黑龙江省哈尔滨第九中学2020届高三5月高考文科数学模拟试卷 (解析版)

2020年高考数学模拟试卷（文科）（5月份）
一、选择题（共12小题）.
1．若复数（1+mi ）（3+i ）（i 是虚数单位，m ∈R ）是纯虚数，则复数m+3i 1−i
的模等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．“m =1
2
”是“直线（m +2）x +3my +1＝0与直线（m ﹣2）x +（m +2）y ﹣3＝0相互垂直”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
3．将甲、乙两个篮球队5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是（ ）
A ．甲队平均得分高于乙队的平均得分
B ．甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数
C ．甲队得分的方差大于乙队得分的方差
D ．甲乙两队得分的极差相等
4．已知有下面程序，若程序执行后输出的结果是11880，则在程序后面的“横线”处应填（ ）
A．i≥9B．i＝8C．i≥10D．i≥8
5．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n﹣1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前55项和为（）
A．4072B．2026C．4096D．2048
6．有两条不同的直线m，n与两个不同的平面α，β，下列结论中正确的是（）A．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥βB．m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n
C．m∥n，n⊆α，则m∥αD．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n
7．已知函数f(x)=|x+1
x
|+|2−x+12−x|，则下列关于函数f（x）图象的结论正确的是
（）
A．关于点（0，0）对称B．关于点（0，1）对称
C．关于y轴对称D．关于直线x＝1对称
8．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD（含端
点）上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量AP →=mAB →+nAF →
（m ，n 为实数），则m +n 的最大值是（ ）
A ．2
B ．3
C ．5
D ．6
9．设p ＝0.50.7，q =1
3log 30.3，则有（ ）
A ．p ﹣q ＞pq ＞p +q
B ．p ﹣q ＞p +q ＞pq
C ．pq ＞p ﹣q ＞p +q
D ．p +q ＞p ﹣q ＞pq
10．设点M （x 0，1），若在圆O ：x 2+y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是（ ）
A ．[﹣1，1]
B ．[−12
，12
]
C ．[−√2，√2]
D ．[−√
22
，√22
]
11．如图，已知F 1、F 2为双曲线C ：
x 2a −
y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点P 在
第一象限，且满足|F 2P|→
=a ，（F 1P →
+F 1F 2→
）•F 2P →
=0，线段PF 2与双曲线C 交于点Q ，若F 2P →
=5F 2Q →
，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）
A ．y ＝±
√5
5
x B ．y ＝±1
2
x
C ．y ＝±√3
2
x
D ．y ＝±√3
3
x
12．已知数列{a n }中，a 1＝2，n （a n +1﹣a n ）＝a n +1，n ∈N *，若对于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N *，不等式
a n+1n+1
＜2t 2+at ﹣1恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）
A ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
B ．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）
C ．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
D ．[﹣2，2]
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．函数f （x ）＝cos （2x +
5π
6）+sin （2x +π）（x ∈[−π4，π4
]）的最大值为 ． 14．已知实数x ，y 满足{3x −2y −3≤0
x −3y +6≥02x +y −2≥0，在这两个实数x ，y 之间插入三个实数，使这五
个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为 ．
15．已知A ，B 是圆C ：x 2+y 2﹣8x ﹣2y +16＝0上两点，点P 在抛物线x 2＝2y 上，当∠APB 取得最大值时，|AB |＝ ．
16．△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若A ＝2B ，则c
b
+
2b a
的取值范围为 ．
三、解答题（本题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.
