2017年中考数学压轴题专题训练含答案解析

压轴题
一、已知，在平行四边形OABC 中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°，动点P 从O 点动身沿射线OA 方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q 从A 点动身沿射线AB 方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时刻为t 秒．
（1）求直线AC 的解析式；
（2）试求出当t 为何值时，△OAC 与△PAQ 相似； （3）假设⊙P 的半径为58，⊙Q 的半径为2
3
；当⊙P 与对角线AC 相切时，判定⊙Q 与直线AC 、BC 的位置关系，并求出Q 点坐标。

解：（1）42033
y x =-
+ （2）①当0≤t≤2.5时，P 在OA 上，假设∠OAQ=90°时， 故现在△OAC 与△PAQ 不可能相似．
当t>2.5时，①若∠APQ=90°，那么△APQ ∽△OCA ，
∵t>2.5，∴
符合条件．
②若∠AQP=90°，那么△APQ ∽△∠OAC ，
∵t>2.5，∴符合条件．
综上可知，当
时，△OAC 与△APQ 相似．
（3）⊙Q 与直线AC 、BC 均相切，Q 点坐标为（
10
9
,531）。

二、如图，以矩形OABC 的极点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，成立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处．
（1）直接写出点E 、F 的坐标；
（2）设极点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为极点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
（3）在x 轴、y 轴上是不是别离存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？若是存在，求出周长的最小值；
若是不存在，请说明理由．
解：（1）(31)E ，；(12)F ，．
（2）在Rt EBF △中，90B ∠=， 222
2125EF EB BF ∴=+=+=．
设点P 的坐标为(0)n ，，其中0n >，
极点(1
2)F ，， ∴设抛物线解析式为2
(1)2(0)y a x a =-+≠．
①如图①，当EF PF =时，22
EF PF =，2
2
1(2)5n ∴+-=．
解得10n =（舍去）；24n =．(04)P ∴，．24(01)2a ∴=-+．解得2a =．
∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+
②如图②，当EP FP =时，22
EP FP =，2
2
(2)1(1)9n n ∴-+=-+．
解得5
2
n =-
（舍去）．（第2题）
③当EF EP =时，53EP =<，这种情形不存在． 综上所述，符合条件的抛物线解析式是2
2(1)2y x =-+． （3）存在点M N ，，使得四边形MNFE 的周长最小． 如图③，作点E 关于x 轴的对称点E '，作点F 关于
y 轴的对称点F '，连接E F ''，别离与x 轴、y 轴交于
点M N ，，那么点M N ，确实是所求点．
(31)E '∴-，，(12)F NF NF ME ME '''-==，，，．
43BF BE ''∴==，．FN NM ME F N NM ME F E ''''∴++=++=22345=+=．又
5EF =，
∴55FN NM ME EF +++=+MNFE 的周长最小值是55
3、如图，在边长为2的等边△ABC 中，A D ⊥BC,点P 为边AB 上一个动点，过P 点作PF//AC 交线段BD 于点F,作PG ⊥AB 交AD 于点E,交线段CD 于点G,设BP=x . （1）①试判定BG 与2BP 的大小关系,并说明理由;
②用x 的代数式表示线段DG 的长,并写出自变量x 的取值范围;
（2）记△DEF 的面积为S,求S 与x 之间的函数关系式,并求出S 的最大值;
（3）以P 、E 、F 为极点的三角形与△EDG 是不是可能相似？若是能相似，请求出BP 的长，若是不能，请说明理由。

