2019-2020学年北师大版高中数学选修2-2同步配套课件:1.2 综合法与分析法1.2.2

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题型一 题型二 题型三 题型四
证明:要证明
������2
+
1 ������2

2≥a+
1 ������

2,
只需证明
������2
+
1 ������2
+
2≥a+
1 ������
+
2.
∵a>0,∴上式两边均大于零.因此只需证明
a2+
1 ������2
+
4
+
4
������2
+
���1���2≥a2+
1 ������2
故只需
1 ������

������≤0.
∵c>0,∴当 c≥1 时,原不等式对一切实数 x 都成立.
反思探索性问题,可以探索条件、探索结论、探索方法,而分析法
是用来探索条件的重要手段.
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典例透析
IANLITOUXI
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=
������������
=
������������
.
要使不等式
������2+1+������ ������2+������

1+������ ������
对任何实数x
都成立,

������2+1+������ ������2+������

1+������������≥0
对任何实数
x
都成立,
题型一 题型二 题型三 题型四
������2 + ������2

2 2
(������
+
������).
证明:∵a>0,b>0,∴a+b>0.
∴要证明
������2 + ������2 ≥
2 2
(������
+
������),
只需证明( ������2 + ������2)2 ≥
2 2
(������
+
������)
2
,
即证明 a2+b2≥12 (������2 + ������2 + 2������������), 即证明a2+b2≥2ab.
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∵ ������ ≥ ������ > 0, ∴ 只需 ������������ − 1≥0,即 cμ≥1.
∴μ≥1������ , 也就是x2+c≥1������,
即 x2≥1������ − ������对任意的x 都成立.
μ≥c,
������2+1+������ ������2+������
=
������+������1,
������2 + 1 + ������ 1 + ������ ������ + 1 1 + ������


������2 + ������
������ =

������
������
������(������ + 1)- ������(������ + 1) ( ������������-1)( ������- ������)
【例 1】 用分析法证明:
若 a>0,则
������2
+
1 ������2

2≥a+
1 ������

2.
分析:严格按分析法的思路来证,即从结论出发,利用联结词“要
证明”“只需证明”,一直推到显而易见的结论.
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②再证明
������ ������+2������
+
������ 2������+������

23.
只需证明 3x(2x+y)+3y(x+2y)≥2(x+2y)(2x+y),
即证明 x2+y2≥2xy,
这显然成立,故
������ ������+2������
+
������ 2������+������
+
2
+
2
+
2
2
������
+
1 ������
.
只需证明 2
������2
+
1 ������2

2
������
+
1 ������
,
只需证明 2
������2
+
1 ������2
≥a2+
1 ������2
+
2,
即证明
a2+
���1���2≥2,而
a2+
1 ������2
≥2
显然成立,
故原不等式成立.
题型一 题型二 题型三 题型四
典例透析
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题型二 用分析法探索命题成立的条件
【例 2】
给出一个不等式
������2+1+������ ������2+������

1+������ ������
(������∈R),经验证:当
c=1,2,3 时,对于 x 取一切实数,不等式都成立.试问:当 c 取任何正数
时,不等式对任何实数 x 是否都成立?若都成立,请给出证明;若不都
成立,请求出 c 的取值范围,使不等式对任何实数 x 都成立.
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题型一 题型二 题型三 题型四
解:不都成立.

μ=x2+c,则
轴对称,
所以

������ 2������

1
=

-������ 2������
,
所以a=-b.
故������
������
+
1 2
为偶函数.
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题型一 题型二 题型三 题型四
证法二:要证明������
∵a>b>0,∴ ������ < ������.
(������-������)2 ������ + ������
(������-������)2
∴ 8������ < 2 − ������������ < 8������ .
题型一 题型二 题型三 题型四
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解:存在常数 c,使不等式对任意的正数 x,y 恒成立.不妨令
x=y=1,得
23≤c≤23
,
所以c=
2 3
,
下面给出证明.
①先证明
������ 2������+������
+
������ ������+2������

23.
因为
x>0,y>0,所以要证明
������ 2������+������
+
������ ������+2������
2.2 分析法
-1-
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知识梳理
HISHI SHULI
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
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了解分析法的思维过程,会用分析法证明一些数学命题.
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23.
综合①②可知,存在常数
c=
2 3
,
对于任意的正数x,y,都有
������ 2������+������
+
������+������2������≤c≤������+������2������
+
������ 2������+������
恒成立.
题型一 题型二 题型三 题型四
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∵a2+b2≥2ab 对一切实数恒成立,∴
������2 + ������2

2 2
(������
+
������)成立.
综上所述,不等式得证.
题型一 题型二 题型三 题型四
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题型一 用分析法证明不等式
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题型三 综合法与分析法的综合应用
【例 3】 已知 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函数 f(x+1)与 f(x)的图像
关于 y 轴对称.求证:������
������
+
1 2
为偶函数.
分析:要证明������
������
+
1 2
������
+
1 2
为偶函数,
只需证明������
-������
+
1 2
= ������
������
+
1 2
.
因为 f(x+1)与 f(x)的图像关于 y 轴对称,而 f(x)与 f(-x)的图像关于
y 轴对称,
所以 f(-x)=����� + 2 = ������ - ������- 2
题型一 题型二 题型三 题型四
证明:∵a>b>0,
∴要证明
(������-������)2 8������
<
������+������ 2

������������
<
(������-������)2 8������
,
即证明
(������-������)2 4������
<
(
������ −
������)2 < (������4-������������)2.
=������
������-
1 2
+1
= ������
������
+
1 2
,
所以������
������
+
1 2
为偶函数.
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反思证明问题比较好的方法是用分析法去思考,寻找证明途径,用 综合法进行书写;或者综合使用分析法与综合法,即从“欲知”想“需 知”(分析),从“已知”推“可知”(综合),双管齐下,逐步缩小条件与结论 之间的距离,找到沟通已知条件和结论的途径.
为偶函数,只需证明������
������
+
1 2
的图像的对称轴为y 轴,或证明������
������
+
1 2
= ������
-������
+
1 2
.
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证法一:要证明������
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练 2】
是否存在常数
c,使不等式
������ 2������+������
+
������+������2������≤c≤������+������2������
+
������ 2������+������
对任意的正数������,
������恒成立?
试证明你的结论.
<
������+������ 2

������������
<
(������-������)2 8������
.
分析:本题条件较为简单,结论比较复杂,我们可以从要证的结论
入手,一步步探求结论成立的充分条件,即用分析法.
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只需证明
������-������ 2 ������
<
������ −
������ < 2������-������������.
只需证明
������+ 2 ������
������
<
1
<
������+ 2 ������
������,
即证明 ������ + ������ < 2 ������, 且 ������ + ������ > 2 ������, 即 ������ < ������.
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IANLITOUXI
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反思1.对于一些含有分式、根式、对数式、指数式的不等式(等 式)的命题不便于用综合法证明时,常常考虑用分析法证明.
2.分析法证明命题成立必须保证步步有理有据,转化合理,得到的 结果必须是显然成立的,如已知条件、定理、定义、公理等.
3.若用Q表示要证明的结论,则分析法可用框图表示为: Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件
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【变式训练 1】
已知
a>b>0,求证:
(������-������)2 8������
������
+
1 2
为偶函数,只需证明������
������
+
1 2
的图像的对称轴为y
轴,只需证明

������ 2������
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