17．已知向量a →
，b →
满足a →
=（﹣2sin x ，√3（cos x +sin x ）），b →
=（cos x ，cos x ﹣sin x ），函数f （x ）=a →
•b →（x ∈R ）．
（Ⅰ）求f （x ）在x ∈[−π
2，0]时的值域； （Ⅱ）已知数列a n ＝n 2f （
nπ2
−
11π24
）（n ∈N +），求{a n }的前2n 项和S 2n ．
18．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝2，BC ＝4，AB =AC =2√2，过BC 的截面α与面AB 1C 1交于EF ． （1）求证：EF ∥BC ．
（2）若截面α过点A 1，求证：α⊥面AEF ． （3）在（2）的条件下，求V A 1−EFA ．
19．如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布表和频率分布直方图如下，回答下列问题：
分组人数频率
[39.5，49.5）a0.10
[49.5，59.5）9x
[59.5，69.5）b0.15
[69.5，79.5）180.30
[79.5，89.5）15y
[89.5，99.5]30.05
（1）分别求出a，b，x，y的值，并补全频率分布直方图；
（2）估计这次环保知识竞赛平均分；
（3）若从所有参加环保知识竞赛的学生中随机抽取一人采访，抽到的学生成绩及格的概率有多大？
20．设函数f （x ）＝（1+a ﹣ax ）lnx ﹣b （x ﹣1），其中a ，b 是实数．已知曲线y ＝f （x ）与x 轴相切于点（1，0）． （1）求常数b 的值；
（2）当1≤x ≤2时，关于x 的不等式f （x ）≥0恒成立，求实数a 的取值范围． 21．已知椭圆C ：
x 2a 2
+
y 2b 2
=1（a ＞b ＞0）经过点 （1，
√32），离心率为√3
2
，点A 为椭圆C 的右顶点，直线l 与椭圆相交于不同于点A 的两个点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）当AP →
⋅AQ →
=0时，求△OPQ 面积的最大值；
（Ⅲ）若直线l 的斜率为2，求证：△APQ 的外接圆恒过一个异于点A 的定点． （二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为{x =t
y =4−√3t （t 为参数），圆C
的方程为x 2+（y ﹣1）2＝1．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求l 和C 的极坐标方程；
（2）过O 且倾斜角为α的直线与l 交于点A ，与C 交于另一点B ．若
π6
≤α≤
5π12
，求
|OB||OA|
的取值范围．
23．不等式|x +2|+|x +4|＜8的解集为（n ，m ）． （1）求m 的值；
（2）设a ，b ，c ∈R *，且a 2+b 2+c 2＝m ，求a +2b +3c 的最大值．
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若复数（1+mi ）（3+i ）（i 是虚数单位，m ∈R ）是纯虚数，则复数m+3i 1−i
的模等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【分析】由已知求得m ，代入m+3i 1−i
，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的
计算公式求解．
解：∵（1+mi ）（3+i ）＝3﹣m +（3m +1）i 为纯虚数， ∴m ＝3，
则
m+3i 1−i
=3+3i 1−i
=
3(1+i)2(1−i)(1+i)
=3i ，
∴复数
m+3i 1−i
的模等于3．
故选：C ．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．
2．“m =1
2
”是“直线（m +2）x +3my +1＝0与直线（m ﹣2）x +（m +2）y ﹣3＝0相互垂直”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
【分析】判断充分性只要将“m =12
”代入各直线方程，看是否满足（m +2）（m ﹣2）+3m •（m +2）＝0，判断必要性看（m +2）（m ﹣2）+3m •（m +2）＝0的根是否只有1
2．
解：当m =12时，直线（m +2）x +3my +1＝0的斜率是−53
，直线（m ﹣2）x +（m +2）y ﹣3＝0的斜率是3
5，
∴满足k 1•k 2＝﹣1，
∴“m =1
2”是“直线（m +2）x +3my +1＝0与直线（m ﹣2）x +（m +2）y ﹣3＝0相互垂
直”的充分条件，
而当（m +2）（m ﹣2）+3m •（m +2）＝0得：m =12
或m ＝﹣2．
∴“m =12
”是“直线（m +2）x +3my +1＝0与直线（m ﹣2）x +（m +2）y ﹣3＝0相互垂直”充分而不必要条件． 故选：B ．
【点评】本题是通过常用逻辑用语考查两直线垂直的判定．
3．将甲、乙两个篮球队5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是（ ）
A ．甲队平均得分高于乙队的平均得分
B ．甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数
C ．甲队得分的方差大于乙队得分的方差
D ．甲乙两队得分的极差相等
【分析】根据中位数，平均数，极差，方差的概念计算比较可得．
解：对于A ，甲的平均数为15
（26+28+29+31+31）＝29，乙的平均数为15
（28+29+30+31+32）＝30，故错误；
对于B，甲队得分的中位数是29，乙队得分的中位数是30，故错误；