E
C
A B P 第3题
解：（1）①在等边三角形ＡＢＣ中，∠Ｂ＝60°，∵ＰＧ⊥ＡＢ，
∴∠ＢＧＰ＝30°，∴ＢＧ＝2ＢＰ．
②∵ＰＦ／／ＡＣ，∴△ＰＢＦ为等边三角形，∴ＢＦ＝ＰＦ＝ＰＢ＝x.
又∵ＢＧ＝2x，ＢＤ＝1，∴ＤＧ＝2x－1，∴０＜2x－1≤１，∴1
1 2
x.
（2）S=1
2
DE×
DF=()()
13
211
2
x x
⨯--
=2
333
326
x x
-+-
当
3
4
x=时，
3
48
max
S=.
（3）①如图１，假设∠ＰＦＥ＝Ｒt∠，那么两三角形相似，现在可得ＤＦ＝ＤＧ
即121
x x
解得：
2
3
x．
②如图２，假设∠ＰＥＦ＝Ｒt∠，那么两三角形相似，
现在可得ＤＦ＝
1
2
ＥＦ＝
1
4
ＢＰ，
即
1
1
4
x x．解得：
4
5
x．
4、如图，二次函数c
bx
x
y+
+
-
=2
4
1
的图像通过点()()4
,4
,
0,4-
-
B
A，
且与y轴交于点C.
（1）试求此二次函数的解析式；
（2）试证明：CAO
BAO∠
=
∠（其中O是原点）；
（3）假设P是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过P作y轴的平行线，别离交此二次函数图像及x轴于Q、H两点，试问：是不是存在如此的点P，使QH
PH2
=？假设存在，请求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由。

E
C
A
B
P
E
C
A
B
P
解：（1）∵点()0,4A 与()4,4--B 在二次函数图像上，
∴⎩⎨⎧+--=-++-=c b c b 444440，解得⎪⎩⎪⎨⎧
==2
21c b ，
∴二次函数解析式为22
1
412++-
=x x y . （2）过B 作x BD ⊥轴于点D ，由（1）得()2,0C ，那么在AOC Rt ∆中，2
1
42tan ===
∠AO CO CAO ，又在ABD Rt ∆中，2
1
84tan ===
∠AD BD BAD ， ∵BAD CAO ∠=∠tan tan ，∴BAO CAO ∠=∠.
（3）由()0,4A 与()4,4--B ，可得直线AB 的解析式为22
1
-=x y ， 设()44,221,
x x x P -⎪⎭⎫ ⎝⎛-，那么⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-22141,2x x x Q ， ∴22141,2122212++-=-=-=
x x QH x x PH .∴22
1
4122122++-=-x x x . 当4212122++-=-
x x x ，解得 4,121=-=x x （舍去）
，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛
--25,1P . 当4212122--=-
x x x ，解得 4,321=-=x x （舍去）
，∴⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--27,3P . 综上所述，存在知足条件的点，它们是⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--25,1与⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--27,3.
图
1
五、如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8厘米，点D 在AC 上，CD ＝3厘米．点P 、Q 别离由A 、C 两点同时动身，点P 沿AC 方向向点C 匀速移动，速度为每秒k 厘米，行完AC 全程历时8秒；点Q 沿CB 方向向
点B 匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时刻为x 秒()80
＜x＜，△DCQ 的面积为y 1平方厘米，△PCQ 的面积为y 2平方厘米．
（1）求y 1与x 的函数关系，并在图2中画出y 1的图象；
（2）如图2，y 2的图象是抛物线的一部份，其极点坐标是（4，12），求点P 的速度及AC 的长；
（3）在图2中，点G 是x 轴正半轴上一点（0＜OG ＜6＝，过G 作EF 垂直于x 轴，别离交y 1、y 2于点E 、F ． ①说出线段EF 的长在图1中所表示的实际意义； ②当0＜x ＜６时，求线段EF 长的最大值．
解：（1）∵CD CQ S DCQ ⋅⋅=∆2
1，CD ＝3，CQ ＝x ，∴x y 23
1=．
图象如下图．
（2）方式一：CP CQ S PCQ ⋅⋅=
∆2
1
，CP ＝8k －xk ，CQ ＝x ， ∴()kx kx x kx k y 42
18212
2+-=⋅-⨯=．∵抛物线极点坐标是（4，12），
∴124442
12
=⋅+⋅-k k ．解得23=k ．那么点P 的速度每秒23厘米，AC ＝12厘米．
方式二：观看图象知，当x=4时，△PCQ 面积为12． 现在PC ＝AC －AP ＝8k －4k ＝4k ，CQ ＝4．∴由CP CQ S PCQ ⋅⋅=∆2
1
，得
12244=⨯k ． 解得23
=
k ．那么点P 的速度每秒2
3厘米，AC ＝12厘米． 方式三：设y 2的图象所在抛物线的解析式是c bx ax y ++=2
． ∵图象过（0，0），（4，12），（8，0），
∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.0864124160c b a c b a c ，， 解得 ⎪
⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
==-=.
0643c b a ，，∴x x y 64322+-=． ①
C
∵CP CQ S PCQ ⋅⋅=
∆21，CP ＝8k －xk ，CQ ＝x ，∴kx kx y 42
1
22+-=． ② 比较①②得23
=k .那么点P 的速度每秒2
3厘米，AC ＝12厘米．
（3）①观看图象，知线段的长EF ＝y 2－y 1，表示△PCQ 与△DCQ 的面积差（或△PDQ 面积）．②由⑵得
x x y 64
3
22+-=.（方式二，x x x x y 643232382122+-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯=）
∵EF ＝y 2－y 1，∴EF ＝x x x x x 2
9432364322+-=-+-
， ∵二次项系数小于０，∴在60＜x＜范围，当3=x 时，4
27
=
EF 最大． 六、如图，在ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，D 、E 别离是边AB 、AC
上的两个动点（D 不与A 、B 重合），且维持BC DE ∥，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG . （1）试求ABC ∆的面积；
（2）当边FG 与BC 重合时，求正方形DEFG 的边长； （3）设x AD =，ABC ∆与正方形DEFG 重叠部份的面积为y ，试求y 关于x 的函数关系式，并写出概念域；
（4）当BDG ∆是等腰三角形时，请直接写出AD 的长。

