数值计算迭代法
数值计算中的迭代法研究
数值计算中的迭代法研究迭代法是数值计算中一种重要的方法，广泛应用于各个领域。
本文将从理论和实践两个方面展开对数值计算中迭代法的研究。
一、迭代法的基本原理迭代法是通过逐步逼近解的方法，将一个计算问题转化为逐步逼近问题的方法。
其基本原理是通过不断重复迭代过程，使得逼近序列不断趋近于问题的解。
在数值计算中，迭代法主要用于求解方程的根和解线性方程组等问题。
通过构建递推公式和迭代公式，可以在有限次迭代后得到近似解。
二、迭代法的分类根据迭代公式的形式和计算精度的要求，迭代法可以分为固定迭代法和逐次逼近法两种。
固定迭代法是指对于给定的初值，不断使用同一个迭代公式进行计算，直到满足预定的停止准则为止。
常见的固定迭代法包括简单迭代法、试位法等。
逐次逼近法是指根据当前的近似解，不断调整迭代公式，使得每一次迭代都逼近于问题的解。
常见的逐次逼近法有牛顿法、高斯-赛德尔迭代法等。
三、迭代法的应用举例1.方程的根的迭代求解对于一个非线性方程 f(x) = 0，可以通过迭代法求解其根。
比如使用牛顿法，首先选取一个初值x0，然后根据迭代公式x_{n+1} = x_n -f(x_n) / f'(x_n)进行迭代，直到满足停止准则。
2.线性方程组的迭代求解对于一个线性方程组Ax = b，可以通过迭代法迭代求解。
比如使用雅可比迭代法，首先将线性方程组改写为x = Bx + d的形式，然后选取一个初值x0，根据迭代公式x_{n+1} = Bx_n + d进行迭代，直到满足停止准则。
四、迭代法的优缺点迭代法作为一种数值计算方法，具有以下优点：1. 算法相对简单，易于实现；2. 可以通过调整迭代次数和停止准则控制计算精度；3. 适用于各种类型的数值计算问题。
然而，迭代法也存在一些缺点：1. 初始值的选择对结果有较大影响，可能会导致迭代过程发散或收敛很慢；2. 可能会出现数值不稳定的情况，导致计算结果出现误差；3. 迭代法的收敛性无法得到完全的保证，可能需要进行大量的迭代计算。
数值计算的例子
数值计算的例子数值计算在现代科学和工程中起着非常重要的作用，它们可以帮助我们解决各种实际问题，从物理学到金融学，从天文学到工程学。
下面是一些以数值计算为主题的例子：1. 迭代法求方程的根迭代法是一种常用的数值计算方法，可以用来求解方程的根。
例如，我们可以使用牛顿迭代法来求解一个非线性方程的根。
假设我们要求解方程f(x)=0，我们可以选择一个初始近似解x0，然后使用迭代公式x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)来逐步逼近方程的根。
2. 数值积分数值积分是一种计算定积分近似值的方法。
例如，我们可以使用梯形法则来计算一个函数在给定区间上的定积分。
假设我们要计算函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，我们可以将这个区间分成n个小区间，然后使用梯形面积的近似值来计算整个区间上的定积分。
3. 线性方程组的求解线性方程组求解是数值计算中的一个重要问题。
例如，我们可以使用高斯消元法来求解一个线性方程组Ax=b，其中A是一个矩阵，b是一个向量。
高斯消元法可以将这个线性方程组转化为一个上三角矩阵，然后通过回代求解出方程的解。
4. 数值微分数值微分是一种计算导数近似值的方法。
例如，我们可以使用中心差分法来计算一个函数在某一点的导数。
假设我们要计算函数f(x)在点x0处的导数，我们可以选择一个很小的步长h，然后使用中心差分公式f'(x0) ≈ (f(x0+h) - f(x0-h))/2h来估计导数的值。
5. 最优化问题最优化问题是数值计算中的一个重要问题，它可以帮助我们找到一个函数的最小值或最大值。
例如，我们可以使用梯度下降法来求解一个无约束的最小化问题。
梯度下降法通过迭代地沿着函数的负梯度方向更新变量的值，从而逐步接近最优解。
6. 插值和拟合插值和拟合是数值计算中常用的技术，它们可以帮助我们从离散数据中推测出连续函数的形状。
例如，我们可以使用拉格朗日插值法来构造一个通过给定数据点的插值多项式。
牛顿迭代法 数值积分
牛顿迭代法数值积分牛顿迭代法（Newton's method）是一种用于求解方程的迭代数值计算方法，通过不断逼近方程的根来获得精确的解。
其基本思想是利用函数在某点的切线来逼近方程的根，然后通过不断迭代计算来逼近真实的根。
具体而言，假设要求解方程f(x) = 0，首先选择一个初始近似解x_0，然后通过切线的斜率来确定下一个近似解x_1。
切线的斜率可以通过函数的导数f'(x) 来计算，即：k = f'(x_0)。
