵∠A＝30°，
∴∴∠1＝2∠A＝60°∠1＝2∠A＝60°．
∴∴，
在Rt△OCD中，．
∴．∴图中阴影部分的面积为2﹣π．
23．（1）证明：连接OC．
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OC，
又∵CD⊥AE，
∴OC∥AE，
∴∠1＝∠3，
∵OC＝OA，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
即∠EAC＝∠CAB，
（2）解：①连接BC．
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AE于点D，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°
∵∠1＝∠2，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，
∵AC2＝AD2+CD2＝42+82＝80，
∴AB＝＝＝10，
∴⊙O的半径为10÷2＝5．
24．解：（1）∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝＝6（cm），
∵CD平分∠ACB，
∴BD＝AD＝AB＝5（cm）；
（2）四边形ADBC的面积＝△ABC的面积+△ADB的面积＝×6×8+×5×5＝49（cm2）．
25．（1）证明：连接BC，BO，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠DBE＝∠C＝90°﹣∠CDB，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C，
∵∠PBD＝∠EBD，
∴∠PBD＝∠OBC，
∴∠PBO＝90°，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，BO，
∵CD是⊙O的直径，
∴BC⊥BD，
∵BD⊥AP，
∴AP∥BC，
∴∠C＝∠APC，
∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴AE＝BE，
∴AP＝BP，
∴∠APC＝∠BPC，
∴∠C＝∠BPC，
∴CE＝PE，
设OE＝x，CO＝BO＝r，
∴r+x＝﹣x，
∴r＝﹣2x，
∵AB＝，
∴BE＝AB＝，
在Rt△BEO中，BO2＝OE2+BE2，即（﹣2x）2＝x2+（）2，解得：x＝，x＝（不合题意，舍去），
∴OE＝．
人教版九年级数学上册第二十四章圆单元测试（含答案）
一、单选题
1．下列命题：①直径相等的两个圆是等圆；②等弧是长度相等的弧；③圆中最长的弦是通过圆心的弦； ④一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧．其中真命题是 ( ) A ．①③ B ．①③④ C ．①②③ D ．②④ 2．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为P ．若CD ＝AP ＝8，则⊙O 的直径为（ ）
A ．10
B ．8
C ．5
D ．3
3．如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD 为8m ，桥拱半径OC 为5m ，则水面AB 宽为（ ）
A.4m
B.5m
C.6m
D.8m
4．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知4EF CD ==，则球的半径长是（ ）
A ．2
B ．2.5
C ．3
D ．4
5．如图，C 、D 为半圆上三等分点，则下列说法：①AD =CD =BC ；②∠AOD ＝∠DOC ＝∠BOC ；③AD ＝CD ＝OC ；④△AOD 沿OD 翻折与△COD 重合．正确的有（ ）
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
6．下列各角中，是圆心角的是（）
A. B. C. D.
7．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是弧AC的中点，则∠D的度数是()
A．60°B．35°C．30.5°D．30°
8．如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是60°，则∠ACD的度数为( )
A．60°B．30°C．120°D．45°
9．已知⊙O的半径是4，OP＝3，则点P与⊙O的位置关系是（）
A．点P在圆内B．点P在圆上
C．点P在圆外D．不能确定
10．如图，AB是⊙O 的直径，BC是⊙O 的切线，若OC=AB，则∠C的度数为（）
A ．15°
B ．30°
C ．45°
D ．60°
11．如图，在平行四边形ABCD 中，∠A ＝2∠B ，⊙C 的半径为3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．π
B ．2π
C ．3π
D ．6π
12．如图，已知在⊙O 中，AB=4 ， AF=6，AC 是直径，AC ⊥BD 于F ，图中阴影部分的面积是（ ）
A.
B. C.
D.