解：（1）过A 作BC AH ⊥于H ，∵6,5===BC AC AB ，∴32
1
==BC BH . 那么在ABH Rt ∆中，422=-=
BH AB AH ，∴122
1
=•=
∆BC AH S ABC . （2）令现在正方形的边长为a ，那么
446a a -=，解得5
12=a . （3）当20≤x 时，22
253656x x y =⎪⎭
⎫
⎝⎛=.
当52 x 时，()225
2452455456x x x x y -=-⋅=. （4）7
20
,1125,73125=AD .
7、如图已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线2
2y mx mx n =++上．
（1）求m 、n ；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，假设四边形A A ′B ′B 为菱形，求平移后抛物线的表达式；
（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为点C，试在x轴上找点D，使得以点B′、C、D为极点的三角形与ABC
△相似．
解：（1）依照题意，得：
⎩
⎨
⎧
=
+
+
=
+
-
2
4
4
4
n
m
m
n
m
m
解得
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
-
=
4
3
4
n
m
（2）四边形A A′B′B为菱形，那么A A′=B′B=AB=5
∵4
3
8
3
4
2+
-
-
=x
x
y
=()3
16
4
3
42
+
-
-x
∴向右平移5个单位的抛物线解析式为()
3
16
4
3
42
,+
-
-
=x
y
（3）设D（x，0）依照题意，得：AB=5，5
'
,
10
,5
3=
=
=C
B
BC
AC
∵∠A=∠B B′A
ⅰ)△ABC∽△B′CD时，∠ABC=∠B′CD ，∴BD=6－x，由
得
x
-
=
6
5
3
5
5
解得x=3，∴D（3，0）
ⅱ）△ABC∽△B′DC时，
C
B
AC
D
B
AB
'
'
=
∴
5
5
3
6
5
=
-x
解得
3
13
=
x∴)0,
3
13
(
D
八、如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，A B⊥BC ，AD＝2，AB＝8，
CD＝10．
（1）求梯形ABCD的面积S；
（2）动点P从点B动身，以1cm/s的速度、沿B→A→D→C方向，向点C运动；动点Q从点C动身，以1cm/s 的速度、沿C→D→A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．假设P、Q两点同时动身，当其中一点抵达目的地时整个运动随之终止，设运动时刻为t秒．问：①当点P在B→A上运动时，是不是存在如此的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？假设存在，请求出t的值，并判定现在PQ是不是平分梯形ABCD的面积；假设不存在，请说明理由；
B
A
O 1
1
－1
－1
x
y
A′
B
′
y
B
A
O 1
1
－1
－1
x
C
B
′
D
D
B
AC
C
B
AB
'
'
=
②在运动进程中，是不是存在如此的t，使得以P、D、Q为极点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？假设存在，请求出所有符合条件的t的值；假设不存在，请说明理由．
1D DH BC H
ABHD
DH AB8BH AD2
⊥
∴====
（）过作于点
显然四边形是矩形
；
在Ｒt△DCH中，6
==
ABCD
11
S AD BC AB 288
22
∴=+=+⨯
（）（）40
=
(2)
①
周长平分。