然后，利用直线的斜截式公式y = k(x - x_0) + f(x_0)，将其与x 轴相交得到新的近似解x_1，即使得f(x_1) = 0 的解。
迭代过程如下：1. 选择初始近似解x_0。
2. 计算切线斜率k = f'(x_0)。
3. 根据切线与x 轴相交的方程，求解f(x) = 0，得到新的近似解x_1。
4. 判断x_1 是否满足精度要求，若满足则停止迭代；若不满足，则令x_0 = x_1，返回步骤2。
需要注意的是，牛顿迭代法并不一定能够收敛到方程的根，可能会陷入局部最优解或者发散。
因此，在使用牛顿迭代法时，需要对初始近似解的选择和迭代过程的控制进行合理的调整。
关于数值积分（numerical integration），也称为数值求积，是通过数值计算来求解定积分的方法。
定积分表示曲线与坐标轴之间的面积，常用于求解函数在某个区间上的总体积、质量、电荷等物理量。
数值积分有多种方法，常见的包括梯形法则、辛普森法则、龙贝格法等。
这些方法的基本思想都是将定积分转化为对函数在一系列离散点上的取值进行计算。
以梯形法则为例，其基本思想是将积分区间等分成多个小区间，然后用每个小区间上的函数值构成的梯形的面积来近似表示积分的结果。
具体步骤如下：1. 将积分区间[a, b] 等分成n 个小区间，每个小区间的宽度为h = (b - a) / n。
2. 在每个小区间上计算函数的取值，得到函数在离散点上的值f(x_0), f(x_1), ..., f(x_n)。
迭代法和牛顿迭代法的优缺点及应用
迭代法和牛顿迭代法的优缺点及应用在数值计算和算法设计中，迭代法和牛顿迭代法是两种常见的数值优化方法。
它们可以很好地用于解决非线性方程组、最优化问题以及数学模型的求解等问题。
在实际应用中，它们的优缺点各有不同，可根据问题的特点选择适合的方法。
本文将对迭代法和牛顿迭代法的优缺点及应用进行分析。
一、迭代法1、迭代法的原理迭代法是一种通过不断逼近目标值的方法。
其思想是将一个原问题转化为一个递归求解的过程。
假设我们要求解一个方程f(x) = 0，可以利用如下公式进行迭代：$x_{n+1} = g(x_n)$其中，$g(x_n)$是一个递推公式，用来表示如何从$x_n$ 得到$x_{n+1}$。
通过不断迭代，可以逐渐逼近解。
当迭代次数足够多时，可以得到符合精度的解。
2、迭代法的优点（1）实现简单：迭代法的计算过程非常简单，只需要考虑递推公式即可。
（2）收敛速度较快：迭代法的收敛速度要比其他方法要快，尤其是在某些非线性问题中，迭代法表现出了其优异的收敛性。
（3）适用范围广：迭代法可以用于解决各种类型的数学问题，包括求解非线性方程组、求解最优化问题以及求解微积分方程等。
3、迭代法的缺点（1）收敛不稳定：由于迭代法只是通过不断逼近目标值的过程，收敛的速度和稳定性都受到了影响，可能存在发散的情况。
（2）初值选择的影响：迭代法在求解问题时，对于初值的选择需要非常慎重，因为不同的初值会得到不同的收敛结果。
（3）依赖递推公式：迭代法需要依赖于递推公式，当递推公式难以求解或者导数难以计算时，迭代法的效果可能会受到影响。
二、牛顿迭代法1、牛顿迭代法的原理牛顿迭代法是一种利用函数的一阶导数和二阶导数来逼近根的方法。
对于一个非线性方程f(x)=0，设其在$x_0$处的导数不为0，则可以用如下公式进行迭代：$x_{n+1} = x_n −\frac {f(x_n)}{f′(x_n)}$其中$f'(x_n)$是$f(x_n)$的一阶导数。
数值计算迭代法范文
数值计算迭代法范文
数值计算迭代法是一种很常用的数值分析方法，用于求解给定方程的近似解。
在计算中，迭代法通过初始猜想和反复迭代，以达到计算出近似解的目的。
从实际应用的角度来看，数值计算迭代法主要用于求解不易解析的非线性方程组，但也可用于求解线性方程组。
一般而言，数值计算迭代法包括一下几个步骤：
1）给定初始猜想：首先，我们要根据目标方程给出一个初始猜想值x0；
2）计算方程右边的结果：然后，我们可以根据给定的方程计算出x0对应的方程右边的结果；
3）更新猜想值：在上一步得到的结果基础上，通过一定的规则，更新x0并得到新的猜想值x1；
4）重复步骤2和3：不断重复步骤2和3，直到猜想值满足一些给定的条件，即迭代终止；
利用数值计算迭代法求解方程组，需要注意以下几点：
（1）选择合适的初始猜想：选择合适的初始猜想是决定迭代收敛的关键。
如果初始猜想的值偏离方程的精确解太多，那么迭代收敛的速度会变慢，甚至可能不收敛。
因此，必须仔细推敲，才能确定合理的初始猜想值。
（2）根据方程的特性，选择适当的迭代公式：要根据方程的特性，选择合适的迭代公式。
数值分析--第三章--迭代法