对于C，甲成绩的方差为：s2=15×[（26﹣29）2+（28﹣29）2+（29﹣29）2+（31﹣29）
2+（31﹣29）2]=18
5．
乙成绩的方差为：s2=15×[（28﹣30）2+（29﹣30）2+（30﹣30）2+（31﹣30）2+（32﹣30）2]＝2．
可得甲队得分的方差大于乙队得分的方差，故正确；
对于D，甲的极差是31﹣26＝5．乙的极差是32﹣28＝4，两者不相等，故错误．
故选：C．
【点评】本题考查了考查茎叶图的性质等基础知识，考查中位数，平均数，极差，方差的概念计算及运算求解能力，是基础题．
4．已知有下面程序，若程序执行后输出的结果是11880，则在程序后面的“横线”处应填（）
A．i≥9B．i＝8C．i≥10D．i≥8
【分析】根据输出的结果推出循环体执行的次数，
再根据s＝1×12×11×10×9＝11880得到程序的条件是什么．
解：因为输出的结果是11880，
即s＝1×12×11×10×9，需执行4次，
则程序中的“条件”应为i≥9．
故选：A．
【点评】本题主要考查了循环语句的应用问题，语句的识别问题是一个逆向性思维，是基础题．
5．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n﹣1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前55项和为（）
A．4072B．2026C．4096D．2048
【分析】利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．
解：n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，
例如（x+1）2＝x2+2x+1，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第3行，
令x＝1，就可以求出该行的系数之和，
第1行为20，第2行为21，第3行为22，以此类推
即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，
则杨辉三角形的前n项和为S n=1−2n
1−2
=2n﹣1，
若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，
则T n=n(n+1)
2，
可得当n＝12，去除两端的“1”可得78﹣23＝55，
则此数列前55项的和为S12﹣23＝212﹣1﹣23＝4072．
故选：A．
【点评】本题主要考查数列的求和，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列、等差数列的求和公式是解决本题的关键，
6．有两条不同的直线m，n与两个不同的平面α，β，下列结论中正确的是（）A．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥βB．m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n C．m∥n，n⊆α，则m∥αD．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n
【分析】对于A，只有在满足n⊂α时，可得n⊥β；对于B，由m⊥α，α∥β，得m⊥β，由n∥β，可得m⊥n；对于C，m∥α或m在α内；对于D，m，n相交、平行或异面．解：对于A，由α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，只有在满足n⊂α时，可得n⊥β，所以A不正确；
对于B，由m⊥α，α∥β，可得m⊥β，又由n∥β，所以可得m⊥n，所以B正确；
对于C，由m∥n，n⊆α，则m∥α或m在α内，所以C不正确；
对于D，由m∥α，n∥β且α∥β，则m，n相交、平行或异面，所以D不正确．
故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
7．已知函数f(x)=|x+1
x
|+|2−x+12−x|，则下列关于函数f（x）图象的结论正确的是
（）
A．关于点（0，0）对称B．关于点（0，1）对称
C ．关于y 轴对称
D ．关于直线x ＝1对称
【分析】令x ＝2﹣t ，那么|2﹣x +12−x |＝|t +1t |，|x +1x |＝|2﹣t +1
2−t
|，可得f （x ）＝f （2﹣x ）则f （x ）关系x ＝1对称．
解：函数f(x)=|x +1
x |+|2−x +1
2−x |， 令x ＝2﹣t ，那么|2﹣x +12−x |＝|t +1t |，|x +1x |＝|2﹣t +12−t
|， 可得f （x ）＝f （2﹣x ） 则f （x ）关于直线x ＝1对称． 故选：D ．
【点评】本题考查了函数图象变换，对称问题，是中档题．
8．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD （含端点）上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量AP →
=mAB →
+nAF →
（m ，n 为实数），则m +n 的最大值是（ ）
A ．2
B ．3
C ．5
D ．6
【分析】利用平面向量的运算法则结合题意将原问题转化为向量的投影问题，然后数形结合即可求得最终结果． 解：由题意可得：
AP →
⋅AE →
=mAB →
⋅AE →
+nAF →
⋅AE →
=nAF →
⋅AE →
=n|AF →
||AE →
|cos∠FAE =6n ，
同理，AP→⋅AC→=6m，
两式相加可得：AP→⋅(AE→+AC→)=6(m+n)；
∵AE→+AC→=2AO→，∴2AP→⋅AO→=6(m+n)．
∵AP→⋅AO→=|AP→||AO→|cos∠PAO=3|AP→|cos∠PAO．
∴m+n=|AP→|cos∠PAO，其几何意义就是AP→在AO→上的投影．
∴求m+n的最大值就转化为求AP→在AO→上投影最大值．