将梯形
秒时，
当ABCD
PQ
3
=
∴t经计算，PQ不平分梯形ABCD的面积②
08
Q QI BC QH AB I H
AP8,2
34
CI,
55
34
8,
55
41
55
t
t AD
PD
t QI t
QH BI t BH QI t
PH t t t
≤≤
⊥⊥
=-=
∴===
==
∴==-==
∴=-=
第一种情况：时
过点作，，垂足为、
PQ
10
DQ t
∴===
=-
DQ DP,10-t
=，秒
8
=
t-
E C
B C
B
E C
B（备用图）
E
8
3
8
10
2
8
10
;
8
CQ
BP
<
=
∴
+
+
=
-
+
+
-
∴
+
+
=
+
+
-
=
-
=
∴
=
=
t
t
t
t
t
CQ
BC
PB
DQ
AD
AP
t
DQ
t
AP
t
C
212 DQ PQ,10-t 5218002626833t t t t ==-+=-+=
=（舍去）
3
34
226-=
∴t 810DP DQ 10-t t ≤<==第二种情况：时，
恒成立。

为腰的等腰时，以当DPQ DQ 108∆<≤∴t 1012DP DQ 10t t <≤==-第三种情况：时，
恒成立。

为腰的等腰时，以当DPQ DQ 1210∆≤<∴t
268101012DQ DPQ 3
t t t -=
≤<<≤∆综上所述，或时，以为腰的等腰成立。

九、如图，⊙O 的半径为1，等腰直角三角形ABC 的极点B 的坐标为（2，0），∠CAB=90°，AC =AB ，极点A 在⊙O 上运动．
（1）当点A 在x 轴上时，求点C 的坐标；
（2）当点A 运动到x 轴的负半轴上时，试判定直线BC 与⊙O 位置关系，并说明理由；
（3）设点A 的横坐标为x ，△ABC 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并求出S 的最大值与最小值； （4）当直线AB 与⊙O 相切时，求AB
解：（1）当点A 的坐标为（1，0）时，AB=AC=2－1，点C 的坐标为（1，2－1）；
当点A 的坐标为（－1，0）时，AB=AC=2＋1，点C 的坐标为（－1，2＋1）； （2）直线BC 与⊙O 相切，过点O 作OM ⊥BC 于点M ，∴∠OBM ＝∠BOM =45°, ∴OM=O B ·sin45°=1，∴直线BC 与⊙O 相切 （3）过点A 作AE ⊥OB 于点E
在Rt △OAE 中，AE 2=OA 2－OE 2=1－x 2，
在Rt △BAE 中，AB 2=AE 2+BE 2=(1-x 2) +（2-x ）2=3-22x
∴S=
21A B ·AC=21 AB 2=21(3-22x)= x 22
3
- 其中－1≤x ≤1，
当x=－1时，S 的最大值为223
+，
当x=1时，S 的最小值为22
3
-．
（4）①当点A 位于第一象限时(如右图)： 连接OA ，并过点A 作AE ⊥OB 于点E ∵直线AB 与⊙O 相切，∴∠OAB=90°， 又∵∠CAB=90°，∴∠CAB +∠OAB=180°，
∴点O 、A 、C 在同一条直线上，∴∠AOB =∠C=45°，
在Rt △OAE 中，OE=AE=22．点A 的坐标为（22，2
2
）过A 、B 两点的直线为y =－x+2． ②当点A 位于第四象限时(如右图) 点A 的坐标为（22，－2
2），过A 、B 两点的直线为y=x －2．
10、已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB <OC ）是方程x 2－10x ＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝－2．
（1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式；
（3）连接AC 、BC ，假设点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围； （4）在（3）的基础上试说明S 是不是存在最大值，假设存在，请求出S 的最大值，并求出现在点E 的坐标，判定现在△BCE 的形状；假设不存在，请说明理由．
A B C
O
x
y E A
B （
C ） O
x
y E
解：（1）解方程x 2－10x ＋16＝0得x 1＝2，x 2＝8