数值分析--第三章--迭代法迭代⼀般⽅程：本⽂实例⽅程组：⼀.jacobi迭代法从第i个⽅程组解出xi。
线性⽅程组Ax=b，先给定⼀组x的初始值，如[0,0,0]，第⼀次迭代，⽤x2=0，x3=0带⼊第⼀个式⼦得到x1的第⼀次迭代结果，⽤x1=0,x3=0,带⼊第⼆个式⼦得到x2的第⼀次迭代结果，⽤x1=0,x2=0带⼊第三个式⼦得到x3的第⼀次迭代结果。
得到第⼀次的x后，重复第⼀次的运算。
转化成⼀般的形式：（其中L是A的下三⾓部分，D是A的对⾓元素部分，U 是上三⾓部分）得到迭代公式：其中的矩阵B和向量f如何求得呢？其实，矩阵B的计算也很简单，就是每⾏的元素/该⾏上的对⾓元素⼆.Gauss-Seidel迭代法【收敛速度更快】这个可以和jacobi法对⽐进⾏理解，我们以第⼆次迭代为例（这⾥的第⼀次迭代结果都⽤⼀样的，懒得去换）从上表对⽐结果可以看出，Jacobi⽅法的第⼆次迭代的时候，都是从第⼀次迭代结果中，获取输⼊值。
上⼀次迭代结果[2.5,3.0,3.0]，将这个结果带⼊上⾯式⼦1，得到x1=2.88，；将[2.5,3.0,3.0]替换成[2.88,3.0,3.0]带⼊第⼆个式⼦的运算，这⾥得到x2=1.95，所以把[2.88,3.0,3.0]替换成[2.88,1.95,3.0]输⼊第三个式⼦计算X3=1.0.这就完成了这⼀次的迭代，得到迭代结果[2.88,1.95,1.0],基于这个结果，开始下⼀次迭代。
特点：jacobi迭代法，需要存储，上⼀次的迭代结果，也要存储这⼀次的迭代结果，所以需要两组存储单元。
⽽Gauss-Seidel迭代法，每⼀次迭代得到的每⼀个式⼦得到的值，替换上⼀次迭代结果中的值即可。
所以只需要⼀组存储单元。
转化成⼀般式：注意：第⼆个式⼦中的是k+1次迭代的第⼀个式⼦的值，不是第k次迭代得值。
计算过程同jacobi迭代法的类似三.逐次超松弛法SOR法上⾯仅仅通过实例说明，Jacobi和Seidel迭代的运算过程。
数值计算迭代法
习题二3、证明：当X 0=1.5时，迭代法X k+1=Xk +410和X k+1=21k X 310-都收敛于方程f(x)=x 3+4x 2-10=0在区间[1,2]内唯一实根x *，并分别用上述迭代法求满足于精度要求︱X k+1-X k ︱≤10-5的近似根。
解：证明：{先用迭代法求f(x)=x 3+4x 2-10=0的根。
（a ）对x 3+4x 2-10=0变形有：4x 2=10-x 3所以：X=21310X - 则相应的迭代公式为：X k+1=21k X 310- 取：X 0=1.5，根据计算可以看出看，我们认为得到的迭代序列是收敛的。
}（此行可忽略）{ 由 f(x)=x 3+4x 2-10=0得迭代方程：X=21310X -=g （x ） 先证明在区间【1,2】上x=g （x ）有实根。
由于[1,2]上g ‘（x ）存在，所以g （x ）连续。
作Q （x ）=x-g(x),则Q(x)在[1,2]上也连续。
由定理1条件2有：Q （1）=1-g （1）≤0，Q （,2）=1-g （2）≥0故存在x *∈[1,2]使Q *（x ）=0，即x *= Q *（x ）又因为，x *是方程f(x)=x 3+4x 2-10=0在区间[1,2]内的唯一实根，（由定理一条件2）对任意的x 0∈[1,2]时，X k ∈[1,2]（k=0,1,2,3…）因为：x *- X k+1=g （x *）-g （X k ）=g ‘（h k ）（x *- X k ）故由条件1知：︱X *-X k+1︱≤L ︱X *-X k ︱（k=0,1,2,3…）于是有：0≤︱X *-X k ︱≤L k ︱X *-X 0︱,0＜L ＜1，立即可知：lim （k 趋于无穷）︱X *-X k ︱=0,从而lim （k 趋于无穷）X k= X *。
所以当X 0=1.5时，迭代法X k+1=Xk +410和X k+1=21k X 310-都是由迭代法X k+1=g （X k ）产生的迭代序列{ X k }收敛于方程f(x)=x 3+4x 2-10=0在区间[1,2]内唯一实根x *。
迭代法在数值计算中的应用
迭代法在数值计算中的应用迭代法是一种通过逐步逼近的方式求解数值计算问题的方法。
它在数学、物理、计算机科学等领域有广泛的应用。
本文将从理论和实际应用角度探讨迭代法在数值计算中的应用。
一、迭代法的原理迭代法是一种基于逐步逼近的思想，通过不断重复相同的计算过程，直到满足预设的停止条件为止。
迭代法的基本原理可以总结为以下几个步骤：1. 初始化：设定初始解，并给定迭代次数的上限。
2. 迭代过程：通过一定的迭代公式对当前解进行计算，得到下一次迭代的解。
3. 判断停止条件：根据预设的停止条件进行判断，如果满足条件则停止迭代，否则返回第二步。
