《数学史》古希腊数学(2)精选全文

欧 几 里 得 ， 约 公 元 前 30 0
▪ 在长达两千多年的时间里，欧几里德的《几何原 本》一直是世界各国的标准教科书。《几何原本》 第一册的第47个命题就是勾股定理，书中给出了 严格的，真正的数学意义上的证明。
▪ 在第六册的第31个命题里，欧几里德还推广了勾 股定理，他证明了：
（见下页）
▪ 命题14 同圆内等弦的弦心距相等；弦心距相等则弦相等。 ▪ 命题22 内接于圆的四边形，其对角和是二直角。 ▪ 命题32 直线切于一圆，弦与切线的夹角等于弦所对圆周角。 ▪ 命题35 圆内有相交二弦，其中一弦上所截线段围成的长方形等于
另一弦上所截线段围成的长方形。
几何《原本》第四卷
▪ 第四卷，有16个命题，主要论述圆的内接和外切图形 ▪ 命题12 作已给圆的外切正五边形。 ▪ 命题15 作已给圆的内接正六边形。
几何《原本》第七、八、九卷
▪ 第七、八、九卷讲数论，即讲述关于整数和整数之比的性质，是 《原本》中纯粹讨论算术的唯一篇章。
▪ 命题1 有相异二数，从大数连续减去小数，直到余数小于小数。又 从小数连续减去余数，直到小于余数。一直做类似运算，如果余数总 是量不尽前面一个数，直到最后的余数是单位，则二数互素。
▪ 欧几里得至少有十部著作，其中有五部被完整地保存下来，（《数 据》《论剖分》《现象》《光学》和《镜面反射》）
▪ 但最具影响的是《原本》。这部著作完全取代了所有以前的数学原 理之类的书，刚一出现，就受到人们最大的重视。
亚历山大大帝
▪ 亚历山大大帝（公元前356年－前323年）， 生于马其顿王国首都派拉城，曾师从古希腊 著名学者亚里士多德，十八岁随父出征，二 十岁继承王位,是欧洲历史上最伟大的军事天 才，马其顿帝国最富盛名的征服者。
（610年改称拜占廷帝国）
历史背景
▪ 公元前338年，喀罗尼亚战役后，希腊人被征服， 雅典学派从此一蹶不振（代表人物是柏拉图、亚 里士多德等）。
▪ 公元前332年，亚历山大大帝在尼罗河入口处， 建立亚历山大城，希腊科学的中心随之转移到亚 历山大城。
2.2 黄金时代---亚历山大学派
▪ 欧几里得
▪ 欧几里得（Euclid,约公元前330－前275）可能是柏拉图的再传弟子， 在雅典求学。 公元前三、四世纪之交受托勒密王邀请，执教于亚历 山大柏拉图学院。
▪ 他雄才伟略，勇敢善战，领军驰聘欧亚非大 陆，使得古希腊文明广泛传播，是世界古代 史上最著名的军事家和政治家。
▪
亚历山大大帝,是欧洲历史上最伟大的四大军事统
帅之一（亚历山大大帝、恺撒大帝、汉尼拔、拿破仑），
他足智多谋，在担任马其顿国王的短短13年中，以其雄
才大略、东征西讨，先是确立了在全希腊的统治地位，
▪
2.2.1 欧几里得与几何《原本》
▪ 关于《原本》 ▪ 英国学者A.Demorgan(1806-1871)曾说：除了耶稣《圣经》外，再没
有一种书像《原本》 那样拥有如此众多的读者。 ▪ 《原本》被译成1000多种的语言版本，原著早佚。今传本据亚历山大
Theon（约公元390年前后）修订本，以及在罗马梵蒂冈发现的希腊文 手抄本翻译。
▪ 公理 ▪ 1.等于同量的量彼此相等。 ▪ 2.等量加等量，和相等。 ▪ 3.等量减等量，差相等。 ▪ 4.彼此重合的图形是全等的。 ▪ 5.整体大于部分。
几何《原本》前六卷
▪ （1）平面几何 ▪ 前六卷主要平面几何，共173个命题。 ▪ 第一卷的内容是关于全等形的一些定理，平行线，毕达哥拉斯定理，
所给乘积。矩形的另一边就是商。
几何《原本》第二卷
▪ 命题1 若有两直线其中一线被割成任何多个段，则两直线所作矩形 等于未割之线与各段所作出的各个矩形之和。
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几何《原本》第三卷
▪ 第三卷含37个命题，主要讨论弦、切线、割线、圆心角及圆周角等 等。
▪ 命题47 直角三角形斜边上的正方形等于两直角边上两个正方形之和。
▪ 命题48 若三角形一边上的正方形等于其他两边上的正方形之和，则 其他两边的夹角是直角。
G
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A
K
B
C
L
D