∵点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，且OB ＜OC ∴点B 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，8） 又∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝－2 ∴由抛物线的对称性可得点A 的坐标为（－6，0）
（2）∵点C （0，8）在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象上，∴c ＝8，将A （－6，0）、B （2，0）代入表达式，得
⎩
⎪⎨⎪⎧
0＝36a －6b ＋8
0＝4a ＋2b ＋8 解得 ⎩⎨⎧
a ＝－
23
b ＝－83
∴所求抛物线的表达式为y ＝－23x 2－8
3
x ＋8
（3）依题意，AE ＝m ，那么BE ＝8－m ，∵OA ＝6，OC ＝8，∴AC ＝10 ∵EF ∥AC ∴△BEF ∽△BAC ，∴EF AC ＝BE AB 即EF 10＝8－m
8，∴EF ＝40－5m 4
过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，那么sin ∠FEG ＝sin ∠CAB ＝4
5
∴
FG EF ＝45 ∴FG ＝45·40－5m 4
＝8－m ∴S ＝S △BCE －S △BFE ＝12（8－m ）×8－12（8－m ）（8－m ）
＝12（8－m ）（8－8＋m ）＝12（8－m ）m ＝－1
2m 2＋4m 自变量m 的取值范围是0＜m ＜8 （4）存在．
理由：∵S ＝－12m 2＋4m ＝－12（m －4）2＋8 且－1
2
＜0，
∴当m ＝4时，S 有最大值，S 最大值＝8 ∵m ＝4，∴点E 的坐标为（－2，0） ∴△BCE 为等腰三角形．
[来源:学科网ZXXK]
（1）通过试探，小明以为能够通过添加辅助线——过点O 作OM ⊥BC ，垂足为M 求解．你以为那个方式可行吗？请写出问题1的答案及相应的推导进程； （2）若是将问题1中的条件“四边形ABCD 是正方形，BC =1”改成“四边形ABCD 是平行四边形，BC =3，CD =2，”其余条件不变（如图25-2），请直接写出条件改变后的函数解析式；
（3）若是将问题1中的条件“四边形ABCD 是正方形，BC =1”进一步改成：“四边形ABCD 是梯形，AD ∥B C ，
BC a =，CD b =，AD c =(其中a ，b ，c 为常量)”其余条件不变（如图25-3），请你写出条件再次改变后y 关于x 的函数解析式和相应的推导进程．
解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴OB =OD ． ∵OM ⊥BC ，∴∠OMB =∠DCB =90，∴OM ∥DC ． ∴OM 1
2=DC 12
=
，CM 12=
BC 12
=
．∵OM ∥DC ，∴
CF CE OM
EM
=
，
即
11
2
2y
x x =+
，解得21
x
y x =
+．概念域为0x >．
（2）223
x
y x =
+（0x >）．
（3）AD ∥BC ，
BO BC a OD
AD
c
=
=
，
BO a BD
a c
=
+．
如图25-1，四边形ABCD 是正方形， BC =1，对角线交点记作O ，点E 是边BC 延长线上一点．联结OE 交CD 边于F ，设CE x =，CF y =，求y 关于x 的函数解析式及其定义域． F
O B
A
E
图25-1
F O B
A
D
图25-2
F
O
B
C
图25-3
过点O 作ON ∥CD ，交BC 于点N ，∴ON BO DC
BD
=
，∴ab ON a c
=
+．
∵ON ∥CD ，
CN
OD
BN BO c a =
=
，∴CN c BC a c
=
+，∴ac CN a c =+． ∵ON ∥CD ，∴CF CE ON EN
=，即 y
x ab ac x a c
a c
=
+
++．
∴y 关于x 的函数解析式为()x
y x a ab a c c
=
++（0x >）．
1二、已知关于x 的一元二次方程2x 2+4x+k-1=0有实数根，k 为正整数. （1）求k 的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数y=2x 2+4x+k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；
(3) 在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部份沿x 轴翻折，图象的其余部份维持不变，取得一个新的图象。