4. 输出结果：将迭代得到的解作为最终结果输出。
二、迭代法在数值计算中的应用1. 方程求解：迭代法可以用来求解非线性方程的根。
通过不断迭代计算，逐渐逼近方程的解。
例如，牛顿迭代法可以用来求解方程 f(x)=0 的根，其中f(x) 是一个可导函数。
2. 矩阵计算：迭代法在矩阵计算中也有广泛的应用。
例如，通过迭代法可以计算矩阵的特征值和特征向量。
另外，迭代法还可以用于解线性方程组，例如雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。
3. 数值积分：迭代法也可以应用于数值积分的计算中。
例如，龙贝格积分方法就是一种基于迭代的数值积分方法，通过逐步逼近积分结果，得到更精确的数值近似解。
4. 数据拟合：迭代法可以用于数据拟合问题中，通过不断迭代调整拟合参数，使得拟合曲线与实际数据最接近。
例如，最小二乘法可以通过迭代来确定拟合参数的值。
5. 优化问题：迭代法也可以用于求解优化问题。
例如，通过不断迭代调整参数，使得目标函数达到最小值或最大值。
常见的优化算法，如梯度下降法和拟牛顿法，都是基于迭代的思想。
三、迭代法的优缺点迭代法在数值计算中具有以下的优点：1. 灵活性：迭代法适用于多种数值计算问题，并且可以根据具体问题的特点进行调整和改进。
2. 可扩展性：迭代法在计算上可以进行并行化处理，适用于大规模的数值计算问题。
数值计算(二分法、简单迭代法、Newton迭代法、弦截法(割线法、双点弦法))
-1.50508
12
-1.50504
3
-1.50625
8
-1.50449
13
-1.50506
4
-1.49688
9
-1.50479
14
-1.50507
表1-1
区间[-1.2,-0.9]
k
xk
k
xk
k
xk
0
-1.05
5
-0.998437
10
-1.00005
1
-0.975
6
-1.00078
11
-0.999976
13
1.69015
20
1.69028
7
1.68753
14
1.6902
表2-3
牛顿
初值-1.5结果x=-1.50507
k
xk
k
xk
1
-1.5
4
-1.50504
2
-1.50471
5
-1.50506
3
-1.50497
6
-1.50507
表3-1
初值-1结果x=-1.50507
k
x
1
-1
2
-1
表3-2
初值1.6结果x=1.69028
步骤：1.计算原函数的导数f’(x);构造牛顿迭代公式
2.计算,若f’(x0)=0,退出计算，否则继续向下迭代。
3.若|x1-x0|满足精度要求，x1即为方程的近似解。
2.4弦截法
思想:为加速收敛，改用两个端点都在变动的弦，用差商替代牛顿迭代公式的导数f’(x)。
步骤：1.构造双点弦法的公式
2.计算x2=x1-f(x1)(x1-x0)/f(x1)-f(x0);
数值计算实验报告----LU分解、追赶法、迭代法（高斯-赛德尔Gauss_Seidel、雅。。。
数值计算实验报告----LU分解、追赶法、迭代法（⾼斯-赛德尔Gauss_Seidel、雅。
数值实验报告----------------------个⼈作业，如果有后辈的作业习题⼀致，可以参考学习，⼀起交流，请勿直接copy⼀、实验⽬的1. 了解并分析LU分解法的优点；2. 追赶法的应⽤与其与LU分解法的对⽐；3. 认识迭代法收敛的含义以及迭代法初值和⽅程组系数矩阵性质对收敛速度的影响。
⼆、实验题⽬三、实验原理l LU分解：·如果对A（0）x = b（0）施⾏第⼀次消元后化为A（1）x = b(1),则存在L1，使得L1A（0）=A(1)，L1b（0）= b（1）⼀般地，进⾏k次消元化后为A（k）x = b(k), 则有L k A（k-1）=A(k)，L k b（k-1）= b（k）重复这⼀过程，最后得到L n-1…L2L1A(0) = A(n-1)L n-1…L2L1b(0) = b(n-1)将上三⾓形矩阵A(n-1)记为U，则 A=LU ，其中为下三⾓矩阵。
利⽤⾼斯消元法实质上产⽣了⼀个将A分解为两个三⾓形矩阵相乘的因式分解，称为A的三⾓形分解或LU分解。
·矩阵分解不⼀定采⽤⾼斯消元法，以下为直接计算的计算公式：把增⼴矩阵A 采⽤LU 分解格式，即可得到与原⽅程同解的⽅l 追赶法：求解Ax = b 等价于解两个⼆对⾓线⽅程组Ly = bUx =y⾃上⽽下解⽅程组Ly = b 形象地被称为“追”。
y1 = b1/l11y i =b i-l ii-1y i-1/l ii, i = 2, 3, … ,n⾃下⽽上解⽅程组Ux = y 形象地被称为“赶”。