从图形上可以看出：当点Q和D点重合时，AP→在AO→上的投影取到最大值5．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量的坐标运算，数形结合解题等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．
9．设p＝0.50.7，q=1
3
log30.3，则有（）
A．p﹣q＞pq＞p+q B．p﹣q＞p+q＞pq C．pq＞p﹣q＞p+q D．p+q＞p﹣q＞pq
【分析】比较p与1
2
的大小，求出q的范围即可得到结论．
解：依题意，p＝0.50.7＞0.5，
q=1
3log30.3=log3(310)
1
3＜log31＝0，
又因为(3
10)
1
3＞(
1
3
)
1
2，
所以q=log3(3
10)
1
3＞log3(
1
3
)
1
2=log33(−
1
2)=−
1
2
，
即−1
2＜q＜0，
所以p﹣q＞p+q＞0，pq＜0，
所以p﹣q＞p+q＞pq，
故选：B．
【点评】本题考查了指数函数幂函数的图象和性质，考查分析和解决问题的能力，属于中档题．
10．设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是（）
A．[﹣1，1]B．[−1
2，
1
2
]C．[−√2，√2]D．[−√2
2
，
√2
2
]
【分析】根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．
解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN ＝45°，
则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN＝45°，
而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，
此时MN＝1，
图中只有M′到M″之间的区域满足MN＝1，
∴x0的取值范围是[﹣1，1]．
故选：A．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，数形结合是快速解得本题的策略之一．
11．如图，已知F 1、F 2为双曲线C ：
x 2a 2
−
y 2b 2
=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点P 在
第一象限，且满足|F 2P|→
=a ，（F 1P →
+F 1F 2→
）•F 2P →
=0，线段PF 2与双曲线C 交于点Q ，若F 2P →
=5F 2Q →
，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）
A ．y ＝±
√5
5
x B ．y ＝±1
2
x
C ．y ＝±√3
2
x
D ．y ＝±√3
3
x
【分析】由题意，|PF 1|＝|F 1F 2|2c ，|QF 1|=
115a ，|QF 2|=1
5
a ，由余弦定理可得4c 2+125
a 2−
12125a 2
2×2c×1
5a
=
12
a 2c
，确定a ，b 的关系，即可求出双曲线C 的渐近线方程．
解：由题意，（F 1P →+F 1F 2→）•F 2P →
=0，∴|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，|QF 1|=115a ，|QF 2|=1
5
a ，
∴由余弦定理可得
4c 2+125
a 2−
12125a 2
2×2c×1
5a
=
12
a 2c
，
∴c =√
52
a ，
∴b =12
a ，
∴双曲线C 的渐近线方程为y =±12
x ． 故选：B ．
【点评】本题考查双曲线C 的渐近线方程，考查学生的计算能力，确定a ，b 的关系是关键．
12．已知数列{a n }中，a 1＝2，n （a n +1﹣a n ）＝a n +1，n ∈N *，若对于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N *，不等式
a n+1n+1
＜2t 2+at ﹣1恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）
A ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
B ．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）
C ．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
D ．[﹣2，2]
【分析】由题意可得
a n+1n+1
−
a n n
=
1n(n+1)
=
1n
−
1
n+1
，运用裂项相消求和可得
a n+1n+1
，
再由不等式恒成立问题可得2t 2+at ﹣4≥0，设f （a ）＝2t 2+at ﹣4，a ∈[﹣2，2]，运用一次函函数的性质，可得t 的不等式，解不等式即可得到所求t 的范围． 解：根据题意，数列{a n }中，n （a n +1﹣a n ）＝a n +1， 即na n +1﹣（n +1）a n ＝1， 则有
a n+1n+1
−
a n n
=
1n(n+1)
=
1n
−
1
n+1
，
则有
a n+1n+1=（
a n+1n+1
−
a n n
）+（
a n n
−
a n−1n−1
）+（
a n−1n−1
−a n−2n−2）+…+（12
a 2﹣a 1）+a 1
＝（1
n −
1
n+1
）+（
1
n−1
−1
n
）+（
1
n−2
−
1
n−1
）+…+（1−1
2
）+2＝3−
1
n+1
＜3， a n+1n+1
＜2t 2+at ﹣1即3−
1
n+1
＜2t 2+at ﹣1， ∵对于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N *，不等式a n+1n+1