请你结合那个新的图像回答：当直线y=2
1
x+b (b<k)与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.
解：(1)由题意得，Δ＝16－8(k －1)≥0．∴k ≤3．∵k 为正整数，∴k ＝1，2，3．
(2)当k ＝1时，方程2x 2＋4x ＋k －1＝0有一个根为零； 当k ＝2时，方程2x 2＋4x ＋k －1＝0无整数根；
当k ＝3时，方程2x 2＋4x ＋k －1＝0有两个非零的整数根． 综上所述，k ＝1和k ＝2不合题意，舍去；k ＝3符合题意．
当k ＝3时，二次函数为y ＝2x 2＋4x ＋2，把它的图象向下平移8个单位长度取得的图象的解析式为y ＝2x 2＋4x －6．
(3)设二次函数y ＝2x 2＋4x －6的图象与x 轴交于A 、B 两点，那么A (－3，0)，
B (1，0)．
依题意翻折后的图象如下图．
当直线b x y +=
21通过A 点时，可得23
=b ； 当直线b x y +=21通过B 点时，可得2
1
-=b ．
2
321<<-
b ． 由图象可知，符合题意的b (b ＜3)的取值范围为
13、如图，已知抛物线与x 轴交于点A (-2,0),B(4,0)，与y 轴交于点C(0,8)．
（1）求抛物线的解析式及其极点D 的坐标；
（2）设直线CD 交x 轴于点E ．在线段OB 的垂直平分线上是不是存在点P ，使得点P 到直线CD
的距离等于点P 到原点O 的距离？若是存在，求出点P 的坐标；若是不存在，请说明理由；
（3）过点B 作x 轴的垂线，交直线CD 于点F ，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF 总有公共点．试探讨：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？
解：（1）设抛物线解析式为(2)(4)y a x x =+-，把(08)
C ，代入得1a =-．
228y x x ∴=-++2(1)9x =--+，极点(19)D ，
（2）假设知足条件的点P 存在，依题意设(2)P t ，， 由(08)(19)C D ，，，求得直线CD 的解析式为8y x =+，
它与x 轴的夹角为45，设OB 的中垂线交CD 于H ，那么(210)H ，．
则10PH t =-，点P 到CD 的距离为22
1022d PH t =
=-． 又22224PO t t =+=+．2
2
4102
t t ∴+=
-． 平方并整理得：2
20920t t +-=，1083t =-±．
∴存在知足条件的点P ，P 的坐标为(21083)-±，
．
（3）由上求得(80)(412)E F -，，
，． ①假设抛物线向上平移，可设解析式为2
28(0)y x x m m =-+++>． 当8x =-时，72y m =-+．
当4x =时，y m =．720m ∴-+≤或12m ≤．
072m ∴<≤．
②假设抛物线向下移，可设解析式为2
28(y x x m m =-++-．
由2288
y x x m y x ⎧=-++-⎨=+⎩， 有2
0x x m -+=．140m ∴=-≥△，1
04
m ∴<≤
． A B
C
O
x
y
D F
H
P
E
∴向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移
1
4
个单位长． 14、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA 、OC 别离在x 轴、y 轴的正半轴上，OA =4，OC =2．点
P 从点O 动身，沿x 轴以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，当点P 抵达点A 时停止运动，设点P 运动的时刻是t 秒．将线段CP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转90°得点D ，点D 随点P 的运动而运动，连接DP 、DA ．
（1）请用含t 的代数式表示出点D 的坐标；
（2）求t 为何值时，△DP A 的面积最大，最大为多少？ （3）在点P 从O 向A 运动的进程中，△DP A 可否成为直角三角形？假设能，求t 的值． 假设不能，请说明理由； （4）请直接．．写出随着点P 的运动，点D 运动线路的长．
解：（1）过点D 作DE ⊥x 轴，垂足为E ，那么△PED ∽△COP ，∴
1
2
PE DE PD CO PO CP === 112PE CO ==，1122
DE PO t ==，故D （t+1，2t ）
（2）S= 22
1111(4)(2)122244
t PA DE t t t t ⋅=-⋅=-+=--+
∴当t=2时，S 最大，最大值为1
（3）∵∠CPD=900，∴∠DPA+∠CPO=900，∴∠DPA ≠900，故有以下两种情形：
①当∠PDA=900时，由勾股定理得222PD DA PA +=，又2222
14
t
PD PE DE =+=+，
22
2
2
2
(3)4t DA DE EA t =+=+-，22(4)PA t =-，22221(3)(4)44
t t t t +++-=-
即2
4120t t +-=，解得12t =，26t =-（不合题意，舍去）
②当∠PAD=900时，点D 在BA 上，故AE=3－t ，得t=3 综上，通过2秒或3秒时，△PAD 是直角三角形； （4
）
1五、设抛物线2
2y ax bx =+-与x 轴交于两个不同的点A （－1，0）、B （m ，0），与y 轴交于点C ，且∠ACB ＝90°。