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几何《原本》第二卷
▪ 第二卷的突出内容是对代数几何化的贡献。
▪ ①两数相加看成把一线段加上另一线段的长。 ▪ ②两数的乘积看成两边长等于两数的矩形的面积。 ▪ ③三数的乘积看成一立方体的体积。 ▪ ④两数相除看成两线之比。 ▪ ⑤两数乘积被第三数除看成：以第三数（长）为边作一矩形，使其面积等于
历
(希腊化时期)
各城邦承认马其顿的霸主地位，前334－前323亚历山大东征）
山 大
亚历山大后期：公元前30－公元640年
前48－前30年凯撒、屋大维侵占埃及
时
期
公元640年阿拉伯人焚毁亚历山大城藏书
公元330年君士坦丁大帝迁都拜占廷
罗马帝国：公元前27－公元395年
西罗马帝国：公元395－476年 东罗马帝国：公元395－1453年
相当于说：若是 2n 1 素数，则 (2n 1)2n1 是完全数。
注：如果一个数等于其真因子的和，称为完全数。如：6=1+2+3
欧几里得与几何《原本》
• 《原本》在我国传播 • 1607年徐光启（1562－1633）与意大利传教士利玛窦（M.Ricci，
1552-1610）合译O.Clauvius（1537－1612）校订、增订的拉丁文本 《原本》前6卷。 • 1857年，李善兰（1811－1882）与英国传教士伟烈亚历（A.Wylie， 1815－1887）续译后9卷。
后又灭亡了波斯帝国。
▪
在横跨欧、亚的辽阔土地上，建立起了一个以巴比
伦为首都的疆域广阔的国家。创下了前无古人的辉煌业
绩，促进了希腊古文化的繁栄和发展、东西方文化的交
流和经济的发展，对人类社会文化的进展产生了重大的
影响。
亚里士多德
▪ 亚里士多德（前384—前322年），古希腊斯吉塔拉人， 世界古代史上最伟大的哲学家、科学家和教育家之一。 是柏拉图的学生，亚历山大的老师。公元前335年，他在 雅典办了一所叫吕克昂的学校，被称为逍遥学派。马克 思曾称亚里士多德是古希腊哲学家中最博学的人物，恩 格斯称他是古代的黑格尔。
欧几里得与几何《原本》
▪ 《原本》的内容 ▪ “原本”原意是指一学科中具有广泛应用的最重要的定理。这本著作
用公理法对当时的数学知识作系统化、理论化的总结。 ▪ 共分13卷，包括5条公理、5条公设，119个定义和465条命题，构成了
历史上第一个数学公理体系。
那么，何谓公理？何谓公设呢？
公理与公设
▪ 所谓公理，也就是经过人们长期实践检验、不需 要证明同时也无法去证明的客观规律。即“不证 自明”的命题。 （现在的定义）
初等作图法，等价形和平行四边形。
▪ 命题29 一直线与两平行线相交时内错角相等，同位角相等，且同旁 内角之和等于两直角。
▪ 证明（归谬法）：假定 1 2 ▪ 设 2 较大，两者都加上 4
▪ 则有 2 4 1 4 ▪ 根据平行线公设，AB与CD两给定直线就相交。
▪若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线 无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。
▪ 命题2 求不互素数的最大公约数。 ▪ 命题19 四数成比例，则第一、四两数乘积等于第二、三两数乘积，
反之亦然。
几何《原本》第七、八、九卷
▪ 命题35：给出了关于完全数的一个著名定理：若几何
级数（从1开始）一些项之和 1 2 22 2n1是
质数，那么这个和同最末一项的乘积是完全数，即
(1 2 22 2n1 )2n1
▪ 公理或公设，后来发展成为现在的公理化思想。
《原本》各卷内容一览表
几何《原本》第一卷
▪ 第一卷给出了一些最基本的定义（119个），5个公设和5个公理。 ▪ 定义 ▪ 1.点是没有部分的那种东西。 ▪ 2.线是没有宽度的长度。 ▪ 3.一线的两端是点。 ▪ 4.直线是同其中各点看齐的线。 ▪ 5.面是只有长度和宽度的那种东西。 ▪ 6.面的边缘是线。
几何《原本》第五卷
▪ 第五卷，讲比例论，是以欧多克斯的工作为基础。 ▪ 命题1 如果某些量依次是另一些量的倍量，则前者之和是后者之和
的同倍量。 ▪ 即如果ma,mb,……，mc是a,b,……,c的倍量，则
ma+mb+······+mc=m(a+b+······+c) ▪ 命题12 一些量成比例，则它们的前项和与后项和之比等于其中某一