＜2t 2+at ﹣1恒成立，
∴2t 2+at ﹣1≥3，
化为：2t 2+at ﹣4≥0，
设f （a ）＝2t 2+at ﹣4，a ∈[﹣2，2]， 可得f （2）≥0且f （﹣2）≥0， 即有{t 2+t −2≥0t 2−t −2≥0即{t ≥1或t ≤−2t ≥2或t ≤−1，
可得t ≥2或t ≤﹣2，
则实数t 的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）． 故选：A ．
【点评】本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是对n （a n +1﹣a n ）＝a n +1的变形． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．函数f （x ）＝cos （2x +5π
6）+sin （2x +π）（x ∈[−π4，π4
]）的最大值为 ．
【分析】利用和差公式、诱导公式化简f （x ），再利用三角函数的单调性即可得出． 解：f(x)=cos(2x +5π
6)+sin(2x +π) =−
√3
2
cos2x −1
2sin2x ﹣sin2x
=−
√3
2
cos2x −3
2
sin2x
=−√3sin （2x +π6）． ∵x ∈[−π
4，π
4]，
∴（2x +π6）∈[−π3，2π
3
]，
∴sin （2x +π6）∈[−√
32
，1]．
∴f （x ）的最大值为3
2
．
故答案为：32
．
【点评】本题考查了和差公式、诱导公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．已知实数x ，y 满足{3x −2y −3≤0
x −3y +6≥02x +y −2≥0，在这两个实数x ，y 之间插入三个实数，使这五
个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为 9 ．
【分析】利用数列的关系推出三项和关于x ，y 的表达式，画出约束条件的可行域，利用线性规划知识求解最值．
解：设构成等差数列的五个数分别为x ，a ，b ，c ，y ， 因为等差数列的公差d =y−x
4， 则b +c +y =(x +2×
y−x 4)+(x +3×y−x 4)+y =3
4(x +3y) （另解：因为由等差数列的性质有x +y ＝a +c ＝2b ， 所以b =x+y 2，c =b+y 2=
x+y
2+y 2
．）
则等差数列后三项和为
b +
c +y =x+y 2+x+y
2+y 2+y =34x +9
4
y
=3
4(x +3y)．）．
所以设z ＝x +3y ，实数x ，y 满足{3x −2y −3≤0
x −3y +6≥02x +y −2≥0，
作出约束条件所表示的可行域如图所示： 可知当经过点A （3，3）时，
目标函数z＝x+3y有最大值12，此时b+c+y有最大值9．
故答案为：9．
【点评】本题考查数列以及线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．15．已知A，B是圆C：x2+y2﹣8x﹣2y+16＝0上两点，点P在抛物线x2＝2y上，当∠APB
取得最大值时，|AB|＝√5
5
．
【分析】求出圆C：x2+y2﹣8x﹣2y+16＝0的圆心与半径，设出抛物线x2＝2y上当点P，当∠APB取得最大值时，就是PC最小时，利用距离公式以及函数的导数求解最值，然后转化求解即可．
解：圆C：x2+y2﹣8x﹣2y+16＝0的圆心（4，1），半径为1，
设抛物线上的点P（m，n），则m2＝2n，
|PC|=√(m−4)2+(n−1)2=√m2−8m+m4
4−m2+17=√m
4
4
−8m+17，
令g（m）=m 4
4
−8m+17，
可得g′（m）＝m3﹣8，令g′（m）＝m3﹣8＝0，解得m＝2，
m＜2，g′（m）＝m3﹣8＜0，m＞2，g′（m）＝m3﹣8＞0，所以g（m）的最小值为：4﹣16+17＝5．
|PC |≥√5，
所以切线长为：|PA |＝2，如图：
|PC |•12
|AB |＝|PA |•|AC |，
γ
√5
2
|AB|=2×1 |AB |=4√
55
．
故答案为：
4√5
5
．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，圆的方程的综合应用，考查数形结合以及转化思想的应用．
16．△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若A ＝2B ，则c
b
+
2b a
的取值范围为 （2，
4） ．
【分析】先根据正弦定理化简整理可得c
b +
2b a
=4cos 2B +1cosB −1，设cosB =t ∈(1
2
，1)，构造函数，利用导数判断出函数的单调性，求出其值域即可．
解：.c
b
+
2b a
=sinC sinB
+2sinB sinA
=sin3B sinB
+2sinB sin2B
=sinBcos2B+cosBsin2B
sinB
+
1cosB
＝cos2B +2cos 2B +
1cosB =4cos 2
B +1cosB
−1． 又2B ∈（0，π），且A +B ＝3B ∈（0，π），
所以B∈(0，π
3 )．
设cosB=t∈(1
2，1)，
令c
b +
2b
a
=4t2+
1
t
−1＝f（t），
则f'（t）＝8t−1
t2=8t
3−1
t2
＞0，
故f（t）在(1
2，1)上单调递增，
所以2＜f（t）＜4．
所以c
b +
2b
a
的取值范围为（2，4），
故答案为：（2，4）
【点评】本题考查三角函数的化简和求值，主要考查二倍角公式和正弦定理的运用，同时考查函数的单调性的运用，属于中档题．
三、解答题（本题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.