（1）求m 的值；
（2）求抛物线的解析式，并验证点D （1，－3 ）是不是在抛物线上；
（3）已知过点A 的直线1y x =+交抛物线于另一点E . 问：在x 轴上是不是存在点P ，使以点P 、B 、D 为极点的三角形与△AEB 相似？假设存在，请求出所有符合要求的点P 的坐标. 假设不存在，请说明理由。

解：（1）令x ＝0，得y ＝－2 ∴C （0，－2）
∵∠ACB ＝90°，CO ⊥AB ，∴△AOC ∽△COB ，∴OA·OB ＝OC 2
∴OB ＝41
2
22＝＝OA OC ∴m ＝4
（2）将A （－1，0），B （4，0）代入22
-+bx ax y ＝，解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-2321＝＝b a ∴抛物线的解析式为22
3
21
2--x x y ＝……（2分） 当x =1时，22
3
212--
x x y ＝=－3，∴点D （1，－3）在抛物线上。

（3）由⎪⎩
⎪
⎨⎧--+223211
2x x y x y ＝＝ 得⎩⎨⎧-0111＝＝y x ⎩⎨
⎧7622＝＝y x ，∴E （6，7） 过E 作EH ⊥x 轴于H ，那么H （6，0）， ∴ AH ＝EH ＝7 ∴∠EAH ＝45° 作DF ⊥x 轴于F ，那么F （1，0） ∴BF ＝DF ＝3 ∴∠DBF ＝45° ∴∠EAH =∠DBF =45°
∴∠DBH =135°，90°<∠EBA <135°
那么点P 只能在点B 的左侧，有以下两种情形： ①若△DBP 1∽△EAB ，那么
AE BD AB BP ＝
1
,∴7152
72351＝＝＝⨯⋅AE BD AB BP ∴71371541＝＝-
OP ，∴），（07
13
1
P ……（2分） ②若△2DBP ∽△BAE ，那么AB
BD
AE BP ＝2,∴542523272＝＝＝⨯⋅AB BD AE BP
∴5
22
45422＝＝-OP ∴），（05222
-P ……（2分）
综合①、②，得点P 的坐标为：），（）或，（05
22
07132
1
P P
1六、如图1，在△ABC 中，AB ＝BC ＝5，AC =6.△ECD 是△ABC 沿BC 方向平移取得的，连接AE .AC 和BE 相交于点O .
（1）判定四边形ABCE 是如何的四边形，说明理由； （2）如图2，P 是线段B C 上一动点（图2），（不与点B 、C 重合），连接PO 并延长交线段AB 于点Q ，QR ⊥BD ，垂足为点R .
①四边形P Q ED 的面积是不是随点P 的运动而发生转变？假设转变，请说明理由；假设不变，求出四边形P Q ED 的面积；
②当线段BP 的长为何值时，△PQR 与△BOC 相似？
C
O
E
D
B
A
（第24题图1）
R P
Q
C O
E
D
B
A
（第24题图2）
（备用图）1
C
O
E
D
B
A
解：（1）四边形ABCE 是菱形。

