高考数学一轮复习 第二章 函数 2.8 函数模型及其应用练习 理-人教版高三全册数学试题

§2.8函数模型及其应用
考纲解读
考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度
1.函数的实际应用问题了解指数函数、对数函数、幂函
数的增长特征,体会直线上升、
指数增长、对数增长等不同函数
类型增长的含义
Ⅱ
2016某某,7;
2015某某,8;
2014某某,16
解答题
★★☆
2.函数的综合应用问题了解函数模型(如指数函数、对
数函数、幂函数、分段函数等在
社会生活中普遍使用的函数模
型)的广泛应用,了解函数与方
程、不等式之间的联系,并能解
决一些具体的实际问题
Ⅰ
2015某某,15;
2014某某,9;
2013某某,8
★★★
分析解读
为了考查学生的综合能力与素养,高考加强了函数综合应用问题的考查力度,这一问题一般涉及的知识点较多,综合性也较强,属于中档以上的试题,题型以填空题和解答题为主,在高考中分值为5分左右,通常在如下方面考查:
1.对函数实际应用问题的考查,这类问题多以社会实际生活为背景,设问新颖,要求学生掌握课本中的概念、公式、法则、定理等基础知识与方法.
2.以课本知识为载体,把函数与方程、不等式、数列、解析几何等知识联系起来,构造不等式求参数X围,利用分离参数法求函数值域,进而求字母的取值等.
五年高考
考点一函数的实际应用问题
1.(2015某某,8,5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=e kx+b(e=
2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )
A.16小时
B.20小时
C.24小时
D.28小时
答案 C
2.(2013某某,5,5分)小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间加快速
度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是( )
答案 C
3.(2014某某,16,5分)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关,
其公式为F=.
(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为辆/小时;
(2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加辆/小时.
答案(1)1900 (2)100
教师用书专用(4)
4.(2013某某,14,5分)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为(m).
答案20
考点二函数的综合应用问题
1.(2014某某,9,5分)对于函数f(x),若存在常数a≠0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a-x),则称f(x)为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是( )
A.f(x)=
B.f(x)=x2
C.f(x)=tan x
D.f(x)=cos(x+1)
答案 D
2.(2014某某,9,5分)若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则实数a的值为( )
A.5或8
B.-1或5
C.-1或-4
D.-4或8
答案 D
3.(2013课标全国Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax,则a的取值X围是( )
A.(-∞,0]
B.(-∞,1]
C.[-2,1]
D.[-2,0]
答案 D
4.(2015某某,15,5分)已知函数f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中a∈R).对于不相等的实数x1,x2,设
m=,n=.
现有如下命题:
①对于任意不相等的实数x1,x2,都有m>0;
②对于任意的a及任意不相等的实数x1,x2,都有n>0;
③对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=n;
④对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=-n.
其中的真命题有(写出所有真命题的序号).
答案①④
教师用书专用(5—7)
5.(2014某某,10,5分)如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角θ的大小(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角).若AB=15 m,AC=25 m,∠BCM=30°,则tanθ的最大值是( )
A. B. C. D.
答案 D
6.(2013某某,8,5分)函数y=f(x)的图象如图所示,在区间[a,b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1,x2,…,x n,使得==…=,则n的取值X围为( )
A.{2,3}
B.{2,3,4}
C.{3,4}
D.{3,4,5}
答案 B
7.(2014某某,15,5分)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[-M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sin x 时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:
①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D, f(a)=b”;
②若函数f(x)∈B,则f(x)有最大值和最小值;
③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B;
④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>-2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.
其中的真命题有.(写出所有真命题的序号)
答案①③④
三年模拟
A组2016—2018年模拟·基础题组
考点一函数的实际应用问题
1.(2017某某质检,5)当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期”个数至少是( )
A.8
B.9
C.10
D.11
答案 C
2.(2016东城期中,12)已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元,某食品加工厂对饼干采用两种包装,其包装费用、销售价格如表所示:
型号小包装大包装
质量100克300克
包装费0.5元0.7元
销售价格 3.0元8.4元
则下列说法正确的是( )
①买小包装实惠;②买大包装实惠;③卖3小包比卖1大包盈利多;④卖1大包比卖3小包盈利多.
A.①②
B.①④
C.②③
D.②④
答案 D
3.(2018某某某某期中,13)某商品价格y(单位:元)因上架时间x(单位:天)的不同而不同,假定商品的价格与上架时间的函数关系是一种指数型函数,即y=k·a x(a>0且a≠1,x∈N*).若商品上架第1天的价格为96元,而上架第3天的价格为54元,则该商品上架第4天的价格为元.