17．已知向量a→，b→满足a→=（﹣2sin x，√3（cos x+sin x）），b→=（cos x，cos x﹣sin x），函数f（x）=a→•b→（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）在x∈[−π
2，0]时的值域；
（Ⅱ）已知数列a n＝n2f（nπ
2
−
11π
24
）（n∈N+），求{a n}的前2n项和S2n．
【分析】（Ⅰ）利用平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用可求解析式f
（x）＝2sin（2x+2π
3），由x∈[
−
π
2，0]，可求2x+
2π
3的范围，利用正弦函数的图象和性
质即可求值域．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）可得a n＝2n2sin（nπ−π
4），可求得S2n=√2[12﹣22+32﹣42+…+（2n
﹣1）2﹣（2n）2]，利用（2n﹣1）2﹣（2n）2＝﹣4n+1，由等差数列的求和公式即可得解．
解：（Ⅰ）f（x）=a→•b→=−sin2x+√3cos2x＝2sin（2x+2π3），
当x∈[−π
2，0]时，2x+
2π
3
∈[−π3，
2π
3
]，
可得：2sin（2x+2π
3）∈[−√3，2]…4分
（Ⅱ）∵a n＝n2f（nπ
2
−
11π
24
）＝2n2sin[2（
nπ
2
−
11π
24
）+
2π
3]＝2n
2sin（nπ−
π
4），
∴S2n=√2[12﹣22+32﹣42+…+（2n﹣1）2﹣（2n）2]，又∵（2n﹣1）2﹣（2n）2＝﹣4n+1，
∴解得：S2n=√2×(−3−4n+1)n
2
=√2（﹣2n2﹣n）…10分
【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，数列的求和，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．
18．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2，BC＝4，AB=AC=2√2，过BC的截面α与面AB1C1交于EF．
（1）求证：EF∥BC．
（2）若截面α过点A1，求证：α⊥面AEF．
（3）在（2）的条件下，求V A
1−EFA
．
【分析】（1）由题意得BC∥B1C1，可得BC∥面AB1C1，再由BC⊂面α，α∩面AB1C1
＝EF，利用平面与平面平行的性质定理可得BC∥EF；
（2）取EF的中点O，连接A1O和AO，由已知可得AO⊥EF，求解三角形证明A1O⊥AO，再由直线与平面垂直的判定可得A1O⊥面AEF，进一步得到α⊥面AEF；
（3）由（2）可得A1O⊥面AEF，得A1O⊥AO，且A1O=AO=√2，证明EO⊥面AA1O，
并求得EO=1
2
B1C1=1，再由V A
1−EFA
=V E−A
1AO
+V F−A
1AO
=2V E−A
1AO
求解．
【解答】（1）证明：由题意，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，可得BC∥B1C1，∵BC⊄面AB1C1，B1C1⊂面AB1C1，∴BC∥面AB1C1，
又∵BC⊂面α，α∩面AB1C1＝EF，
由线面平行的性质定理，可得BC∥EF；
（2）证明：取EF的中点O，连接A1O和AO，
∵截面α过点A1，∴截面α即为面A1BC，
∴E、F分别为B1A，AC1中点，即AE＝AF，
又∵O为EF中点，∴AO⊥EF，
在Rt△AOE中，AE=√3，EO＝1，∴AO=√2，
同理，A1O=√2，
在△A1OA中，A1O2+AO2=AA12=4，
∴△A1OA为直角三角形，即A1O⊥AO，
又∵A1O⊥EF，AO∩EF＝O，∴A1O⊥面AEF，∴α⊥面AEF．
（3）解：由（2）可得A1O⊥面AEF，∴A1O⊥AO，且A1O=AO=√2，
又由AO⊥EO，且A1O⊥EO，可得EO⊥面AA1O，且EO=1
2
B1C1=1，
又由V A
1−EFA =V E−A
1AO
+V F−A
1AO
=2V E−A
1AO
，
=2×13×12×A1O×AO×EO=2×13×12×√2×√2×1=23．∴V A
1−EFA
【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19．如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布表和频率分布直方图如下，回答下列问题：
分组人数频率
[39.5，49.5）a0.10
[49.5，59.5）9x
[59.5，69.5）b0.15
[69.5，79.5）180.30
[79.5，89.5）15y
[89.5，99.5]30.05
（1）分别求出a，b，x，y的值，并补全频率分布直方图；
（2）估计这次环保知识竞赛平均分；
（3）若从所有参加环保知识竞赛的学生中随机抽取一人采访，抽到的学生成绩及格的概率有多大？
【分析】（1）根据频率分布表求出出a，b，x，y，再作出频率分布直方图；
（2）用组中值估计平均分即可；
（3）先求出本次竞赛及格率，用样本估计总体，每个人被抽到的概率相同，故可以求出抽到的学生成绩及格的概率．
解：（1）a＝60×0.1＝6，b＝60×0.15＝9，x=9
60
=0.15，y=1560=0.25；
频率分布直方图如图所示：
（2）用组中值估计平均分：44.5×0.1+54.5×0.15+64.5×0.15+74.5×0.3+84.5×0.25+94.5×0.05＝70.5；