∵△ECD 是由△ABC 沿BC 平移取得的，∴EC ∥AB ，且EC ＝AB ，
∴四边形ABCE 是平行四边形，又∵AB =BC ，∴四边形ABCE 是菱形 . （2）①四边形PQED 的面积不发生转变。

方式一：∵ABCE 是菱形，∴AC ⊥BE ，OC =1
2
AC =3，∵BC =5，∴BO =4，
过A 作AH ⊥BD 于H ，（如图1）.∵S △ABC ＝12BC ×AH ＝1
2
AC ×BO ，
即：12×5×AH ＝12×6×4，∴AH ＝245
.
【或 ∵∠AHC ＝∠BOC ＝90°，∠BCA 公用，∴△AHC ∽△BOC ，∴AH :BO ＝AC :BC ，
即：AH :4＝6:5，∴AH ＝24
5
.】
由菱形的对称性知，△PBO ≌△QEO ，∴BP ＝QE ，
∴S 四边形PQED ＝12（QE +PD ）×QR ＝12（BP +PD ）×AH ＝12BD ×AH ＝12×10×24
5
＝24.
方式二: 由菱形的对称性知，△PBO ≌△QEO ，∴S △PBO ＝ S △QEO ，
∵△ECD 是由△ABC 平移取得得，∴ED ∥AC ，ED ＝AC ＝6， 又∵BE ⊥AC ，∴BE ⊥ED ，
∴S 四边形PQED ＝S △QEO ＋S 四边形POED ＝S △PBO ＋S 四边形POED ＝S △BED
＝12×BE ×ED ＝12×8×6＝24. （第24题1）
P
Q C
H R O
E D B A
（第24题2）
P Q C
R O
E
D
B
A 1
3
2
G
②方式一：如图2，当点P 在BC 上运动，使△PQR 与△COB 相似时，
∵∠2是△OBP 的外角，∴∠2＞∠3，∴∠2不与∠3对应，∴∠2与∠1对应，
即∠2＝∠1，∴OP =OC =3,过O 作OG ⊥BC 于G ，那么G 为PC 的中点，△OGC ∽△BOC ，
∴CG :CO ＝CO :BC ，即：CG :3＝3:5，∴CG =9
5
，
∴PB ＝BC －PC ＝BC －2CG ＝5－2×95＝75
. 方式二：如图3，当点P 在BC 上运动，使△PQR 与△COB 相似时，
∵∠2是△OBP 的外角，∴∠2＞∠3，
∴∠2不与∠3对应，∴∠2与∠1对应，
∴QR :BO ＝PR :OC ，即：245:4＝PR :3，∴PR ＝185
， 过E 作EF ⊥BD 于F ，设PB ＝x ，那么RF =QE =PB =x ，
DF ＝ED 2-EF 2 =62-(245)2 =185
， ∴BD ＝PB ＋PR ＋RF ＋DF ＝x ＋185＋x ＋185＝10，x ＝75
. 方式三: 如图4，假设点P 在BC 上运动，使点R 与C 重合，
由菱形的对称性知，O 为PQ 的中点，∴CO 是Rt △PCQ 斜边上的中线， ∴CO =PO ，∴∠OPC ＝∠OCP ，现在，Rt △PQR ∽Rt △CBO ，
∴PR :CO ＝PQ :BC ，即PR :3＝6:5，∴PR ＝185
∴PB ＝BC -PR ＝5－185＝75
. （第24题3） P Q C R O
E
D B A 1 3 2 F
(R ) P C O
D Q
E B A （第24题4）。