答案
考点二函数的综合应用问题
4.(2018某某模拟,11)函数y=|log3x|的图象与直线l1:y=m从左至右分别交于点A,B,与直线l2:y=(m>0)从左至右分别交于点C,D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b,则的最小值为( )
A.81
B.27
C.9
D.3
答案 B
5.(2017某某红桥期中联考,10)已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表:
x -1 0 4 5
f(x) 1 2 2 1
f(x)的导函数y=f '(x)的图象如图所示:
下列关于函数f(x)的命题:
(1)函数y=f(x)是周期函数;
(2)函数f(x)在(0,2)上是减函数;
(3)如果当x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;
(4)当1<a<2时,函数y=f(x)-a有4个零点.
其中真命题的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 A
6.(2018某某某某外国语学校月考,16)对于定义域为[0,+∞)的函数f(x),如果同时满足下列三条:
(1)对任意的x∈[0,+∞),总有f(x)≥0;
(2)若x1≥0,x2≥0,则f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立;
(3)若0≤x1<x2<1,则>1,则称函数f(x)为“超级囧函数”.则下列函数是“超级囧函数”的
是.
①f(x)=sin x;
②g(x)=x2(x∈[0,1]);
③h(x)=2x-1;
④p(x)=ln(x+1).
答案③
7.(2016某某三校第一次联考,16)已知函数y=f(x),对定义域内的每一个值x1,在其定义域内都存在唯一的x2,使f(x1)·f(x2)=1成立,则称该函数为“依赖函数”.给出以下命题:
①y=是“依赖函数”;
②y=+sin x,x∈是“依赖函数”;
③y=2x是“依赖函数”;
④y=ln x是“依赖函数”;
⑤y=f(x),y=g(x)都是“依赖函数”,且定义域相同,则y=f(x)·g(x)是“依赖函数”.
其中所有真命题的序号是.
答案②③
8.(2016皖北第一次联考,19)某工厂某种商品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本C(x)万元,
当年产量不足80千件时,C(x)=x2+10x;当年产量不少于80千件时,C(x)=51x+-1 450.每件商品售价为
0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
解析(1)∵每件商品售价为0.05万元,
∴x千件商品销售额为0.05×1 000x万元.
①当0<x<80时,
L(x)=(0.05×1 000x)-x2-10x-250=-x2+40x-250;
②当x≥80时,
L(x)=(0.05×1 000x)-51x-+1 450-250=1 200-.
综合①②可得,L(x)=
(2)由(1)可知,L(x)=
①当0<x<80时,L(x)=-x2+40x-250=-(x-60)2+950,
∴当x=60时,L(x)取得最大值,最大值为L(60)=950;
②当x≥80时,L(x)=1 200-≤1 200-2=1 200-200=1 000,
当且仅当x=,即x=100时,L(x)取得最大值,最大值为L(100)=1 000.
∵950<1 000,∴当年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大,最大利润为1 000万元.
B组2016—2018年模拟·提升题组
(满分:30分时间:20分钟)
一、选择题(每小题5分,共15分)
1.(2018某某某某期中,12)已知定义在上的函数f(x)满足f(x)=f,且当x∈[1,π]时,f(x)=ln x,若函数g(x)=f(x)-ax在上有唯一的零点,则实数a的取值X围是( )
A. B.∪{0}
C.[0,πln π]
D.∪{0}
答案 D
2.(2017某某某某、长郡中学等十三校联考,9)某大型民企为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该民企2016年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg 1.12=0.05,lg 1.3=0.11,lg 2=0.30)( )
A.2017年
B.2018年
C.2019年
D.2020年
答案 D
3.(2017某某名校联考,12)设函数f(x)=-4x+2x+1-1,g(x)=lg(ax2-4x+1),若对任意x1∈R,都存在x2∈R,使
f(x1)=g(x2),则实数a的取值X围为( )
A.(0,4]
B.(-∞,4]
C.(-4,0]
D.[4,+∞)
答案 B
二、填空题(共5分)
4.(2016某某某某五校联盟一诊,9)已知函数y=f(x)是R上的偶函数,对于任意x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)
成立,当x1,x2∈[0,3],且x1≠x2时,都有>0.给出下列命题:
①f(3)=0;
②直线x=-6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴;
③函数y=f(x)在[-9,-6]上为增函数;
④函数y=f(x)在[-9,9]上有四个零点.