（3）本次竞赛及格率为：0.015×10+0.025×10+0.03×10+0.005×10＝0.75，用样本估计总体，每个人被抽到的概率相同，
∴从所有参加环保知识竞赛的学生中随机抽取一人采访，抽到的学生成绩及格的概率为0.75．
【点评】本题考查了频率分布表与频率分布直方图以及样本估计总体，考查了学生的运算能力与作图能力，属于基础题．
20．设函数f（x）＝（1+a﹣ax）lnx﹣b（x﹣1），其中a，b是实数．已知曲线y＝f（x）与x轴相切于点（1，0）．
（1）求常数b的值；
（2）当1≤x≤2时，关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）对f（x）求导，根据条件知f′（1）＝0，即可求常数b的值；
（2）求得f′（x）＝﹣alnx+1+a−ax
x
−1，x∈[1，2]，f″（x）=−
a
x
−1+a
x2
=−ax+a+1
x2
，
分类讨论当a≤﹣1时，当a≥0时，当﹣1＜a＜0时，确定函数的单调性，即可求实数a 的取值范围．
解：（1）函数f（x）＝（1+a﹣ax）lnx﹣b（x﹣1）的导数为
f′（x）＝﹣alnx+1+a−ax
x
−b，
因为y＝f（x）与x轴相切于（1，0），故f'（1）＝0，即﹣aln1+1﹣b＝0，
解得b＝1；
（2）由f′（x）＝﹣alnx+1+a−ax
x
−1，x∈[1，2]，
f″（x）=−a
x
−1+a
x2
=−ax+a+1
x2
，
①当a≤﹣1时，由于x∈[1，2]，有f″（x）≥0，
于是f'（x）在x∈[1，2]上单调递增，从而f'（x）≥f'（1）＝0，因此f（x）在x∈[1，2]上单调递增，即f（x）≥f（1）＝0，
而且仅有f（1）＝0，符合；
②当a≥0时，由于x∈[1，2]，有f″（x）＜0，
于是f'（x）在x∈[1，2]上单调递减，从而f'（x）≤f'（1）＝0，
因此f （x ）在x ∈[1，2]上单调递减，即f （x ）≤f （1）＝0不符； ③当﹣1＜a ＜0时，令m ＝min {1，−
a+1
a
}，当x ∈[1，m ]时，f ″（x ）＜0， 于是f '（x ）在x ∈[1，m ]上单调递减，从而f '（x ）≤f '（1）＝0，
因此f （x ）在x ∈[1，m ]上单调递减，即f （x ）≤f （1）＝0，仅有f （1）＝0，不符． 综上可知，所求实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣1]．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查单调性的运用，以及分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题． 21．已知椭圆C ：
x 2a 2
+
y 2b 2
=1（a ＞b ＞0）经过点 （1，
√32），离心率为√3
2
，点A 为椭圆C 的右顶点，直线l 与椭圆相交于不同于点A 的两个点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）当AP →
⋅AQ →
=0时，求△OPQ 面积的最大值；
（Ⅲ）若直线l 的斜率为2，求证：△APQ 的外接圆恒过一个异于点A 的定点． 【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率，求得a 和b 的关系，将P 代入椭圆方程，即可求得a 和b 的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）当斜率不存在时，求得P 和Q 点坐标，由 AP →
⋅AQ →
=0，求得m 的值，求得|PQ |求得，△OPQ 的面积，当斜率存在时，设直线l 方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式及三角形的面积公式，即可求得△OPQ 面积的最大值；
（Ⅲ）设直线y ＝2x +m ，代入椭圆方程，设外接圆的方程，联立直线l 的方程，将A 代入外接圆方程，联立方程，即可求得△APQ 的外接圆恒过一个异于点 A 的定点．
解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e =c a =√32
，即c 2=34a 2，即b 2＝a 2﹣c 2=1
4a 2，a 2＝4b 2，
将点 （1，√3
2
）代入椭圆方程
x 24b +
y 2b =1，即
14b +
34b =1，解得：b 2＝1，
∴a 2＝4，
∴椭圆的标准方程：
x 24
+y 2=1；
（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，设l ：x ＝m ，代入椭圆方程
x 24
+y 2=1，
P （m ，√1−m 2
4
），Q （m ，−√1−m 2
4
），
由AP →⋅AQ →
=0，（m ﹣2）2﹣（1−m 2
4）＝0，解得：m =6
5，m ＝2（舍去），
此时|PQ |=8
5
，△OPQ 的面积为
2425
，
当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝kx +m ，代入椭圆方程，（4k 2+1）x 2+8kmx +4（m 2﹣1）＝0，
由△＞0，则4k 2﹣m 2+1＞0， x 1+x 2=−
8km 4k 2
+1
，x 1•x 2=
4(m 2−1)4k 2
+1
，
由 AP →
⋅AQ →
=0，
（x 1﹣2）（x 2﹣2）+y 1y 2＝（k 2+1）x 1•x 2+（km ﹣2）（x 1+x 2）+m 2+4＝0， 代入求得12k 2+5m 2+16km ＝0，
即m =−6
5