x n=y nx i =y i-u ii+1x i+1, i = n-1, … ,2,1习惯上，上述求解⽅法称为“追赶法”。
l 迭代法：·雅克⽐迭代雅克⽐迭代法基本思想与迭代法相同是⼀种逐次逼近的⽅法。
⾸先给定⼀个较粗糙的初值，然后采⽤迭代公式，进⾏多次迭代，直到满⾜所要求的精度为⽌。
数值算法 7迭代法、牛顿法
说明: (1)要求 ( x) 1 ,不能放松为 ( x) 1 ; (2)一个方程 f ( x ) 0 变形为 x ( x ) 有许多形式可以变换,有的可能不 收敛,有的可能收敛,且 ( x) 1 的 越小,收敛的越快。
x 5 5 10 x 在有根区间 (2, 2.5) 内 1.38 ( x) 5 ,因而也是不收敛 , ( x ) , ( x ) x2 2 x 2 2 ( x 2 2)2
的。 取 x0 2 , x1 2.5, x2 1.176, x3 8.103, x4 0.0785, x5 2.5,
两式相除约去 得: 得到改进公式如下: 改进值: xn1 xn1
x1 x0 x12 x1 x* x0 x* ( x1 x1 )2 * ,从而解得: x x1 x1 x* x1 x* x1 x0 2 x1 x1 2 x1 x0
第一次校正值: xn1 ( xn )
( x1 x1 )2 x1 x1 1.756633 x1 2 x1 x0 x2 2 lg x1 1.755319, x2 1.755644 ( x2 x2 )2 x2 x2 1.755626 x2 2 x2 x1 x3 1.755568, x3 1.755582
x 3 2 x 5 , ( x ) 3 2 x 5 ( x )
1 2
1 2
3 2
, 是发散数列。
如构造 , 0 ( x )
2 9 3
3
2 3 3 (2 x 5)2
0.154 1 是收敛的。
x2 2.0923507, x3 2.0942170,
数值计算方法第三章 线性方程组迭代法
0,1,2,
取x1(0) 0, x2(0) 0,计算结果如下：
k0
x (k) 1
0
x (k) 2
0
1
2
3
4
0.66667 0.50000 0.61111 0.58333
0.50000 0.16667 0.25000 0.19445
5
6
7
8
9
0.60185 0.59722 0.60031 0.59954 0.6005
从而得迭代式 x(k1) (D L)1Ux (k) (D L)1 b, (k 0,1,2, )
上式中矩阵 M (D L)1U 为Gauss-Seidel迭代矩阵。
输入：A,b, n,
置初值： k 0; xi 0(i 1,L , n)
k k 1;e 0
3xx1 12xx22
2 1
精确到3位有效数字。
解 Gauss Siedel迭代格式为
x (k 1) 1
x (k 1) 2
(2 x2(k) ) / 3 (1 x1(k1) ) / 2
,
k
0,1,
2,L
取x1(0)
0,
x (0) 2
0, 计算结果如下：
0
101
0
1
10
2
1 0 0 101 1 1 5
0 0.1 0.2 0.1 0 0.2
0.2 0.2 0
取初值x (0) (0,0,0)T 代入迭代式
x(1) Bx (0) g (7.2,8.3,8.4)T x(2) Bx(1) g (9.17,10.70,11.50)T ，如此下去， x(9) Bx (1) g (10.9994 ,11.9994 ,12.9992 )T
数值分析几种常用的迭代法
k = 71
满足精度的解
x= 0.999995 0.999994 1.999995
迭代次数为71次
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22
(1)SOR迭代法
sor.m
x(k1) (D L)1((1 )D U )x(k) (D L)1b
1
1
1
0.6375000 0.0121875 1.3199063
满足精度的解
0.2004270 0.3717572 1.3122805 0.6550335 0.5340119 1.6922848 0.7058468 0.7733401 1.7771932 ……………………………………….. 0.9999990 0.9999976 1.9999991
L为SOR法的迭代矩阵
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19
当 1时, SOR法化为 x(k1) (D L)1Ux(k) (D L)1b G-S迭代法 G-S法为SOR法的特例, SOR法为G-S法的加速
例1. 用G-S法和SOR法求下列方程组的解, 取 1.45
4 2 1
2 4 2
1 2 3