其中所有正确命题的序号为.(把所有正确命题的序号都填上)
答案①②④
三、解答题(共10分)
5.(2017某某某某七校联考,20)某店销售进价为2元/件的产品A,假设该店产品A每日的销售量y(单位:千件)
与销售价格x(单位:元/件)满足关系式y=+4(x-6)2,其中2<x<6.
(1)若产品A的销售价格为4元/件,求该店每日销售产品A所获得的利润;
(2)试确定产品A的销售价格x的值,使该店每日销售产品A所获得的利润最大.(保留1位小数)
解析(1)当x=4时,销售量y=+4×(4-6)2=21千件,
所以该店每日销售产品A所获得的利润是2×21=42千元.
(2)该店每日销售产品A所获得的利润
f(x)=(x-2)·=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240x-278(2<x<6),从而f
'(x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2<x<6).
令f '(x)=0,得x=(x=6舍去),在上, f '(x)>0,函数f(x)单调递增;在上, f '(x)<0,函数f(x)单调递减,
所以x=是函数f(x)在(2,6)内的极大值点,也是最大值点,
所以当x=≈3.3时,函数f(x)取得最大值.
故当销售价格为3.3元/件时,每日销售产品A所获得的利润最大.
C组2016—2018年模拟·方法题组
方法常见函数模型的理解
1.(2018某某某某期末,14)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述:设物体的初始温度是T0,经过
一定时间t后的温度是T,则T-T a=(T0-T a)·,其中T a称为环境温度,h称为半衰期.现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡,放在24 ℃的房间中,如果咖啡降到40 ℃需要20分钟,那么此杯咖啡从40 ℃降温到32 ℃时,还需要分钟.
答案10
2.(2017某某重点高中联合协作体期中,21)某市居民用水收费标准如下:每户每月用水不超过15吨时,每吨2元,当用水超过15吨时,超过部分每吨3元.某月甲、乙两户共交水费y元,已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x吨,3x吨.
(1)求y关于x的函数表达式;
(2)若甲、乙两户该月共交水费114元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和所交水费.
解析(1)y=
(2)若0<x≤3,由16x=114,解得x=(舍去);
若3<x≤5,由21x-15=114,解得x=(舍去);
若x>5,由24x-30=114,解得x=6.
所以甲户该月的用水量为5x=30吨,所交水费为15×2+(30-15)×3=75元;
乙户该月的用水量为3x=18吨,所交水费为15×2+(18-15)×3=39元.
3.(2017某某金溪一中等期中联考,19)食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用对人民群众的健康有一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西
红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位:万元)满足P=80+4,Q=a+120,设甲大棚的投入为x(单位:万元),每年两个大棚的总收益为f(x)(单位:万元).
(1)求f(50)的值;
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益f(x)最大?
解析(1)甲大棚投入50万元,则乙大棚投入150万元,
∴f(50)=80+4+×150+120=277.5.
(2)f(x)=80+4+(200-x)+120=-x+4+250,依题意,得⇒20≤x≤180,
故f(x)=-x+4+250(20≤x≤180).
令t=,则t∈[2,6],
则y=-t2+4t+250=-(t-8)2+282,
当t=8,即x=128时, f(x)max=282.
所以甲大棚投入128万元,乙大棚投入72万元时,总收益最大,且最大总收益为282万元.
4.(2016某某晨曦等四校第一次联考,20)某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品,根据经验知道,其次品率P与日产量x(万件)之间满足关系:
P=(其中c为小于6的正常数).
(注:次品率=次品数/生产量,如P=0.1表示每生产10件产品,有1件为次品,其余为合格品)
已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元,但每生产1万件次品将亏损1万元,故厂方希望定出合适的日产量.
(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T(万元)表示为日产量x(万件)的函数;
(2)当日产量为多少时,可获得最大利润?
解析(1)当x>c时,P=,∴T=x·2-x·1=0.
当1≤x≤c时,P=,
∴T=·x·2-·x·1=.
综上,日盈利额T(万元)与日产量x(万件)的函数关系为
word
T=
(2)由(1)知,当x>c时,每天的盈利额为0万元,
∴1≤x≤c.
(i)当3≤c<6时,
T==15-2≤15-12=3,
当且仅当x=3时取等号.故T max=3,此时x=3.
(ii)当1≤c<3时,由T'==>0知,
函数T=在[1,c]上递增,∴当x=c时,T max=, 综上,若3≤c<6,则当日产量为3万件时,可获得最大利润; 若1≤c<3,则当日产量为c万件时,可获得最大利润.。