k ，m ＝﹣2k ，（此时直线l 过点A ，舍去），
|PQ |=√1+k 2•√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4
4k 2
+1
√(1+k 2)(4k 2−m 2+1)，
点O 到直线l 的距离d =
√k +1
，
△OPQ 的面积为
2|m|√4k 2−m+1
4k +1，将m =−65
k 代入，
2425
×√−
9256
×(
1
k 2+
14
)2−
764
×
1k 2+
14
+1＜2425
，
△OPQ 面积的最大值
2425
；
（Ⅲ）证明：设直线y ＝2x +m ，代入椭圆方程，整理得：17x 2+16mx +4（m 2﹣1）＝0， 设△APQ 的外接圆方程x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0，
联立直线l 的方程，5x 2+（4m +D +2E ）x +（m 2+mE +F ）＝0， 代入可知
175
=16m 4m+D+2E
=
4(m 2−1)m +mE+F
，
由外接圆过点A （2，0），则2D +F ＝﹣4， 从而可得关于D ，E ，F 的三元一次方程组，
{ 2D +F =−4D +2E =1217m mE +F =317m 2−20
17，解得：{ D =6m−24
17E =3m+1217F =−12m+2017，
代入圆方程，整理得：（x 2+y 2−
2417x +1217y −2017）+3m
17
（2x +y ﹣4）＝0， ∴{x 2
+y 2
−2417x +1217y −2017=02x +y −4=0，解得：{x =3017y =817
，或{x =2y =0， △APQ 的外接圆恒过一个异于点A 的定点（
3017
，
8
17
）．
【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，弦长公式及点到直线的距离公式，考查三角形的外接圆的性质，考查计算能力，属于难题． 一、选择题
22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为{x =t
y =4−√3t （t 为参数），圆C
的方程为x 2+（y ﹣1）2＝1．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求l 和C 的极坐标方程；
（2）过O 且倾斜角为α的直线与l 交于点A ，与C 交于另一点B ．若
π6
≤α≤
5π12
，求
|OB||OA|
的取值范围．
【分析】（1）直接利用和转换关系的的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．
（2）利用三角函数关系式的变换的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果． 解：（1）直线l 的参数方程为{x =t y =4−√3t （t 为参数），转换为直角坐标方程为√3x +
y −4=0，转换为极坐标方程为√3ρcosθ+ρsinθ−4=0． 整理得：ρ=42sin(θ+π3
)=2
sin(α+π3
)．
圆C 的方程为x 2+（y ﹣1）2＝1，整理得x 2+y 2＝2y ，转换为极坐标方程为ρ＝2sin θ． （2）过O 且倾斜角为α的直线为θ＝α，
由于该直线与l 交于点A ，所以{
ρ=
2sin(θ+π3)
θ=α
，所以ρA =2
sin(α+π3
)，
与C 交于另一点B ．所以{
ρ=2sinθ
θ=α
，整理得ρB ＝2sin α，
所以|OB|
|OA|
=
2sinα
2
sin(α+π
3
)
=sinα⋅sin(α+π3
)=
1
2sin(2α−π
6)+1
4
， 由于
π6
≤α≤
5π12，
所以
π6
≤2α−π6
≤
2π3，
所以1
2≤sin(2α−π6
)≤1，
所以12
≤
12
sin(2α−π6
)+
14
≤34
故求
|OB||OA|
的取值范围[12
，3
4
]．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
23．不等式|x +2|+|x +4|＜8的解集为（n ，m ）．
（1）求m 的值；
（2）设a ，b ，c ∈R *，且a 2+b 2+c 2＝m ，求a +2b +3c 的最大值．
【分析】（1）根据|x +2|+|x +4|＜8，利用零点分段法得到不等式的解集，再结合条件求出m 的值；
（2）由（1）知m ＝1，然后利用柯西不等式根据a 2+b 2+c 2＝1，求出a +2b +3c 的最大值．
解：（1）|x +2|+|x +4|={2x +6，x ＞−2
2，−4≤x ≤−2−2x −6，x ＜−4
．
∵|x +2|+|x +4|＜8，∴{2x +6＜8x ＞−2或﹣4≤x ≤﹣2或{−2x −6＜8x ＜−4
， ∴﹣2＜x ＜1或﹣4≤x ≤﹣2或﹣7＜x ＜﹣4，∴﹣7＜x ＜1，
∴|x +2|+|x +4|＜8的解集为（﹣7，1），∴m ＝1．
（2）由（1）知m ＝1，∴a 2+b 2+c 2＝m ＝1，
∵a ，b ，c ∈R *，∴由柯西不等式，得：
a +2
b +3
c ⩽√12+22+32⋅√a 2+b 2+c 2=√14，
当且仅当a =b 2=c 3时，即a =√1414，b =2√1414，3√1414
等号成立， ∴a +2b +3c 的最大值为√14．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和利用柯西不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。