▪ 为了完成这一重任，欧几里得不辞辛苦，长途跋涉，从 爱琴海边的雅典古城，来到尼罗河流域的埃及新埠—亚历 山大城，为的就是在这座新兴的，但文化蕴藏丰富的异域 城市实现自己的初衷。
▪ 在此地的无数个日日夜夜里，他一边收集以往的数学专 著和手稿，向有关学者请教，一边试着著书立说。经过欧 几里得忘我的劳动，终于在公元前300年结出丰硕的果实， 这就是几经易稿而最终定形的《几何原本》一书。
古希腊的变迁
公元前11世纪－前6世纪
波希战争（前499－前449）
希 腊
公元前11世纪－前9世纪：希腊各部落进入爱琴地区
时 期
公元前9－前6世纪：希腊各城邦先后形成
公元前6－前4世纪末
伯罗奔尼撒战争（前431－前404）
亚
亚历山大前期：公元前4世纪末－前30年 马其顿帝国：前6世纪－前323年（前337年希腊
直角三角形斜边上的多边形， 其面积为两条直角 边上与之相似的多边形面积之和。
学园便是全部的生活
▪ 欧几里得(Euclid)是古希腊著名数学家、欧氏几 何学的开创者。欧几里得生于雅典，当时雅典就 是古希腊文明的中心。浓郁的文化气氛深深地感 染了欧几里得，当他还是个十几岁的少年时，就 迫不及待地想进入“柏拉图学园”学习。
▪
▪ 在欧几里得以前，人们已经积累了许多几何学的知识，然 而这些知识缺乏系统性。大多数是片断、零碎的知识，公 理与公理之间、证明与证明之间并没有什么很强的联系性， 更不要说对公式和定理进行严格的逻辑论证和说明。
▪ 把这些几何学知识加以条理化和系统化，成为一整套知识 体系，已经是刻不容缓。欧几里得通过早期对柏拉图数学 思想，尤其是几何学理论系统而周详的研究，已敏锐地察 觉到了几何学理论的发展趋势。他下定决心，要在有生之 年完成这一工作。
前项与对应后项之比。
几何《原本》第六卷
▪ 第六卷讲相似形，主要是利用第五卷的比例理论讨论相似形。 ▪ 命题1 有等高的三角形或平行四边形，彼此大小之比等于它们底的
比。 ▪ 命题2 平行于三角形底的直线截另二边成比例的线段。如果三角形
两边被截成比例的线段，则截线平行于另一边。 ▪ 命题5 三角形对应边成比例，则对应边所对角相等。 ▪ 命题19 相似三角形之比等于对应边平方之比。
▪ 这是一部传世之作，几何学正是有了它，不仅第一次实现 了系统化、条理化，而且又孕育出一个全新的研究领域— —欧几里得几何学，简称欧氏几何。
不朽的平面几何学著作
▪ 《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造
性于一体的不朽之作。传到今天的欧几里得著作并不多， 然而我们却可以从这部书详细的写作笔调中，看出他真 实的思想底蕴。
▪ 亚里士多德认为： 公理，是一切科学公有的真理 公设，则是为某一门科学所接受的第一性原 理。
▪ 一门学科如果被表示成公理的形式，那么它的所 有命题就可以由这些公理或公设逻辑地推证出来。
▪ 如果我们把一门学科比作一幢大楼，那么该学科 的公理或公设就像大楼的地基，整幢大楼必须以 它为基础而建立起来。
公理与公设
▪ 亚里士多德认为：
公理，是一切科学公有的真理 公设，则是为某一门科学所接受的第一性原理。
欧几里得
▪ 欧几里得（约公元前330年—前275年），古希腊数学家， 被称为“几何之父”。他活跃于托勒密一世（公元前323 年－前283年）时期的亚历山大城，他最著名的著作《几 何原本》是欧洲数学的基础，提出五大公设，发展欧几 里得几何，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧 几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及 数论的作品,是几何学的奠基人
几何《原本》第一卷
▪ 公设 ▪ 1.假定从任意一点到任意一点可作一直线。 ▪ 2.一条有限直线可不断延长。 ▪ 3.以任意中心和直径可以画圆。 ▪ 4.凡直角都彼此相等。 ▪ 5.若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两
直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。
几何《原本》第一卷