x1 x2 x3
0 2 3
要求精度1e-6,取初值（0，0，0）
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20
解: (1)G-S迭代法
4 0 0 1 0 2 1
BG
(D
L)1U
2 1
4 2
03
0 0
0 0
2 0
0 0 0
0.5 0.25 1/3
0.25 0.625
0.5
4
f
(D L)1b
2 1
0 4 2
0 0 3
华长生制作
10
显然，高斯-赛德尔法关于任意初始向量收 敛的充要条件是 (Bs ) 1,充分条件是 Bs 1. 另外与雅可比法相仿有如下结论：
数值计算中的迭代方法与收敛性
数值计算中的迭代方法与收敛性迭代方法在数值计算中起着重要的作用，它通过逐步逼近解决了很多复杂的数学问题。
本文将探讨数值计算中的迭代方法以及它们的收敛性。
一、迭代方法的基本原理迭代方法是通过不断重复逼近的过程来求解问题的一种数值计算方法。
其基本原理是从一个初始值开始，通过迭代公式不断逼近目标值，直至满足预设的收敛条件。
通常情况下，迭代方法可以应用于求解方程、优化问题等。
二、常见的迭代方法1. 不动点迭代法不动点迭代法是迭代方法中最常见的一种。
其基本思想是将原问题转化为寻找一个函数的不动点，即函数自身在某点上的取值等于该点本身。
通过选择适当的迭代函数，不动点迭代法可以有效地求解方程或优化问题。
2. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种高效的求解方程的方法。
其核心思想是利用函数的局部线性近似来逼近方程的解。
通过迭代公式不断逼近方程的根，牛顿迭代法可以在较短的时间内获得较高的精度。
3. 雅可比迭代法雅可比迭代法是一种用于线性方程组求解的迭代方法。
它通过将方程组表示为矩阵乘法的形式，将解向量的每个分量都表示为先前迭代解的线性组合。
通过不断迭代更新解向量的各个分量，雅可比迭代法可以逐步逼近方程组的解。
三、迭代方法的收敛性分析迭代方法的收敛性是判断该方法是否能够求解准确解的重要指标。
常用的收敛性分析方法有局部收敛性和全局收敛性。
1. 局部收敛性局部收敛性是指在迭代过程中，当初始值选择在某个特定的范围内时，迭代方法能够收敛到准确解。
局部收敛性通常通过迭代函数的导数来分析，若导数满足一定条件，则可以判断方法具有局部收敛性。
2. 全局收敛性全局收敛性是指迭代方法对于任意初始值都能够收敛到准确解。
全局收敛性是迭代方法的理想性质，但在实际应用中很难满足。
对于某些迭代方法，可以通过收敛域的定义和分析来判断其全局收敛性。
四、迭代方法的应用与改进迭代方法在数值计算中有着广泛的应用，涉及到方程求解、优化、插值等领域。
尽管迭代方法具有很多优点，但也存在一些问题，如收敛速度慢、迭代公式复杂等。
数值计算_第4章 解线性方程组的迭代法
如果用高斯-赛德尔迭代法 迭代72次得：
用SOR迭代法 ，只须迭代25次即得：
逐次超松弛迭代算法
下列算法假定迭代矩阵收敛，否则要在WHILE循环中增加判断条件。
1．定义和输入系数矩阵 与常数项向量 的元素，输入松弛因子 的值。
2．FOR i:=1,2,…,n
//假定 ，形成常数项向量
FOR
当方程组的系数矩阵 具有某些性质时，可直接判定由它生成的雅可比迭代矩阵是收敛的。
定理4.3若方程组 的系数矩阵 ，满足下列条件之一，则其雅可比迭代法是收敛的。
（1） 为行对角占优阵，即
（2） 为列对角占优阵，即
证明：（1）雅可比迭代矩阵 其中
（2） 为列对角优阵，故 为行对角占优阵，由系数矩阵 构造的迭代矩阵 为行对角占优阵，则有
通常，把 的迭代称为亚松弛迭代，把 的迭代称为高斯-塞德尔迭代，而把 的迭代称为松弛迭代。
4.4
在线性代数中逆矩阵是按其伴随矩阵定义的，若 则方阵 可逆，且 ，其中 为 的伴随矩阵。要计算 个 阶的列式才能得到一个伴随矩阵，在数值计算中因其计算工作量大而不被采用。通常对 做行的初等的效换，在将 化成 的过程中得到 。在数值计算中，这仍然是一种行之有效的方法。
事实上，在计算 前，已经得到 的值，不妨将已算出的分量直接代入迭代式中，及时使用最新计算出的分量值。因此 的计算公式可改为：
即用向量 计算出 的值，用向量 计算出 的值 ，用向量 计算出 的值，这种迭代格式称为高斯—塞德尔迭代。
对于方程组AX=y，如果由它构造高斯-塞德尔迭代和雅可比迭代都收敛，那么，多数情况下高斯—塞德尔迭代比雅可比迭代的收敛效果要好，但是情况并非总是如此。
又
得到
而 ，
数值计算中的迭代法与收敛性分析
数值计算中的迭代法与收敛性分析数值计算是现代科学技术中不可或缺的一部分，主要解决数学问题的计算和应用问题的模拟。