13．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC=2，以AB 的中点为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为( )
A.42π-
B.42π+
C.π
D.2π
二、填空题
14．已知扇形的弧长为2π，圆心角为60°，则它的半径为________．
15．如图，在⊙O 中，已知∠AOB ＝120°，则∠ACB ＝________．
16．如图，在O 中，直径4AB =，弦CD AB ⊥于E ，若30A ∠=，则CD =____
17．如图，在O 中，120AOB ∠=︒，P 为劣弧AB 上的一点，则APB ∠的度数是_______.
三、解答题
18．如图，在△ABC 中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C 为圆心，CB 为半径的圆交AB 于点D ，求弦BD 的长
19．如图，在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以 BC 为直径的⊙O 交 AB 于点 D ，过点 D 作∠ADE ＝∠A ，交 AC 于点 E ．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）若
3
4
BC
AC
，求DE 的长．
20．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BC的中点．过点D作直线AC的垂线，
人教版九年级上册第二十四章《圆》培优练习卷（含答案）
一．选择题
1．一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是（）A．48πB．45πC．36πD．32π
2．如图，AB为⊙O的直径，P为弦BC上的点，∠ABC＝30°，过点P作PD⊥OP交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AB的延长线于点E．若点C恰好是的中点，BE＝6，则PC的长是（）
A．6﹣8 B．3﹣3 C．2 D．12﹣6
3．如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为6，则弧BC的长为（）
A．2πB．3πC．4πD．π
4．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED＝1寸），锯道长1尺（AB＝1尺＝10寸）”，问这块圆柱形木材的直径是多少？”
如图所示，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC是（）
A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸
5．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于（）
A．55°B．70°C．110°D．125°
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则△ABC的面积是（）
A．6 B．7 C．7D．12
7．如图，正方形ABCD内接于圆O，AB＝4，则图中阴影部分的面积是（）
A．4π﹣16 B．8π﹣16 C．16π﹣32 D．32π﹣16
8．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H．若AE ＝3，则EG的长为（）
A．B．C．D．
9．小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面．已知扇形的半径为5cm，弧长是8πcm，那么这个圆锥的高是（）
A．8cm B．6cm C．3cm D．4cm
10．如图，点C为△ABD外接圆上的一点（点C不在上，且不与点B，D重合），且∠ACB＝∠ABD＝45°，若BC＝8，CD＝4，则AC的长为（）
A．8.5 B．5C．4D．
11．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转60°，直角边AC扫过的面积等于（）
A．24πB．20πC．18πD．6π
12．如图，矩形ABCD中，BC＝2，CD＝1，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为（）
A．B．C．D．
二．填空题
13．若一个圆锥的底面圆的周长是5πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是．
14．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，连接DE，过点D作DF⊥AC于点F．若AB＝6，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积是．
15．如图，已知AB是⊙O的弦，C是的中点，联结OA，AC，如果∠OAB＝20°，那么∠CAB 的度数是．
16．如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA＝2，则四叶幸运草的周长是．
17．半径为6的扇形的面积为12π，则该扇形的圆心角为°．
18．在平面直角坐标系中，点A（a，a），以点B（0，4）为圆心，半径为1的圆上有一点C，直线AC与⊙B相切，切点为C，则线段AC的最小值为．
三．解答题
19．如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，EC＝6，求AC的长．
20．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E．（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，∠BAC＝60°，求线段EF的长．
21．如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相交于点E．（1）求证：＝；
（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，过点P作PQ∥CB 交⊙O于F，Q两点（点F在线段PQ上），求PQ的长．
22．如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD．若∠A＝30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积是多少？
23．已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．（1）求证：AH＝2OM；
（2）若∠BAC＝60°，求证：AH＝AO．（初二）
24．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，＝，DH⊥AB于点H，AC分别交BD、DH于E、F．
（1）已知AB＝10，AD＝6，求AH．
（2）求证：DF＝EF
25．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是弧AB的中点，点D在弧BC上，BD、AC的延长线交于点K，连接AD，交BC于点E，连接CD
（1）求证：∠AKB﹣∠BCD＝45°；
（2）若DC＝DB，求证：BC＝2CK．。