其中，在数学问题的计算中，经常需要使用迭代法。
本文将从迭代法的基本概念、应用、收敛的定义和分类、收敛性分析以及优化中的迭代法等几个方面论述迭代法与收敛性分析。
一、迭代法的基本概念和应用迭代法是指通过对一个初值的反复迭代求解来逼近某个方程的解或某个函数的极值的方法。
通常来说，迭代法都需要给出迭代序列的计算公式，将初值代入迭代公式计算，得到下一项的迭代结果，不断迭代，直到达到预定的迭代次数或满足收敛精度要求为止。
在数值计算中，迭代法的应用十分广泛，例如求解非线性代数方程、求解常微分方程初值问题、解方程组、求解最优化问题等。
二、收敛的定义和分类在迭代方法求解问题时，我们需要考虑其迭代序列的收敛性问题。
收敛是指迭代序列随着迭代次数的增加，逐渐逼近欲求解的精确解。
在数值计算中，可以用迭代序列中后面几项的误差与该序列最后一项的关系来描述收敛情况。
如果迭代序列中的误差随着迭代次数的增加而逐渐趋于零，那么该迭代序列就是收敛的；反之，如果误差在某个阶段始终无法收敛，那么该迭代序列就是发散的。
按照算法的不同，迭代可以分为简单迭代和牛顿迭代等多种迭代方法。
而根据问题的不同性质，迭代的收敛性可以分为线性收敛和非线性收敛两种情况。
在常见的迭代算法中，如牛顿迭代等，通常都需要对迭代的收敛性进行分析，并根据问题特点选择适当的算法。
三、收敛性分析收敛性分析是数值计算中非常重要的一部分，其主要目的就是分析迭代序列的收敛性，找到迭代公式使其遵循收敛性的要求。
对于某些特定的迭代算法，分析收敛的方法也不相同。
下面我们以简单迭代法和牛顿迭代法两种常见的迭代算法为例，简单分析一下如何对其进行收敛性分析。
（1）简单迭代法的收敛性分析对于简单迭代法，其基本的思路就是对于方程f(x)=0，在x_0处展开泰勒公式，得到x_(k+1)和x_k間的关系式，根据其收敛的条件来选择迭代公式。
数理超过81的准确计算方法
数理超过81的准确计算方法在数学和物理领域中，准确计算是非常重要的。
本文将介绍一些数理超过81的准确计算方法，帮助读者更好地理解和应用这些计算方法。
一、数值迭代法数值迭代法是一种常用的数值计算方法，通过不断迭代逼近真实值。
对于超过81的数值计算，我们可以使用数值迭代法来求解。
例如，如果要计算一个数的平方根，可以通过不断迭代逼近的方法来求解。
具体的迭代公式可以根据具体情况进行调整，以提高计算精度。
二、近似计算法近似计算法是一种通过近似计算来得到结果的方法。
对于超过81的数值计算，我们可以使用近似计算法来求解。
例如，如果要计算一个函数的近似值，可以使用泰勒级数展开来进行近似计算。
通过截取泰勒级数的前几项，可以得到一个近似的结果。
三、数值积分法数值积分法是一种通过数值方法来求解积分的方法。
对于超过81的数值计算，我们可以使用数值积分法来求解。
例如，如果要计算一个函数的积分，可以使用数值积分法来进行近似计算。
常见的数值积分法包括梯形法则、辛普森法则等。
四、数值优化算法数值优化算法是一种通过优化方法来求解最优解的方法。
对于超过81的数值计算，我们可以使用数值优化算法来求解。
例如，如果要求解一个函数的最小值或最大值，可以使用数值优化算法来进行求解。
常见的数值优化算法包括梯度下降法、牛顿法等。
五、数值方程求解法数值方程求解法是一种通过数值方法来求解方程的方法。
对于超过81的数值计算，我们可以使用数值方程求解法来求解。
例如，如果要求解一个方程的根，可以使用数值方程求解法来进行求解。
常见的数值方程求解法包括二分法、牛顿法等。
六、矩阵计算法矩阵计算法是一种通过矩阵运算来求解问题的方法。
对于超过81的数值计算，我们可以使用矩阵计算法来求解。
例如，如果要求解一个线性方程组的解，可以使用矩阵计算法来进行求解。
常见的矩阵计算法包括高斯消元法、LU分解法等。
七、数值微分法数值微分法是一种通过数值方法来求解微分的方法。
对于超过81的数值计算，我们可以使用数值微分法来求解。
数值计算算法的原理及应用
数值计算算法的原理及应用数值计算是指利用数字计算机以及数学理论和算法，对数学问题进行数值求解的一门学科。
它将数学模型转化为计算机程序，通过计算机的运算，得出数值结果，从而解决现实问题。
数值计算算法的原理数值计算算法是数值计算中最核心的部分，它决定了计算的精度和效率。
在数值计算中，算法主要分为两类：直接法和迭代法。
直接法是指通过一次运算即可获得问题的解，通常能够获得非常高的精度。
例如高斯消元法就是一种直接法，可以解决线性方程组问题。
但直接法对于某些复杂问题不适用，因为对于大规模的问题，直接法需要的计算量过大，计算时间长。
而且有些需要解决的问题并不是线性问题，而是非线性问题，这种情况下直接法并不适用。
迭代法是通过不断迭代计算来逼近问题的解，需要相对较少的计算量，但精度通常不能得到确保。
迭代法常用于非线性问题，例如牛顿迭代法可以用于求解非线性方程组、迭代法可以用于求解微分方程等。
但要求设置一个适当的误差限，以确保迭代结束的准确性。
数值计算算法的应用数值计算算法的应用非常广泛，覆盖了各个领域，如工程、科学和金融等。
工程领域中，数值计算可以用于解决各种物理或工程问题。
例如，通过有限元方法可以预测结构的强度，通过计算流体力学可以模拟飞机在空气中的飞行，通过有限差分法可以估计地震波的传播等。
这些问题通常非常复杂，需要大量的精确计算才能得出结果，而数值计算通过有效的算法和高性能的计算机提供了一个有效的解决方案。
科学领域，数值计算同样是重要的工具，例如，多项式拟合可以用于曲线拟合，交错梯度法可以用于求解多元函数极值等等。
通过数值计算，科学家们可以得出数据模型中的隐藏规律，研究新的科学理论，推进科学进步。
最后，数值计算还在金融领域扮演着关键角色。
例如通过蒙特卡罗模拟可以模拟股票的走势，通过数值计算可以计算出利率、贷款、赔付等问题。
这些问题的复杂性和规模使得传统的手动计算方法不再可行，数值计算算法可以帮助我们快速而精确地找到最佳解决方案。
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习题二
3、证明：当X 0=1.5时，迭代法X k+1=Xk +410和X k+1=21k X 310-都收敛于方程f(x)=x 3+4x 2-10=0在区间[1,2]内唯一实根x *，并分别用上述迭代法求满足于精度要求︱X k+1-X k ︱≤10-5的近似根。
解：证明：{先用迭代法求f(x)=x 3+4x 2-10=0的根。
（a ）对x 3+4x 2-10=0变形有：4x 2=10-x 3
所以：X=21310X - 则相应的迭代公式为：X k+1=21k X 310- 取：X 0=1.5，根据计算可以看出看，我们认为得到的迭代序列是
收敛的。
}（此行可忽略）
{ 由 f(x)=x 3+4x 2-10=0得迭代方程：X=21310X -=g （x ） 先证明在区间【1,2】上x=g （x ）有实根。
由于[1,2]上g ‘（x ）存在，所以g （x ）连续。
作Q （x ）=x-g(x),则Q(x)在[1,2]上也连续。
由定理1条件2有：Q （1）=1-g （1）≤0，Q （,2）=1-g （2）≥0
故存在x *∈[1,2]使Q *（x ）=0，即x *= Q *（x ）
又因为，x *是方程f(x)=x 3+4x 2-10=0在区间[1,2]内的唯一实根，（由定理一条件
2）对任意的x 0∈[1,2]时，X k ∈[1,2]（k=0,1,2,3…）
因为：x *- X k+1=g （x *）-g （X k ）=g ‘（h k ）（x *- X k ）故由条件1知：
︱X *-X k+1︱≤L ︱X *-X k ︱（k=0,1,2,3…）于是有：0≤︱X *-X k ︱≤L k ︱X *-X 0︱,0＜L ＜1，立即可知：lim （k 趋于无穷）︱X *-X k ︱=0,从而lim （k 趋于无穷）X k= X *。
所以当X 0=1.5时，迭代法X k+1=Xk +410和X k+1=21k X 310-都是由迭代法X k+1=g （X k ）产生的迭代序列{ X k }收敛于方程f(x)=x 3+4x 2-10=0在区间[1,2]内唯一实
根x *。
正解如下：
(1) （牛顿迭代法）：
证明：对方程f(x)=x 3+4x 2-10=0在区间[1,2]内，
（a ） f ‘(x)=3x 2+8x ，f ’‘(x)=6x+8，f ’‘(x)在区间[1,2]内连续；
（b ） f （1）=-5，f （2）=14，f （1）f （2）＜0；
（c ） 对于任意的x ∈[1,2]，都有f ‘(x)=/(不等于)0；
（d ） f ’‘(x)在[1,2]上保号；
综上所述，当X 0=1.5时，迭代法X k+1=Xk +410和X k+1=21k X 310-都收敛于方程f(x)=x 3+4x 2-10=0在区间[1,2]内唯一实根x *。
（2）用牛顿迭代法求近似根。
方程f(x)=x 3+4x 2-10=0有唯一实根x *∈[1,2]，容易验证，f(x)=x 3+4x 2-10在[1,2]
上满足定理4重各个条件，而当X 0=1.5时有： X 0∈[1,2] 且f （X 0）f ‘’（x 0）＞0，故相应的牛顿迭代过程
X k+1=X k -xk
xk xk xk 82310243+-+（k=0,1,2,3。
）收敛，且x 9=x 25=1.36523。